2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
自主学习
知识梳理
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是______________，向量b在a方向上的投影是__________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝__________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝__________(分配律)．
自主探究
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔__________；
(2)当a与b同向时，a·b＝________，
当a与b反向时，a·b＝________；
(3)a·a＝__________或|a|＝a·a＝a2；
(4)cos θ＝__________；
(5)|a·b|≤__________.
对点讲练
知识点一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
变式训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)AB→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→.
第 1 页 共 2 页 平面向量的数量及教学反思《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思
平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生第 2 页 共 2 页 由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。
平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计
一、 教学内容与任务分析
本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修四第二章第四节2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义。它是平面向量的核心内容，是以之前所学的向量概念为基础，并为之后平面向量的向量积表示模、夹角，以及平面向量的应用奠定了基础。
二、 学习者分析
学生已经学习了向量的概念及线性运算，具备了“功”等物理知识，初步了解了研究算法的一些步骤，但运算律可能无法完整的给出，对于运算律的证明可能会感到困难。
三、 教学重难点
教学重点：
（1） 平面向量数量积的概念及性质
（2） 平面向量数量积的运算律的探究及应用
教学难点：
（1） 平面向量数量积的定义
（2） 运算律的探究、理解
（3） 平面向量数量积的灵活运用
四、 教学目标
1. 知识与技能目标
（1） 理解平面向量的数量积的含义及其物理背景
（2） 掌握向量数量积的性质及运算律，会进行平面向量数量积的运算
（3） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的平行垂直关系
2. 过程与方法目标
（1） 在探究的过程中，体会类比，从特殊到一般的数学思想
（2） 培养分析问题，解决问题的能力
3. 情感态度价值观目标 （1） 产生数学的学习兴趣
（2） 体会数学的应用价值
五、 教学过程
一、 创设情境，激发兴趣
师：一个物体在如图所示的力F 的作用下产生
的位移s，其中θ角是F与S的夹角
那么力F 所做的功W为_____________
【设计意图】以物理问题为背景，初步认识向量积，为之后向量积的概念的提出做铺垫。
二、 师生合作、探究概念
1. 探究向量数量积的概念
【师生活动】那在刚才的问题中，功是什么量，它的大小有什么来决定？既然它是由两个向量来决定，那我们能否将功看成是“两个向量相乘”的一种运算呢？如果可以，我们如何去确定符号，什么情况下值为0？
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
本节课选自人教版高中数学必修4第二章、第4节第1课时。以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
二、学情分析
学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
三、教材重点和难点
重点：平面向量的数量积的概念和性质；平面向量数量积的运算律的探究及应用。
难点：平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。
四、教学目标
知识与技能目标：（1）阐明平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）概述向量数量积的性质和运算律，会求平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
过程与方法目标：通过体验数量积定义的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想。借助实数积的运算律推算出数量积的运算律，体会了类比的思想。
情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，获得了从特殊到一般的能力，形成了学习的主动性和合作交流的学习习惯。
六、教学过程
[情景1] 问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产生的位移为S，那么力F所做的功W等于多少？
