高等数学无穷小与无穷大

高等数学常用微积分公式

一、极限

1.无穷大与无穷小：

当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；

当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；

2.函数极限：

若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：

lim(x→a) f(x) = L；

3.等价无穷小：

若 f(x) 和 g(x) 都是 x→a 时的无穷小，并且 lim(x→a)

(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是 x→a 时的等价无穷小。

二、导数

1.导数的定义：

若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。

2.常见函数的导数：

(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'； (2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；

(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；

(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为

dy/dx = f'(u)*g'(x)。

3.高阶导数：

函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。

三、微分

1.微分的定义：

函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) =

f'(x)dx。

2.微分的性质：

(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；

(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；

(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；

(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；

陕西国际商贸学院

教学设计

课程名称：经济应用数学.A

授课教师：_____________

授课班级：_____________

基础课部大学数学教研室

2017至2018学年第 1 学期

课题：无穷小与无穷大

课程：经济应用数学A 教学对象： 课时：2课时

任课教师： 教材：《高等数学（经管类）》吴玉梅，古佳，康敏，科学出版社

一、教材分析

选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。

二、教学目标与内容

1.教学目标

知识与技能 通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系，掌握无穷小的运算性质，熟记常用的等价无穷小量，会用等价无穷小替换定理求极限。

过程与方法

通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，在此过程中，要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观

通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。

《工科数学分析》课程教案

一、无穷小量

定义1 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小

当0xx时，如果函数)(xf的极限为0，则称当0xx时，)(xf是无穷小量

同样可以给出其他极限过程的无穷小量的定义

若数列{na}的极限为0，则{na}是无穷小量

注 （1）无穷小量不是很小的数

（2）数零是唯一可作为无穷小的常数

一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外

（3）无穷小指量的变化状态，而不是量的大小

（4）任意无穷小量都为有界量

1、无穷小与极限的关系

定理1 Axfxx)(lim00))((lim0Axfxx

推论 Axfxx)(lim0Axf)(，其中0lim0xx

2、无穷小量的性质

定理2 同一极限过程的两个无穷小的和、差、积仍是无穷小

例如，当0x时，xxsin、xxsin也是无穷小量

定理3 无穷小量与有界量之积是无穷小量

例如，当0x时，xxcos，xx1sin2也是无穷小量

推论1 任一常数与无穷小量之积是无穷小量

例如，当0x时，xsin3也是无穷小量

推论2 有限个无穷小量之积是无穷小量

注 两个无穷小之商未必是无穷小

定理4 无穷小除以极限大于零（或小于零）的量的商仍未无穷小

二、无穷大量

定义2 当0xx时，若)(xf的绝对值无限增大，则称当0xx时，)(xf是无穷大量，简称无穷大，记作)(lim0xfxx

若数列{nx}当n时，它项的绝对值无限增大，则{nx}是无穷大量，记成nnxlim

注 1）无穷大量不是一个很大的数

2）无穷大量的实质是极限不存在

3）无穷大必无界，反之不真，例如xxxfsin)(在)(U无界，但nxn2时，0)(limnnxf

4）两个无穷大的代数和未必为无穷大，例如xa与xa（1,ax）都是无穷大，但他们的和却是无穷小

一、基本定义

I、def 设函数)(xo在a点的某个去心邻域内有定义并且

0)(limxoax

那么我们就说)(xo是ax的无穷小量

我们取xxxoxoxxoxxo1sin)(,sin,(,)(43221）这四个函数皆为0x无穷小量

1、xxoxoxx1lim)()(lim0210

2、01lim)()(lim0120xxoxoxx

3、1sinlim)()(lim0130xxxoxoxx

4、xxoxoxx1sinlim)()(lim0140（极限不存在），xxoxo1sin)()(14有界

5、xxxoxoxx1sin1lim)()(lim0140（极限不存在）并且无界

II、def函数)(xA在a点的某个去心邻域有定义，如果

)(limxAax

那么我们说)(xA是ax的无穷大量

我们取xxA1)(1，221)(xxA都是0x的无穷大量

类似于上面01lim)()(lim0210xxAxAxx；xxAxAxx1lim)()(lim0120；

III、def设函数)(xf与)(xg在a的某个去心邻域有定义且0)(xg，我们有以下的定义

1、)()(xgxf在ax时是一个有界变量，我们记为))(()(xgOxf；

例 )(1sinxOxx)(sinxOx

2、)()(xgxf在ax时是一个无穷小量，我们记为))(()(xgoxf（)(xf是)(xg的高阶无穷小（大））

例 )1(1);(22xoxxox

3、如果1)()(limxgxfax，我们记为)(~)(xgxf（)(xf与)(xg是等价无穷小（大））

例 xx~sin

特别)1()(Oxf说明)(xf有界；)1()(oxg说明0)(limxgax

例 nmaxxgaxxf)()(,)()(，则