2017苏教版函数y=Asin8.doc

第4讲 函数y=Asin()x ωϕ+的图象及三角函数模型的简单应用1.将函数y=sin(6x+)4π的图象上各点向右平移8π个单位,则得到新函数的解析式为( )A.y=sin (6)2x π-B.y=sin (6)2x π+C.y=sin 5(6)8x π+D.y=sin (6)8x π+【答案】 A【解析】 新函数解析式为y=sin [6()]84x ππ-+=sin (6)2x π-,故选A.2.为了得到函数y=2sin ()(36x x π+∈R )的图象,只需把函数y=2sin (x x ,∈R )的图象上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【答案】 C【解析】 将函数y=2sinx 的图象向左平移6π个单位得到函数y=2sin(x+)6π的图象,将函数y=2sin ()6x π+图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),则得到函数y=2sin 1()36x π+的图象,故选C.3.已知函数f(x)=sin ()(0)3x πωω+>的最小正周期为π,则该函数图象( )A.关于直线3x π=对称B.关于直线4x π=对称C.关于点4(0)π,对称D.关于点(0)3π,对称【答案】 D【解析】 根据函数f(x)的最小正周期为π,可得f(x)=sin(2x+)3π.当3x π=时()03f π,=,所以该函数图象关于点(0)3π,对称;当4x π=时1()42f π,=.故选D.4.若函数f(x)=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上单调递增,在区间[]32ππ,上单调递减,则Ω=( )A.3B.2C.32D.23【答案】 C【解析】 根据函数f(x)=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上单调递增,在区间[]32ππ,上单调递减,可知232k ωππ=+π(k ∈Z ),可知选项C 中32ω=符合.1.将函数y=sin (2)4x π+的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移4π个单位,所得到的图象解析式是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin4x D.y=cos4x【答案】 A【解析】 y=sin (2)4x π+横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y=sin(x+)4π向右平移4π个单位y=sin ()44x ππ-+=sinx.2.若函数f(x)=sin ()(x ωϕ+|ϕ|<)2π的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=sin 1()26x π+B.f(x)=sin (2)3x π+C.f(x)=sin 1()23x π+D.f(x)=sin (2)6x π+【答案】 A【解析】 由4T =π,得T=4π,∴12ω=.又函数图象过点(3π-,0),可得6πϕ=.3.若函数y=Asin ()x m ωϕ++的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,则它的解析式是( ) A.y=4sin (4)6x π+B.y=2sin (2)23x π++C.y=2sin (4)23x π++D.y=2sin (4)26x π++【答案】 D 【解析】 由题意得 40A m A m +=,⎧⎨-+=,⎩ ∴ 22A m =,⎧⎨=.⎩∵2T π=,∴24Tπω==. ∴y=2sin (4)2x ϕ++.∵3x π=是其对称轴,∴sin (4)13πϕ⨯+=±.∴432k ππϕ+=+π(k ∈Z ).∴k ϕ=π5(6k π-∈Z ).当k=1时6πϕ,=.4.已知函数f(x)=2sin ()(x ωϕ+其中0ω>,|ϕ|2)π<的最小正周期是π,且(0)3f =,则( ) A.126πωϕ=,=B.123πωϕ=,=C.26πωϕ=,=D.23πωϕ=,=【答案】 D【解析】 ∵函数()(0f x ω>,|ϕ|)2π<的最小正周期为π,∴2T πω==π.∴2ω=.∵f(0)=2sin 3ϕ=, 即sin 3(2ϕ=|ϕ|)2π<,∴3πϕ=,故选D.5.设0ω>,函数y=sin ()23x πω++的图象向右平移43π个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( ) A.23B.43C.32D.3【答案】 C【解析】 由题意知243T ππω=≤,∴32ω≥,即ω的最小值为32.6.若函数f(x)=2sin ()x ωϕ+对任意x 都有()6f x π+=6(f π-x),则()6f π等于( ) A.2或0 B.-2或2C.0D.-2或0 【答案】 B【解析】 由66()()f x f x ππ+=-可知6x π=是函数f(x)的一条对称轴.又∵f(x)=2sin ()x ωϕ+在对称轴处取得最值, ∴选B.7.已知(0x ∈,π],关于x 的方程2sin ()3x a π+=有两个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( ) A.[32]-, B.[32], C.(32], D.(32),【答案】 D【解析】 令12y =sin ()(03x x π+,∈,π2]y a ,=,作出1y 的图象如图所示:若关于x 的方程2sin ()3x a π+=在(0,π]上有两个不同的实数解,则1y 与2y 应有两个不同的交点,所以3<a<2.8.已知函数y=Asin ()x n ωϕ++的最大值为4,最小值是0,最小正周期是2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,若A>0002πωϕ,>,<<,则函数解析式为.【答案】 y=2sin (4)26x π++【解析】 由题设得,A 224n ω=,=,=,且当3x π=时,sin 4(3π+)ϕ=1±,故6πϕ=.故所求解析式为y=2sin (4)26x π++.9.给出下列六种图象变换方法:(1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12;(2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍; (3)图象向右平移3π个单位;(4)图象向左平移3π个单位;(5)图象向右平移23π个单位;(6)图象向左平移23π个单位.请用上述变换中的两种变换,将函数y=sinx 的图象变换到函数y=sin ()23x π+的图象,那么这两种变换正确的标号是(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). 【答案】 (4)(2)或(2)(6) 【解析】y=sinx(4)y=sin()3x π+(2)y=sin()23x π+,或y=sinx(2)y=sin 12x (6)y=sin 21[()]23m x π+=sin ()23x π+.10.已知函数f(x)=2sin (2)(x ϕ+|ϕ|)2π<图象的一部分如图所示,则ϕ= .【答案】 3π【解析】 由题图可知6(0)π,-,为三角函数五点作图法的第一个点,所以2()06πϕ⨯-+=,解得3πϕ=.11.已知函数f(x)=3sin 6()(x πω-ω>0)和g(x)=2cos(2x+)1ϕ+的图象的对称轴完全相同.若[0]2x π∈,,则f(x)的取值范围是 .【答案】 32[3]-,【解析】 由题知g(x)=2cos (2)1x ϕ++的周期22T π==π.若f(x)=3sin ()6x πω-的对称轴与g(x)的对称轴完全相同,则f(x)的周期T 也应该是π,故2πω=||π2ω,=±.又∵0ω>,∴2ω=.∴f(x)=3sin 6(2)x π-.若[0]2x π∈,,则2[0x ∈,π5]2[]666x πππ,-∈-,.∴sin 1(2)[1]62x π-∈-,.∴f(x)=3sin 3(2)[3]62x π-∈-,.12.已知函数y=3sin 1()24x π-,(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相;(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 【解】 (1)列表:描点、连线,如图所示:(2)方法一:”先平移,后伸缩”.先把函数y=sinx 的图象上所有点向右平移4π个单位,得到函数y=sin ()4x π-的图象;再把函数y=sin(x-)4π的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 1()24x π-的图象,最后将函数y=sin 1()24x π-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin 1()24x π-的图象.方法二:”先伸缩,后平移”.先把函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 12x 的图象;再把函数y=sin 12x 图象上所有的点向右平移2π个单位,得到函数y=sin 1[(2x -)]2π=msin ()24x π-的图象,最后将函数y=sin (2x -)4π的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin 1(2x -)4π的图象.(3)周期22412T ππω===π,振幅A=3,初相是4π-.(4)令1242x k ππ-=+π(k ∈Z ),得x=2k π32+π(k ∈Z ),此为对称轴方程.令124x k π-=π(k ∈Z ),得22x k π=+π(k ∈Z ). 故对称中心为(2k π20)(k π+,∈Z ).13.(2012安徽合肥检测)已知函数f(x)=sin 23x ωsin x ω⋅sin ()22x πω++cos 2x x ω,∈R (0)ω>的图象在y 轴右侧的部分第一个最高点的横坐标为6π. (1)求ω;(2)若将函数f(x)的图象向右平移6π个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解】 3(1)()f x =122x ω+cos 322x ω+=sin 3(2)62x πω++.令262x ππω+=,将6x π=代入可得1ω=.(2)由(1)得f(x)=sin 3(2)62x π++.经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin 31()262x π-+.当x=4k π43k π+,∈Z 时,函数g(x)取得最大值52.令2k π12226x k ππ+≤-≤π3(2k π+∈Z ),即[4x k ∈π443k π+,π10]3k π+,∈Z 为函数g(x)的单调递减区间.14.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间(024t t ≤≤,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据.经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos t b ω+的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Acos t b ω+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 【解】 (1)由题中表中数据,知周期T=12, ∴22126T πππω===.由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1.0,得b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴振幅为12. ∴12y =cos 16t π+.(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放. ∴12cos 116t π+>,∴cos 06t π>.∴2k π226t k ππ-<<π2k π+,∈Z ,即12k-3123t k k <<+,∈Z .∵024t ≤≤,故可令k 分别为0、1、2,得 03t ≤<或9<t<15或2124t <≤.∴在规定时间的上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.。

