常微分方程考研讲义第二章一阶微分方程的初等解法第二章、一阶微分方程的初等解法[教学目标]1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。
2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。
3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。
4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。
[教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。
[考核目标]1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。
2.会建立一阶微分方程并能求解。
§1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1) 变量分离方程形如()()dyf xg y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+?? （2.2）把,()()dy f x dx g y ?分别理解为1,()()f x y ?的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy xdx y=- 解将变量分离，得到 ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx= 并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得到 2cos dyxdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 因而，通解为1sin y x c=-+这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到1c =- 因而，所求的特解为 11sin y x=-例3 求方程()dyP x y dx= （2.3）的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= 两边积分，即得ln ()y P x dx c=+? 这里的c是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx c y e +?=即()P x dxcy e e ?=±令c e c ±=，得到()P x dxy ce ?= （2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数. 注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如dy y g dx x ??=（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数. 另外,ⅰ)对于方程(,)(,)dy M x y dx N x y =其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y yx M M dy x x y y dx x N N x x== ⅱ)对方程(,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dy y f dx x= 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令yu x= （2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 ()du x u g u dx+= 整理后，得到()du g u u dx x-= （2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y ytg dx x x=+ 解这是齐次方程，以,y dy duu x u x dx dx==+代入，则原方程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgu dx x= （2.9）分离变量，即有dxctgudu x= 两边积分，得到ln sin ln u x c=+这里的c是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为 sin ycx x= 例5 求解方程(0).dyxy x dx+=<解将方程改写为(0)dy y x dx x=<这是齐次方程，以,y dy duu x u x dx dx==+代入，则原方程变为dux dx=（2.11）分离变量，得到dxx = 两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+> (2.12)这里的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u = 注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解 2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ?-+-+>=?它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ??=的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu x dx dx=+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dvv y dy dy =+，将其代入齐次方程dx x f dy y ??=使方程变为,v y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ??=形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13）的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形. 这时方程（2.13）属齐次方程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +??== ?+??此时，令yu x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形.设1122a b k a b ==，则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为22()dua b f u dx=+ 这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此1112220a xb yc a x b y c ++=??++=? （2.14）代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-??=-?（2.15）则（2.14）化为11220a X b Y a X b y +=??+=?从而（2.13）变为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +??== ?+??（2.16）因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为,x y αβ==；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换Yu X=将（2.16）化为变量分离方程；(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型111222a x b y c dyf dx a x b y c ??+== ?++??此外，诸如()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyx f xy dx= 2dy y xf dx x ??=以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程13dy x y dx x y -+=+- （2.17）解解方程组 1030x y x y -+=??+-=?得1, 2.x y ==令12x X y Y =+??=+?代入方程（2.17），则有 dY X YdX X Y-=+ （2.18）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2.18）化为 2112dX udu X u u +=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=±记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为 22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.3、应用举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ dI Cu C dt dt dt=== （2.20）将（2.20）代入（2.19），得到c u 满足的微分方程 cc du RCu E dt+= （2.21）这里R 、C 、E 都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到C C du dtu E RC=-- 两边积分，得到11ln C u E t c RC-=-+ 即1112t t c RCRCC u E e e c e---=±=这里12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代入，得到2c E =-. 所以 1(1)t RCC u E e-=- （2.22）这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增大，且当t →+∞时，C u E →，在电工学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进行. 例8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线()y f x z =??=? （2.23）绕x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求xy 平面上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任一点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知12αα= 从而OM ON = 注意到2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满足的微分方程式dy dx =（2.24）这是齐次方程.由2.12知引入新变量xu y=可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程也可由x yv =得dx dvv y dy dy=+代入（2.24）得到sgn dvv yv y dy+=+于是sgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+ （2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面22(2)y z c c x +=+ （2.27）小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成()()dyP x y Q x dx=+ （2.28）对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这里假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为()dyP x y dx= （2.3）称为一阶齐线性方程.若()0Q x ≠，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ?= （2.4）这里c 是任意的常数.下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令()()P x dxy c x e ?= （2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx=+ （2.30）将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx-?= 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c-?=+?（2.31）这里c是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dx y e Q x e dx c cee Q x e dx --=+ ?（2.32）这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和. 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数. 解将方程改写为(1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33）先求对应的齐次方程 01dy n y dx x -=+ 的通解，得(1)n y c x =+令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35）以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得()x c x e c=+ 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解(1)()n x y x e c=++ 这里c是任意的常数. 例2 求方程22dy ydx x y =-的通解. 解原方程改写为2dx x y dy y=- （2.36）把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dx来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程 2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（2.36），得到()ln c y y c=-+ 从而，原方程的通解为2(ln )x y cy =- 这里c是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 特别的，初值问题00()()()dyP x y Q x dxy x y ?=+=? 的解为00()()()=()xxsx x x P d P d P d xx y ceeQ s eds ττττττ-例3 试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而 ()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为 ()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证（1）设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使1122()(1)()(2)dy py Q x dxdy py Q x dx=+=+（1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解.（2）因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx +=+=++=++故结论成立.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成立.3、Bernoulli 方程形如()()n dyP x y Q x y dx=+ （0,1n ≠）（2.38）的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程，这里(),()P x Q x 为x 连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于0y ≠，用n y -乘（2.38）两边，得到1()()n n dyy y P x Q x dx--=+ （2.39）引入变量变换1n z y -= （2.40）从而(1)n dz dy n y dx dx-=- （2.41）将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+- （2.42）这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n >时，方程还有解0y =.例4 求方程26dy yxy dx x=-的通解解这是2n =时的伯努利方程，令 1z y -=,得 2dz dyy dx dx-=- 代入原方程得到6dz z x dx x=-+ 这是线性方程，求得它的通解为268c x z x =+代回原来的变量y ，得到2618c x y x =+或者688x x c y -=这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =. 例5 求方程331dy dx xy x y =+的解解将方程改写为33dxyx y x dy=+ 这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例6 求方程23y dy e x dx x+=的通解这个方程只要做一个变换，令,yy du dy u e e dx dx==，原方程改写为22231du x u u dx x x=+便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数()c x ，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.§3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义将一阶微分方程 (,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -=把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.43）假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.44) 即(,), (,)u u M x y N x y x y==?? (2.45) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是(,)u x y C ≡就是方程(2.43)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义). 2、恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是。
