无穷小和无穷大

1 无穷大与无穷小

无穷大与无穷小的定义：（用x＊表示某一极限变化过程）

0limxfx＊，则称xf是x＊下的无穷小量。

lim(lim;lim)xxxfxfxfx＊＊＊，则称xf是x＊下的无穷大量。

无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，如果xf为无穷大，则xf1为无穷小；反之，如果xf为无穷小，且0xf，则xf1为无穷大。

注：1.无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

2.无穷大与无界的区别。

无穷小与极限

在自变量的同一变化过程0xx（或x）中，limxxfxafxa0，是该变化过程中的无穷小量.

无穷小的运算

1.有限个无穷小的和也是无穷小。

2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

注：1.无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。

2.无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当n时，n1是无穷小，n2个这种无穷小之和的极限显然为2。

3.无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。

4.无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。

2

极限的运算

在给定极限过程中，limfx和limgx都存，且Axflim，Bxglim。

则有如下运算法则成立：

（1）BAxgxfxgxflimlimlim

（2）CAxfCxCflimlim

（3）ABxgxfxgxflimlimlim

nnnAxfxflimlim

（4）0limlimlimBBAxgxfxgxf

无穷小与无穷大

无穷小和无穷大是数学中重要的概念，它们在极限运算和微积分中有着重要的作用。本文将介绍无穷小和无穷大的定义、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、无穷小的定义与性质

无穷小是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于零的特殊情况。具体说，对于函数f(x)，如果当x无限接近某一点a时，f(x)也无限接近于零，那么f(x)就是在点a处的无穷小。常表示为lim x→a f(x) = 0。

1.1 阶与比较

无穷小可以根据其趋近于零的速度分为不同的阶。例如，当x无限接近零时，x^2相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^2是x的高阶无穷小。同样，x^n（n>1）相比于x，其趋近于零的速度更快，因此x^n是x的高阶无穷小。

1.2 运算性质

无穷小具有一些运算性质。例如，两个无穷小的和仍然是无穷小，若f(x)为无穷小，g(x)为有界函数，则f(x)g(x)为无穷小。此外，无穷小与有界函数的乘积也为无穷小。

1.3 等价无穷小

在无穷小的研究中，等价无穷小也是一个重要的概念。如果两个无穷小f(x)和g(x)满足lim x→a (f(x)/g(x)) = 1，那么称f(x)和g(x)是在点a处等价的无穷小。等价无穷小具有相似的性质，在一些极限运算中可以互相替换。

二、无穷大的定义与性质

无穷大是指函数在某一点附近取值时，其值趋近于正无穷或负无穷的情况。具体说，对于函数f(x)，如果当x趋近于某一点a时，f(x)的值无限增大或无限减小，那么f(x)就是在点a处的无穷大。

2.1 正无穷和负无穷

无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。当x趋近于某一点a时，若f(x)的值无限增大，则称f(x)为正无穷大。若f(x)的值无限减小，则称f(x)为负无穷大。

2.2 无穷大的性质

无穷大具有一些基本性质。例如，正无穷大与负无穷大的和仍然是无穷大。另外，无穷大与常数的乘积仍然是无穷大。然而，无穷大的乘积与除法需要谨慎处理。

轻松理解数学中的无穷大与无穷小

无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。

1. 无穷大的定义与性质

在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。无穷大具有以下性质：

1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；

2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。

例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。

2. 无穷小的定义与性质

与无穷大相对应的是无穷小。无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。无穷小具有以下性质：

1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；

2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。

举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。

3. 无穷大与无穷小的关系 无穷大和无穷小是相对的概念。当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。这一性质在数学分析中有着重要的应用。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。

4. 无穷大与无穷小的应用

无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。

在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。同时，无穷大与无穷小也用于定义导数和积分，它们是微积分中的基本概念。

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无穷大与无穷小都是非现实量不是变量

作者：刘文浩

来源：《科技视界》2012年第08期

【摘要】在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数并不是无穷大。一个函数值的绝对值无限增大的趋势是现实的，是变量；但无穷大却是非现实量。无穷大若变小就成了有穷大，而不再是无穷大；假若它能变大，那它还是无穷大。无穷小与此类似。无穷大与无穷小都是非现实数，都不是变量。二者可以用函数的形式来表运算。无穷大是无数有穷之和，对有穷小的无数次分割通向无穷小。

【关键词】变量；现实量；非现实数

１无穷大与无穷小是变量吗

目前数学界通行的对无穷小的定义是：如果函数f（x）当x→x0（或x∞→）时的极限为零, 那么称函数f（x）为当x→x0（或x∞→）时的无穷小。无穷小与函数极限的关系是：在自变量的同一变化过程x→x0（或x∞→）中, 函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+a, 其中a是无穷小。对无穷大的定义为：无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。例如，f(x)=1/x，是当x→0时的无穷大，记作lim(1/x)=∞（x→0）。我认为，无穷大与无穷小都是非现实量，都不是变量。

先来说无穷小。在自变量的某个变化过程中绝对值无限变小、极限为0的变量或函数并不是无穷小。

为便于说明，举一个简单的算数例子。例如：1÷3=0.3……

该算式的商中，0.3后边还有无数个3，人们可以不断地写下去。该商中，越是后边的3，其值越小。这一永远进行的越来越小的趋势，通向无穷小。应该指出的是这一永远进行的越来越小的趋势，虽然通向无穷小，但这一趋势本身并不是无穷小，它只是在通向无穷小，无穷小只是这一趋势的目标。

有些人认为无穷小是一种趋向，这是错误的。这种趋向是以无穷小为目标的趋向，这种趋向通向无穷小，但此趋向本身并不是无穷小。通向无穷小的趋向是现实的，而无穷小只能存在于有穷之中，它不是现实的。通向无穷小的趋向是人们的感官可以感觉到的，与此相反，无穷小却是人们的感官不可能感觉到的。那种想直接接触到无穷小的想法，只是幻想。