《概率论与数理统计》第四章考点手册

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为2()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。

《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。

2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。

3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。

DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。

6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。

试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。

(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。

第四章　随机变量的数字特征1．（１）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布律并求E（X）．“T H E GIRL P U T ON H ER BEA U T IF U L RED H A T”．（２）在上述句子的３０个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E（Y）．（３）一人掷骰子，如得６点则掷第２次，此时得分为６＋第二次得到的点数；否则得分为他第一次掷得的点数，且不能再掷，求得分X的分布律及E（X）．解（１）随机试验属等可能概型．所给句子共８个单词，其中含２个字母，含４个字母，含９个字母的各有一个单词，另有５个单词含３个字母，所以X的分布律为X２３４９p k１８５８１８１８数学期望E（X）＝２×１８＋３×５８＋４×１８＋９×１８＝１５４．（２）随机试验属等可能概型，Y的可能值也是２，３，４，９．样本空间S由各个字母组成，共有３０个样本点，其中样本点属于Y＝２的有２个，属于Y＝３的有１５个，属于Y＝４的有４个，属于Y＝９的有９个，所以Y的分布律为Y２３４９p k２３０１５３０４３０９３０数学期望　E（Y）＝２×２３０＋３×１５３０＋４×４３０＋９×９３０＝７３１５．（３）分布律为X１２３４５７８９１０１１１２p k１６１６１６１６１６１３６１３６１３６１３６１３６１３６E（X）＝１×１６＋２×１６＋３×１６＋４×１６＋５×１６＋７×１３６＋８×１３６＋９×１３６　＋１０×１３６＋１１×１３６＋１２×１３６＝４９１２．2．某产品的次品率为０畅１，检验员每天检验４次．每次随机地取１０件产品进行检验，如发现其中的次品数多于１，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）．（设诸产品是否为次品是相互独立的．）解先求检验一次，决定需要调整设备的概率．设抽检出次品件数为Y，则Y～b（１０，０畅１）．记需调整设备一次的概率为p，则p＝P｛Y＞１｝＝１－P｛Y＝０｝－P｛Y＝１｝＝１－０畅９１０－１０１·０畅９９·０畅１＝０畅２６３９．又因各次检验结果相互独立，故X～b（４，０畅２６３９）．X的分布律为X０１２３４p k（１－p）４４p（１－p）３６p２（１－p）２４p３（１－p）p４于是E（X）＝１×４p（１－p）３＋２×６p２（１－p）２＋３×４p３（１－p）＋４×p４＝４p＝４×０畅２６３９＝１畅０５５６．以后将会知道若X～b（n，p），则E（X）＝n p．3．有３只球，４个盒子，盒子的编号为１，２，３，４．将球逐个独立地，随机地放入４个盒子中去．以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝３表示第１号，第２号盒子是空的，第３个盒子至少有一只球），试求E（X）．解法（i）　由于每只球都有４种放法，由乘法原理共有４３＝６４种放法．其中３只球都放在４号盒中的放置法仅有１种，从而P｛X＝４｝＝１６４．又｛X＝３｝表示事件“１，２号盒子都是空的，而３号盒子不空”．因１，２号盒子都空，球只能放置在３，４号两个盒子中，共有２３种放置法，但其中有一种是３只球都放在４号盒子中，即３号盒子是空的，这不符合X＝３的要求需除去，故有P｛X＝３｝＝２３－１６４＝７６４．88概率论与数理统计习题全解指南同理可得P ｛X ＝２｝＝３３－２３６４＝１９６４，P ｛X ＝１｝＝４３－３３６４＝３７６４．因此E （X ）＝钞４k ＝１kP ｛X ＝k ｝＝２５１６．注：P ｛X ＝１｝也可由１－（P ｛X ＝４｝＋P ｛X ＝３｝＋P ｛X ＝２｝）求得．解法（ii ）　以A i （i ＝１，２，３，４）记事件“第i 个盒子是空盒”．｛X ＝１｝表示事件“第一个盒子中至少有一只球”，因此｛X ＝１｝＝A —１，故P ｛X ＝１｝＝P （A —１）＝１－P （A １）＝１－３４３＝３７６４．（因第一个盒子为空盒，３只球的每一只都只有３个盒子可以放，故P （A １）＝（３／４）３．）｛X ＝２｝表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球”，因此｛X ＝２｝＝A １A —２．故P ｛X ＝２｝＝P （A １A —２）＝P （A —２A １）P （A １）＝（１－P （A ２A １））P （A １）＝１－２３３３４３＝１９６４．（因在第一个盒子是空盒的条件下，第二个盒子也是空盒，则３只球都只有２个盒子可以放，故P （A ２A１）＝２３３．）类似地，P ｛X ＝３｝＝P （A １A ２A —３）＝P （A —３A １A ２）P （A ２A １）P （A １）＝１－１２３２３３３４３＝７６４，P ｛X ＝４｝＝１－３７６４－１９６４－７６４＝１６４，因此，E （X ）＝钞４k ＝１kP ｛X ＝k ｝＝２５１６．解法（iii ）　将球编号．以X １，X ２，X ３分别记１号，２号，３号球所落入的盒子的号码数．则X １，X ２，X ３都是随机变量，记X ＝min ｛X １，X ２，X ３｝，按题意，本题需要求的是98第四章　随机变量的数字特征E（X）＝E［min｛X１，X２，X３｝］．因X１，X２，X３具有相同的分布律X j１２３４p k１４１４１４１４因而X１，X２，X３具有相同的分布函数F（z）＝０，z＜１，１４，１≤z＜２，２４，２≤z＜３，３４，３≤z＜４，１，z≥４．于是X＝min｛X１，X２，X３｝的分布函数为：F min（z）＝１－［１－F（z）］３＝１－（１－０）３＝０，z＜１，１－１－１４３＝３７６４，１≤z＜２，１－１－２４３＝５６６４，２≤z＜３，１－１－３４３＝６３６４，３≤z＜４，１－（１－１）３＝１，z≥４．X＝min｛X１，X２，X３｝的分布律为X１２３４p k３７６４１９６４７６４１６４得E（X）＝２５１６．4．（１）设随机变量X的分布律为P X＝（－１）j＋１３j j＝２３j，j＝１，２，…，说明X的数学期望不存在．（２）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再09概率论与数理统计习题全解指南从盒中随机地摸一只球．试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在．解（１）因级数钞∞j＝１（－１）j＋１３j j P X＝（－１）j＋１３j j＝钞∞j＝１（－１）j＋１３j j·２３j＝２钞∞j＝１（－１）j＋１j不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在．（２）以A k记事件“第k次摸球摸到黑球”，以A k记事件“第k次摸球摸到白球”，以C k表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k＝１，２，…．按题意C k＝A１A２…A k－１A　—k，P（C k）＝P（A　—k|A１A２…A k－１）P（A k－１|A１A２…A k－２）…P（A２|A１）P（A１）．P｛X＝１｝＝P（A　—１）＝１２，P｛X＝２｝＝P（A１A　—２）＝P（A　—２|A１）P（A１）＝１３·１２，P｛X＝３｝＝P（A１A２A　—３）＝P（A　—３|A１A２）P（A２|A１）P（A１）＝１４·２３·１２＝１４·１３，X＝k时，盒中共k＋１只球，其中只有一只是白球，故P｛X＝k｝＝P（A１…A k－１A　—k）＝P（A　—k　A１A２…A k－１）P（A k－１A１A２…A k－２）…P（A２A１）P（A１）＝１k＋１·k－１k·k－２k－１·…·２３·１２＝１k＋１·１k．若E（X）存在，则它应等于钞∞k＝１kP｛X＝k｝．但钞∞k＝１kP｛X＝k｝＝钞∞k＝１k·１k＋１·１k＝钞∞k＝１１k＋１＝∞，故X的数学期望不存在．