平面向量数量积的物理背景及几何意义

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ab1.8平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案

教学目标：

1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

2平面向量数量积的应用.

教学过程：

一、平面向量数量积的物理背景及定义：

以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

1、两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向；

（3）当θ＝2时，a与b垂直，记a⊥b；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

2、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0

3、两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 C ①ea =

ae =|a|cos

②ab ab = 0

③

aa = |a|2或||aaa

④cos =||||abab

⑤|ab| ≤ |a||b|

4、向量数量积满足的运算率：

①abba；

②()abcacbc；

③()()()ababab

二、向量数量积的坐标运算

1、已知两个向量),(11yxa，),(22yxb,则ba2121yyxx.

2、设),(yxa，则||a.

3、平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

),(11yx、),(22yx，那么||a.

4、向量垂直的判定 两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx .

第 1 页 共 2 页 平面向量的数量及教学反思《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思

平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生第 2 页 共 2 页 由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。

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§2.4 平面向量的数量积

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)

学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．

知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义

一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．

思考1 如何计算这个力所做的功？

★答案★ W＝|F||s|cos θ.

思考2 力做功的大小与哪些量有关？

★答案★ 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．

梳理

条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ

结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)

记法 向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ

规定 零向量与任一向量的数量积为0

知识点二 平面向量数量积的几何意义

思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？

★答案★ 如图所示，OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos

θ.

|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．

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思考2

向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？

★答案★ 由投影的定义知，二者不一定相同．

梳理 (1)条件：向量a与b的夹角为θ.

(2)投影

向量b在a方向上的投影 |b|cos θ

向量a在b方向上的投影 |a|cos θ

(3)a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

知识点三 平面向量数量积的性质

思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？

★答案★ 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．

平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计

一、 教学内容与任务分析

本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修四第二章第四节2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义。它是平面向量的核心内容，是以之前所学的向量概念为基础，并为之后平面向量的向量积表示模、夹角，以及平面向量的应用奠定了基础。

二、 学习者分析

学生已经学习了向量的概念及线性运算，具备了“功”等物理知识，初步了解了研究算法的一些步骤，但运算律可能无法完整的给出，对于运算律的证明可能会感到困难。

三、 教学重难点

教学重点：

（1） 平面向量数量积的概念及性质

（2） 平面向量数量积的运算律的探究及应用

教学难点：

（1） 平面向量数量积的定义

（2） 运算律的探究、理解

（3） 平面向量数量积的灵活运用

四、 教学目标

1. 知识与技能目标

（1） 理解平面向量的数量积的含义及其物理背景

（2） 掌握向量数量积的性质及运算律，会进行平面向量数量积的运算

（3） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的平行垂直关系

2. 过程与方法目标

（1） 在探究的过程中，体会类比，从特殊到一般的数学思想

（2） 培养分析问题，解决问题的能力

3. 情感态度价值观目标 （1） 产生数学的学习兴趣

（2） 体会数学的应用价值

五、 教学过程

一、 创设情境，激发兴趣

师：一个物体在如图所示的力F 的作用下产生

的位移s，其中θ角是F与S的夹角

那么力F 所做的功W为_____________

【设计意图】以物理问题为背景，初步认识向量积，为之后向量积的概念的提出做铺垫。

二、 师生合作、探究概念

1. 探究向量数量积的概念

【师生活动】那在刚才的问题中，功是什么量，它的大小有什么来决定？既然它是由两个向量来决定，那我们能否将功看成是“两个向量相乘”的一种运算呢？如果可以，我们如何去确定符号，什么情况下值为0？