一阶微分方程的初等解法四

第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。

教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。

教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。

教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解,本章主要介绍一阶微分方程)(=y,F的一些可解类,xy('y,)'xfy=或0型和相应的求解方法------初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题.§2.1 变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。

教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。

教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。

教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。

教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

形如 )()(y x f dxdyϕ= (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里)(),(y x f ϕ分别是x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解.当0)(≠y ϕ时,将(2.1)改写成dx x f y dy)()(=ϕ,对上式两边积分得: ⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ (2.2)原函数的某一)(1y ϕ↑原函数的某一)(x f ↑由(2.2)所确定的函数),(c x y ϕ=就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程)101(yy dx dy -=的所有解. 解: 方程两边同除以)101(yy -,再积分得1)101(⎰⎰+=-c dx y y dy ,两边积分得110lnc x yy+=-,从上式中解出从上式中解出,再将常数设为c,得,0,110≠+=-c ce y x由0)101(=-yy 求出方程的常数解为y=0和y=10,故方程的所有解为.0,,110=+=-y c ce y x 和为任意常数例2. 求微分方程23y dxdyx =的通解.解:分离变量后得dx xdy y 123=-两边积分得121ln 2c x y +=--整理后得通解为:,,)(ln 4)(ln 41221c e c cx c x y ==+=其中由于函数在x=0无意义,故此解只是在x>0或x<0中有定义.此多此一举这有解y=0,这个解无法从通解中选取常数c 而得到,所以不是解.例3、求方程 y x P dx dy)(= 的通解。

一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。

●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。

不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。

解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。

将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。

例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。

由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。

已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。

解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。

初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。

求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。

一阶微分方程的初等解法摘要：本文分析了一阶微分方程的几种初等解法类型，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题.关键词： 变量变换 变量分离方程0. 引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把它们归结为方程的积分问题.虽 然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分.因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的.下面我们就对这些类型方程的解法一一作以总结.1．变量分离方程形如=dxdy ()x f g ()y (1、1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f 、()y g 分别是y x 、的连续函数如果()0≠y g ，我们将（1、1）改写成()()dx x f y g dy =，两边积分得，()()c dx x f y g dy +=⎰⎰ （1、2）其中c 为任意常数. 如果存在0y ，使()00=y g ，可知0y y =也是（1、1）的解. 若它不包括在方程的通解（1、2）中，必须予以补上.例 1 求方程()y x p dxdy = （1、3） 的通解，其中()x p 是x 的连续函数.解 将变量分离，得到()dx x p ydy = 两边积分，即得ln ()⎰+='c dx x p y这里'c 是任意常数.由对数定义，即有()⎰=+'c dx x p e y即()dx x p c e e y ⎰±='令c e c =±'，得()⎰=dx x p ce y （1、4） 此外，0=y 也是（1、3）的解，而它包括在（1、4）中，因而（1、3）的通解为（1、4），其中c 为任意常数.2.齐次方程形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y g dx dy （2、1） 的方程，称为齐次方程，这里()u g 的u 的连续函数.利用变量变换将（2、1）化为变量分离方程.作变量变换xy u = （2、2） 即ux y =，于是u dxdu x dx dy == （2、3） 将（2、2）、（2、3）代入（2、1），则原方程变为()u g u dxdu x =+ 整理可得()xu u g dx du -= （2、4） 方程（2、4）是一个变量分离方程.例 2 求方程 y xy dxdy x =+2 ()0〈x 解 将方程改写为 xy x y dx dy +=2 ()0〈x 以u xy =及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdu x 2= （2、5） 分离变量，得到 xdx u du=2两边积分，得到（2、5）的通解()c x u +-=ln于是()[]2ln c x u +-= ()()0ln 〉+-c x （2、6） 其中c 是任意常数。

常微分⽅程考研讲义第⼆章⼀阶微分⽅程的初等解法第⼆章、⼀阶微分⽅程的初等解法[教学⽬标]1. 理解变量分离⽅程以及可化为变量分离⽅程的类型（齐次⽅程），熟练掌握变量分离⽅程的解法。

