2018年必修一-函数图象的平移和翻折

高中数学二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，本文将对二次函数的知识点进行总结和概述。

一、基本概念1. 二次函数的标准形式是 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数，$a \neq 0$。

2. 二次函数的图像是抛物线，开口方向由 $a$ 的符号决定。

正值 $a$ 的函数开口向上，负值 $a$ 的函数开口向下。

3. 二次函数的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。

4. 零点是指函数取值为 $0$ 的横坐标，可以通过求解二次方程$ax^2 +bx + c = 0$ 来确定。

二、性质和特点1. 对称轴是指二次函数图像的对称轴，由顶点确定。

2. 函数的奇偶性由系数 $a$ 的奇偶性确定。

奇函数关于原点对称，偶函数关于 $y$ 轴对称。

3. 二次函数的最值由 $a$ 的符号决定。

对于开口向上的函数，最小值是 $f(-\frac{b}{2a})$；对于开口向下的函数，最大值是 $f(-\frac{b}{2a})$。

三、变形与图像的平移、翻折1. 二次函数的变形包括对 $a$、$b$、$c$ 进行系数的调整。

2. 平移：对函数图像进行上下平移或左右平移。

水平平移$h$ 个单位：$f(x) \to f(x - h)$；垂直平移 $k$ 个单位：$f(x) \to f(x) + k$。

3. 翻折：对函数图像进行关于 $x$ 轴、$y$ 轴或原点的翻折。

四、相关定理和公式1. 零点定理：二次函数有 $0$、$1$ 或 $2$ 个零点，取决于判别式的值。

判别式为 $b^2 - 4ac$。

2. 平方差公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。

3. 配方法解二次方程：当判别式大于等于 $0$ 时，可以使用配方法解二次方程。

4. 根与系数的关系式：设 $x_1$ 和 $x_2$ 是二次函数的两个根，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 和 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$。

教学课题 第8讲人教版必修1第二章 函数的图像教学目标 知识目标：1、掌握描点作图；2、理解图像的变换规律；能力目标：通过函数的图像培养学生数形结合的能力，锻炼学生数学理性思维。

教学重点与难点重点：图像的平移和变换难点：对图像的平移和变换的基本技巧教学过程 课堂导学 知识点梳理1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换①y=f (x ) ――――――――――――――――――――→a>1，横坐标伸长为原来的a 倍，纵坐标不变0<a<1，横坐标缩短为原来的a 倍，纵坐标不变 y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是 ．答案 (0,1]解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 考题分类【考点1】作函数图像★例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x －1；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y ＝|x 2－2x －1|的图象．解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥1＋2或x ≤1－2)－x 2＋2x ＋1 (1－2<x <1＋2)如下图点评 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋mx (m >0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．式训练1 作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x ＋3.解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94.∴y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94，x ≥2，－(x －12)2＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图所示． 【考点2】识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()式训练3 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示． (3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)． 典型例题分析3．高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 (2015·北京海淀区期中测试)函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )思维点拨 从y ＝f (x )的图象可先得到y ＝－f (x )的图象，再得y ＝－f (x ＋1)的图象．解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确． 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定． 三、函数图象的应用典例：(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察．(2)利用函数f (x )，g (x )图象的位置确定a 的范围． 解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察得到，f (x )为奇函数，递减区间是(－1,1)． (2)如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 (1)C (2)[－1，＋∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 6.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是．答案 (2,8]解析 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．7．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6.8．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |， x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝ . 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)9．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )答案 C解析由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log12f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选C.10．(2015·安徽)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是() A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0答案 C。

函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

教、学案：10、函数的图像及变换(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--10、函数的图像及图像变换知识点：1、 函数的图像2、 函数图像的变换3、 函数图像的应用知识梳理1.二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）(4)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