5．设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min 计）是一个随机变量，其概率密度为f（x）＝１１５００２x，０≤x≤１５００，－１１５００２（x－３０００），１５００＜x≤３０００，０，其他．19第四章　随机变量的数字特征求E （X ）．解按连续型随机变量的数学期望的定义，有E （X ）＝∫∞－∞x f （x ）d x ＝∫０－∞x f （x ）d x ＋∫１５０００x f （x ）d x　＋∫３０００１５００x f （x ）d x ＋∫∞３０００x f （x ）d x＝∫０－∞x ·０d x ＋∫１５０００x ·x１５００２d x ＋∫３０００１５００x ·－（x －３０００）１５００２d x ＋∫∞３０００x ·０d x＝１１５００２x ３３１５０００＋１１５００２３０００×x ２２－x３３３０００１５００＝１５００（min ）．6．（１）设随机变量X 的分布律为X －２０２p k０畅４０畅３０畅３求E （X ），E （X ２），E （３X ２＋５）．（２）设X ～π（λ），求E １X ＋１．解（１）X 的分布律为X －２０２p k０畅４０畅３０畅３E （X ）＝（－２）×０畅４＋０×０畅３＋２×０畅３＝－０畅２．由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E （X ２）＝（－２）２×０畅４＋０２×０畅３＋２２×０畅３＝２畅８，E （３X ２＋５）＝［３（－２）２＋５］×０畅４＋［３（０）２＋５］×０畅３＋［３（２２）＋５］×０畅３＝１３畅４．如利用数学期望的性质，则有E （３X ２＋５）＝３E （X ２）＋５＝３×２畅８＋５＝１３畅４．（２）因X ～π（λ），故P ｛X ＝k ｝＝λke －λk ！．29概率论与数理统计习题全解指南E１X＋１＝钞∞k＝０１k＋１P｛X＝k｝＝钞∞k＝０１k＋１λk e－λk！＝钞∞k＝０λk e－λ（k＋１）！＝e－λλ钞∞k＝０λk＋１（k＋１）！＝e－λλ钞∞j＝１λjj！＝e－λλ钞∞j＝０λjj！－１＝e－λλ（eλ－１）＝１λ（１－e－λ）．7．（１）设随机变量X的概率密度为f（x）＝e－x，x＞０，０，x≤０．求（i）Y＝２X；（ii）Y＝e－２X的数学期望．（２）设随机变量X１，X２，…，X n相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布（i）求U＝max｛X１，X２，…，X n｝的数学期望，（ii）求V＝min｛X１，X２，…，X n｝的数学期望．解（１）由关于随机变量函数的数学期望的定理，知（i）E（Y）＝E（２X）＝∫∞－∞２x f（x）d x＝２∫０－∞x·０d x＋∫∞０x e－x d x＝２－x e－x∞０＋∫∞０e－x d x＝－２e－x∞０＝２；（ii）E（Y）＝E（e－２X）＝∫∞０e－２x·e－x d x＝∫∞０e－３x d x＝－１３e－３x∞０＝１３．（２）因X i～U（０，１），i＝１，２，…，n，X i的分布函数为F（x）＝０，　x＜０，x，　０≤x＜１，１，　x≥１．因X１，X２，…，X n相互独立，故U＝max｛X１，X２，…，X n｝的分布函数为F U（u）＝０，　u＜０，u n，　０≤u＜１，１，　u≥１．U的概率密度为f U（u）＝nun－１， ０＜u＜１，０， 其他．E（U）＝∫∞－∞u f U（u）d u＝∫１０u·nu n－１d u＝n∫１０u n d u＝n n＋１．39第四章　随机变量的数字特征V ＝min ｛X １，X ２，…，X n ｝的分布函数为F V （v ）＝０， v ＜０，１－（１－v ）n，　０≤v ＜１，１， v ≥１．V 的概率密度为f V （v ）＝n （１－v ）n －１， ０＜v ＜１，０， 其他．E （V ）＝∫∞－∞v f V （v ）d v ＝∫１０vn （１－v ）n －１d v＝－v （１－v ）n１０＋∫１０（１－v ）nd v＝－（１－v ）n ＋１n ＋１１０＝１n ＋１．8．设随机变量（X ，Y ）的分布律为X Y １２３－１０畅２０畅１０畅０００畅１０畅００畅３１０畅１０畅１０畅１（１）求E （X ），E （Y ）．（２）设Z ＝Y X，求E （Z ）．（３）设Z ＝（X －Y ）２，求E （Z ）．解由关于随机变量函数的数学期望E ［g （X ，Y ）］的定理，得（１）E （X ）＝钞３i ＝１钞３j ＝１x i p i j＝１·（０畅２＋０畅１＋０畅１）＋２·（０畅１＋０＋０畅１）＋３·（０＋０畅３＋０畅１）＝２． E （Y ）＝钞３j ＝１钞３i ＝１y j p i j＝（－１）·（０畅２＋０畅１＋０）＋０·（０畅１＋０＋０畅３）＋１·（０畅１＋０畅１＋０畅１）＝０．（２）E （Z ）＝EYX＝－１１P ｛X ＝１，Y ＝－１｝＋－１２P ｛X ＝２，Y＝－１｝　＋－１３P ｛X ＝３，Y ＝－１｝49概率论与数理统计习题全解指南　＋０１P ｛X ＝１，Y ＝０｝＋０２P ｛X ＝２，Y ＝０｝　＋０３P ｛X ＝３，Y ＝０｝＋１１P ｛X ＝１，Y ＝１｝　＋１２P ｛X ＝２，Y ＝１｝＋１３P ｛X ＝３，Y ＝１｝＝－０畅２－０畅０５＋０畅１＋０畅０５＋０畅１３＝－１１５．（３）E （Z ）＝E ［（X －Y ）２］＝钞３j ＝１钞３i ＝１（x i －y j ）２p i j＝２２×０畅２＋３２×０畅１＋４２×０＋１２×０畅１＋２２×０　＋３２×０畅３＋０２×０畅１＋１２×０畅１＋２２×０畅１＝５．注：（i ）可先求出边缘分布律，然后求出E （X ），E （Y ）．（ii ）在（３）中可先算出Z ＝（X －Y ）２的分布律Z ０１４９p k０畅１０畅２０畅３０畅４然后求得E （Z ）＝钞４k ＝１z k p k ＝５．题４畅９图9．（１）设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）＝１２y ２，０≤y ≤x ≤１，０，其他．求E （X ），E （Y ），E （XY ），E （X ２＋Y ２）．（２）设随机变量X ，Y 的联合密度为f （x ，y ）＝１ye －（y ＋x ／y ），　x ＞０，y ＞０，０， 其他，求E （X ），E （Y ），E （XY ）．解（１）各数学期望均可按照E ［g （X ，Y ）］＝∫∞－∞∫∞－∞g （x ，y ）f （x ，y ）d x d y 计算．因f （x ，y ）仅在有限区域G ：｛（x ，y ）　０≤y ≤x ≤１｝内不为零，故各数学期望均化为G （如题４畅９图）上相应积分的计算．E （X ）＝∫∞－∞∫∞－∞x f （x ，y ）d x d y ＝∫∫Gx ·１２y ２d x d y＝∫１０d x ∫x０１２x y ２d y ＝４５．59第四章　随机变量的数字特征E（Y）＝∫∫G y·１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２y３d y＝３５．E（XY）＝∫∫G x y·１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２x y３d y＝１２．E（X２＋Y２）＝∫∫G（x２＋y２）１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２（x２y２＋y４）d y＝１６１５．（２）E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝∫∞０∫∞０x y e－（y＋x y）d x d y＝－∫∞０e－y∫∞０x e－x／y d（－x y）d y＝－∫∞０e－y x e－x／y∞０－∫∞０e－x／y d x d y＝∫∞０e－y y d y＝１．E（Y）＝∫∞０∫∞０e－（y＋x／y）d x d y＝∫∞０e－y∫∞０e－x／y d x d y＝∫∞０e－y［－y e－x／y］∞０d y＝∫∞０e－y y d y＝１．E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝∫∞０∫∞０x e－（y＋x／y）d x d y＝∫∞０e－y［∫∞０x e－x／y d x］d y．而 ∫∞０x e－x／y d x＝－y∫∞０x e－x／y d（－x y）＝y２，故 E（XY）＝∫∞０y２e－y d y＝Γ（３）①＝２．10．（１）设随机变量X～N（０，１），Y～N（０，１）且X，Y相互独立．求E X２X２＋Y２．（２）一飞机进行空投物资作业，设目标点为原点O（０，０），物资着陆点为（X，Y），X，Y相互独立，且设X～N（０，σ２），Y～N（０，σ２），求原点到点（X，Y）间距离的数学期望．解（１）由对称性知E X２X２＋Y２＝EY２X２＋Y２．69概率论与数理统计习题全解指南①Γ函数：Γ（α）＝∫∞０xα－１e－x d x，α＞０，它具有性质：Γ（α＋１）＝αΓ（α），α＞０，Γ（１）＝１，Γ（１２）＝π，Γ（n＋１）＝nΓ（n）＝n！