2. 理解⼀阶线性微分⽅程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努⼒⽅程的求解。

3. 理解恰当⽅程的类型，掌握恰当⽅程的解法及简单积分因⼦的求法。

4. 理解⼀阶隐式⽅程的可积类型，掌握隐式⽅程的参数解法。

[教学重难点] 重点是⼀阶微分⽅程的各类初等解法，难点是积分因⼦的求法以及隐式⽅程的解法。

[教学⽅法] 讲授，实践。

[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离⽅程，齐次⽅程以及可化为变量分离⽅程类型，⼀阶线性微分⽅程及其常数变易法，伯努利⽅程，恰当⽅程及其积分因⼦法，隐式⽅程。

[考核⽬标]1.⼀阶微分⽅程的初等解法：变量分离法、⼀阶线性微分⽅程的常数变易法、恰当⽅程与积分因⼦法、⼀阶隐⽅程的参数解法。

2.会建⽴⼀阶微分⽅程并能求解。

§1 变量分离⽅程与变量变换1、变量分离⽅程1) 变量分离⽅程形如()()dyf xg y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）的⽅程，称为变量分离⽅程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解⽅法如果()0g y ≠，⽅程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+??（2.2）把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()()f x y ?的某⼀个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满⾜⽅程（2.1）.因⽽（2.2）是如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在⽅程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解⽅程dy x dx y=- 解将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因⽽，通解为22x y c += 这⾥的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解⽅程2cos dyy x dx= 并求满⾜初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得到 2cos dyxdx y= 两边积分，即得1sin x c y-=+因⽽，通解为1sin y x c=-+这⾥的c 是任意的常数.此外，⽅程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代⼊通解中确定常数c ，得到 1c =- 因⽽，所求的特解为11sin y x=-例3 求⽅程 ()dyP x y dx的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= 两边积分，即得ln ()y P x dx c =+?这⾥的c 是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx cy e +?=即()P x dxc y e e ?=±令ce c ±=，得到()P x dxy ce ?=（2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因⽽，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数. 注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.⽅程的通解不⼀定是⽅程的全部解,有些通解包含了⽅程的所有解，有些通解不能包含⽅程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分⽅程的通解表⽰的是⼀族曲线，⽽特解表⽰的是满⾜特定条件00()y x y =的⼀个解，表⽰的是⼀条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离⽅程的类型1）.形如 dy y g dx x ??=（2.5）的⽅程，称为齐次⽅程，这⾥的()g u 是u 的连续函数. 另外,ⅰ)对于⽅程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡事实上，取1t x=，则⽅程可改写成形如(2.5)的⽅程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y== ⅱ)对⽅程(,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则⽅程也可改写成形如(2.5)的⽅程(1,)dy y f dx x= 对齐次⽅程（2.5）利⽤变量替换可化为变量分离⽅程再求解. 令yu x= （2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代⼊（2.5），则原⽅程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=（2.8）⽅程（2.8）是⼀个可分离变量⽅程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原⽅程（2.5）的解.例4 求解⽅程dy y y tg dx x x=+ 解这是齐次⽅程，以,y dy duu x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgudx x=（2.9）分离变量，即有dx= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这⾥的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，⽅程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，⽅程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原⽅程的通解为sinycx x =例5 求解⽅程(0).dyxy x dx+=<解将⽅程改写为(0)dy y x dx x=<这是齐次⽅程，以,y dy du u x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为dux dx=（2.11）分离变量，得到dxx = 两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>(2.12)这⾥的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u = 注意，此解不包括在通解（2.12）中.原⽅程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ?-+-+>=?它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次⽅程dy y g dx x ??=的求解⽅法关键的⼀步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu x dx dx=+，再将其代⼊齐次⽅程使⽅程变为关于,u x 的可分离⽅程.2.齐次⽅程也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代⼊齐次⽅程dxx f dy y ??=使⽅程变为,v y 的可分离⽅程⼩结：这⼀讲我们主要讲解了⼀阶微分⽅程的可分离变量法和齐次⽅程的dy y g dx x ??=形状的解法.⽽这⼀齐次⽅程通过变量替换任然可化为可分离⽅程，因⽽，⼀定要熟练掌握可分离⽅程的解法. 2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13）的⽅程经变量变换化为变量分离⽅程，这⾥的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形. 这时⽅程（2.13）属齐次⽅程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +??== ?+??此时，令yu x=，即可化为变量可分离⽅程. （2）0a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则⽅程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则⽅程化为22()dua b f u dx=+ 这是⼀变量分离⽅程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时⽅程（2.13）右端的分⼦、分母都是,x y 的⼀次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=??++=?（2.14）代表xy 平⾯上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进⾏坐标平移，将坐标原点(0,0)移⾄(,)αβ就⾏了，若令X x Y y αβ=-??=-?（2.15）则（2.14）化为11220a X bY a X b y +=??+=?从⽽（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +??== ?+??（2.16）因此，得到这种情形求解的⼀般步骤如下：(1)解联⽴代数⽅程（2.14），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.15）将⽅程化为齐次⽅程（2.16）； (3)再经变换Y将（2.16）化为变量分离⽅程； (4)求解上述变量分离⽅程，最后代回原变量可得原⽅程（2.13）的解. 上述解题的⽅法和步骤也适⽤于⽐⽅程（2.13）更⼀般的⽅程类型111222a x b y c dyf dx a x b y c ??