矩阵的初等变换

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矩阵的初等变换

- 1 - 矩阵的初等变换

矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来描述和探究物理、金融、社会学和数学科学等各个领域的问题。矩阵的初等变换是一种常见的矩阵操作，可以将矩阵进行变换，获得新的矩阵。本文将简要介绍矩阵的初等变换，并通过实例阐述它的定义和相关技巧。

首先，要讨论矩阵的初等变换，需要先理解矩阵的概念。矩阵是一种数学结构，由行列式组成，用来表示特定系统的数据。矩阵由数字、向量或符号组成，可以用来描述线性方程和向量空间等，是线性代数的基础。

矩阵的初等变换是指使用一些基本的算术操作将矩阵改变为新的矩阵的过程。特别地，它可以使用行变换、列变换、行列式变换和折叠操作等技巧。

矩阵的行变换是一种将矩阵的行作为基准，通过添加和减少某一行的某一项，以改变矩阵的值的操作。例如，给定一个矩阵A，其中有5行，将第2行乘以2和第3行加上第2行可以得到新的矩阵B，即：

A：

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9 - 2 - B=A+2*R2+R3

1 2 3 4 5

4 7 10 13 16

7 11 15 19 23

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

行变换可以将矩阵转换为更容易进行操作的形式，如简化矩阵的行列式计算，将矩阵进行分配等。

列变换是一种将矩阵的列作为基准，对矩阵进行添加、减少或替换元素操作，以实现变换的操作。例如，给定一个矩阵A，其中有7列，通过乘以2，减去第4列和第5列，可以得到新的矩阵B，即：

