浙江大学概率论与数理统计第四章习题

P{Z =k}= 0.1 0.9
i
10 k
k
10-k
,k=0,1,2,…,10.
1, 第i次检验时要调整设备(Zi>1) (i=1,2,3,4) 设随机变量Xi= 0, 第i次检验时不调整设备(Zi1) 则 X=X1+ X2+ X3+ X4 , 由于 P{Xi=0}=P{Zi1}=P{Zi=0}+P{Zi=1} =0.910+100.10.99=1.90.99 P{Xi=1}=1-P{Xi=0}=1-1.90.99 Xi服从(0-1)分布,故其数学期望 E(Xi)=P{Xi=1}=1-1.90.99 (i=1,2,3,4) 而 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=4[1-1.90.99]=1.0556




法二:利用已知结果直接求解
由所给概率密度可知,X2服从参数=1/4的指数分布, 故E(X2)==1/4, D(X2)=2=1/16 . 从而E(X22)=D(X2)+[E(X2)]2=1/8. X1服从参数=1/2的指数分布,E(X1)=1/2. 按照数学期望的性质, E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=3/4, E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22)=5/8,
P{Y=j} 0.3 0.4 0.3 1.0
故 E(X)=10.4+20.2+30.4=2 (2)先求出Z=Y/X的分布律如下
Z -1 -1/2 -1/3 pk 0.2 0.1 0.0 0 0.4 1/3 0.1
E(Y)=-10.3+00.4+10.3=0
1/2 0.1 1 0.1
故 E ( Z ) (1) 0.2 ( ) 0.1 ( ) 0 0 0.4 0.1 0.1 1 0.1 (3)先求出Z=(X-Y)2的分布律如下
0 2 xe 2 x dx 0 4 xe4 x dx 0 xd (e 2 x ) 0 xd (e 4 x ) 1 2 x 1 4 x 1 1 3 2 x 4 x 2 x 4 x xe 0 0 e dx xe 0 0 e dx e 0 e 0 2 4 2 4 4 1 2 2 E(2X1-3X2 )=2E(X1)-3E(X2 ) 2 3 x 2 f 2 ( x )dx 2 t 4 x 3 2 t 2 3 3 5 4 x 1 30 x 4e dx 1 2 0 t e dt 1 ( 3) 1 2! 16 16 8 4 (2)E(X1X2) x1 x2 f1 ( x1 ) f 2 ( x2 )dx1dx2 x1 f1 ( x1 )dx1 x2 f 2 ( x2 )dx2 1 1 1 2 x1 4 x2 0 2 x1e dx1 0 4 x2e dx2 2 4 8
由于X1,X2相互独立, E(X1X2)=E(X1)E(X2)=1/8. 15. 将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去,一只盒子装一 只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对.记X为总的配 对数,求E(X). 1, 第i号盒子恰好装第i号球 解 设随机变量Xi= 0, 第i号盒子中装的不是第i号球 (i=1,2,…,n) 第i号球放进n个盒子中有n种放法,故其恰好放进第i号盒子中的概率 P{Xi=1}=1/n, 由(0-1)分布的数学期望E(Xi)=P{Xi=1}=1/n, (i=1,2,…,n) 而 X=X1+ X2+ …+ Xn , 故E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(Xn)=nE(Xi)=1.
2 E ( 3 X 2 5) ( 3 x k 5) pk [3( 2)2 5] 0.4 [3 0 2 5] 0.3 [3 2 2 5] 0.3 13.4 k 1
3
或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4 e x , x 0 7. 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) 0, x 0 -2X 求(1)Y=2X;(2)Y=e 的数学期望. 解 E(2 X ) 2 xf ( x )dx 2 xe x dx

2 0 xd (e x )
0
Leabharlann Baidu
x x 2[ xe 0 0 e dx]