2.常见函数的图像：⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；(4)其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；③对号函数)0(>+=a xax y ； 3．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；② 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =−→−=0x)(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy ()x f y =； ③ 翻转变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 轴下面无图象）；3.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x -=对称. 题型归纳:一、 函数图像例1（1）（2019新课标3（7））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．（2）(2018新课标2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为答案:（1）B.分析：已知函数显然是奇函数，排C ，取x=4代入验证得y ∈(7,8)，所以选B（2）B.分析：已知函数是奇函数，排A ，取x=1，得y=e- e -1>0，排D ，而C 是反比例函数图像，所以排除，选B 练习11(2018新课标3)9．函数422y x x =-++ 的图像大致为（ ）2（2016新课标（1）9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ） C3（2012年高考（四川理））函数的图象可能是4、已知a >0且a ≠1，则两函数f (x )＝a x 和g (x )＝log a （- x1）的图象只可能是 ( )5．数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）6、向高为 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 与水深 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）二、 图像的平移、对称与翻折变换例2、(1)已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为(2)已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=，构造函数)(x F，定义如下：当)()(x g xf ≥时，)()(x f x F =；当)()(x g x f <时，)()(x g x F -=那么)(x F ： A ．有最小值0，无最大值 B ．有最小值-1，无最大值 C ．有最大值1，无最小值 D ．无最小值，也无最大值；(3)（15B ，福建，文15）．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 .分析：（1）y=-f(-x)与()y f x =的图像关于原点对称，y=-f(-x)的图像向右平移2个单位即得(2)y f x =--的图像，选B （2）画出图像可得答案B()2()x af x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m (1)(1)f x f x +=-(3)由已知 得其对称轴是x=1,则函数化为f(x)=2|x-1|，所以f(x)在[1, +∞）上单调增，所以m ≥1，即m 的最小值是1 练习21、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 得单调递减区间是________.2、 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．3、函数x x x f -=2)(的单调递减区间是__________________ _值域是______________ （画出图像）4、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-5．（2013年高考北京卷（理））函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x关于y 轴对称,则f (x )= A.B.C.D.三、函数图像的应用例3（1）（15B ，北京，理7）如图，函数的图象为折线ACB ，则不等式的解集是 A. B. C. D. (2)（15C ，安徽，理9）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是A. B. C.D.()2()x af x a R -=∈)(x f ()1log )(2+≥x x f {}01≤<-x x {}11≤≤-x x {}11≤<-x x {}21≤<-x x 2)()(c x bax x f ++=0,0,0<>>c b a 0,0,0>><c b a 0,0,0<><c b a 0,0,0<<<c b a A-1BC22Oxy（3）已知()1,()2,()6,x f x x g x h x x =+==-+设函数()min{(),(),()}F x f x g x h x =，则()F x 的最大值为（ （A ）1 (B) 2 (C)72(D)4 （4）（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.解析：（1）如图时，=1解集为. 注意定义域不包括-1.(2)由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. （3）画出图像即可得答案C（4）解析一 因为，， 即.由图像变换可作出与 的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.x ≤0 解析二(分段讨论)：原不等式可化为 x+1+(x-21)+1>1 或 x>0 且x-21≤0 x- 21>0 ()1020xx x f x x +⎧=⎨>⎩，，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x 1x2()log (1)f x x )1(log )(2+≥∴x x f (]1,1-)1(log 2+x ()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1y f x =-()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭41)2-)2x +(x-21)+1>1 或 2x +2x-1/2>1 解之得，x>-1/4 归纳：函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.第（1）函数y=log 2(x+1)的定义域{x|x>-1},所以排B,然后由x=1时得 从而得答案C第（2）题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.（3）（4）题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.例4（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3－１｜＝k 无解有一解有两解分析：（1）利用f(-1)=f(1)求出m ；也可通分后利用前面归纳的模型得m=1 （2）画出函数|13|-=x y 的图像（即y=3x d 的图像向下平移1个单位后保留x 轴上方的部分，x 轴下面的沿x 轴翻折即可），再画y=k 的图像，按它们没有交点、只有一个交点、两个交点分别得k 的值：k<0时无解、k=0或k ≥1时一解、0<k<1时两解归纳：本题正确的画出图像，方程的解转化成函数图像交点的个数，主要考查函数图像的画法，数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识. 训练数形结合的能力. 练习31.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .2()log (1)f x x2．（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为3．（2013年天津数学（理））函数的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4综合练习1（15C ，天津，文8）已知函数,函数,则函数的零点个数为A. B. C. D.2(2020新高考全国1)8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x x -≥的的取值范围是A ．[1,1][3,)-⋃+∞B ．[3,1][0,1]--⋃C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃3、已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩， （1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性； （3）写出函数()f x 的最大值和最小值。

