矩阵的初等变换

矩阵初等行变换的规则

矩阵初等行变换是线性代数中的重要概念，它是矩阵求解和矩阵变换中不可缺少的工具。在此，我们将介绍矩阵初等行变换的规则，让大家更加深入地理解它的应用。

一、矩阵初等行变换的定义

矩阵初等行变换是改变矩阵的行的顺序和大小，从而得到一个新的矩阵的操作。矩阵初等行变换有三种类型，分别是交换两行、用一个非零常数乘以某一行、用一个非零常数乘以某一行再加到另一行上。

二、矩阵初等行变换的规则

1.交换两行

将矩阵的两行交换，得到的矩阵与原矩阵相比只有行的顺序发生了变化，矩阵的行列式值和秩不变。

例如，将一个3X3的矩阵的第一行和第二行进行交换，则变换后的矩阵为：

$$\begin{bmatrix}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{bmatrix}$$

2.用一个非零常数乘以某一行 将矩阵的某一行的每一个元素都与一个非零常数相乘，得到新的矩阵，矩阵的行列式值和秩也得到相应的变化。

例如，将一个3X3的矩阵的第一行的每个元素都乘以2，则变换后的矩阵为：

$$\begin{bmatrix}2a_{1,1}&2a_{1,2}&2a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{bmatrix}$$

3.用一个非零常数乘以某一行再加到另一行上

将矩阵的第一行的每一个元素都乘以k，再加到第二行对应的元素上，得到一个新的矩阵，矩阵的行列式值和秩都会发生相应的变化。

例如，将一个3X3的矩阵的第一行的每个元素都乘以2，再加到第二行上，则变换后的矩阵为：

$$\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\2a_{1,1}+a_{2,1}&2a_{1,2}+a_{2,2}&2a_{1,3}+a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{bmatrix}$$

矩阵初等变换口诀

矩阵初等变换是线性代数中的基本操作之一，可以用来求解线性方程组和矩阵的特征值、特征向量等问题。它包括矩阵的行变换、列变换和数乘变换三种类型。初等变换的口诀可以帮助我们更加方便快捷地进行矩阵变换。下面，我将为大家介绍矩阵初等变换的口诀。

一、行变换

（一）交换矩阵的两行

将目标行上移招，同下一行上，轻轻松松交换它。

（二）将矩阵的某一行乘以非零常数k

目标行上乘，所得新行璀璨生。

（三）将矩阵的某一行加上另一行的k倍

目标行加招，指向求和的方向。

二、列变换

（一）交换矩阵的两列

将目标列左移招，同左一列右，轻轻松松交换它。

（二）将矩阵的某一列乘以非零常数k

目标列上乘，所得新列崭新生。

（三）将矩阵的某一列加上另一列的k倍

目标列加招，指向求和的方向。

三、数乘变换

将矩阵中的每个元素乘以非零常数k。

以上就是矩阵初等变换的口诀。掌握了这些口诀，我们便能够更加熟练地进行矩阵变换，从而更加高效地解题。在实际操作中，我们可以通过将多个变换串联起来，一步步将矩阵变换到最简形式，以便进行进一步的计算和分析。

