高数一 1-4 无穷小与无穷大

习题14

1 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之

解 不一定

例如 当x0时 (x)2x (x)3x都是无穷小 但32)()(lim0xxx )()(xx不是无穷小

2 根据定义证明

(1)392xxy当x3时为无穷小;

(2)xxy1sin当x0时为无穷小

证明 (1)当x3时|3|39||2xxxy 因为0   当0|x3|时 有

|3|39||2xxxy

所以当x3时392xxy为无穷小

(2)当x0时|0||1sin|||||xxxy 因为0   当0|x0|时 有

|0||1sin|||||xxxy

所以当x0时xxy1sin为无穷小

3 根据定义证明 函数xxy21为当x0时的无穷大 问x应满足什么条件 能使|y|104？

证明 分析2||11221||xxxxy 要使|y|M 只须Mx2||1

即21||Mx

证明 因为M0 21M 使当0|x0|时 有Mxx21

所以当x0时 函数xxy21是无穷大

取M104 则21014 当2101|0|04x时 |y|104 4 求下列极限并说明理由

(1)xxx12lim;

(2)xxx11lim20

解 (1)因为xxx1212 而当x 时x1是无穷小 所以212limxxx

(2)因为xxx1112(x1) 而当x0时x为无穷小 所以111lim20xxx

一、映射

1、映射的概念

映射：设X、𝑌是两个非空集合，如果存在一个法则𝑓，使得对X中每个元素𝑥，在𝑌中有唯一确定的元素𝑦与之对应，那么称𝑓为从𝑥到𝑦的映射，记作：

𝑓：X→𝑌

举例：

注意事项：

一、无论是定义域还是值域都是非空集合

二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。

三、对于定义域内部的每个𝑥来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。

2、特殊映射

满射（X到𝑌上的映射）：值域中的每一个值都被对应。根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。

单射：定义域内对应值域内的值不同。即𝑥1≠𝑥2，则𝑓(𝑥)1≠𝑓(𝑥)2

一一映射：映射是满射又是单射

3、逆映射

若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。记作：𝑓−1 。其中，新构成的这个映射，定义域 𝐷𝑓−1=R𝑓 ，即新的定义域为原映射的值域。而新的值域则是 R𝑓−1=𝑋，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。

1、2、3、4 1、2、3、4、5

𝐷𝑓（定义域） R𝑓（值域） 定义域内值称“原像” 值域内称“像” 4、复合映射

若 g:X→Y1 ，𝑓:Y2 →Z ，则由g与f 可构成复合映射，即：𝑓∘g: X→Z。这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 𝑓[𝑔(𝑥)] 。由定义可知，g 的值域必须在𝑓的定义域内。且

𝒇∘𝐠 与 𝐠∘𝒇 意义不同。

二、函数

1、函数的概念

函数：若数集𝐷⊂𝑅，则称映射𝑓:𝐷⊂𝑅为定义在𝐷上的函数，通常简记为：

《高等数学》精品课程

支

撑

材

料

(二)

贵州大学

2006年6月

支撑材料目录

一、课程简介

二、《高等数学》教学大纲

三、示范教学用课件及教案

四、教学改革项目

1、贵州省高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划项目。

五、教学改革论文

1、向淑文等，数学教学方法、手段及考评内容和方法的研究与创新，《发展创新改革-世行贷款二十一世纪初高等理工科教育教学改革项目结题成果汇编》，教育部高等教育司编，高等教育出版社，pp.51-55。

2、周国利、王锡贵，加强素质教育，提高教学质量，贵州工业大学学报（社会科学版），1999.9，pp.33－334。

3、明祖芬、韦维、张大凯，计算方法课件写作介绍，贵州大学学报（自然科学版），1998.11，pp.276－279。

4、黄敏，数理统计在试卷分析中的应用，玉溪师范学院学报，2004年第3期，pp.10－13。

5、明祖芬，参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法，贵州大学学报，2001.3， pp.218－220。

6、明祖芬，谈谈数值分析课的教学与课件写作，贵州大学学报，1997.7， pp.72－74。

7、彭长根、蔡绍洪、樊玫玫，任登鸿，基于Internet的实验室评估系统的设计与实现，贵州大学学报，2004.8，pp.307－312。

8、胡尧，罗文俊，改进Gauss消去法求解线性方程组，贵州大学学报，2004.5，pp.127－131。

9、周永辉，中国工科微积分学教材发展史上的“两个移植”，贵州师范大学学报，2001.2，pp.64－68。

10、周永辉，加强数学教育管理与研究，提高数学教学质量，贵州教育学院学报，2000.8，pp.76－80。

六、学术论文

1、Jian yu、Shu-wen Xiang,The stability of the set of KKM

points,Nonlinear Analysis 54(2003)839-844

1 高数（一）复习题

一、选择题

1、设f(x)的定义域是[-1，1]，则f(2x)的定义域是（ C ）

（A）[-1，1]； （B）[-2，2]；

（C）]21,21[； （D）]21,1[。

2、设函数f(x)与g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是（ A ）

（A）偶函数； （B）奇函数；

（C）非奇偶函数； （D）可能是奇函数也可能是偶函数。

3、函数f(x)=2x+2-x是（ A ）

（A）偶函数； （B）奇函数；

（C）非奇非偶函数； （D）既是奇函数又是偶函数。

4、若f(x)=x2-1,g(x)=x+1,则f(g(x))=（ C ）

（A）x2-1; （B）x4+1;

（C）x2+2x （D）x2+x。

5、函数y=11xxee是（ B ）

（A）偶涵数； （B）奇函数；

（C）非奇非偶函数； （D）既是奇函数又是偶函数。

6、若f(x)=))((,1)(,11xgfxxgxx则（ B ）

（A）xx12； （B）xx2；

（C）x; （D）xx1。

7、当x→0时，涵数sinx是x2的（ C ）

（A）高阶无穷小量； （B）等价无穷小量； 2 （C）低价无穷小量； （D）同阶穷小量。

8、下列说法正确的是（ B ）

（A）无穷大量可能是有界变量；

（B）无穷大量一定不是有界变量；

（C）有界变量可能是无穷大量；

（D）不是有界变量就一定是无穷大量。

9、lim(x1)sin x11（ A ）

（A）1； （B）0； （C）-1； （D）极限不存在。

10、如果limf(x)与limf(x)存在，则（ C ）

（A）limf(x)存在且limf(x)=f(x0);