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及 中至少一个不存在 ,
或 f ( x)在点 x0 处无定义
第二类间断点: 若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . 若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
x 0 为其振荡间断点 .
o
x
y
1 y sin x
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0 f (0 ) 1, f (0 ) 1 x 0 为其跳跃间断点 .
y
1
o
1
x
例4. 当a取何值时,
cos x, x 0, 函数 f ( x) 在 x 0处连续. a x, x 0,
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, ( 有理整函数 )
在 又如, 有理分式函数
上连续 .
在其定义域内连续.
例3. 证明函数
证: x ( , )
在
内连续 .
y sin( x x) sin x
y
x ) 2
x
即 这说明 在
x 0
0
0 sin ,
内连续 .
在 同样可证: 函数 内连续 . 结论：三角函数在其定义域内都是连续的
二、 函数的间断点(Discontinuity of Function)
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
故| f ( x ) | 、 f ( x ) 在 x 0 都连续 .
2
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
解 f (0) a,
x 0
lim f ( x) lim cos x 1,
x 0
x 0
lim f ( x) lim (a x) a ,
x 0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当 a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
思考与练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 时 为
第九节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
一、 函数连续性(Continuity of Function)
1.函数的增量 设变量 u从它的初值 u1 改变到u2，终值与初值之 差 u2–u1，称为变量u的增量，记作 u u2 u1. 设有函数y=f(x),当自变量x从x0改变到 x0 x 时， 函数y相应的改变量为 y， y f ( x0 x) f ( x0 ).
例5 讨论函数 1 a x0 x sin f ( x) 在x 0处连续 x x e x0 解 f (0) 1 ,
要使 f (0 0) f (0 0) f (0) 0, 1 0,
lim f ( x) lim (e ) 1 x 0 x 0 a0 1 0 a lim f ( x) lim ( x sin ) x 0 x 0 x 不存在 a 0
可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
在点
存在 ;
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x) 在x 0 x x 0, 0, 处连续.
证
1 lim x sin 0, x 0 x 又 f (0) 0, lim f ( x) f (0),
那么就称函数y=f(x)在点x0连续. 连续的本质：自变量变化很小时，对应的函数值变化 也很小。 设x x0 x,当x 0,即x x0时,
y = f ( x0 x) f ( x0 ) = f ( x) f ( x0 ),
即 f ( x)=f ( x0 ) y 有
0
x
注意 函数的间断点不只是个别的几个点. y
x 1 为可去间断点 .
o 1
x
x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1 2
1
x 1 为其可去间断点 .
o
1
x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.
x
故当且仅当 0, 1时,函数 f ( x)在 x 0处连续.
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ★
x, 当x是有理数时, f ( x) x, 当x是无理数时,
仅在 x = 0 处连续, 其余各点处处间断.
★
1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型:
y
y f x
x1
o
x2
x3
x
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
x x0
y 0,
lim f ( x) f ( x0 ).
2.连续的定义 定义2: 设函数 在
连续点 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
" "： 0, 0, 使 x x0 ，恒有 f ( x) f ( x0 ) .
连续函数.
提示:
3. 若 f ( x ) 在 x 0 连续，则| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x 0 是 否连续？又若| f ( x ) |、 f ( x ) 在 在 x 0 是否连续？
2
2
x0 连续， f ( x )
lim f ( x) f ( x0 ) f ( x ) 在 x0 连续， x x0
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x 0
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
高数A
(2) 函数
(3) 函数
在 在
x x0
虽有定义 , 但 虽有定义 , 且
不存在;
存在 , 但
函数没有定义的点 或分段点
lim f ( x) f ( x0 )
称为间断点 .
这样的点
问题：哪些点可能成为间断点？
间断点分类:
第一类间断点: 及
若 称 若 均存在 ,
x0 为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
y y
y f ( x) y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2.连续的定义 定义1: 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
x 0
lim y lim [ f ( x0 x) f ( x0 )] 0,
x 0
处既左连续又右连续 .
x 2, x 0, 在 x 0处的 例2 讨论函数 f ( x) x 2, x 0, 连续性. (右连续但不左连续)
故函数 f ( x)在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 在闭区间
x 0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
左连续： lim f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ), x x0 右连续： lim f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ). x x0
定理 函数 f ( x) 在 x0 处连续 是函数 f ( x) 在 x0
且 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f 2 ( x) lim f ( x) lim f ( x) f 2 ( x0 ) x x0 x x0 x x0
