下载文档原格式
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dxdy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<=Λ210处的近似值),,2,1(N n y n Λ=的方法，),,2,1(N n y n Λ=称为问题（1）的数值解，n n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1-+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1Λ=≈-+n x y x f hx y x y n n n n化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1Λ=+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n Λ （3）得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出Λ,,21y y 。
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
微分方程解法微分方程是数学中非常重要的一种方程，它描述了变量之间的变化率关系。
解微分方程是找到满足给定条件的函数，使得该函数满足微分方程。
本文将探讨微分方程的解法，并介绍一些常用的解法方法。
一、常微分方程的解法常微分方程是只含有一个未知函数的微分方程。
常微分方程的解法方法主要有以下几种：1. 可分离变量法对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，如果能将其分离成f(x)dx=g(y)dy 的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。
这种方法适用于大部分可分离变量的微分方程。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的方程，如果能将其转化为F(z)=z的形式，其中z=y/x，那么可以通过引入新变量z来简化微分方程的求解。
这种方法适用于一类具有齐次性质的微分方程。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，如果p(x)和q(x)都是已知函数，那么可以通过求解一阶线性常系数齐次微分方程的解，再利用特解和齐次解的线性组合求得原方程的解。
线性微分方程是常微分方程中最常见的一类方程。
对于形如dy/dx=F(ax+by+c)的方程，如果通过适当的变量替换，将方程化为直线的斜率不变的形式，那么可以通过直线积分求解。
这种方法适用于一类具有特殊形式的微分方程，在求解过程中可通过合适的变换将其转化为更简单的方程。
5. 特殊类型方程法除了上述常见的解法方法外，还有一些特殊类型的微分方程有自己独特的解法。
例如，一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程、二阶线性方程等都有一些特殊性质和求解方法。
二、偏微分方程的解法偏微分方程是含有多个未知函数及其偏导数的方程。
相对于常微分方程，偏微分方程的求解更加复杂，常用的解法方法有以下几种：1. 分离变量法对于形如u_t=F(x)G(t)的方程，如果能将其分离为F(x)/G(t)=h(u)=h(x)+k(t)的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。
常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。
在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。
本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。
通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。
例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。
1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。
1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。
初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。
例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。
二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。
它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。
例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。
通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。
2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。
变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。
例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述变化规律的方程中出现的微分项。
本文将介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数和自变量之间的关系方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，y为未知函数，x为自变量，y'，y''，...，y^(n)为y的一阶、二阶，...，n阶导数，n为正整数。
常微分方程的阶数指的是方程中最高阶导数的阶数。
例如一阶常微分方程只包含y'，二阶常微分方程包含y'和y''，依此类推。
常微分方程可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
常系数微分方程中的系数是常数，变系数微分方程中的系数可以是关于自变量x 的函数。
二、常微分方程的解法常微分方程的解法可以分为初值问题和边值问题。
1. 初值问题初值问题是指在方程中给定自变量x的某个初始值和未知函数y在该点的初值。
对于一阶常微分方程，求解初值问题的基本步骤如下：(1) 将一阶常微分方程改写成dy/dx = f(x, y)的形式；(2) 使用分离变量、全微分或变量代换等方法将方程转化为可分离变量的形式；(3) 对变量进行积分，得到通解；(4) 将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
对于高阶常微分方程，可以通过转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用类似的方法求解。
2. 边值问题边值问题是指在方程中给定自变量x在两个不同点上的值，要求找到满足这些条件的未知函数y。
对于二阶线性常微分方程的边值问题，可以使用常数变易法或格林函数法等求解方法。
三、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
以下是常见的几个应用领域：1. 物理学常微分方程在描述物理系统的运动规律中起着重要的作用。
例如，牛顿第二定律可以表示为二阶线性常微分方程。
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