（n为正整数）．而EX２X２＋Y２＋EY２X２＋Y２＝E（１）＝１，故EX２X２＋Y２＝１２．（２）记原点到点（X，Y）的距离为R，R＝X２＋Y２，由题设（X，Y）的密度函数为f（x，y）＝１２πσe－x２／（２σ２）·１２πσe－y２／（２σ２）＝１２πσ２e－x２＋y２２σ２，　－∞＜x＜∞，　－∞＜y＜∞．E（R）＝E（X２＋Y２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２＋y２１２πσ２e－（x２＋y２）／（２σ２）d x d y．采用极坐标E（R）＝∫２π０dθ∫∞０r２πσ２e－r２／（２σ２）r d r＝２π∫∞０１２πσ２r２e－r２／（２σ２）d r＝１σ２∫∞０r２e－r２／（２σ２）d r＝－∫∞０r d（e－r２／（２σ２））＝－r e－r２／（２σ２）∞０＋∫∞０e－r２／（２σ２）d r＝１２∫∞－∞e－r２／（２σ２）d r＝１２１２πσ∫∞－∞e－r２／（２σ２）d r２πσ＝１２×１×２πσ＝σπ２．11．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）＝１４e－x／４，x＞０，０，　x≤０．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利１００元，调换一台设备厂方需花费３００元．试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．解一台设备在一年内调换的概率为p＝P｛X＜１｝＝∫１０１４e－x／４d x＝－e－x／４１０＝１－e－１／４．以Y记工厂售出一台设备的净赢利值，则Y具有分布律Y１００１００－３００p k e－１／４１－e－１／４故有E（Y）＝１００×e－１／４－２００（１－e－１／４）＝３００e－１／４－２００＝３３畅６４（元）．12．某车间生产的圆盘直径在区间（a，b）服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．解设圆盘直径为X，按题设X具有概率密度f X（x）＝１b－a，a＜x＜b，０，其他，故圆盘面积A＝１４πX２的数学期望为E１４πX２＝∫b a１４πx２１b－a d x＝π１２（b－a）x３ba＝π１２（b２＋ab＋a２）．13．设电压（以V计）X～N（０，９）．将电压施加于一检波器，其输出电压为Y＝５X２，求输出电压Y的均值．解由X～N（０，９），即有E（X）＝０，D（X）＝９．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５｛D（X）＋［E（X）］２｝＝５（９＋０）＝４５（V）．另法　X的概率密度为f X（x）＝１３２πe－x２／１８，　－∞＜x＜∞．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５∫∞－∞x２３２πe－x２／１８d x＝５×９３２π－x e－x２／１８∞－∞＋∫∞－∞e－x２／１８d x＝４５３２π∫∞－∞e－x２／１８d x＝４５∫∞－∞f X（x）d x＝４５×１＝４５（V）．14．设随机变量X１，X２的概率密度分别为f１（x）＝２e－２x，x＞０，０，x≤０，　f２（x）＝４e－４x，x＞０，０，x≤０．（１）求E（X１＋X２），E（２X１－３X２２）．（２）又设X１，X２相互独立，求E（X１X２）．解若X服从以θ为参数的指数分布，其概率密度为f（x）＝１θe－x／θ，x＞０，０，其他，则E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０x１θe－x／θd x，令u＝xθ，得到　E（X）＝θ∫∞０u e－u d u＝θΓ（２）＝θΓ（１）＝θ，E（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２１θe－x／θd x＝θ２∫∞０u２e－u d u＝θ２Γ（３）　（其中u＝xθ）＝θ２·２Γ（２）＝θ２·２Γ（１）＝２θ２，故E（X１）＝１２，E（X２）＝１４，E（X２２）＝２（１４）２＝１８，于是（１）由数学期望的性质，有E（X１＋X２）＝E（X１）＋E（X２）＝３４，E（２X１－３X２２）＝２E（X１）－３E（X２２）＝５８．（２）因X１，X２相互独立，由数学期望的性质，有E（X１X２）＝E（X１）E（X２）＝１２×１４＝１８．15．将n只球（１～n号）随机地放进n个盒子（１～n号）中去，一个盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对．记X为总的配对数，求E（X）．解引入随机变量X i＝１，　若第i号球装入第i号盒子中，０，　若第i号球未装入第i号盒子中，i＝１，２，…，n，则总的配对数X可表示成X＝X１＋X２＋…＋X n．显然P｛X i＝１｝＝１n，　i＝１，２，…，n．X i的分布律为X i０１p k１－１n１n即有E（X i）＝１n，i＝１，２，…，n，于是E （X ）＝E （X １＋X ２＋…＋X n ）＝E （X １）＋E （X ２）＋…＋E （X n ）＝１．16．若有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁．设取到每只钥匙是等可能的．若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X 的数学期望．（１）写出X 的分布律．（２）不写出X 的分布律．解（１）以A k （k ＝１，２，…，n ）表示事件“第k 次试开是成功的”．｛X ＝k ｝表示前k －１次所取的钥匙均未能打开门，而第k 次所取的钥匙能将门打开．即有P ｛X ＝k ｝＝P （A —１A —２…A —k －１A k ）＝P （A —１A —２…A —k －１）P （A k A —１A —２…A —k －１）＝P （A —１A —２…A —k －２）P （A —k －１A —１A —２…A —k －２）P （A k A —１A —２…A —k －１）＝…＝P （A —１）P （A —２A —１）P （A —３A —１A —２）…P （A k A —１A —２…A —k －１）＝n －１n ·n －２n －１·…·n －k ＋１n －k ＋２·１n －k ＋１＝１n，X 的分布律为P ｛X ＝k ｝＝１n，　k ＝１，２，…，n ，故E （X ）＝钞nk ＝１kP ｛X ＝k ｝＝钞nk ＝１k ·１n ＝１n钞nk ＝１k＝１n ·n （n ＋１）２＝n ＋１２．（２）引入随机变量X k 如下：X １＝１，X k ＝１，　前k －１次试开均未成功，０，　前k －１次中有一次试开成功，k ＝２，３，…，n ，则X ＝X １＋X ２＋…＋X n ．沿用（１）中的记号，则有E （X １）＝１，E （X k ）＝１×P ｛X k ＝１｝＝１×P （A —１A —２…A —k －１）＝P （A —１）P （A　—２A —１）…P （A　—k －１A —１A —２…A —k －２）＝n －１n ·n －２n －１·…·n －（k －１）n －（k －２）＝n －k ＋１n， k＝２，３，…，n．故有E（X）＝１＋钞nk＝２E（X k）＝１＋钞nk＝２n－k＋１n＝n＋１２．17．设X为随机变量，C是常数，证明D（X）＜E［（X－C）２］，对于C≠E（X）．（由于D（X）＝E［［X－E（X）］２］，上式表明E［（X－C）２］当C＝E（X）时取到最小值．）证　E［（X－C）２］＝E（X２－２CX＋C２）＝E（X２）－２CE（X）＋C２＝E（X２）－［E（X）］２＋｛［E（X）］２－２CE（X）＋C２｝＝D（X）＋（E（X）－C）２≥D（X）．等号仅当C＝E（X）时成立．18．设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f（x）＝xσ２e－x２（２σ２），x＞０，０，x≤０，其中σ＞０是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０x xσ２e－x２（２σ２）d x．令u＝x２（２σ２），得到E（X）＝２σ∫∞０u１／２e－u d u＝２σΓ（３２）＝２σ１２Γ（１２）①＝π２σ．E（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２xσ２e－x２（２σ２）d x．令u＝x２（２σ２），得到E（X２）＝２σ２∫∞０u e－u d u＝２σ２Γ（２）＝２σ２，故D（X）＝E（X２）－（E（X））２＝２σ２－π２σ２＝４－π２σ２．19．设随机变量X服从Γ分布，其概率密度为f（x）＝１βαΓ（α）xα－１e－x／β，x＞０，０，x≤０，①参见９６页注．