高三函数的图像知识点函数是数学中非常重要的概念，而在高三数学学习中，关于函数的图像尤为重要。

本文将介绍高三函数的图像知识点。

一、函数的图像及其性质函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示，它能够直观地反映函数的性质。

常见的函数图像有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

1. 线性函数图像线性函数的图像是一条直线，表现为函数图像上的所有点都在线性关系 y = kx + b 上。

其中 k 表示斜率，b 表示截距。

2. 二次函数图像二次函数的图像是抛物线，分为开口向上和开口向下两种情况。

开口向上的抛物线表现为函数图像上的点低于顶点，并随着 x 的增大而增大。

开口向下的抛物线则相反。

3. 指数函数图像指数函数的图像是以底数大于 1 的指数函数图像。

当底数大于1 时，指数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐上升；当底数在 0 和 1 之间时，指数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐下降。

4. 对数函数图像对数函数的图像是以底数大于 1 的对数函数图像。

对数函数图像与指数函数图像是互逆的关系。

当底数大于 1 时，对数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐上升；当底数在 0 和 1 之间时，对数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐下降。

二、函数图像的平移、伸缩和翻折除了基本的函数图像形状外，我们还可以通过平移、伸缩和翻折等变换来改变函数图像。

1. 平移函数图像的平移是指将函数图像沿着 x 轴或 y 轴的方向移动一定的距离。

沿着 x 轴方向平移表示为 y = f(x - a)，其中 a 表示平移的距离；沿着 y 轴方向平移表示为 y = f(x) + b，其中 b 表示平移的距离。

2. 伸缩函数图像的伸缩是指将函数图像在 x 轴或 y 轴的方向上进行拉伸或压缩，改变函数图像的幅度。

沿着 x 轴方向伸缩表示为 y = f(kx)，其中 k 表示水平方向上的伸缩比例；沿着 y 轴方向伸缩表示为 y = kf(x)，其中 k 表示垂直方向上的伸缩比例。

函数的图像(1)平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到．②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”． (2)对称变换①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于 、 、 对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线 对称． (3)伸缩变换①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的__________；②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的__________．(4)翻折变换①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变；②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)在y 轴左边的图象，右边的部分不变．（5）有关对称①类奇函数 ②类偶函数 y=f(x)关于（a,0）对称 y=f(x)关于x=a 对称⟺y=f(x+a)为奇函数 ⟺y=f(x+a)为偶函数 ⟺f(a+x)= -f(a-x) ⟺f(a+x)= f(a-x) ⟺f(x)=-f(2a-x) ⟺f(x)= f(2a-x)③对于函数)(x f y =(R x ∈),()()f a+x f b -x =恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数()f a+x 与)(x b f y -= 的图象关于直线x=2b a- 对称. ④对于函数)(x f y =(R x ∈), ()()f a+x f b -x =-恒成立,则函数)(x f 的对称中心是（2a b +，0），两个函数()f a+x 与()y f b -x =-的图象关于直线（2b a -，0）对称.练习题1.函数y ＝1－1x －1的图象是( )2.为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3.若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －15.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝________.6.下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A.y ＝2xB.y ＝log 12x C.y ＝4x2D.y ＝log 21x＋17．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)8.（1）已知函数)(x f 是R 上的增函数，A(0 ，-1) ，B （3，1）是其图象上的两点，那么|)1( x f |<1的解集的补集是（ ）A ．（-1 ，2）B ．（1 ，4）C ．（-∞，-1）∪[4 ，+∞)D ．（-∞，-1] ∪[2 ，+∞)（2）. 若直线y=2a 与函数y=|a x -1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．9．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜210.已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)11..已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )12. 若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域R ，如方程)(,)(R k k x f ∈=最多只有两个根，则实数a 、b 、c 满足（ ）A ．,042≥-ac b B ．042≤-ac b C ．,02b c R a∈-≥ D ．,2bc R a ∈-≤0 13．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m14．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．15.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为 ．16、已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 17.(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜018.已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．19．已知y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如右图：则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )20．(2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )()f x )2()2(-=+x f x f (2)y f x =-y )2,0(∈x 22()log f x x =(4.5)(7)(6.5)f f f <<(7)(4.5)(6.5)f f f <<(7)(6.5)(4.5)f f f <<(4.5)(6.5)(7)f f f <<21.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()log x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像22.(湖南高考题)函数y＝ax2＋bx与y＝ba可能是()答案 D23．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()24.已知函数21(0)2x f(x)x e x =+-< 与2()ln()g x x x+a =+的图象上存在关于y 轴对称的点 ，则a 的取值范围（ ）A ． 1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e- D ．1(,)e e - 25.关于x 的方程x ＋lgx ＝3，x ＋10x ＝3的根分别为α，β，则α＋β是( ) A.3 B.4 C.5D.626.（1）若不等式2x －log a x<0在x ∈(0，12)时恒成立，则实数a 的取值范围是（2） 当时，不等式（其中且）恒成立，则的取值范围为A. B. C. D.（3）当1(0,)2x ∈时，不等式4log xa x <恒成立，则实数a 的取值范围是27.(海南高考题)用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x ，x ＋2，10－x}(x ≥0)，则f(x)的最大值为( )A.4B.5C.6D.728. 设表示三者中较小的一个，若函数，则当时，的值域是（ ） A. B.C.D.。