A：

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

B=A+2*C1-C4-C5

矩阵初等变换的应用

科技信息　０高校讲坛０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第３６期　矩阵初等变换的应用　周松峰　（许昌学院数学科学学院河南许昌４６１０００）　【摘要】初等变换法是线性代数中最基本的方法之一。初等变换法是线性代数中最基本的方法。在解决线性问题时具有步骤简单、运算量　Ｊ、、易于掌握等优点。本文主要介绍了利用初等变换求伴随矩阵，标准正交基和几个多项式的最大公因式的三个应用。　【关键词】初等变换；伴随矩阵；标准正交基；最大公因式　１．概述　１．１矩阵的初等变换的定义　矩阵的初等变换指的是在数域Ｆ里的以下三种变换：　１）变换矩阵任意两行（列）的位置；　２）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）　３）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行　（列）　初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换　矩阵初等变换的性质　１）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩　２）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性　２．利用初等变换求伴随矩阵　对于求伴随矩阵，普遍算法是利用代数余子式（即伴随矩阵的元　素）。对于ＮＸｎ矩阵Ａ，求其伴随矩阵　，实际上归结为计算ｎ２个ｎ一１　级行列式，随着矩阵阶数的增大，其计算量会迅速增大，利用矩阵的初　等变换，求伴随矩阵很容易，计算量相对较小。　由矩阵的初等变换理论知，若ｎ阶方阵Ａ可逆，则可通过对其进　初等变换　，　行初等变换求Ａ～，即（Ａ　Ｅ）—｝（Ｅ　Ａ　）据此由下面定理。　定理２・１设Ａ为ｎ阶可逆方阵，作ｎｘ２ｎ矩阵（　Ａ　Ｅ），用初　等变换将它的左边的一半化成Ｅ则右边的一半就是Ａ．。　。　证：由逆矩阵的求法可知，若Ａ可逆，则有　（　Ａ　Ｅ）　（Ｅ（　Ａ　（　Ａ－１＝ｌＡ　ＩＡ　，　１　、韧等变搀　（］ｒ打Ａ　Ｅ）——　（Ｅ　Ａ　），所以，结论成立　由定理知　ｆ４－２　２、　Ａ　＝８—４　２　１　＼－３　２—１／　利用矩阵的初等变换求伴随矩阵，当矩阵阶数很大时，其简便性　比利用伴随矩阵的定义的求法更为突出。　……………　Ｅ　３．利用初等变换求规范正交基　３．１初等列变换方法求规范正交基的依据　引理３．１．１设Ａ为ｍ￣ｎ矩阵，则ＡｒＡ是ｎ阶对称矩阵。　证：由矩阵的转置运算性质及对矩阵的定义，得（Ａ　Ａ）　＝　（Ａ　：　Ａ　．即Ａ　是１３阶对称矩阵。　引理３．１．２设Ａ为ｍＸｎ矩阵，Ａ　Ａ是正定矩阵的充要条件是ｒ（Ａ）＝　【ｌ　证：若ＡＴＡ是正定矩阵，则对任意ｎ维非零向量ｘ，有ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＞０　即ｆＡＸ）ＴｆＡＸ）＞０因此，ＡＸ≠Ｏ即方程组ＡＸ＝Ｏ仅有零解，这样，由方程　组解的理论可知，　Ａ】＝ｎ　若ｒｆＡ）＝ｎ，则对任意ｎ维非零向量Ｘ，ＡＸ≠０因此，（ＡＸ）　（Ａｘ）＞０，　即ＸＴ（Ａ　Ａ）Ｘ＞Ｏ，由正定矩阵的定义，ＡＴＡ是正定矩阵。　定理３．１＿３设Ａ为ｍ￣ｎ矩阵，且ｒ（Ａ１＝ｎ，则存在可逆矩阵Ｐ使Ｂ＝　ＡＰ＝（１３。，　Ｌ，　的列向量是正交向量组。　证：因ｒｆＡ）＝ｎ由引理３．１．１与引理３．１．２知，ＡｌｒＡ是ｎ阶正定矩阵，　，ＡＴＡ、　作（ｍ＋ｎ）ｘｎ矩阵　／一ｌ，对其施行消法初等列变换，把ＡＴＡ化为下三角ｔ　２７２　髓即ｆ　Ａ）　（‘ＡＴＡＡＰ　Ｐ）　１３１　０｛Ｃ２　Ｌ　Ｌ　｝　ＡＰ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｉ　Ｌ　ｃ　其中ｃｉ＞Ｏ（ｉ＝１，２，Ｌ，ｎ），Ｐ是　（ｋ）（ｊ＞ｊ）形的初等矩阵之积，从而Ｐ是可　逆且主对角线元素为１的下三角形矩阵．因为ＡＴＡ是对称矩阵，所以　Ｐｒ（Ａ　）Ｐ是对称矩阵，由矩阵的乘法与初等变换的关系可知，用ＰＴ左　乘矩阵（ＡｒＡ）Ｐ时不改变主对角线上的元素．从而有　ｐＴ（ＡＴＡ）ｐ＝　。１　０　０　Ｃ２　Ｌ　Ｌ　０　Ｏ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　ｅ　若令Ｂ＝ＡＰ＝（１３－，ｐ　Ｌ，ｐｎ）　则ＢｌｌＢ＝（ＰＡ）Ｔ（ＡＰ）＝Ｐｒ（ＡＴＡ）Ｐ＝　１　０　０。２　Ｌ　Ｌ　Ｏ　Ｏ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　Ｃ　从而，（　＝｛　’ｌ　ｉ，即（　阢Ｌ＇　是正交向量组。　３．２用初等列变换法求规范正交基的方法　设　，，　：，Ｌ，ａｌ】）是Ｒｏ的～组基，由定理３．１．３，可得用初等列变换法　求规范正交基的方法如下：　１）求积ＡｌｒＡ　２）作ｚｎ×ｎ矩阵（　）　３）对矩阵（　）施行消法初等列变换，把ＡＴＡ化为下三角矩阵，　同时把Ａ化为Ｂ．ＩＫ：Ａ—ＴＡ）￣（‘ＡｒＡＰ）Ｐ）　。１　０　Ｃ２　Ｌ　Ｌ　ＡＰ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　Ｃ　４）记Ｂ＝ＡＰ＝（１３。，ｐ　，Ｌ，　ｌ１），令∈＿＿——Ｉ＿＝－ｐ。（ｉ＝ｌ，２，Ｌ，ｎ），贝Ⅱ∈－，∈　，Ｌ，∈　是规　Ｖ　Ｃ，　范正交基。　该初等变换求规范正交基的方法比传统的施密特（ｓｃｈｍｉｄｔ）正交　化方法简化了运算，易记易用。ｅ　【参考文献】　ｆ１１北京大学数学系＿高等代数（第三版）．北京：高等教育出版社．２００３．　［２］张恭庆，林源渠，泛函分析讲义［Ｍ］．北京：北京大学出版社．１９９９．　ｒ３１张小红．高等代数专题研究选编［ＣＪ．西安：陕酉科学技术出版社．Ｉ９９２．　［４］熊廷煌．高等代数简明教程［Ｍ］．武汉：湖北教育出版社．１９８７．　［５］王文省，姚忠平．初等变换的思想方法及在高等代数中的应用［Ｊ］．聊城师范　学报（自然科学版）２００３．　［责任编辑：韩铭］

7 习题3.1矩阵的初等变换

湖北工程学院线性代数练习册学号姓名

1 习题3.1矩阵的初等变换

一、用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵

(1)

021123211 ;

(2)

34732038234202173132.

二、试利用矩阵的初等变换，求方阵321315323的逆矩阵.

湖北工程学院线性代数练习册学号姓名

2 三、设113122214A,

132231B，试用初等变换的方法求X使BAX.

四、设111222333abcAabcabc，若111222333acbAPacbacb，求矩阵P.