人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)
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人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)
二项式定理
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1.娴熟掌握二项式定理的相关观点 .
2.利用二项式定理解决三项以上的睁开式问题 .
3.理解二项式系数与睁开式系数的差别 .
4.利用二项式定理证明不等式 .
1.二项式定理的观点 :
Cn0an Cn1 an 1b Cnr an r br Cnnbn (n N* ); 这个公式就叫做二项式定理， 右侧的多项
式叫做 (a b)n 的二项睁开式；它一共有 n+1 项，此中 Cnr an r br 叫做二项睁开式的通项 .
注意 :(1)睁开式共有 n+1 项 .
(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n.
(3) 字母 a 的幂指数按降幂摆列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到为 0，字母 b 的幂指数
按升幂摆列，从第一项开始，次数由 0 逐项加 1 直到为 n.
2.睁开式中二项式系数的性质 :
(1) Cnm Cnn m
(2) Cnm Cnm 1 Cnm 1
(3) 当 r n 1 时， Cnr Cnr 1; 当 r n 1 时， Cnr 1 Cnr
2 2
(4) Cn0 Cn1 Cnn 2n
种类一 .二项式定理的相关观点
例 1：有二项式 (3 x 2 )10 .
3x
(1) 求睁开式第 4 项的二项式系数； (2) 求睁开式第 4 项的系数；
(3) 求第 4项.
[ 分析 ] (3 x 2 )10 的睁开式的通项是 Tr 1 C10r (3 x)10 r ( 2 )r ( r 0,1, ,10).
3x 3x
(1) 睁开式的第 4 项的二项式系数为
(2) C103 120.(2)睁开式的第 4 项的系数为 C103 37 ( 2 )3 77760.
3
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(3) 睁开式的第 4 项为： 77760( x)7 (13) 77760 x.
x
练习 ：在 ( x 1 ) 24
1
3 x 的睁开式中， x 的幂指数是整数的项共有 ()
A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项
[答案 ] C
24 r1 72 5r
72 5r
r r r6 为正整数，而 r [0，24]，因此 r=0，
[分析 ] Tr 1 C24 ( x) ( 3 x )
C24 x
.因此 6
6， 12， 18， 24 共 5 项，
种类二 .二项式系数的特色及性质
例 2：已知 ( 1 2a)n 的睁开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求睁开式中二项
2
式系数最大的项 .
[分析 ] 由于 Cn4 Cn6 2Cn5 , 因此 n!
4)! n! 2n! .
4!( n 6!( n 6)! 5!( n 5)!
即 n2 21n 98 0, 解得 n=14 或 7.
当 n=14 时，第 8 项的二项式系数最大， T8 C147 ( 1)7 . (2 a) 7 3432a7 .
2
当 n=7 时，第 4 项与第 5 项的二项式系数最大 .
练习 1： (x2 2 )8 的睁开式中 x4 的系数是 ( )
x
A.16 B.70 C.560 D.1120
[答案 ] D
[分析 ] 设含 x4 的为第 r 1,Tr 1 C8r ( x2 )8 r ( 2 )r C84 2r x16 3r ,16 3r 4, 因此 r=4，故系数
x
为 C84 24 1120.
种类三 .二项式定理的基本应用
例 3：求二项式 ( x2 1 )10 睁开式中的常数项 .
2 x
2 1 10 r 2 10 r 1 r 20 5 r 1 r
[分析] ( x 的 第 r+1 项 为 Tr 1 ) ( r 2 ( (r 0,
2 ) C10 (x ) C10 x )
x 2 x 2
1, ,10). 令 20 5 r 0, 得 r =8.因此 T9 C108 ( 1 )8 45 . 因此第 9 项为常数项，为 45 .
2 2 256 256
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练习 1：在二项式 (x2 1) 5 的睁开式中，含 x4 的项的系数是 ( )
x
A.-10 B.10 C.-5 D.5
[答案] B
[分析] 关于 Tr 1 C5r (x2 ) 5 r ( 1 )r ( 1)r C5r x10 3r ，关于 10-3r=4 ， r=2，则 x4 的项的系数
x
是 C52 ( 1)2 10.
种类四 .二项式定理的综合应用
例 4：利用二项式定理证明对全部 n N*, 都有 2 (1 1 )n 3.
n
[分析] 由于(1 1 ) n 0 1 1 2 1 2 3 1 2 n 1 n 1
n Cn Cn
n Cn ( ) Cn ( ) Cn ( ) 1 1
n n n 2!
( n 1) 1 ( n 1)( n 2 ) 1 ( n 1)( n 2) ( 1).
n 3! n n n! n n n
因此 2 (1 1 )n 2 1 1 1 2 1 ．．．
n 2! 3! n! 1 2
仅当 n=1 时， (1 1)n 2; 当 n≥ 2 时， 2 (1 1 )n 3.
n n
练习 1： (1 2x)n 的睁开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求睁开式中二项式系数最大的项和
系数最大的项 .
[分析] T6 Cn5 (2x)5 ,T7 Cn6 (2x)6 ，依题意，有 Cn5 25 Cn6 26 , 解得 n=8.因此 (1 2x) 8 的睁开
式中，二项式系数最大的项为 T5 C84 (2x)4 1120x4 .设第 r+1 项系数最大， 由于各项系数大于零，
C8r 2r C8r 1 2r 1 , 因此有 r r r 1
2 r 1 解得 5≤ r≤ 6.因此 r=5 或 r =6(由于 r {0 ， 1，2， ， 8}). 因此系数最大
C8 2 C8 ,
的项为 T6 1792x5 ,T7 1792x6 .
1.在 ( x y)n 睁开式中第 4 项与第 8 项的系数相等，则睁开式中系数最大的项是()
A.第6项 B.第5项 C.第 5、6 项 D.第 6、7 项
[答案 ] Ａ
2. (x 1)11 睁开式中偶数项的系数和为 ()
A. 210 B. 210 C. 211 D. 211 1
[答案 ] Ｂ
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３.若 ( x 2 )n 的睁开式中存在常数项，则 n 的值能够是 ()
3 x
A.8 B.9 C.10 D.12
[答案 ] Ｃ
４.(1 x x2 x3 )4 的睁开式中奇次项系数的和是 ()
A.64 B.120 C.128 D.256
[答案 ] Ｃ
５ . ( x 2) 6 的睁开式中 x3 的系数是 ( )
A.20 B.40 C. 80 D .160
[答案 ] Ｄ
６ . ( x 1 9
)
x 2 ) 的睁开式中的常数项是 (
A. C93 B. C93 C. C92 D. C92
[答案 ] Ｂ
7. ( x y)10 的睁开式中， x7 y3 的系数与 x3 y7 系数之和等于 ______.
[答案 ] － 240
8.在 (1 x)3 (1 x)2 (1 3 x)3 的睁开式中， x 的系数为 ______.( 用数字作答 )
[答案 ] 7
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基础稳固
1.若 (1 2) 4 a b 2 (a， b 为有理数 )，则 a+b=()
A.53 B.29 C.23 D .19
[答案 ] Ｂ
2. (a3 1 2 )8 的睁开式中全部项系数总和是 ( )
2b
A.28 1 C.0 D .1 B.
28
[答案 ] Ｂ
3. ( x 2 1 n 15，则 n=( ). ) 的睁开式中，常数项为
x
A.3 B.4 C.5 D .6
[答案 ] Ｄ
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