致谢 .. (22)常微分方程的初等解法与求解技巧学生姓名：张娟 指导教师：王晓锋 1.引论常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.2.变量分离方程与变量变换2.1变量分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdyϕ=， 若0)(≠y ϕ，则有 ：dx x f y dy)()(=ϕ， 两边积分，得到:c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ，c 为任意实数.如果0)(=y ϕ 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ中，若不包括，需补上特解0y y =.2.2变量分离方程的举例（1）xy dxdy2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx ydy2=， 两边积分，得到：12⎰⎰+=c xdx y dy，1c 为任意实数．故 2x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2x ce y =中， 故方程的通解为：2x ce y =，c 为任意实数．2.3变量分离方程的几种类型 2.3.1齐次微分方程对于齐次微分方程)(xyg dx dy =， 解法：令xyu =则有： ux y =， （2-1） 两边对x 求导得：u dx dux dx dy +=，（2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x yg dx dy =中可得：)(u g u dxdu x =+， 即 xuu g dx du -=)(， 从而可以求得其解．举例：求解方程)0(2<=+x y xy dxdyx .解：原方程可化解为：xy x y dx dy +=2()0<x ，这个方程为齐次微分方程，令u xy=， 则有 xu y =，两边对x 求导得：u dx du x dx dy +=，将u xy =和u dx du x dx dy +=代入原方程中得： u dxdu x 2=， 这个方程为可分离变量方程， 当0≠u 时解之可得：c x u +-=)ln(,其中c 为使等式有意义的任意常数.即当0=u 时，显然是u dxdux 2=的解，且不包含在c x u +-=)ln(中， 将u xy=代入0=u 或c x u +-=)ln(中可得： ⎩⎨⎧>+-+-=,0,0)(ln ,])[ln(2c x c x x y 当2.3.2有理比式222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=的三种类型 ①类型一==2121b b a a k c c =21（常数）情形，则原方程变为：k dxdy =， 故方程的通解为：c kx y +=，其中c 为任意常数.举例：求解下列方程的解12224++++=y x y x dx dy . 解：根据题意可得：212224=++++=y x y x dx dy ， 即2=dxdy， 故可得： c x y +=2，c 为任意常数. 因此原方程的通解为：c x y +=2，c 为任意常数.②类型二212121c c k b b a a ≠==情形，令 y b x a u 22+=，两边对x 求导可得：212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=， 这个方程是变量分离方程.举例：做适当变换求解方程25--+-=y x y x dx dy . 解：经判断为第二种类型，令 y x u -=， 两边对x 求导可得：dxdydx du -=1， 故可得:27--=u dx du ， 解之可得： 127221c x u u +-=-，1c 为任意常数.将y x u -=代入并化简可得：c x y xy y x =++-+104222，c 为任意常数.③类型三2121b b a a ≠情形，如果方程222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=中的1c ，2c 不全等于零，111c y b x a ++，222c y b x a ++都是x ，y 的一次多项式，则 ⎩⎨⎧=++=++,0,0222111c y b x a c y b x a （2-3）可以求得解为： ⎩⎨⎧==,,βαy x令 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X则（2-3）化解为： ⎩⎨⎧=+=+,0,02211Y b X a Y b X a故222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=化为: )(2211XY g Y b X a Y b X a dX dY =++=， 故可以解出该方程的解，解出其解，再将 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 带入其解中，从而得到所求方程的解.举例：解下列方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：显然2121b b a a ≠，故为第三种类型， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y Y x X 得： 31-=x ，31=y . 于是令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,31,31Y y X x 代入原方程中，则有：XY X YYX Y X dX dY 21222--=--=， 这个方程为可变量分离方程，故令XYu =，则 uX Y =， 等式两边对X 求导可得：u dXduX dX dY +=， 将XY X Y dXdY 212--=代入u dX du X dX dY +=中得到： uuu dX du X 212--=+,化解得：uu u dX du X 212222-+-=， 解之可得：X c u u 1212)1(=+--，换入原来的变量得：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.故原方程的解为：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛=2x y xf dx dy ， (2)()c by ax f dx dy++=， (3))(2xy f dxdy x =，(4)0)()(=+dy xy xg dx xy yf .3.线性微分方程和常数变易法3.1线性微分方程与常数变易法 如果一阶线性微分方程可表示为：)()(x Q y x P dxdy+=，这里)(x P ，)(x Q 在定义域上是连续的函数.①如果0)(=x Q ，则原式变成y x P dx dy )(=，故形如y x P dxdy )(=的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程[1].②如果0)(≠x Q ，则原式变成)()(x Q y x P dx dy +=，故形如)()(x Q y x P dxdy +=的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程[1].因y x P dxdy )(=为变量分离方程，其通解为： ⎰=dxx P ce y )(，c 为任意常数.下面讨论形如)()(x Q y x P dxdy+=形式的方程解的求法.由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：⎰=dxx P ce y )(，令 ⎰=dxx P e x c y )()(， （3-1）两边对x 求导可得：⎰+⎰=dx x P dxx P e x P x c e dx x dc dxdy )()()()()(， （3-2） 将（3-1），（3-2）代入)()(x Q y x P dxdy+=中并化简可得：⎰=-dx x P e x Q dxx dc )()()(， 两边积分得：1)()()(c dx e x Q x c dxx P +⎰=⎰-，其中1c 是任意常数.因此可得原方程的通解为：))((1)()(c dx e x Q e y dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-，这里1c 是任意常数.这种方法叫做常数变易法[1]. 举例：求解方程x y dxdysin +=.解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：y dxdy=， 解之得：x ce y =，c 为任意常数.令()x e x c y =， （3-3）两边对x 求导可得：()x xe x c e dxx dc dx dy )(+= ，（3-4） 将（3-3），（3-4）都代到x y dxdysin +=中并化解可得： ()()()x e x c e x c e dxx dc x x xsin +=+， 因此有：()x dxx dc sin =， 从而可以求得该方程的解为：()1cos c x x c +=，1c 为任意常数.因此可得原方程的通解为：()x e c x y 1cos +=，这里1c 为任意常数.3.2伯努利微分方程定义：形如()n y x Q y x P dxdy)(+=的类型，0≠n ，1≠n ，并且n 是常数，其中()x P ，()x Q 关于x 是连续的，故我们称()n y x Q y x P dxdy)(+=为伯努利微分方程错误!未定义书签。