+== ?++??()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyx f xy dx= 2dy y xf dx x= ?以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等⼀些⽅程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离⽅程.例6 求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- （2.17）解解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=? 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+??=+?代⼊⽅程（2.17），则有 dY X YdX X Y-=+ （2.18）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u22ln ln 21X u u c=-+-+22(21)c X u u e +-=± 记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.18）的解.因此⽅程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.3、应⽤举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所⽰的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升⾼，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第⼆定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ dI Cu C dt dt dt=== （2.20）将（2.20）代⼊（2.19），得到c u 满⾜的微分⽅程 cc du RC u E dt+= （2.21）这⾥R 、C 、E 都是常数.⽅程（2.21）属于变量分离⽅程.将（2.21）分离变量，得到C C du dtu E RC=-- 两边积分，得到11ln C u E t c RC-=-+ 即1112t t c RCRCC u E e e c e---=±=这⾥12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代⼊，得到2c E =-. 所以 1(1)t RC C u E e -=-这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增⼤，且当t →+∞时，C u E →，在电⼯学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实⽤上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进⾏.例8 探照灯反射镜⾯的形状在制造探照灯的反射镜⾯时，总是要求将点光源射出的光线平⾏地射出去，以保证照灯有良好的⽅向性，试求反射镜⾯的⼏何形状.解取光源所在处为坐标原点，⽽x 轴平⾏于光的反射⽅向，设所求曲⾯由曲线()y f x z =??=?（2.23）绕x 轴旋转⽽成，则求反射镜⾯的问题归结为求xy 平⾯上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任⼀点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：⼊射⾓等于反射⾓，容易推知12αα= 从⽽OM ON = 注意到2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满⾜的微分⽅程式dy dx =（2.24）这是齐次⽅程.由2.12知引⼊新变量xu y=可将它化为变量分离⽅程.再经直接积分即可求得⽅程的解.对于⽅齐次⽅程（2.24）也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程也可由x yv =得dx dvv y dy dy=+代⼊（2.24）得到sgn dvv y v y dysgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+（2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平⾯曲线，它是抛物线，因此，反射镜⾯的形状为旋转抛物⾯22(2)y z c c x +=+ （2.27）⼩结: 本节我们主要讨论了⼀阶可分离微分⽅程和齐次微分⽅程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性⽅程与常数变易法1、⼀阶线性微分⽅程()()()0dya xb x yc x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成()()dyP x y Q x dx=+ （2.28）对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这⾥假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dyP x y dx= （2.3）称为⼀阶齐线性⽅程.若()0Q x ≠，（2.28）称为⼀阶⾮齐线性⽅程.2、常数变易法（2.3）是变量分离⽅程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ?=（2.4）这⾥c 是任意的常数.下⾯讨论⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的求解⽅法.⽅程(2.3)与⽅程(2.28)两者既有联系⼜有区别,设想它们的解也有⼀定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令 ()()P x dx（2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx=+ （2.30）将（2.29）、（2.30）代⼊（2.28），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx-?= 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -?=+?（2.31）这⾥c 是任意的常数..将（2.31）代⼊（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--=+ +（2.32）这就是⽅程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的⽅法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是⼀种变量变换的⽅法.通过变换（2.29）可将⽅程（2.28）化为变量分离⽅程.注: ⾮齐线性⽅程的通解是它对应的齐线性⽅程的通解与它的某个特解之和. 例1 求⽅程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这⾥的n 为常数. 解将⽅程改写为 (1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33）先求对应的齐次⽅程01dy n y dx x -=+ 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35）以（2.34）、（2.35）代⼊（2.33），再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代⼊公式（2.34），即得原⽅程的通解 (1)()n x y x e c =++ 这⾥c 是任意的常数. 例2 求⽅程22dy ydx x y=-的通解. 解原⽅程改写为2dx x y dy y=- （2.36）把x 看作未知函数，y 看作⾃变量，这样，对于x 及dxdy来说，⽅程（2.36）就是⼀个线性⽅程了.先求齐线性⽅程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代⼊（2.36），得到()ln c y y c =-+ 从⽽，原⽅程的通解为2(ln )x y c y =-这⾥c 是任意的常数,另外0y =也是⽅程的解. 特别的，初值问题00()()()dyP x y Q x dxy x y ?=+=? 的解为00()()()=()xxsx x x P d P d P d xx y ceeQ s eds ττττττ-+?例3 试证（1）⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性⽅程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的⾮零解，⽽()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）⽅程（2.3）任⼀解的常数倍或两解之和（或差）仍是⽅程（2.3）的解. 证（1）设12,y y 是⾮齐线性⽅程的两个不同的解，则应满⾜⽅程使1122()(1)()(2)dy py Q x dxdy py Q x dx=+=+（1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=-说明⾮齐线性⽅程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性⽅程的解.（2）因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论成⽴.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成⽴.3、Bernoulli ⽅程。