总的来说，矩阵初等变换是线性代数中非常基础和重要的概念，熟练掌握这些变换口诀对我们求解线性方程组和矩阵的特征值、特征向量等问题都非常有帮助。

科技信息　０高校讲坛０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第３６期　矩阵初等变换的应用　周松峰　（许昌学院数学科学学院河南许昌４６１０００）　【摘要】初等变换法是线性代数中最基本的方法之一。初等变换法是线性代数中最基本的方法。在解决线性问题时具有步骤简单、运算量　Ｊ、、易于掌握等优点。本文主要介绍了利用初等变换求伴随矩阵，标准正交基和几个多项式的最大公因式的三个应用。　【关键词】初等变换；伴随矩阵；标准正交基；最大公因式　１．概述　１．１矩阵的初等变换的定义　矩阵的初等变换指的是在数域Ｆ里的以下三种变换：　１）变换矩阵任意两行（列）的位置；　２）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）　３）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行　（列）　初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换　矩阵初等变换的性质　１）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩　２）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性　２．利用初等变换求伴随矩阵　对于求伴随矩阵，普遍算法是利用代数余子式（即伴随矩阵的元　素）。对于ＮＸｎ矩阵Ａ，求其伴随矩阵　，实际上归结为计算ｎ２个ｎ一１　级行列式，随着矩阵阶数的增大，其计算量会迅速增大，利用矩阵的初　等变换，求伴随矩阵很容易，计算量相对较小。　由矩阵的初等变换理论知，若ｎ阶方阵Ａ可逆，则可通过对其进　初等变换　，　行初等变换求Ａ～，即（Ａ　Ｅ）—｝（Ｅ　Ａ　）据此由下面定理。　定理２・１设Ａ为ｎ阶可逆方阵，作ｎｘ２ｎ矩阵（　Ａ　Ｅ），用初　等变换将它的左边的一半化成Ｅ则右边的一半就是Ａ．。　。　证：由逆矩阵的求法可知，若Ａ可逆，则有　（　Ａ　Ｅ）　（Ｅ（　Ａ　（　Ａ－１＝ｌＡ　ＩＡ　，　１　、韧等变搀　（］ｒ打Ａ　Ｅ）——　（Ｅ　Ａ　），所以，结论成立　由定理知　ｆ４－２　２、　Ａ　＝８—４　２　１　＼－３　２—１／　利用矩阵的初等变换求伴随矩阵，当矩阵阶数很大时，其简便性　比利用伴随矩阵的定义的求法更为突出。　……………　Ｅ　３．利用初等变换求规范正交基　３．１初等列变换方法求规范正交基的依据　引理３．１．１设Ａ为ｍ￣ｎ矩阵，则ＡｒＡ是ｎ阶对称矩阵。　证：由矩阵的转置运算性质及对矩阵的定义，得（Ａ　Ａ）　＝　（Ａ　：　Ａ　．即Ａ　是１３阶对称矩阵。　引理３．１．２设Ａ为ｍＸｎ矩阵，Ａ　Ａ是正定矩阵的充要条件是ｒ（Ａ）＝　【ｌ　证：若ＡＴＡ是正定矩阵，则对任意ｎ维非零向量ｘ，有ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＞０　即ｆＡＸ）ＴｆＡＸ）＞０因此，ＡＸ≠Ｏ即方程组ＡＸ＝Ｏ仅有零解，这样，由方程　组解的理论可知，　Ａ】＝ｎ　若ｒｆＡ）＝ｎ，则对任意ｎ维非零向量Ｘ，ＡＸ≠０因此，（ＡＸ）　（Ａｘ）＞０，　即ＸＴ（Ａ　Ａ）Ｘ＞Ｏ，由正定矩阵的定义，ＡＴＡ是正定矩阵。　定理３．１＿３设Ａ为ｍ￣ｎ矩阵，且ｒ（Ａ１＝ｎ，则存在可逆矩阵Ｐ使Ｂ＝　ＡＰ＝（１３。，　Ｌ，　的列向量是正交向量组。　证：因ｒｆＡ）＝ｎ由引理３．１．１与引理３．１．２知，ＡｌｒＡ是ｎ阶正定矩阵，　，ＡＴＡ、　作（ｍ＋ｎ）ｘｎ矩阵　／一ｌ，对其施行消法初等列变换，把ＡＴＡ化为下三角ｔ　２７２　髓即ｆ　Ａ）　（‘ＡＴＡＡＰ　Ｐ）　１３１　０｛Ｃ２　Ｌ　Ｌ　｝　ＡＰ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｉ　Ｌ　ｃ　其中ｃｉ＞Ｏ（ｉ＝１，２，Ｌ，ｎ），Ｐ是　（ｋ）（ｊ＞ｊ）形的初等矩阵之积，从而Ｐ是可　逆且主对角线元素为１的下三角形矩阵．因为ＡＴＡ是对称矩阵，所以　Ｐｒ（Ａ　）Ｐ是对称矩阵，由矩阵的乘法与初等变换的关系可知，用ＰＴ左　乘矩阵（ＡｒＡ）Ｐ时不改变主对角线上的元素．从而有　ｐＴ（ＡＴＡ）ｐ＝　。１　０　０　Ｃ２　Ｌ　Ｌ　０　Ｏ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　ｅ　若令Ｂ＝ＡＰ＝（１３－，ｐ　Ｌ，ｐｎ）　则ＢｌｌＢ＝（ＰＡ）Ｔ（ＡＰ）＝Ｐｒ（ＡＴＡ）Ｐ＝　１　０　０。２　Ｌ　Ｌ　Ｏ　Ｏ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　Ｃ　从而，（　＝｛　’ｌ　ｉ，即（　阢Ｌ＇　是正交向量组。　３．２用初等列变换法求规范正交基的方法　设　，，　：，Ｌ，ａｌ】）是Ｒｏ的～组基，由定理３．１．３，可得用初等列变换法　求规范正交基的方法如下：　１）求积ＡｌｒＡ　２）作ｚｎ×ｎ矩阵（　）　３）对矩阵（　）施行消法初等列变换，把ＡＴＡ化为下三角矩阵，　同时把Ａ化为Ｂ．ＩＫ：Ａ—ＴＡ）￣（‘ＡｒＡＰ）Ｐ）　。１　０　Ｃ２　Ｌ　Ｌ　ＡＰ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　Ｃ　４）记Ｂ＝ＡＰ＝（１３。，ｐ　，Ｌ，　ｌ１），令∈＿＿——Ｉ＿＝－ｐ。（ｉ＝ｌ，２，Ｌ，ｎ），贝Ⅱ∈－，∈　，Ｌ，∈　是规　Ｖ　Ｃ，　范正交基。　该初等变换求规范正交基的方法比传统的施密特（ｓｃｈｍｉｄｔ）正交　化方法简化了运算，易记易用。ｅ　【参考文献】　ｆ１１北京大学数学系＿高等代数（第三版）．北京：高等教育出版社．２００３．　［２］张恭庆，林源渠，泛函分析讲义［Ｍ］．北京：北京大学出版社．１９９９．　ｒ３１张小红．高等代数专题研究选编［ＣＪ．西安：陕酉科学技术出版社．Ｉ９９２．　［４］熊廷煌．高等代数简明教程［Ｍ］．武汉：湖北教育出版社．１９８７．　［５］王文省，姚忠平．初等变换的思想方法及在高等代数中的应用［Ｊ］．聊城师范　学报（自然科学版）２００３．　［责任编辑：韩铭］