其中α＞０，β＞０是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０xβαΓ（α）xα－１e－x／βd x令u＝xββΓ（α）∫∞０uαe－u d u＝βΓ（α）Γ（α＋１）＝βΓ（α）αΓ（α）＝αβ． Ε（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２βαΓ（α）xα－１e－x／βd x令u＝x／ββ２Γ（α）∫∞０uα＋１e－u d u＝β２Γ（α）Γ（α＋２）＝β２Γ（α）（α＋１）αΓ（α）＝α（α＋１）β２． D（X）＝α（α＋１）β２－（αβ）２＝αβ２．20．设随机变量X服从几何分布，其分布律为P｛X＝k｝＝p（１－p）k－１，　k＝１，２，…，其中０＜p＜１是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝钞∞n＝１nP｛X＝n｝＝钞∞n＝１n p（１－p）n－１＝p钞∞n＝１n（１－p）n－１＝p１［１－（１－p）］２＝１p．这是因为１１－x＝１＋x＋x２＋…＋xk＋…，　x＜１，两边对x求导，就有１（１－x）２＝１＋２x＋３x２＋…＋kxk－１＋…，x＜１．（A）又E［X（X＋１）］＝钞∞n＝１n（n＋１）P｛X＝n｝＝p钞＋∞n＝１n（n＋１）（１－p）n－１．将上述（A）式两边关于x求导，就有２（１－x）３＝１·２＋２·３x＋…＋（k－１）·kxk－２＋…， x＜１，由此知E［X（X＋１）］＝p２［１－（１－p）］３＝２p２故D（X）＝E（X２）－［E（X）］２＝E［X（X＋１）－X］－［E（X）］２＝E ［X （X ＋１）］－E （X ）－［E （X ）］２＝２p ２－１p －１p ２＝１－pp２．21．设长方形的长（以m 计）X ～U （０，２），已知长方形的周长（以m 计）为２０．求长方形面积A 的数学期望和方差．解长方形的长为X ，周长为２０，所以它的面积A 为A ＝X （１０－X ）．现在X ～U （０，２），X 的概率密度为f X （x ）＝１２，０＜x ＜２，０，其他，所以E （A ）＝E ［X （１０－X ）］＝∫２０x （１０－x ）·１２d x ＝５２x ２－１６x ３２０＝２６３＝８畅６７，E （A ２）＝E ［X ２（１０－X ）２］＝∫２０x ２（１０－x ）２·１２d x ＝１２∫２０（１００x ２－２０x ３＋x ４）d x ＝１４４８１５＝９６畅５３，D （A ）＝E （A ２）－［E （A ）］２＝１４４８１５－２６３２＝２１畅４２．22．（１）设随机变量X １，X ２，X ３，X ４相互独立，且有E （X i ）＝i ，D （X i ）＝５－i ，i ＝１，２，３，４．设Y ＝２X １－X ２＋３X ３－１２X ４．求E （Y ），D （Y ）．（２）设随机变量X ，Y 相互独立，且X ～N （７２０，３０２），Y ～N （６４０，２５２），求Z １＝２X ＋Y ，Z ２＝X －Y 的分布，并求概率P ｛X ＞Y ｝，P ｛X ＋Y ＞１４００｝．解（１）E （Y ）＝E ２X １－X ２＋３X ３－１２X ４＝２E （X １）－E （X ２）＋３E （X ３）－１２E （X ４）＝２×１－２＋３×３－１２×４＝７．因X １，X ２，X ３，X ４相互独立，故有D （Y ）＝D ２X １－X ２＋３X ３－１２X ４＝４D （X １）＋D （X ２）＋９D （X ３）＋１４D （X ４）＝４×４＋３＋９×２＋１４×１＝３７畅２５．（２）因X，Y相互独立，且X～N（７２０，３０２），Y～N（６４０，２５２），故Z１＝２X＋Y，Z２＝X－Y均服从正态分布，且E（Z１）＝E（２X＋Y）＝２E（X）＋E（Y）＝２×７２０＋６４０＝２０８０，D（Z１）＝D（２X＋Y）＝４D（X）＋D（Y）＝４×３０２＋２５２＝４２２５，E（Z２）＝E（X－Y）＝E（X）－E（Y）＝７２０－６４０＝８０，D（Z２）＝D（X－Y）＝D（X）＋D（Y）＝３０２＋２５２＝１５２５，故有Z１～N（２０８０，４２２５），　Z２～N（８０，１５２５）．P｛X＞Y｝＝P｛X－Y＞０｝＝P｛Z２＞０｝＝１－P｛Z２≤０｝＝１－Φ０－８０１５２５＝Φ（２畅０４８６）＝０畅９７９８．又X＋Y～N（E（X）＋E（Y），D（X）＋D（Y）），即X＋Y～N（１３６０，１５２５）．故P｛X＋Y＞１４００｝＝１－P｛X＋Y≤１４００｝＝１－Φ１４００－１３６０１５２５＝１－Φ（１畅０２）＝１－０畅８４６１＝０畅１５３９．23．五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X１，X２，X３，X４，X５．已知X１～N（２００，２２５），X２～N（２４０，２４０），X３～N（１８０，２２５），X４～N（２６０，２６５），X５～N（３２０，２７０），X１，X２，X３，X４，X５相互独立．（１）求五家商店两周的总销售量的均值和方差．（２）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于０．９９，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？解以Y记五家商店该种产品的总销售量，即Y＝X１＋X２＋X３＋X４＋X５．（１）按题设X i（i＝１，２，３，４，５）相互独立且均服从正态分布，即有E（Y）＝钞５i＝１E（X i）＝２００＋２４０＋１８０＋２６０＋３２０＝１２００，D （Y ）＝钞５i ＝１D （Y i ）＝２２５＋２４０＋２２５＋２６５＋２７０＝１２２５．（２）设仓库应至少储存n kg 该产品，才能使该产品不脱销的概率大于０畅９９，按题意，n 应满足条件P ｛Y ≤n ｝＞０畅９９．由于Y ～N （１２００，３５２），故有P ｛Y ≤n ｝＝PY －１２００３５≤n －１２００３５＝Φn －１２００３５，因而上述不等式即为Φn －１２００３５＞０畅９９＝Φ（２畅３３），从而n －１２００３５＞２畅３３，故应有n ＞１２００＋２畅３３×３５＝１２８１畅５５，即需取n ＝１２８２kg 畅24．卡车装运水泥，设每袋水泥重量X （以kg 计）服从N （５０，２．５２），问至多装多少袋水泥使总重量超过２０００的概率不大于０畅０５．解设至多能装运n 袋水泥，各袋水泥的重量分别为X １，X ２，…，X n ，则X i ～N （５０，２畅５２），　i ＝１，２，…，n ，故卡车所装运水泥的总重量为W ＝X １＋X ２＋…＋X n ．按题意n 需满足P ｛W ＞２０００｝≤０畅０５．对于像这样的实际问题，认为X １，X ２，…，X n 相互独立是适宜的，此时E （W ）＝５０n ，　D （W ）＝２畅５２n ，于是W ～N （５０n ，２畅５２n ）．从而P ｛W ＞２０００｝＝１－Φ２０００－５０n２畅５n，即n 应满足Φ２０００－５０n２畅５n ≥０畅９５＝Φ（１畅６４５）．故应有２０００－５０n２畅５n≥１畅６４５，解得n ≤６畅２８３６，从而n ≤３９畅４８３．故n 至多取３９，即该卡车至多能装运３９袋水泥，方能使超过２０００kg 的概率不大于０畅０５．（在这里我们指出，若设W ＝nX ，其中X ～N （５０，２畅５２）而去求出n ≈３７，那就犯错误了，为什么？）25．设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布．（１）求E （XY ），E （X ／Y ），E ［ln （XY ）］，E ［|Y －X |］．（２）以X ，Y 为边长作一长方形，以A ，C 分别表示长方形的面积和周长，求A 和C 的相关系数．解（１）X ，Y 的概率密度都是f （x ）＝１，　０＜x ＜１，０，　其他．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）＝１２×１２＝１４．E X Y不存在（因∫１０∫１０xyd x d y发散）．题４畅２５图E ［ln （XY ）］＝∫１０∫１０（ln x ＋ln y ）d x d y ＝２∫１０∫１０（ln x ）d x d y＝－２．E （|Y －X |）　＝簇D|y －x |d x d y （如题４畅２５图D ＝D １∪D ２）　＝２簇D １（y －x ）d x d y ＝２∫１０∫１x（y －x ）d y d x ＝１３．（２）A ＝XY ，C ＝２（X ＋Y ），Cov （A ，C ）＝E （AC ）－E （A ）E （C ）．AC ＝２X ２Y ＋２XY ２，E （X ２）＝E （Y ２）＝D （X ）＋（E （X ））２＝１１２＋１４＝１３．E （AC ）＝２E （X ２Y ）＋２E （XY ２）＝２E （X ２）E （Y ）＋２E （X ）E （Y ２）＝２×１３×１２＋２×１２×１３＝２３．Cov （A ，C ）＝E （AC ）－E （A ）E （C ）＝２３－［E （X ）E （Y ）×２（E （X ）＋E （Y ））］＝２３－１２×１２×２１２＋１２＝１６．D （A ）＝E （X ２Y ２）－［E （X ）E （Y ）］２＝E （X ２）E （Y ２）－（１２×１２）２＝（１３）２－（１４）２＝７１４４．