第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。

1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。

注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。

但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。

2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。

)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。

ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。

ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。

一阶微分方程的初等解法第二章 一阶微分方程的初等解法教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题．教学内容：1、变量分离方程与变量变换变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例． 2、线性方程和常数变易法线性方程、常数变易法、Bernoulli 方程． 3、恰当方程和积分因子恰当方程、积分因子法、分项组合法．4、一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程及参数解法．教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法．教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立微分方程模型。

教学过程：§2.1变量分离方程与变量变换要求：熟练掌握变量分离方程的解法 本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换.2.1.1变量分离方程)()(y g x f dx dy⋅=，或)()()()(2121=+dy y N x N dx y M x M分离变量即可求解．例1 求解方程 yxdx dy -=. （解为2x c y -±=）例2 求解方程 )()(by a x dx c x y dx dy -+-=，0,0≥≥y x . （解为ke y ex by a dxc=--）例3（略）例4 求解方程 y x P dxdy )(=.（解为⎰=dxx P ce y )(）2.1.2可化为变量分离方程的类型令 x yu =，可化为变量分离的方程 xu u g dx du -=)( 求解．例5 求解方程 yxy x dx dy tan +=. （解为cx u =sin ，即cx x y=sin ）例6求解方程 )0(2<=+x y xy dxdy x ，.（解为⎩⎨⎧>+-+-=0,0)ln(,])[ln(2c x c x x y ）.（2） 可化为齐次方程.222111　分三种情况进行求解方程　C y b x a C y b x a dx dy ++++=当 0,21=CC 时，可化为齐次方程求解．当 21,C C 不全为零时，但02211==∆b a b a ，即1.（1），（3），（5），（7），（9）；2. （1），（3），（5），（7）；3.（1）；4；6；9.§2.2 线性微分方程与常数变易法要求：熟练掌握一阶非齐次线性微分方程的解法本节重点：一阶非齐次线性微分方程的解法（即常数变易法）一阶线性微分方程0)()()(=++x c y x b dxdyx a ，当0)(≠x a 的区间上可以写成)()(x Q y x P dxdy+=，（2.2.1）其中)(),(x Q x P 在考虑的区间上是x 的连续函数. 若0)(=x Q ，（2.21）变为y x P dxdy)(=，（2.2.2）（2.2.2）称为一阶齐次线性微分方程若0)(≠x Q ，（2.21）称为一阶非齐次线性微分方程.齐线性方程变量分离求解，得⎰=dxx P ce y )(．（2.2.3）非齐线性方程)()(x Q y x P dxdy +=用常数变易法求解．⎰+⎰⎰=-))(()()(c dx e x Q e y dxx P dxx P 为非齐线性方程)()(x Q y x P dxdy+=通解公式。