§3.1 矩阵的初等变换

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

1． 互换两行（记jirr）；

2． 以数)0(kk乘以某一行（记kri）；

3． 把某一行的k倍加到另一行上（记jikrr ）．

若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换．

定义2 若矩阵A经有限次初等行变换变成B，则称A 与B 行等价，记 ；若矩阵A经有限次初等列变换变成B ，则称A 与B 列等价，记 ； 若矩阵A经有限次初等变换变成B ，则称A与B等价，记BA~ ．

等价关系满足：

1． 反身性： AA~；

2． 对称性： ABBA~~；

3． 传递性：BA~,CACB~~．

例 用初等行变换解线性方程组：

解：

（称B是该线性方程组的增广矩阵）

,

，

）（100000310000111041211B 称为行阶梯形矩阵，特点：横线下方全是0；每阶只有一行，阶数即非零行行数；竖线后面第一个元素为非零元

)(200000310003011040101B称为行最简形矩阵，特点：在行阶梯形的基础上，每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列其余元素为0。

2B 对应的线性方程组为

取cx3，则

．

例1. 用初等行变换化矩阵131042213102A为行阶梯形.9150013104221 2．用初等行变换把矩阵41311221222832A化成行最简形.00003232102301

对nm矩阵A，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成形式

，

（称之为标准形）．该标准形由 m、n、r 完全确定，特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.