D （C ）＝D （２X ＋２Y ）＝D （２X ）＋D （２Y ）＝４×１１２＋４×１１２＝２３．故 ρAC ＝Cov （A ，C ）D （A ）D （C ）＝１６／７１４４×２３＝６７．26．（１）设随机变量X １，X ２，X ３相互独立，且有X １～b ４，１２，X ２～b ６，１３，X ３～b ６，１３，求P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝，E （X １X ２X ３），E （X １－X ２），E （X １－２X ２）．（２）设X ，Y 是随机变量，且有E （X ）＝３，E （Y ）＝１，D （X ）＝４，D （Y ）＝９，令Z ＝５X －Y ＋１５，分别在下列３种情况下求E （Z ）和D （Z ）．（i ）X ，Y 相互独立，（ii ）X ，Y 不相关，（iii ）X 与Y 的相关系数为０．２５．解（１）P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝＝P ｛X １＝２｝P ｛X ２＝２｝P ｛X ３＝５｝．因P ｛X １＝２｝＝４２１２２１－１２４－２＝４２１２４，P ｛X ２＝２｝＝６２１３２１－１３６－２＝６２１３２２３４，P ｛X ３＝５｝＝６５１３５１－１３６－５＝６５１３５２３，故 P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝＝P ｛X １＝２｝·P ｛X ２＝２｝·P ｛X ３＝５｝＝０．００２０３E （X １X ２X ３）＝E （X １）E （X ２）E （X ３）＝（４×１２）（６×１３）（６×１３）＝８．E （X １－X ２）＝E （X １）－E （X ２）＝２－２＝０．E （X １－２X ２）＝E （X １）－２E （X ２）＝－２．（２）对于E （Z ），在（i ），（ii ），（iii ）三种情况下都有E （Z ）＝E （５X －Y ＋１５）＝５E （X ）－E （Y ）＋１５＝１５－１＋１５＝２９．对于D （Z ），（i ）X ，Y 独立，则D （５X －Y ＋１５）＝D （５X －Y ）＝D （５X ）＋D （－Y ）＝２５D （X ）＋D （Y ）＝２５×４＋９＝１０９．（ii）X，Y不相关，即Cov（X，Y）＝０，D（Z）＝１０９．（iii）ρX Y＝０畅２５，则Cov（X，Y）＝D（X）D（Y）ρX Y＝２×３×０畅２５＝１畅５，D（５X－Y＋１５）＝D（５X－Y）＝２５D（X）＋D（Y）－１０Cov（X，Y）＝１００＋９－１０×１畅５＝９４畅27．下列各对随机变量X和Y，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的．（１）X～U（０，１），Y＝X２．（２）X～U（－１，１），Y＝X２．（３）X＝cos V，Y＝sin V，V～U（０，２π）．若（X，Y）的概率密度为f（x，y），（４）f（x，y）＝x＋y　０＜x＜１，０＜y＜１，０， 其他．（５）f（x，y）＝２y，　０＜x＜１，０＜y＜１，０， 其他．解　（１）E（X）＝１２，E（Y）＝E（X２）＝∫１０x２d x＝１３，E（XY）＝E（X３）＝∫１０x３d x＝１４．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝１４－１２×１３≠０．故X，Y不相互独立，也不是不相关的．（２）E（X）＝０，E（Y）＝E（X２）＝∫１－１１２x２d x＝１３，E（XY）＝E（X３）＝∫１－１１２x３d x＝０．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝０－０＝０．故X，Y不相互独立，但不相关．（３）E（X）＝∫２π０１２πcos v d v＝０，E（Y）＝∫２π０１２πsin v d v＝０，E（XY）＝E（sin V cos V）＝１２E（sin２V）＝１２∫２π０１２πsin２v d v＝０，Cov（X，Y）＝E（XY）－E（Z）E（Y）＝０－０×０＝０，故X，Y不相互独立，但不相关．（４）f（x，y）＝x＋y，　０＜x＜１，　０＜y＜１，０， 其他．f X（x）＝∫１０（x＋y）d y＝x＋１２，　０＜x＜１，０， 其他，f Y（y）＝y＋１２，　０＜y＜１，０，其他．f（x，y）与f X（x）f Y（y）在平面上不几乎处处相等，X，Y不相互独立．E（X）＝∫１０x（x＋１２）d x＝７１２，　E（Y）＝７１２，E（XY）＝∫１０∫１０x y（x＋y）d x d y＝１３．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）≠０．故X，Y不是不相关的，因而一定也是不相互独立的．（５）f（x，y）＝２y，　０＜x＜１，　０＜y＜１，０， 其他，f X（x）＝１，　０＜x＜１，０，　其他， f Y（y）＝２y，　０＜y＜１，０， 其他．f（x，y）＝f X（x）f Y（y）对于任意x，y成立．故X，Y相互独立，因此X，Y也是不相关的．28．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝１π，x２＋y２≤１，０，其他．试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．证　E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１xπd x d y＝１π∫１－１d y∫１－y２－１－y２x d x＝０．同样　E（Y）＝∫∞－∞∫∞－∞y f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１yπd x d y＝０，而　E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１x yπd x d y＝１π∫１－１y d y∫１－y２－１－y２x d x＝０，从而E（XY）＝E（X）E（Y），这表明X，Y是不相关的．又f X（x）＝∫∞－∞f（x，y）d y＝∫１－x ２－１－x２１πd y＝２π１－x２，－１＜x＜１，０，其他．同样f Y（y）＝２π１－y２，－１＜y＜１，０，其他．显然f X（x）f Y（y）≠f（x，y），故X，Y不是相互独立的．29．设随机变量（X，Y）的分布律为XY －１０１－１１８１８１８０１８０１８１１８１８１８验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．证　先求出边缘分布律如下：X－１０１p k３８２８３８Y－１０１p k３８２８３８易见P｛X＝０，Y＝０｝＝０≠P｛X＝０｝P｛Y＝０｝，故X，Y不是相互独立的．又知X，Y具有相同的分布律，且有E（X）＝E（Y）＝（－１）×３８＋１×３８＝０．又　E（XY）＝钞３j＝１钞３i＝１x i y j p i j＝（－１）（－１）×１８＋（－１）×１×１８＋１×（－１）×１８＋１×１×１８＝０，即有E（XY）＝E（X）E（Y），故X，Y是不相关的．30．设A 和B 是试验E 的两个事件，且P （A ）＞０，P （B ）＞０，并定义随机变量X ，Y 如下：X ＝１，　若A 发生，０，　若A不发生，　Y ＝１，　若B 发生，０，　若B不发生．证明若ρX Y ＝０，则X 和Y 必定相互独立．解X ，Y 的分布律分别为X ０１p kP （A —）P （A ）Y ０１p kP （B —）P （B ）由X ，Y 的定义，XY 只能取０，１两个值，且P ｛XY ＝１｝＝P ｛X ＝１，Y ＝１｝＝P （AB ），于是得XY 的分布律为XY ０１p k１－P （AB ）P （AB ）即得　E （X ）＝P （A ），E （Y ）＝P （B ），E （XY ）＝P （AB ）．由假设ρX Y ＝０，得E （XY ）＝E （X ）E （Y ），即P （AB ）＝P （A ）P （B ），故知A 与B 相互独立．从而知A 与B —、A —与B 、A —与B —也相互独立，于是　P ｛X ＝１，Y ＝１｝＝P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝P ｛X ＝１｝P ｛Y ＝１｝，　P ｛X ＝１，Y ＝０｝＝P （AB —）＝P （A ）P （B —）＝P ｛X ＝１｝P ｛Y ＝０｝，　P ｛X ＝０，Y ＝１｝＝P （A —B ）＝P （A —）P （B ）＝P ｛X ＝０｝P ｛Y ＝１｝，　P ｛X ＝０，Y ＝０｝＝P （A —B —）＝P （A —）P （B —）＝P ｛X ＝０｝P ｛Y ＝０｝，故X ，Y 相互独立．题４畅３１图31．设随机变量（X ，Y ）具有概率密度f （x ，y ）＝１，y ＜x ，０＜x ＜１，０，其他．求E （X ），E （Y ），Cov （X ，Y ）．