第 1 页 共 2 页 平面向量的数量及教学反思《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思
平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生第 2 页 共 2 页 由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。
平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计
一、 教学内容与任务分析
本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修四第二章第四节2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义。它是平面向量的核心内容，是以之前所学的向量概念为基础，并为之后平面向量的向量积表示模、夹角，以及平面向量的应用奠定了基础。
二、 学习者分析
学生已经学习了向量的概念及线性运算，具备了“功”等物理知识，初步了解了研究算法的一些步骤，但运算律可能无法完整的给出，对于运算律的证明可能会感到困难。
三、 教学重难点
教学重点：
（1） 平面向量数量积的概念及性质
（2） 平面向量数量积的运算律的探究及应用
教学难点：
（1） 平面向量数量积的定义
（2） 运算律的探究、理解
（3） 平面向量数量积的灵活运用
四、 教学目标
1. 知识与技能目标
（1） 理解平面向量的数量积的含义及其物理背景
（2） 掌握向量数量积的性质及运算律，会进行平面向量数量积的运算
（3） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的平行垂直关系
2. 过程与方法目标
（1） 在探究的过程中，体会类比，从特殊到一般的数学思想
（2） 培养分析问题，解决问题的能力
3. 情感态度价值观目标 （1） 产生数学的学习兴趣
（2） 体会数学的应用价值
五、 教学过程
一、 创设情境，激发兴趣
师：一个物体在如图所示的力F 的作用下产生
的位移s，其中θ角是F与S的夹角
那么力F 所做的功W为_____________
【设计意图】以物理问题为背景，初步认识向量积，为之后向量积的概念的提出做铺垫。
二、 师生合作、探究概念
1. 探究向量数量积的概念
【师生活动】那在刚才的问题中，功是什么量，它的大小有什么来决定？既然它是由两个向量来决定，那我们能否将功看成是“两个向量相乘”的一种运算呢？如果可以，我们如何去确定符号，什么情况下值为0？
平面向量及应用
温州八中 林胜杰
向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。
【考点梳理】
一、考试内容
1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。
2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。
3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。
4．平移及平移公式。
二、考试要求
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2．掌握向量的加法与减法。
3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。
4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
三、考点精析
1．平面向量知识结构
2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。
（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
（3）表示法
①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。
②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【知识通关】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|
≤x21＋y21·x22＋y22 关系
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