2(e x ) 0 2
E (e
2 X
)
2 x e
f ( x)dx
2 x x e e dx 0

1 3 x 3 x e dx e 0 0 3
求E(X),E(X2),E(3X2+5).
E ( X ) x k pk ( 2) 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2
2 E ( X 2 ) xk pk ( 2) 2 0.4 0 2 0.3 2 2 0.3 2.8 3 k 1
1 4 1 e 而 P{Y= -200}=1-P{Y=100}
或
=P{X<1}=1-P{X1} E(Y)=100e-1/4 +(-200)(1- e-1/4 )=3000.7788-200=33.64(元)
厂方出售一台设备净赢利的数学期望
14. 设随机变量X1,X2的概率密度分别为
第四章习题
2. 某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次.每次随机地取10件产 品进行检验,如发现其中的次品数多于1,就去调整设备.以X表示一天 中调整设备的次数,试求E(X).(设诸产品是否为次品是相互独立的.) 解 设Zi表示第i次检验时所发现的次品数(i=1,2,3,4),则Zi~b(10, 0.1)
pk 1/8 5/8 1/8 1/8
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 8 8 8 8 4
5. 设在某一规定的时间间隔里,某电 1 x, 0 x 1500 气设备用于最大负荷的时间X(以分计) 15002 1 f ( x ) 是一个随机变量,其概率密度为 15002 ( x 3000),1500 x 3000 求E(X). 0, 其它 解 E( X ) xf ( x )dx 1500 1 2 x 2dx 3000 1 2 ( x 2 3000 x )dx
1 3
1 -1 0.2 (1)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z); 0 0.1 2 (3)设Z= (X-Y) ,求E(Z). 1 0.1 解(1)先求出关于X,Y的边缘分布律如右 P{X=i} 0.4
8. 设(X,Y)的分布律为
Y
X
2 0.1 0.0 0.1 0.2
3 0.0 0.3 0.1 0.4
2e 2 x , x 0 4e 4 x , x 0 f1 ( x ) f2 ( x) x0 x0 0, 0, (1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22); (2)又设X1,X2相互独立,求E(X1X2). 解 法一:利用已知概率密度计算积分 (1) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) xf1 ( x )dx xf2 ( x )dx

0 1500 15001500

1 15002

x 3 1500 1 3 0 15002
x3 (3
3000 1500 x 2 ) 1500
500 4 (500) (1000) 1500
6.设随机变量X的分布律为 解
3 k 1
X
pk
-2
0
2
0.4 0.3 0.3
解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域
E( X ) xf ( x, y)dxdy 0 xdx0 12 y 2dy 0 4 x 4dx 4 / 5
1 x 1
1
y=x
1 x 1 3 o 1 x E(Y ) yf ( x, y)dxdy 0 dx 0 12 y dy 0 3 x 4dx 3 / 5 1 x 1 E( XY ) xyf ( x, y)dxdy 0 xdx 0 12 y 3dy 0 3 x 5dx 1 / 2 1 2 x 1 x 2 2 2 2 2 E( X Y ) ( x y ) f ( x, y)dxdy 0 x dx 0 12 y dy 0 dx 0 12 y 4dy 16 1 1 12 5 1 32 5 5 也可以先求边缘概率密度 0 4 x dx 0 x dx 0 x dx 5 5 15 x 2 3 12 y dy 4 x ,0 x 1 0 f X ( x ) f ( x, y)dy
Z 22 32 42 12 22 32 0 2 12 22 pk 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1
1 2
1 3
1 3
1 2
1 15
整理得
Z pk 0 1 4 9 0.1 0.2 0.3 0.4
故 E(Z)=00.1+10.2+40.3+90.4=5
2 12 y ,0 y x 1 9. 设(X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) y 0 , 其它 2 2 求E(X),E(Y),E(XY),E(X +Y ).
16. 若有n把看上去样子相同的钥匙, 其中只有一把能打开门上的锁, 用它们去试开门上的锁.设取到每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试 开一次后除去.试用下面两种方法求试开次数X的数学期望. (1)写出X的分布律;(2)不写出X的分布律. 解 (1)设事件Ai表示“第i次试开能打开门”,则Ai表示“第i次试 开不能打开门” . i次试开前,巳试了(i –1)把钥匙都未打开门,而在剩 由于第 下的[n-(i-1)]把钥匙中只有一把能打开门,所以前(i-1)次试开未打开 门的条件下,第i次试开能打开门的概率为 P(Ai|A1A2…Ai-1)=1/(n-i+1),
















其它 0, 1 E( X ) xf X ( x )dx 0 4 x 4dx 4 / 5 1 2 2 3 12 y dx 12 ( y y ),0 y 1 fY ( y ) f ( x, y )dx y 其它 0, E (Y ) yfY ( y )dy 112( y 3 y 4 )dx 12( 1 1 ) 3 0 4 5 5
1(1) 在下列句子中随机地取一单词,以X表示取到的单词所包含的 字母个数,写出X的分布律并求E(X). “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” 解 共有8个单词,随机取到每个单词的概率都是1/8, X 2 3 4 9 X的取值为2,3,4,9, X的分布律为


11. 一工厂生产的某种设备的寿命
1 e x 4 , x 0 X(以年计)服从指数分布, 概率密度为 f ( x ) 4 0, x0 工厂规定,出售的设备若在售出一年 之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备 厂方需化费300元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 解 设Y(元)表示厂方出售一台设备的净赢利, 则 Y只能取两个值: Y=100 和 Y=100-300= -200 . 而 {Y=100} 时,设备的寿命必须在一年以上,即{X1} 1 x 4 dx e x 4 1 e 1 4 故 P{Y=100}=P{X1} 1 f ( x )dx 1 e 4