解注意到f （x ，y ）只在区域G ：｛（x ，y ）　y ＜x ，０＜x ＜１｝（题４畅３１图）上不等于零，故有E （X ）＝∫∞－∞∫∞－∞x f （x ，y ）d x d y ＝簇Gx d x d y＝∫１０d x ∫x－xx d y ＝∫１０２x ２d x ＝２３，E（Y）＝∫∞－∞∫∞－∞y f（x，y）d x d y＝簇G y d x d y＝∫１０d x∫x－x y d y＝０，E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝簇G x y d x d y＝∫１０d x∫x－x x y d y＝０，Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝０．32．设随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）＝１８（x＋y），０≤x≤２，０≤y≤２，０，其他．求E（X），E（Y），Cov（X，Y），ρX Y，D（X＋Y）．解注意到f（x，y）只在区域G：｛（x，y）　０＜x＜２，０＜y＜２｝上不等于零，故有E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x８（x＋y）d y＝∫２０x８（x y＋１２y２）２０d x＝∫２０x４（x＋１）d x＝７６，E（X２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x２８（x＋y）d y＝１８∫２０x２（x y＋１２y２）２０d x＝１４∫２０（x３＋x２）d x＝５３，E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x y８（x＋y）d y＝１４∫２０（x２＋４x３）d x＝４３．由x，y在f（x，y）的表达式中的对称性（即在表达式f（x，y）中将x和y互换，表达式不变），得知E（Y）＝E（X）＝７６，　E（Y２）＝E（X２）＝５３，且有D（Y）＝D（X）＝E（X２）－［E（X）］２＝５３－（７６）２＝１１３６．而　Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝４３－４９３６＝－１３６，ρX Y＝Cov（X，Y）D（X）D（Y）＝－１１１，D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＋２Cov（X，Y）＝５９．33．设随机变量X～N（μ，σ２），Y～N（μ，σ２），且设X，Y相互独立，试求Z１＝αX＋βY和Z２＝αX－βY的相关系数（其中α，β是不为零的常数）．解法（i）　Cov（Z１，Z２）＝Cov（αX＋βY，αX－βY）＝α２Cov（X，X）－αβCov（X，Y）＋αβCov（Y，X）－β２Cov（Y，Y）＝α２D（X）－β２D（Y）＝（α２－β２）σ２，而　D（Z１）＝D（αX＋βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＋２Cov（αX，βY）＝（α２＋β２）σ２，D（Z２）＝D（αX－βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）－２Cov（αX，βY）＝（α２＋β２）σ２，故ρZ１Z２＝（α２－β２）σ２D（Z１）D（Z２）＝α２－β２α２＋β２．解法（ii）　Cov（Z１，Z２）＝E（Z１Z２）－E（Z１）E（Z２）＝E（α２X２－β２Y２）－［αE（X）＋βE（Y）］［αE（X）－βE（Y）］＝α２E（X２）－β２E（Y２）－｛α２［E（X）］２－β２［E（Y）］２｝＝α２｛E（X２）－［E（X）］２｝－β２｛E（Y２）－［E（Y）］２｝＝α２D（X）－β２D（Y）＝（α２－β２）σ２．　D（Z１）＝D（αX＋βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＝（α２＋β２）σ２，　D（Z２）＝D（αX－βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＝（α２＋β２）σ２，故ρZ１Z２＝（α２－β２）σ２D（Z１）D（Z２）＝α２－β２α２＋β２．34．（１）设随机变量W＝（aX＋３Y）２，E（X）＝E（Y）＝０，D（X）＝４，D（Y）＝１６，ρXY＝－０畅５．求常数a使E（W）为最小，并求E（W）的最小值．（２）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且有D（X）＝σ２X，D（Y）＝σ２Y．证明当a２＝σ２Xσ２Y时，随机变量W＝X－aY与V＝X＋aY相互独立．解（１）E（W）＝E［（aX＋３Y）２］＝a２E（X２）＋６aE（XY）＋９E（Y２），E（X２）＝D（X）＋［E（X）］２＝４，E（Y２）＝D（Y）＋［E（Y）］２＝１６，E（XY）＝Cov（X，Y）＋E（X）E（Y）＝ρX YD（X）D（Y）＝－４，故E（W）＝４a２－２４a＋１４４＝４（a－３）２＋１０８，故当a＝３时E（W）取最小值，min｛E（W）｝＝１０８．（２）因为（X，Y）是二维正态变量，而W与V分别是X，Y的线性组合，故由n维正态随机变量的性质３°知（W，V）也是二维正态变量．现在a２＝σ２Xσ２Y，故知有Cov（W，V）＝Cov（X－aY，X＋aY）＝Cov（X，X）－a２Cov（Y，Y）＝σ２X－a２σ２Y＝０，即知W与V不相关．又因（W，V）是二维正态变量，故知W与V是相互独立的．35．设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X～N（０，３），Y～N（０，４），相关系数ρX Y＝－１４，试写出X和Y的联合概率密度．解因μ１＝μ２＝０，σ１＝３，σ２＝２，ρ＝－１４，故X和Y的联合概率密度为f（x，y）＝１４３π１－１１６exp－１２（１－１１６）x２３＋x y４３＋y２４＝１３５πexp－８１５x２３＋x y４３＋y２４．36．已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是７３００，均方差是７００．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在５２００～９４００之间的概率p．解以X表示每毫升含白细胞数，由题设E（X）＝μ＝７３００，　D（X）＝σ＝７００而概率p＝P｛５２００＜X＜９４００｝＝P｛－２１００＜X－７３００＜２１００｝＝P｛X－７３００＜２１００｝．在切比雪夫不等式P｛X－μ＜ε｝≥１－σ２ε２中，取ε＝２１００，此时１－σ２ε２＝１－７００２２１００２＝８９，即知p＝P｛X－７３００＜２１００｝≥８９．37．对于两个随机变量V，W，若E（V２），E（W２）存在，证明［E（V W）］２≤E（V２）E（W２）．（A）这一不等式称为柯西施瓦茨（Cauchy‐Sch warz）不等式．证若E（V２）＝０，则P｛V＝０｝＝１（因E（V２）＝D（V）＋（E（V））２＝０，得D（V）＝０且E（V）＝０，由方差性质４°即得P｛V＝０｝＝１）．由此P｛V W＝０｝＝１，因此，E（V W）＝０，此时不等式（A）得证．同样对于E（W２）＝０时，不等式（A）也成立．以下设E（V２）＞０，E（W２）＞０．考虑实变量t的函数：q（t）＝E［（V＋tW）２］＝E（V２）＋２tE（V W）＋t２E（W２）．因为对于任意t，E［（V＋tW）２］≥０，E（W２）＞０，故二次三项式q（t）的判别式：Δ＝４［E（V W）］２－４E（V２）E（W２）≤０，即有［E（V W）］２≤E（V２）E（W２）．38．中位数．对于任意随机变量X，满足以下两式P｛X≤x｝≥１２， P｛X≥x｝≤１２的x称为X的中位数，记为x１２或M．它是反映集中位置的一个数字特征．中位数总是存在，但可以不唯一．画出X的分布函数F（x）的图．如果F（x）连续，那么x１２是方程F（x）＝１２的解（如题４畅３８图（１）），如果F（x）有跳跃点（见题４畅３８图（２）），用垂直于横轴的线段联结后，得一连续曲线，它与直线y＝１２的交点的横坐标即为x１２．由于交点可以不唯一，故可以有许多x１２．题４畅３８图（１）设X的概率密度为f（x）＝２e－２x， x≥０，０， 其他．试求X的中位数M．（２）设X服从柯西分布，其概率密度为f（x）＝bπ［（x－a）２＋b２］，　b＞０．试求X的中位数M．解　设F（x）为分布函数．（１）M应满足F（M）＝１２．即 １２＝F（M）＝P｛X≤M｝＝∫M０２e－２x d x＝－e－２x M０＝１－e－２M，故 e－２M＝１２， e２M＝２，得 M＝１２ln２．此即为所求的中位数．（２）由 １２＝F（M）＝P｛X≤M｝＝∫M－∞bπ［（x－a）２＋b２］d x＝１πarctan x－a b M－∞＝１πarctan M－a b＋１２，得　M－a＝０，即知中位数M＝a．另外，易知X的概率密度函数f（x）的图形关于直线x＝a是对称的．即知P｛X≤a｝＝∫a－∞f（x）d x＝１２．故中位数为M＝a．。

