2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科) 有答案
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1 2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1．已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i
2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（ ）
A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}
3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ）
A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率
C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数
5．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
2
A． B． C． D．
8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（ ）
A． B． C． D．
10．设n∈N*，则=（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是
．
14．函数f（x）=ex•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是 ．
15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为 ．
16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于
3 A，B两点，若，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．
（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．
18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：
女性用户 分值区间 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 20
40 80 50 10
男性用户 分值区间 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 45 75 90 60 30
（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．
4 20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
5
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1．已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由已知直接利用求解．
【解答】解：∵z=1+2i，∴ =|z|2=．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（ ）
A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}
【考点】集合的表示法．
【分析】先化简A，B，再求出其交集即可．
【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜0，或x＞1}，
故A∩B={x|﹣1＜x＜0，或1＜x＜3}．
故选D．
【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．
3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，
抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，
6 其准线方程为：y=﹣，
分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，
即|PF|的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．
4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ）
A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率
C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数
【考点】程序框图．
【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．
【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；
故选B．
【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述．
5．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
【考点】等比数列的前n项和．
7 【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，
∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．
又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．
则S4==30．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于
直线x+y﹣3=0的下方区域和直线
x﹣y+1=0的上方区域，
根据目标函数的几何意义，
可知目标函数经过A时，z取得最大值．
由可得A（1，2），
所以目标函数z的最大值为4．
故选B．
【点评】本题主要考查线性规划问题．画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键．
