矩阵的初等变换与初等矩阵

§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵

1．矩阵的初等变换

定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换：

（1）交换矩阵的第,ij列，用ijcc记之；

（2）用非零数k乘矩阵的第i列，用ikc记之；

（3）把矩阵的第i列的k倍加到第j列，用jickc记之。

矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵A经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B，就称矩阵A与B(行，列)等价，记作~AB。

矩阵的等价具有以下性质：

（1）反身性 ~AA；

（2）对称性 如果~AB，则~BA；

（3）传递性 如果~AB，~BC，则~AC。

利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。

对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。以§A为例，矩阵A的行最简形为

11610039210103910001300000，

再经初等列变换

344151425253116211,,,,,39393cccccccccccc

化为

10000010000010000000F。

称矩阵F为矩阵A的等价标准形。 定理2.1 矩阵()ijmnaA经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：

()()()()rrnrmrrmrnrIOFOO，

其中下方及右边的零行，零列可能空缺。

由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。由此可得以下结论：

可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。

2．初等矩阵

定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。

相应于矩阵的三种初等变换，初等矩阵(elementary matrix)有三种：

（1）(,)ijE：由单位矩阵交换第,ij行(列)而得的方阵；

（2）(())ikE：由单位矩阵的第i行(列)乘非零数k而得的方阵；

（3）(,())jikE：由单位矩阵的第i行乘数k加于第j行而得的方阵，也

即由单位矩阵的第j列乘数k加于第i列而得的方阵。

在矩阵的初等变换与初等矩阵之间，存在着一种本质而美妙的关系。

定理2.2 设()ijmnaA。

（1）对矩阵A施以某种初等行变换得到的矩阵，等于用同种的m阶初等矩阵左乘A。

（2）对矩阵A施以某种初等列变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A。

证明 以第三种初等列变换为例证之。将矩阵A和单位矩阵I按列分块，

1(,,)nAaa，

1(,,)nIee。

经列变换tsckc，矩阵A和单位矩阵I分别变换为

1(,,,,)tsnkBaaaa，

1(,())(,,,,)tsnstkkEeeee。

由§1.4节例4.2知(1,,)jjjnAea，于是

1(,())(,,,,)tsnstkkAEAeeee。

1(,,,,)aaaaBtsnk。

其余情形请读者证明。

由定理2.2可知，初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵，具体如下： 1[(,)](,)ijijEE，

11[(())](())ikikEE，

1[(,())](,())jikjikEE。

定理2.3 n阶方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是A可以表成若干初等矩阵的乘积。

证明 若A可表成若干初等矩阵的乘积，由初等矩阵可逆，即知A可逆。

若A可逆，则A的行最简形为单位矩阵I，由定理2.2知，存在初等矩阵1,,kPP，使1kPPAI，于是111kAPP。

定理2.4 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q，使BPAQ。更具体地有

（1）mn矩阵A与B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P，使BPA。

（2）mn矩阵A与B列等价的充分必要条件是存在n阶可逆方阵Q，使BAQ。

3．矩阵方程的初等变换解法

对一般形式的矩阵方程，可以通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后解之。因此，这里主要介绍标准矩阵方程AXB，XAB的初等变换解法。

设A为可逆矩阵，则矩阵方程AXB的解为1XAB。注意

11(,)(,)AABIAB，

由定理2.4知，(,)AB经若干次初等行变换可以化为1(,)IAB。对矩阵方程XAB可作类似的分析。因此，我们有

（1）矩阵方程AXB的初等行变换解法：

1()()rABIAB，1XAB。

特别地，取BI，则有逆矩阵的初等变换求法：

1()()rAIIA。

（2）矩阵方程XAB的初等列变换解法：

1cIABBA，1XBA。

例2.1 已知123134212A，求1A。 解 123100()134010212001AI123100011110034201r

101320011110001531r100211010641001531r，

因此

1211641531A。

例2.2 设

213122132A，1122b，2105b，

求线性方程组1Axb和2Axb的解。

解 设11Axb，22Axb。记12(,)Xxx，12(,)Bbb，则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AXB。

21311()1222013225AB212131,2rrrrrr122200313105005

1322532,3rrrrr122200100100132121322rrrr100420100100132。

线性方程组1Axb和2Axb的解依次为

1403x 和 2212x。

例2.3 设211210111A，113432B，求解XAB。

解 AB211301210210111001113223432252c 301010001623852c10001000122182533c，

因此

122182533XBA。

4．矩阵的分块初等变换

定义2.3 分块矩阵的下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换：

（1）对换分块矩阵的两行；

（2）以一个可逆矩阵C左乘分块矩阵的某一行(C的阶数与该行子矩阵的行数相等)；

（3）把分块矩阵的第i行左乘矩阵C加到第j行(C的列数与第i行子矩阵的行数相等，C的行数与第j行子矩阵的行数相等)。

把定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等列变换的定义。分块矩阵的初等行变换与初等列变换统称为分块矩阵的初等变换，或称为矩阵的分块初等变换。

对矩阵施行一次分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换：

（1）对矩阵施行一次第一种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第一种初等变换。

（2）对矩阵施行一次第二种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换。

对分块初等列变换加以说明。设矩阵A分块为

),,,,(1niAAAA，

其中子矩阵iA的列数为in。以in阶可逆矩阵C右乘分块矩阵A的第i列得分块矩阵

),,,,(1niACAAB，

由定理2.4知，分块矩阵B是分块矩阵A对子矩阵iA施行若干次初等列变换而得的。

（3）对矩阵施行一次第三种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第三种初等变换。

对分块初等列变换加以说明。设矩阵A分块为 ),,,,,,(1nqpAAAAA，

其中子矩阵kA为knm矩阵。设qpnn矩阵C)(ijc，以jc1乘子矩阵pA的第1列，jc2乘子矩阵pA的第2列，…，jnPc乘子矩阵pA的第pn列，都加到子矩阵qA的第j列上(qnj,,2,1)，结果分块矩阵A变换为分块矩阵

),,,,,,(1npqpACAAAAB。

例2.4 设A为m阶可逆矩阵，D为n阶可逆矩阵，求矩阵

ABT=OD

的逆矩阵。

解 对分块矩阵

()TImnIOABOIOD

施行初等行变换。将该分块矩阵的第一行左乘矩阵1A，第二行左乘矩阵1D，得矩阵

111mnAOIABOIOD，

再将该分块矩阵的第二行左乘矩阵(1AB)加到第一行，得矩阵

1111mnIOAABDOIOD，

因此

11111AABDTOD。

例2.5 设A为n阶可逆矩阵，D为m阶方阵，化矩阵

ABGCD

为分块对角矩阵。

解 将分块矩阵G的第一行左乘矩阵(1CA)加到第二行，第一列右乘矩阵(1AB)加到第二列，得分块对角矩阵

1AOHODCAB。

由定理2.4可知，以上分块初等变换相当于以下一个矩阵等式

1nmIOCAIABCD1nmIABOI1AOODCAB。 (2.1)