第四章 随机变量的数字特征1． 单个随机变量的期望⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞+∞-为连续型为离散型X dx x xf X x X P x EX i i i ,)(),(例1 设 ，则41413410211=⨯+⨯+⨯-=EX20. 知识点：单个离散型随机变量的期望随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1，则x=( ) A .107 B .710C .0.3D .1 答案：A解： 71017.0)3.01(x 3.00)(===-⨯+⨯=x x X E ， 返回：第四章 随机变量的数字特征例2 设X 的分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x f ，则⎰⎰⎰∞+∞-=⋅==⋅==101013232322)2()(x dx x dx x x dx x xf EX2． 单个随机变量函数的期望设X 为随机变量，)(x g y =是普通函数，则()Y g X =是随机变量，且()(),()()(),()i i i g x p X x X Eg X g x f x dx X X f x +∞-∞⎧=⎪=⎨⎪⎩∑⎰当为离散型当为连续型，且具有密度 *例3 设X 的分布如例1，求3)(X X g =的期望解：42541341021)1(3333=⨯+⨯+⨯-=EX例4 设X 的分布密度)(x f 如例2，求X X g =)(的期望解：⎰⎰⎰=⋅==+∞∞-1102/322)()(dx x xdx x dx x f x X E 542312102/5=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=x当2)()(μ-=x x g （其中μ=EX ）时，DX X E X Eg =-=2)()(μ，即为X 的方差⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-=⎰∑∞+∞-dx x f x x X P x EX X E DX i i i )()()()()(22222μμμμ例5 设则 021121)1(=⨯+⨯-=EX ，021102110=⨯+⨯-=EY 121121)1()(22222=⨯+⨯-==-=EX EX EX DX10021)10(21)10(22=⨯+⨯-=DY （方差大者，取值分散）［注］：22)(EX EX DX -=是重要常用公式21．知识点：方差 设随机变量X 的分布律为则D （X ）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B 解：112)()()(14.023.012.001.0)1()(24.044.012.00)(22=-=-==⨯+⨯+⨯+⨯-==⨯+⨯+⨯=X E X E X D X E X E 返回：2. 单个随机变量函数的期望例5 设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x f ，求DX解：因)(x f 是分段函数，故求2,EX EX 时也要随之分段积分⎰⎰⎰+∞∞--=-++==0110)1()1()(dx x x dx x x dx x xf EX⎰⎰⎰+∞∞--=-++==011222261)1()1()(dx x x dx x x dx x f x EX 于是61)()(22=-=EX X E DX3．),(Y X 函数的期望设),(y x g Z =是普通函数，则),(Y X g Z =是随机变量，其数学期望EZ 等于⎪⎩⎪⎨⎧=====⎰⎰∑∑∑∑∞+∞-∞+∞-),(),(,),(),(),(,),(),(),(),(y x f Y X dxdy y x f y x g Y X P y x g y Y x X P y x g y x Eg EZ i jij j i i j i j i i 密度为连续型，且具有分布当为离散型当例6 设),(Y X 分布律为 ，XY Y X g Z ==),(则61611)11()11()01()10()00()(1111100100=⨯=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=P P P P P XY E22．知识点：期望设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为,则E(XY)= ( )Ａ. 0.6 Ｂ. 0.3 Ｃ.0.2 Ｄ.0.1 答案: A 解 ：E(XY)=0×0.6+1×0.2+2×0.2=0.6 返回：3．),(Y X 函数的期望例７ 设),(Y X 的分布密度⎩⎨⎧<≤≤≤=其他,00,10,2),(xy x y x f ，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x xyf XY E Y X Eg ),()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==⋅=10011002)2(2)(22xxxdx y x dx ydy x dxdy xy⎰===10143414x dx x当))((),(21μμ--=y x y x g 时，其中EY EX ==21,μμ，则[]))(()),((21μμ--=Y X E Y X g E 是X ，Y 的协方差，即))((),(21μμ--=Y X E Y X CovEY EX XY E ⋅-=)( （重点）当2121))((),(σσμμ--=y x y x g 时，其中222121,,,σσμμ====DY DX EY EX1212121212()()()()(,)(,)X Y E X Y Cov X Y Eg X Y E μμμμσσσσσσ⎛⎫----==== ⎪⎝⎭ρ *为X ，Y 的相关系数 期望)(⋅E 的重要性质 （1）c EC = （常数） （2）CEX CX E =)(（3）)()()(Y E X E Y X E +=+推广：c b E Y a E Xc bY aX E ++=++)( （4）若X ，Y 相互独立，则()E XY EX EY =⋅ 方差)(⋅D 的重要性质 （1）0)(=c DDX c X D =±)(，其中c 为常数（2）DX c cX D 2)(= 特别)()(X D X D -=（3）若X ，Y 相互独立，则DY DX Y X D +=+)( DY DX Y X D +=±)( DY b DX a bY aX D 22)(+=+（4）),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+例８ 设X ，Y 相互独立，且4,3==DY DX ，则7)(=+=-DY DX Y X D91)4(3)43(22=-+=-DY DX Y X D23．知识点：方差的性质及常用随机变量的方差设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D(X-3Y-4)=（ ） A ．-13 B ．15 C ．19 D ．23答案：C解：193231893)(9)()4()3()()43(=⨯⨯⨯+=+=-+-+=--Y D X D D Y D X D Y X D 返回：期望)(⋅E 的重要性质协方差),(⋅⋅Cov 的运算性质： （1）),(),(X Y Cov Y X Cov =（2）Y)abCov(X,bY)Cov(aX,=，其中a ，b 为常数 （3）Y),Cov(X Y),Cov(X Y),X Cov(X 2121+=+（4）若X ，Y 相互独立，则0Y)Cov(X,=，从而0=P ，即X 与Y 不相关［注］：一般地，若X ，Y 独立，则X ，Y 必不相关（即0Y)Cov(X,=）；反之不真，即X ，Y 不相关推不出X ，Y 独立。

