【高中课件】高中数学苏教版选修22第2章推理与证明2.2.2课件ppt.ppt

中小学精编教育课件
2.2.2
2.2.2 间接证明
【学习要求】
本 课
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
时 栏
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
目 开
【学法指导】
关 反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可
通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.
2.2.2
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是 与 已知条件 矛盾，或与 假设 矛盾，或与 定义、公理、定
理、事实 矛盾等.
2.2.2
答案 反证法.
问题 2 上述方法的含义是什么？
答案 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成
本 课
立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，
课
时 栏
因此 m2＝2n2，
目 开
所以 m 为偶数.于是可设 m＝2k(k 是正整数)，从而有
关
4k2＝2n2，
即 n2＝2k2，
所以 n 也为偶数.这与 m，n 互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数.
2.2.2 小结 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”
本
课 等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应
少有一个大于 0.
2.2.2
1.证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
本 _三___角__形__中__至__少__有__两__个__直__角__或__钝__角___.
课
时 栏
2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°”，应
课
时 推出结论的线索不够清晰；
栏
目 ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从
开
关 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
2.2.2
探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例 1 已知直线 a，b 和平面 α，如果 a⊄α，b⊂α，且 a∥b，
求证：a∥α.
证明 因为 a∥b，
本 证明 假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实根，设
课 时
α、β 为其中的两个实根.因为 α≠β ，不妨设 α<β，又因为函
栏 目
数 f(x)在[a，b]上是增函数，所以 f(α)<f(β).这与假设 f(α)＝0
开 关
＝f(β)矛盾，所以方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实
本 证明 假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，
课 时
所以 a＋b＋c≤0，
栏
目 开 关
而 a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋6π)＝
(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a、b、c 中至
根.
小结 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、
“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证
法证明时，注意准确写出命题的假设.
2.2.2
跟踪训练 3 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－ 2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c 中至少有一个大于 0.
时 栏
从而 a∥c，且 a⊄α，c⊂α，则 a∥α，这与 a∩α＝A 相矛盾.
目
开 由①②知，假设不成立，故直线 b 与平面 α 必相交.
关
2.2.2
探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证： 2不是有理数.
证明 假设 2是有理数.于是，存在互质的正整数 m，n，使
本
得 2＝mn ，从一
栏 目
个平面 β.
开
关 因为 a⊄α，而 a⊂β，
所以 α 与 β 是两个不同的平面.
因为 b⊂α，且 b⊂β， 所以 α∩β＝b.
2.2.2
下面用反证法证明直线 a 与平面 α 没有公共点.假设直线 a 与
平面 α 有公共点 P，则 P∈α∩β＝b，即点 P 是直线 a 与 b 的
时
栏 用反证法.
目 开 关
2.2.2
跟踪训练 2 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差 数列，求证：
a， b， c不成等差数列.
证明 假设 a， b， c成等差数列，则
本 课
a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b，
时 栏
而 b2＝ac，即 b＝ ac，
目
开 关
∴a＋c＋2 ac＝4 ac，
本 公共点，这与 a∥b 矛盾.
课
时 栏
所以 a∥α.
目
开 关
小结
数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明
显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是
运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明
时，可考虑用反证法.
跟踪训练 1 已知：a∥b，a∩平面 α＝A，如图. 求证：直线 b 与平面 α 必相交.
2.2.2
本 课 时 栏 目 开
关 证明 假设 b 与平面 α 不相交，即 b⊂α 或 b∥α. ①若 b⊂α，因为 b∥a，a⊄α，所以 ②a∥α，这与 a∩α＝A 相矛盾；
2.2.2
②如图所示，如果 b∥α，则 a，b 确定平面 β.
本 课
显然 α 与 β 相交，设 α∩β＝c，因为 b∥α，所以 b∥c.又 a∥b，
时 栏
从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.
目 开
问题 3
反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法
关 引出的矛盾有几种情况？
答案 (1)与原题中的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾； (3)与假设矛盾.
2.2.2
问题 4 反证法主要适用于什么情形？ 本 答案 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件
1.间接证明：不是直接从 原命题的条件 逐步推得命题成立的
本 证明方法称为间接证明.
课 时
2.反证法：用反证法证明时，要从 否定结论开始，经过正确
栏 目
的推理 ，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).
开 关
3.反证法的过程包括下面 3 个步骤： 反设 ， 归谬 ， 存真.
4.反证法常见的矛盾类型
∴( a－ c)2＝0.
即 a＝ c，
从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列.
2.2.2
探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题 例 3 若函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0
在区间[a，b]上至多有一个实根.