一阶微分方程的初等解法总结一、可分离变量方程：可分离变量方程是指方程中未知函数和其导数可分离的微分方程。

具体来说，即方程可以写成 f(y)dy = g(x)dx 的形式。

解此类型方程的关键是将两侧分离变量，然后进行积分。

二、齐次方程：齐次方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数相同。

具体来说，即方程可以写成 dy/dx = F(y/x) 的形式。

解此类型方程的关键是进行变量代换，令 y = vx，并进行化简和积分。

三、一阶线性方程：一阶线性方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数之和为1、具体来说，即方程可以写成 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的形式。

解此类型方程的关键是利用积分因子的概念，将方程进行变形，并进行积分。

四、恰当微分方程：恰当微分方程是指方程的左右两边可以构成一个梯度的微分方程。

也就是说，方程可以写成 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式。

解此类型方程的关键是找到一个函数 f(x,y)，使得∂f/∂x = M(x,y) 和∂f/∂y =N(x,y)，然后对 f(x,y) 进行求解。

在实际的应用中，经常会遇到以上四种类型的微分方程。

解这些方程的关键是要找到适当的变换或技巧，将其转化为常微分方程，并进行解析求解。

此外，还有一些特殊的一阶微分方程的解法，如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，也需要掌握相应的解法。

除了以上几种类型的微分方程，还存在一些无解析解或无一般解的微分方程，需要通过数值方法或近似解法来求解。

常见的数值解法有 Euler 法、改进的 Euler 法、Runge-Kutta 法等。

总之，对一阶微分方程的初等解法总结如下：1.可分离变量方程：将两侧分离变量，然后进行积分；2.齐次方程：进行变量代换，化简并积分；3.一阶线性方程：利用积分因子的概念，进行变形并积分；4.恰当微分方程：找到恰当微分方程的条件，并求解梯度函数；5. 其他特殊类型的一阶微分方程：如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，需要掌握相应的解法；6.无解析解或无一般解的微分方程：需要利用数值方法或近似解法进行求解。