高二数学教案：函数y=Asin图象一、教学目标1.知识目标：学生能够了解和掌握函数y=Asin图象的基本特点，如振幅、周期、相位等；2.能力目标：学生能够综合运用函数y=Asin图象的特点进行问题的解答和数学推理；3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发他们探索数学问题的能力。

二、教学重点和难点1.教学重点：函数y=Asin图象的基本特点和应用；2.教学难点：学生在理解和运用函数y=Asin图象的特点时可能存在困难，需要教师引导和指导。

三、教学过程1. 导入新知识教师向学生提出问题：“当x从0到2π的范围内变化时，y=Asin(x)的图象会如何变化？”鼓励学生思考并尝试给出答案。

2. 探究函数y=Asin图象的特点1.引导学生思考：当A取不同的值时，y=Asin(x)的图象会有什么变化？通过尝试不同的A值，让学生观察和总结。

2.让学生自己尝试绘制y=Asin(x)的图象，通过手工绘图或使用计算机绘图工具，让学生感受函数图象随A的变化而变化的规律。

3. 深入了解函数y=Asin图象1.学生观察绘制出的图象，并总结函数y=Asin(x)的特点，如振幅、周期、对称轴等。

2.学生思考并讨论如何确定函数y=Asin(x)的振幅、周期和对称轴的数值。

3.教师进行讲解和示范，让学生掌握确定函数y=Asin(x)图象特点的方法。

4. 应用函数y=Asin图象解决问题通过一些例题和练习，让学生运用函数y=Asin图象的特点进行问题的解答和数学推理。

5. 拓展和应用1.学生探究和讨论其他具有相似特点的函数图象，如y=Acos(x)、y=Atan(x)等。

2.学生应用已学知识，解决实际生活中的问题，如分析音乐声波图象、电子信号图象等。

四、教学评价1.反馈评价：教师通过课堂展示、问题讨论、练习题等方式，对学生的学习情况进行评价和反馈。

2.自评互评：学生互相观察和评价彼此的学习表现，给出建设性的意见和建议。

3.学习笔记：学生总结和整理学习笔记，包括函数y=Asin图象的特点、解题方法等，用以巩固和回顾所学内容。