高数无穷大无穷小

( x→x0 −0) ( x→x0 +0)
x→x0
3
x
8
无穷大与无穷小的关系: 无穷大与无穷小的关系: 定理2: 定理2: 在自变量的同一变化过 f , 如果 ( x)为无穷大 程中， 程中， 1 , f , f ; 则 为无穷小 反之 且如果 ( x)为无穷小且 ( x) ≠ 0, f ( x) 1 . 则 为无穷大 f ( x)
0 , ∃δ > 0, 使得当 < x − x0 < δ时 恒有 f ( x) < ε 成立, 成立 则称 ( x) x → x0时为无穷小记作: f 当 ,记作 lim f ( x) = 0
无穷小2: 无穷小2: 设函数 ( x) x大于某一正数时有定义如果 ε > 0, ∀ f 当 , x , 成立, f 当 ∃X > 0, 使得当 > X时 恒有 f ( x) < ε 成立 则称 ( x)
x2 −1 12 − 1 lim 2 = lim 2 =0 x →1 x x →1 1 + 1 +x
由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（ 由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷 大）， 故： (3)分子 分母极限都为零。（消除致零因子） 分子、 。（消除致零因子 (3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子） x2 + x − 2 例 5 求 lim x →1 x2 −1 解
x→x0
.记为:lim f ( x) = 0. 当x → ∞是的无穷小量 记为 x→∞
2
同样可以定义: 同样可以定义 . 当x → x0 − 0, x → x0 + 0, x → −∞, x → +∞时的无穷小
lim x3 − 27 = 0, ∴x3 − 27当 → 3 x . 时为无穷小 如: x→3 1 lim = 0, ∴ 1 当 → ∞时为无穷小 x . x→∞ x x π lim − arctan x = 0,∴ f ( x)当x → +∞时为无穷小 . x→+∞ 2

证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
f
(
1 x)g(
x)
f
1 (x)
.
1 g( x)
是无穷小量 . 从而 f ( x)g( x)当 x x0 是
为无穷大量 .
例9
求
lim n
1 n2
2 n2
n n2
.
解 本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
lim n
1 n2
2 n2
n n2
lim 1
n
2 n2
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
(1) 设 x x0 时，g( x)是有界量，f ( x)是无穷 大量，证明：f ( x) g( x)是无穷大量 .
(2) 设 x x0 时，| g( x) | M (M 是一个正的常数)，
f ( x) 是无穷大量 . 证明：f ( x)g( x) 是无穷大量 .
值函数 f ( x)都满足不等式 | f ( x) | M , 则称函数
f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大, 记作
lim f ( x) (或lim f (x) ).
x x0
x
特殊情形: 正无穷大, 负无穷大:
lim f ( x) ( lim f ( x) ).
x x0
x x0
例如, 构造如下数列变量：
x1
(n
)：
1,
1 2
，1 3
,
1 4
，，1 n
，
x1(n)是无穷小;
x2 (n)：
1,
2，1 3
,
1 ，，1 4n
，
x2(n)是无穷小;

lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b

y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(n )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
直接得出结论 。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.