概率论与数理统计总结之第四章第四章概率论与数理统计总结第四章是概率论与数理统计中的重要章节，主要介绍了概率分布以及随机变量的性质和应用。

本章内容相对较为复杂，需要掌握一定的数学基础知识，但是只要我们认真学习并进行实践，就能够掌握其中的核心概念和方法。

本章的重点内容包括：离散型随机变量及其概率分布、连续型随机变量及其概率密度函数、随机变量的函数分布、两个随机变量的联合分布、随机变量的独立性等。

首先，我们需要了解离散型随机变量及其概率分布。

离散型随机变量是一种取有限或可数个数值的随机变量，其概率分布可以通过概率分布列或概率质量函数进行描述。

常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布等。

我们需要掌握这些分布的定义、性质以及应用，能够计算其均值、方差以及分布函数等。

接着，我们学习了连续型随机变量及其概率密度函数。

连续型随机变量是一种取连续数值的随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数进行描述。

常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布等。

我们需要了解这些分布的定义、性质以及应用，能够计算其期望、方差以及分位数等。

随后，我们学习了随机变量的函数分布。

通过对随机变量进行函数变换，可以得到新的随机变量，其概率分布可以通过原始随机变量的概率分布进行推导。

我们需要了解函数分布的计算方法，能够根据随机变量的分布函数和概率密度函数计算新的随机变量的分布函数和概率密度函数。

然后，我们学习了两个随机变量的联合分布。

对于两个随机变量，我们可以通过联合分布来描述它们的联合概率分布。

对于离散型随机变量，我们可以通过联合分布列来描述；对于连续型随机变量，我们可以通过联合概率密度函数来描述。

我们需要掌握联合概率分布的计算方法，能够计算两个随机变量的联合概率、边缘概率以及条件概率等。

最后，我们学习了随机变量的独立性。

当两个随机变量的联合概率分布可以通过各自的边缘概率分布表示时，我们称它们是独立的。

我们需要了解独立性的定义和性质，能够判断两个随机变量是否独立，并能够计算独立随机变量的联合概率分布。

概率论与数理统计第四章期末复习(一)随机变量的数学期望1.数学期望的定义定义1设离散随机变量X 的分布律为)()(i i i x X P x p p ===， ,2,1=i ．若+∞<∑+∞=1i i i p x ，则称∑+∞==1)(i i i p x X E 为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．定义2设连续随机变量X 的密度函数为)(x f ．若+∞<⎰∞+∞-x x f x d )(，则称xx xf X E d )()(⎰∞+∞-=为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．2.随机变量函数的数学期望定理1设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数：)(X g Y =．设X 是离散型随机变量，其分布律为)(i i x X P p ==， ,2,1=i ，若∑+∞=1)(i i i p x g 绝对收敛，则有∑+∞===1)()]([)(i i i p x g X g E Y E ．设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，若⎰∞+∞-x x f x g d )()(绝对收敛，则有x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==．【例1】设随机变量X 的分布律为X 2-1-0123P1.02.025.02.015.01.0求随机变量X 的函数2X Y =的数学期望．【解】1.0315.022.0125.002.0)1(1.0)2()(222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=Y E 3.2=．【例2】设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=，其他．；，001)(ππx x f X ，求X Y sin =的数学期望．【解】x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==πππ2d 1sin 0=⋅=⎰x x ．【例3】某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X (单位：吨)服从)500,300(上的均匀分布．每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则公司损失0.5(千元)．问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？【解】设该公司应该组织a 吨货源，则显然应该有500300≤≤a ．又记Y 为在a 吨货源条件下的收益额(单位：千元)，则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(X g Y =．由题设条件知：当a X ≥时，此a 吨货源全部售出，共获利a 5.1．当a X <时，则售出X 吨(获利X 5.1)，且还有X a -吨积压(获利)(5.0X a --)，所以共获利a X X a X 5.02)(5.05.1-=--．由此知⎩⎨⎧<-≥=．，；，a X a X a X a X g 5.025.1)(则x x g x x f x g Y E X 2001)(d )()()(500300⎰⎰==∞+∞-]d 5.1d )5.02([2001500300x a x a x a a ⎰⎰+-=)300900(200122-+-=a a ．易知，当450=a 时，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织450吨货源．定理2设随机变量Z 是随机变量X ，Y 的连续函数：),(Y X g Z =．设),(Y X 是二维离散型随机变量，其联合分布律为),(j i ij y Y x X P p ===，,2,1,=j i ，若∑∑+∞=+∞=11),(i j ij j i p y x g 收敛，则有∑∑+∞=+∞===11),()],([)(i j ij j i p y x g Y X g E Z E ．设),(Y X 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为),(y x f ，若y x y x f y x g d d ),(),(⎰⎰∞+∞-∞+∞-收敛，则有y x y x f y x g Y X g E Z E d d ),(),()],([)(⎰⎰∞+∞-∞+∞-==．【例4】设随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．，，，，010102),(y x y x y x f 求)(X E ，)(XY E ．【解】⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(125d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(61d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x xy ．3.数学期望的性质性质1若a 是常数，则a a E =)(．性质2对任意常数a ，有)()(X aE aX E =．性质3对任意的两个函数)(1x g 和)(2x g ，有)]([)]([)]()([2121X g E X g E X g X g E +=+．性质4设),(Y X 是二维随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+．推广到n 维随机变量场合，即)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ．性质5若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y E X E XY E =．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =．【例5】设随机变量X 与Y 相互独立，X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，则=-)2(Y X E ．【解析】因为X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，所以1)(-=X E ，1)(=Y E ，故3)(2)()2(-=-=-Y E X E Y X E ．(二)随机变量的方差1.方差的定义定义1设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为)(X D ，即})]({[)(2X E X E X D -=．称方差的平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记为)(X σ或X σ．定理1(方差的计算公式)【例1】设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-+=其他．，；，；，0101011)(x x x x x f ，求)(X D ．【解】0d )1(d )1()(101=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，61d )1(d )1()(120122=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，所以61)]([)()(22=-=X E X E X D ．2.方差的性质性质1常数的方差为0，即0)(=c D ，其中c 是常数．性质2若a ，b 是常数，则)()(2X D a b aX D =+．性质3若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=±．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=±±± ．【例2】已知2)(-=X E ，5)(2=X E ，求)31(X D -．【解】9})]([)({9)()3()31(222=-=-=-X E X E X D X D ．(三)常见随机变量的数学期望、方差1.两点分布X ～),1(p b p X E =)(，)1()(p p X D -=．2.二项分布X ～),(p n b np X E =)(，)1()(p np X D -=．3.泊松分布X ～)(λP λ=)(X E ，λ=)(X D ．4.均匀分布X ～),(b a U )(21)(b a X E +=，12)()(2a b X D -=．5.指数分布X ～)(λE λ1)(=X E ，21)(λ=X D ．6.正态分布X ～),(2σμN μ=)(X E ，2)(σ=X D ．【例1】设X ～),(p n b 且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则下列结论正确的是()A ．15=n ，4.0=pB ．20=n ，3.0=pC ．10=n ，6.0=p D ．12=n ，5.0=p 【解析】6)(==np X E ，6.3)1()(=-=p np X D ，解之得15=n ，4.0=p ．正确选项为A ．【例2】若X ～)5,2(N ，Y ～)1,3(N ，且X 与Y 相互独立，则=)(XY E ()A ．6B ．2C ．5D ．15【解析】因为X ～)5,2(N ，所以2)(=X E ，因为Y ～)1,3(N ，3)(=Y E ，故6)()()(==Y E X E XY E ，正确选项为A ．【例3】X 与Y 相互独立，X ～)2(P ，Y ～)1(E ，则=-)2(Y X D ．【解析】因为X ～)2(P ，所以2)(=X D ，因为Y ～)1(E ，所以1)(=Y D ，又因为随机变量X 与Y 相互独立，所以9)()1()(2)2(22=-+=-Y D X D Y X D ．(四)协方差、相关系数与矩1.协方差定义1设),(Y X 是一个二维随机变量，若)]}()][({[Y E Y X E X E --存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为),(Cov Y X ．即)]}()][({[),(Cov Y E Y X E X E Y X --=．定理1)()()(),(Cov Y E X E XY E Y X -=．【例1】设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：求协方差),(Cov Y X ．【解】由题易得32)(=X E ，0)(=Y E ，0311131003111)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=XY E ．于是0)()()(),(Cov =-=Y E X E XY E Y X ．定理2若X 与Y 相互独立，则0),(Cov =Y X ，反之不然．定理3对任意二维随机变量),(Y X ，有),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±．关于协方差的计算，还有下面四条有用的性质．性质1协方差),(Cov Y X 的计算与X ，Y 的次序无关，即),(Cov ),(Cov X Y Y X =．性质2任意随机变量X 与常数a 的协方差为零，即0),(Cov =a X ．性质3对任意常数a ，b ，有),(Cov ),(Cov Y X ab bY X a =．性质4设X ，Y ，Z 是任意三个随机变量，则),(Cov ),(Cov ),(Cov Z Y Z X Z Y X +=+．2.相关系数定义2设),(Y X 是一个二维随机变量，且()0D X >，()0D Y >，则称Y X XY Y X Y D X D Y X σσρ),(Cov )()(),(Cov ==为X 与Y 的相关系数．性质11≤XY ρ．性质21=XY ρ的充要条件是X 与Y 间几乎处处有线性关系，即存在)0(≠a 与b ，使得1)(=+=b aX Y P ．其中当1=XY ρ时，有0>a ；当1-=XY ρ时，有0<a ．性质3设随机变量X 与Y 独立，则它们的相关系数等于零，即0=XY ρ．【例2】设1)()(==Y D X D ，21=XY ρ，则=+)(Y X D 3．【解析】因为21)()(),(Cov ==Y D X D Y X XY ρ，所以)()(21Y D X D XY =ρ21=，故),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+3=．【例3】已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E 6．【解析】)]2([3)]2(3[22-=-X E X E }2)]([)({32-+=X E X D 6=．【例5】设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．，，，，02020)(81),(y x y x y x f 求),(Cov Y X ，)(Y X D +和XY ρ．【解】⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(67d d )(822=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(2235d d )(820202=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(34d d )(82020=+=⎰⎰y x y x xy ，由轮换对称性，有67)(=Y E ，35)(=Y E ，361)()()(),(Cov -=-=Y E X E XY E Y X ，3611)]([)()()(22=-==X E X E X D Y D ，95),(Cov 2)()()(=++=+Y X Y D X D Y X D ，111)()(),Cov(-==Y D X D Y X XY ρ．。