2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)

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2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）

1. 已知集合𝐴={𝑥∈𝑍|𝑥2≤4}，𝐵={𝑥|−4<𝑥<2}，则𝐴∩𝐵=( )

A. 𝐵={𝑥|−2≤𝑥<2} B. 𝐵={𝑥|−4<𝑥≤2}

C. {−2,−1,0,1,2} D. {−2,−1,0,1}

2. 已知复数𝑧=(𝑎+𝑖)(1−2𝑖)(𝑎∈𝑅)的实部为3，其中𝑖为虚数单位，则复数𝑧的虚部为( )

A. −1 B. −𝑖 C. 1 D. 𝑖

3. 已知向量𝑎⃗ =(1,−2)，𝑏⃗ =(3,−3)，𝑐⃗ =(1,𝑡)，若向量𝑎⃗ 与向量𝑏⃗ +𝑐⃗ 共线，则实数𝑡=( )

A. 5 B. −5 C. 1 D. −1

4. 已知函数𝑓(𝑥)=cos𝑥2−√3sin𝑥2的图象为𝐶，为了得到关于原点对称的图象，只要把𝐶上所有的点( )

A. 向左平移𝜋3个单位 B. 向左平移2𝜋3个单位

C. 向右平移𝜋3个单位 D. 向右平移2𝜋3个单位

5. 函数𝑓(𝑥)=𝑥3𝑒−𝑥−𝑒𝑥的图象大致为( )

A. B.

C. D.

6. 在(𝑥+1𝑥2)5的展开式中，一定含有( )

A. 常数项 B. 𝑥项 C. 𝑥−1项 D. 𝑥3项

7. 已知直线𝑚，𝑛和平面𝛼，𝛽，𝛾，有如下四个命题：

①若𝑚⊥𝛼，𝑚//𝛽，则𝛼⊥𝛽；

②若𝑚⊥𝛼，𝑚//𝑛，𝑛⊂𝛽，则𝛼⊥𝛽；

③若𝑛⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，𝑚⊥𝛼，则𝑚⊥𝛽；

④若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝑛，则𝑛//𝛼．

其中真命题的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第2页，共21页 8. 风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形．右下图是风雨桥中塔的俯视图．该塔共5层，若𝐵0𝐵1=𝐵1𝐵2=𝐵2𝐵3=𝐵3𝐵4=0.5𝑚，𝐴0𝐵0=8𝑚.这五层正六边形的周长总和为( )

A. 35𝑚 B. 45𝑚 C. 210𝑚 D. 270𝑚

9. 已知圆𝐸的圆心在𝑦轴上，且与圆𝐶：𝑥2+𝑦2−2𝑥=0的公共弦所在直线的方程为𝑥−√3𝑦=0，则圆𝐸的方程为( )

A. 𝑥2+(𝑦−√3)2=2 B. 𝑥2+(𝑦+√3)2=2

C. 𝑥2+(𝑦−√3)2=3 D. 𝑥2+(𝑦+√3)2=3

10. 某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数(如表)，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是( )

学段

主题 第一学段(1−3年级) 第二阶段(4−6年级) 第三学段(7−9年级) 合计

数与代数 21 28 49 98

图形几何 18 25 87 130

统计概率 3 8 11 22

综合实践 3 4 3 10

合计 45 65 150 260 第3页，共21页

A. 除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍

B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与几何”条目数最多，占50%，综合与实践最少，约占4%

C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多

D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长．

11. 已知数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，其前𝑛项和𝑆𝑛满足4𝑆𝑛=𝑎𝑛2+2𝑎𝑛，(𝑛∈𝑁∗)，设𝑏𝑛=(−1)𝑛⋅𝑎𝑛𝑎𝑛+1，𝑇𝑛为数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和，则𝑇20=( )

A. 110 B. 220 C. 440 D. 880

12. 设椭圆的左右焦点为𝐹1，𝐹2，焦距为2𝑐，过点𝐹1的直线与椭圆𝐶交于点𝑃，𝑄，若|𝑃𝐹2|=2𝑐，且|𝑃𝐹1|=43|𝑄𝐹1|，则椭圆𝐶的离心率为( )

A. 12 B. 34 C. 57 D. 23

13. 一名信息员维护甲乙两公司的5𝐺网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为______

14. 等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，公差𝑑∈[1,2]，且𝑎3+𝜆𝑎9+𝑎15=15，则实数𝜆的最大值为______．

15. 若𝑥1，𝑥2是函数𝑓(𝑥)=𝑥2−7𝑥+4𝑙𝑛𝑥的两个极值点，则𝑥1𝑥2= ；𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)= ． 第4页，共21页 16. 现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐴𝐵=2，侧面△𝑃𝐴𝐷为等边三角形，线段𝐵𝐶的中点为𝐸，若𝑃𝐸=1.则所需球体原材料的最小体积为______．