二次函数与像变换抛物线的平移翻折与缩放二次函数是一个非常重要的数学概念，在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

其中，像变换是一种常见的方法，可以通过平移、翻折和缩放来改变二次函数的图像。

本文将介绍二次函数与如何进行平移、翻折和缩放操作，以及这些操作对函数图像的影响。

一、二次函数的标准形式二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，a不等于0。

a决定了二次函数的开口方向和图像的扩张或收缩程度，b决定了图像相对于y轴的平移，c则表示二次函数的纵截距。

二、平移操作平移操作可以改变二次函数图像的位置，使其在坐标平面上向左、向右、向上或向下移动。

1. 水平平移在二次函数标准形式中，通过改变b的值可以实现水平平移。

若b>0，则函数图像向左平移；若b<0，则函数图像向右平移；若b=0，则函数图像不发生平移。

2. 垂直平移通过改变c的值，可以实现二次函数图像的垂直平移。

若c>0，则函数图像向上平移；若c<0，则函数图像向下平移；若c=0，则函数图像不发生平移。

三、翻折操作翻折操作可以改变二次函数图像的朝向，使其上下翻折或左右翻折。

1. 上下翻折如果将二次函数的整体结果乘以-1，即使a取-a的值，则可以实现二次函数图像的上下翻折。

上翻折：a>0；下翻折：a<0。

2. 左右翻折将二次函数中x的值取相反数，可以实现二次函数图像的左右翻折。

左翻折：b>0；右翻折：b<0。

四、缩放操作缩放操作可以改变二次函数图像的大小，使其变窄或变宽。

1. 水平缩放通过改变a的值，可以实现二次函数图像的水平缩放。

当a>1时，函数图像变瘦；当0<a<1时，函数图像变胖。

2. 垂直缩放同样是通过改变a的值，可以实现二次函数图像的垂直缩放。

当a>1时，函数图像变矮；当0<a<1时，函数图像变高。

通过以上的操作，可以将二次函数的图像进行不同程度的调整，以满足实际问题中的需要。

2018高中数学课本典例改编之高一必修一：专题五_函数的图象含解析一、题之源：课本基础知识1.作函数的图象有两种基本方法： (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域； ②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； ④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． ㈠平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到()y f x a =+的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位长度而得到．②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到()y f x b =+的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向下平移b 个单位长度而得到． 总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”． ㈡对称变换① y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于y 轴、x 轴、原点对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x=m 对称．2.作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏． 3．识图与用图 (1)识图对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等． (2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期等．二、题之本：思想方法技巧1.证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如已知函数)(1)(R a xa ax x f ∈--+=。