一阶微分方程的初等解法及其应用摘 要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中.用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解.关键词:变量分离方程;恰当微分方程;常数变易法;积分因子.The Solution of First-order Differential EquationsAbstract :This article focuses on the solution of first-order differential equations and its several applications,through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice,From the abstract into concrete laws,so as to enhance the understanding of the knowledge.Keywords :separable equations;exact equations;constant variation ;integrating factor.引言一阶微分方程的解法与很多,而且技巧性也很强,本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法,常数变易法,恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1.变量分离法1.1变量分离方程的解法 形如()()dyf x y dxϕ= （1） 的方程,称为变量分离方程,这里()f x ,()y ϕ分别是,x y 的连续函数.如果()0,y ϕ≠我们可将（1）改写成(),()dyf x dx y ϕ=这样,变量就"分离"开来了.两边积分,得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰. （2）这里我们把积分常数c 明确写出来,而把()dyy ϕ⎰,()f x dx ⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的原函数.常数c 的取值必须保证（2）有意义,如无特别声明,以后也作这样理解.把（2）理解为,,y x c 的隐函数关系式(,,)0y x c Φ=或y 的,x c 函数关系式(,)y y x c =.微分（2）两边,知对任意常数c ,由（2）所确定的函数关系式(,)y y x c =满足（1）,因而（2）是（1）的通解.因（2）式不适合()0y ϕ=的情形.但如果存在0y 使0()0y ϕ=,则直接验证知0y y =也是（1）的解.因此,还必须寻求()0y Φ=的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解（2）中时,必须补上特解0y y =. 1.2变量分离法的应用例1 求一曲线族,使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分. 解 设所求的曲线方程为()y y x =,过曲线上任一点(,)P x y 的切线交ox 轴于A 点,交oy 轴于B 点.由题意,P 为的AB 中点,不妨设(2,0)A x ,(0,2)B y ,则切线的斜率为x y -,另一方面,曲线在P 点的斜率为dydx,因此 dy y dx x=-, 将变量分离,得到1dy dx y x=-, 两边积分得1ln ln y x c =-+.因此方程的通解为xy c =,即得所求的曲线族为xy c =,这里c 为任意常数.1.3可化为变量分离方程的类型 这里只是介绍一种简单的情形. 形如()dy yg dx x= （3） 的方程,称为齐次微分方程,这里()g u 是u 的连续函数.作变量变换yu x= （4） 即y ux =,于是dy du x u dx dx=+ （5） 将（4）,（5）代入（3）,则原方程变为()duxu g u dx+=. 整理后,得到()du g u udx x-=. （6） 方程（6）是一个变量分离方程.可按分离变量的方法求解,然后代回原来的变量,便得方程的解.1.4可化为变量分离方程的一类方程的应用例2 tanyxy y x x'-=. 解 将方程改写成tan ,dy y y dx x x=+ 这是齐次方程.作变换y xu =,代入原方程得到tan duu xu u dx+=+. 即cot (sin 0).dxudu u x=≠ 两边积分得sin ,u cx =代回原变量,得通解sinycx x=.此外,方程还有解sin 0,u =它包含在通解中. 2.线性微分方程与常数变易法2.1常数变易法 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx=+ （7） 其中(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0,Q x =（7）变为()dyP x y dx=, （8） （8）称为一阶齐次线性微分方程.若()0,Q x ≠(7)称为一阶非齐次线性微分方程.（8）是变量分离方程,它的通解为()P x dxy ce ⎰= (9)这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性微分方程(7)通解的求法.不难看出,(8)是(7)的特殊情形,可以设想:在(9)中,将常数c 变易为x 的待定函 数()x c .令()()P x dxy c x e⎰= ()10微分之,得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x p x edxdx ⎰⎰=+ (11) (10),(11)代入(7),得()()()()()()()()(),P x dxP x dx P x dx dc x e c x p x e c x p x e q x dx⎰⎰⎰+=+ 即()()(),P x dx dc x q x e dx-⎰= 积分后得到()()(),P x dxc x eq x dx c -⎰=+⎰这里c 是任意常数.将上式代入(10),得到方程(7)的通解()()(())P x dxP x dxy e eq x dx c -⎰⎰=+⎰. (12)这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法,通过变换(10)可将方程(7)化为变量分离方程.若方程不能化为(7)形式,可以将x 看作是y 的函数,再看是否为(7)形式. 2.2常数变易法的应用 例324.dyxy x dx=-+ 解 首先求线性齐次方程20dyxy dx+=的通解.分离变量得 2(0).dyxdx y y=-≠ 两边积分,化简后得到2.x y ce -=再应用常数变易法求线性非齐次方程的通解,为此在上式中把常数c 变易成待定函数()c x .令2()x y c x e -=.代入原方程,得到222()2()2()4,x x x c x e xc x e xc x e x ---'-=-+化简得2()4,x c x e x -'=上式两边积分得2()2,x c x e c =+于是原方程的通解为22.x y ce -=+3.