17. 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌(优等品和合格品)，某公司年产宣纸10000刀(每刀100张)，公司按照某种质量标准值𝑥给宣纸确定质量等级，如表所示：

𝑥 (48,52] (44,48]∪(52，56] (0,44]∪(56，100]

质量等级 正牌 副牌 废品

公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．

(Ⅰ)估计该公司生产宣纸的年利润(单位：万元)；

(Ⅱ)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值𝑥的频率，如表所示：

𝑋 (𝑥−−2,𝑥−+2] (𝑥−−6,𝑥−+6]

频率 0.6826 0.9544

其中𝑥−为改进工艺前质量标准值𝑥的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．

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18. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎=4𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵．

(Ⅰ)求证：𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶=3𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵；

(Ⅱ)求𝐵−𝐶的最大值．

19. 四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，𝐵𝐶=𝐶𝐷=1，𝐴𝐷=2，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝐸为𝑃𝐶中点，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹为𝐴𝐷上一点，𝑃𝐴//平面𝐵𝐸𝐹．

(Ⅰ)求证：平面𝐵𝐸𝐹⊥平面𝑃𝐴𝐷；

(Ⅱ)若𝑃𝐶与底面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为60°.求二面角𝐸−𝐵𝐹−𝐴的余弦值．

20. 已知点𝐴(0,1)，点𝐵在𝑦轴负半轴上，以𝐴𝐵为边做菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，且菱形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线的交点在𝑥轴上，设点𝐷的轨迹为曲线𝐸．

(Ⅰ)求曲线𝐸的方程； 第6页，共21页 (Ⅱ)过点𝑀(𝑚,0)，其中1<𝑚<4，作曲线𝐸的切线，设切点为𝑁，求△𝐴𝑀𝑁面积的取值范围．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑙𝑛𝑥,𝑔(𝑥)=𝑥−1𝑥(𝑥>0)．

(Ⅰ)讨论函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)在(0,+∞)上的单调性；

(Ⅱ)是否存在正实数𝑚，使𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑔(𝑥)的图象有唯一一条公切线，若存在，求出𝑚的值，若不存在，请说明理由．

22. 以直角坐标系的原点为极点，𝑥轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程为𝜌2=123+sin2𝜃(𝜃∈[0,𝜋2])，直线1的参数方程为{𝑥=2−2√55𝑡𝑦=3+√55𝑡(𝑡为参数)．

(Ⅰ)求曲线𝐶的参数方程与直线𝑙的普通方程；

(Ⅱ)设点𝑃为曲线𝐶上的动点，点𝑀和点𝑁为直线𝑙上的点，且满足△𝑃𝑀𝑁为等边三角形，求△𝑃𝑀𝑁边长的取值范围．

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23. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑚−|𝑥−2|，𝑚∈𝑅，𝑔(𝑥)=|𝑥+3|．

(Ⅰ)当𝑥∈𝑅时，有𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥)，求实数𝑚的取值范围．

(Ⅱ)若不等式𝑓(𝑥)≥0的解集为[1,3]，正数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏−2𝑎−𝑏=3𝑚−1，求𝑎+𝑏的最小值．

第8页，共21页 答案和解析

1.【答案】𝐷

【解析】解：集合𝐴={𝑥∈𝑍|𝑥2≤4}={−2,−1,0,1,2}，

∴𝐴∩𝐵={−2,−1,0,1}，

故选：𝐷．

先求出集合𝐴，再利用集合交集的运算即可算出结果．

本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．

2.【答案】𝐴

【解析】解：因为复数𝑧=(𝑎+𝑖)(1−2𝑖)=(𝑎+2)+(1−2𝑎)𝑖；

∴𝑎+2=3⇒𝑎=1；

∴𝑧的虚部为：1−2𝑎=−1．

故选：𝐴．

利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.【答案】𝐵

【解析】

【分析】

因为向量𝑎⃗ 与向量𝑏⃗ +𝑐⃗ 共线，即两向量平行，根据两向量平行的坐标表示求解即可．

本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．

【解答】

解：由题，𝑎⃗ =(1,−2)，𝑏⃗ =(3,−3)，𝑐⃗ =(1,𝑡)，

∴𝑏⃗ +𝑐⃗ =(4,𝑡−3)，

∵向量𝑎⃗ 与向量𝑏⃗ +𝑐⃗ 共线，即𝑎⃗ //(𝑏⃗ +𝑐⃗ )，

则1×(𝑡−3)=−2×4，

解得𝑡=−5．

故选：𝐵．