第 1 页 共 2 页 平面向量的数量及教学反思《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思
平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生第 2 页 共 2 页 由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。
§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
教学过程：
一、复习引入：
1． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.
2．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e
3．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia
把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa
4．平面向量的坐标运算 若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx，),(yxa.
若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB
5．a∥b
(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，
使 PP1=λ2PP，λ叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：
2011年第二学期 长兴中学高一数学学案008 主备人 施震宏
2．4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
【目标要求】
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面向量数量积的性质以及其运算性质，并能灵活运用.
【热点提示】
向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简及向量平行、垂直的条件的应用．一般以选择题、填空题的形式出现的考查不会太难，更多的是与三角、解析几何综合在一起进行知识汇合处考查.
【知识梳理】
1．定义
(1)已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ(θ为a与b的夹角)．
(2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影(其中θ为a与b的夹角)．
(3)零向量与任一向量的数量积为0.
(4)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
2．运算律
a，b，c为向量，λ为实数
(1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．设a，b均为非零向量
(1)a⊥b⇔a·b＝0. (2)a，b同向时，a·b＝|a||b|；a，b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)|a|＝|a|2＝a2＝a·a. (4)|a·b|≤|a||b|.
【课堂互动】
平面向量数量积的运算
【例1】 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB→·BC→.
练1 已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则a在e方向上的投影是________；e在a方向上的投影是________．
1 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计）
一、教学目标
1.知识与技能目标
理解平面向量的数量积的定义及几何意义；熟练掌握平面向量数量积的性质；掌握关于平面向量数量积的几类重要题型．
2.过程与能力目标
通过对数量积的定义及运算性质的应用，加深学生对知识的理解与掌握，同时，通过对数量积的几类重要问题的解答，培养学生的归纳能力，运算能力，应用所学知识解决问题的能力．
3.情感与态度目标
通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.
二、教学重、难点
1.教学重点
平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.
2.教学难点
平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用.
三、教学准备
多媒体、彩色粉笔
四、教学过程新课
（一）创设情景，引入新课
问题：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，
产生位移S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？
（1）力F所做的功W：W=
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：
W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，θ是 .
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
思考：如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？
（二）探究新知
探究一:明晰向量数量积的定义
1、 数量积的定义：
已知两个非零向量a和b，把数量cosba叫做a与b数量积（或内积），记作ba
规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即为任意向量aa00
注意： “ba”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替.
2、提出问题 2 （1）向量数量积是一个向量还是一个数量？