恰当微分方程与积分因子3.1 恰当微分方程 我们可以将一阶方程(,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=或把,x y 平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += (13)这里假设(,),(,)M x y N x y 在某矩形域内是,x y 的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.这样的形式有时便于探求方程的通解.如果方程(13)的左端恰好是某个二元函数(,)U x y 的全微分,即(,)(,)(,)u uM x y dx N x y dy dU x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ (14) 则称(13)为恰当微分方程.容易验证,(13)的通解就是(,)U x y c =,这里c 是任意常数. 3.2恰当微分方程解法的应用 例43(ln ).ydx y x dy o x++= 解 这里3(,),(,)ln ,yM x y N x y y x x==+ 于是(,)1(,).M x y N x y y x x∂∂==∂∂ 因此这是一个恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到3(ln )0,ydx xdy y dy x+++ 即41(ln )04d y x dy +=. 所以方程的通解为41ln 4y x y c +=. 3.3积分因子如果存在连续可微的函数 (,)0,u u x y =≠ 使得(,)(,)(,)(,)0u x y M x y dx u x y N x y +=为一恰当微分方程,即存在函数v 使uMdx uNdy dv +≡ (15)则称(,)u x y 为方程(13)的积分因子.这时(,)v x y c =是(15)的通解,因而也就是(13)的通解.3.4积分因子解法的应用例5 432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=. 解 4322,y M xy e xy y =++ 24223,y N x y e x y x =--342826 1.y y M xy e xy e xy y ∂=+++∂4222 3.y Nxy e xy x∂=--∂ 所以4,M Ny xM y ∂∂-∂∂=--得到方程的积分因子为441().dy y u y ye -⎰== 原方程可化为22324213(2)()0yyx x x xe dx x e dy y y y y+++--=.将原方程重新分项得22234213(2)()()0,yyx x xxe dx x e dy dx dy dx dy y y y y++-+-=即223()0.yx xd xe y y++=因此,方程的通解为223.yx xx e c y y++=另外,0y =也是方程的解.4 .一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程的一般形式可表示为(,,)0.F x y y '=如果能从此方程中解出导数,y '其表达式为(,),y f x y '=则可依(,)f x y 的具体形状如何而选择前面所介绍的某一方法求解.但如果难以从方程中解出y '或即使解出y ',而其表达式相当复杂的情况下,则宜采用引进参数的办法使之变为导数已解出的方程类型,这正是本部分讨论的主要思想.这里主要介绍以下四种类型的求解方法:(1) (,);y f x y '= (2) (,);x f y y '=(3) (,)0;F x y '= (4) (,)0.F y y '=4.1可解出y 的方程 讨论形如),(dxdyx f y = (16) 的方程的解法.这里假设函数有连续的偏导数.引进参数,dyp dx=则(16)变为 (,)y f x p =, (17)将(17)两边对x 求导数,并以dyp dx=代入,得到 f f dp p x p dx∂∂=+∂∂, (18) 方程(18)是关于,x p 的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面的方法求出它的解.若已求得(18)的通解的形式为(,),p x c ϕ=将它代入(17)得(,(,),y f x x c ϕ= 这就是(16)的通解.若求得(18)的通解的形式为()c p x ,ψ=则得到(16)的参数形式的通解为⎩⎨⎧==)),,((),(p c p f y c p x ψψ 其中p 是参数,c 是任意常数.若求得(18)的通解的形式为(,,)0,x p c Φ=则得到(16)的参数形式的通解为()⎩⎨⎧==),(0,,p x f g c p x φ 其中p 是参数,c 为任意常数. 4.2可解出y 的方程解法的应用例6 2ln ().y xy x xy ''=+ 解 设,dyp dx=则原方程写为 2ln ()y xp x xp =+ (19)两边关于x 求到导,得22ln ln 22,dp dp p x x p x p xp xp dx dx=++++ 化简到(ln 2)()0,dpx xp xp dx++= 由此得到ln 2x p x =-或.dpx p dx=- 把ln 2xp x=-代入(19),得原方程的一个特解 21(ln ).4y x =-由方程.dpxp dx=- 解得,cp x=代入(19),得到原方程的通解 2ln .y c x c =+4.3不显含y 的方程. 形如(,)0F x y '= (20)的方程的解法.记.dyp y dx'==从几何的观点看,(,)0F x p =代表oxp 平面上的条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式{()()x t p t ϕψ== (21)这里t 为参数.再注意到,沿方程(20)的任何一条积分曲线上,恒满足基本关系式.dy pdx =以(21)代入上式得()(),dy t t dt ψϕ'=两边积分,得到()(),y t x t dt c ψϕ'=+⎰于是得到方程(21)的参数形式的通解为{()()(),x t y t x t dt c ϕψϕ='=+⎰其中c 为任意常数.4.4不显含y 的方程的解法的应用例7 2.y y y e ''=解 令,y p '=则原方程化为2.yp y p e =对x 求导数,即得11 ()dxdp e p p p p 22+= 积分之,即得()c e p x p ++=1所以,方程的通解为{2(1)p p x p e c y p e =+⋅+=另外,0y =也是方程的解. 小结：熟悉各种类型方程的解法,正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,这是必须做到的.然而我们所遇到的方程未必都恰好是本文所介绍过的几种类型,因此,还需要注意解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性.还有一点很重要,就是要善于根据方程的特点, 引进适当的变换,将方程化为能求解的新类型,从而求解.参考文献:[1] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:北京科学出版社,1999.[2] 尤秉礼.常微分方程补充教程[M].北京:人民教育出版社,1981.[3] 丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1985.[4] 许凇庆.常微分方程稳定性理论[M].上海:上海科技出版社,1964.[5] 周义仓.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2005.。