函数图像的变换一、知识梳理1.水平平移：函数)(a x f y +=的图像是将函数)(x f y =的图像沿x 轴方向向左（a ＞0）或向右（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换. 2.竖直平移：函数a x f y +=)(的图像是将函数)(x f y =的图像沿y 轴方向向上（a ＞0）或向下（a ＜0）平移a个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换. 3.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象y 轴右侧的部分对称到y 轴左侧去，而y 轴左侧的原来图象消失.称之为关于y 轴的右到左对称变换（简称去左翻右）. 4.要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分对折到x 轴上方即可.叫做关于x 轴的下部折上变换（简称去下翻上）.5.要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y 轴左侧去.同时，将y 轴左侧的部分折到y 轴右侧去.叫做关于y 轴的翻转变换.6.要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线，把x 轴上方的图形折到x 轴下方去，同时又把x 轴下方的图象折到x 轴上方去即可.叫做关于x 轴的翻转变换.7.要作函数)(ax f y =（a ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短（a ＞1）或伸长（0＜a ＜1）到原来的a1倍（纵坐标不变）即可（若a ＜0，还得同时进行关于y 轴的翻转变换.这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换.8.要作函数)(x Af y =（Ａ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x 轴的翻转变换）.9.要作函数)(x a f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线x ＝2a的翻转变换即可. 实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于y 轴翻转变换的复合，即先把)(x f y =图象发生左右平移得到函数)(a x f y +=的图象，再关于y 轴翻转便得到)(x a f y -=的图象. 10.要作函数)(x f h y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线y ＝2h的翻转变换即可.实质上，这种变换是函数图象的关于x 轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数)(x f y =的图象发生关于x 轴的翻转变换得到)(x f y -=的图象，再把)(x f y -=的图象向上（h ＞0）或向下（h ＜0）平移｜h ｜个单位便得到函数)(x f h y -=的图象.综合第9、第10变换，要作函数)(x a f h y --=的图象，只需做出函数)(x f y =图象的关于点（2a ，2h）的中心对称图形即可. 二、方法归纳1.作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；④描点连线，画出函数的图象.用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；②是确定实施怎样的变换.2.识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息.3.关注函数图像的变换对函数的性质的影响.三、典型例题精讲【例1】函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ ）错解分析：错解一：由||log x a ≥0，得1||log +x a ≥1，即)(x f ≥1，故选B.错误在于误将||log x a 等同于|log |x a ，做出误判||log x a ≥0.错解二：没注意10<<a ，而默认为1>a ，故选Ｃ.解析：考虑10<<a ，当0>x 时，1log )(+=x x f a 为减函数，淘汰B 、Ｃ.当1=x 时，1)(=x f ，故选A. 又例：函数xy 3log 3=的图象大致是（ ）解析： 由x 3log ≥0，得x y 3log 3=≥1，故选A.【例2】函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）解析：因函数x x f 2log 1)(+=的图象是由x y 2log =的图象向上平移1个单位得到，故B 、C 、D 满足； 又函数11)21(2)(-+-==x x x g ，其图象为x y )21(=的图象向右平移1个单位得到， 故A 、C 满足.由此选C.技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由1)1(=f ，可知B 、C 、D 满足；又2)0(=g ，可知A 、C 满足.故选C.又例：函数)32(-x f 的图象，可由函数)32(+x f 的图象经过下述哪个变换得到（ ）A.向左平移6个单位B.向右平移6个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析：将函数)32(+x f 中的x 用3-x 代之，即可得到函数)32(-x f ，所以将函数)32(+x f 的图象向右平移3个单位即可得到函数)32(-x f 的图象， 故选D.【例3】函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A.点（－1，0）对称B.直线x ＝1对称C.点（1，0）对称D.直线x ＝－1对称解析：若记xx f y 3)(==，则)2(3)31(22x f x x -==--， 由于)(x f y =与)2(x f y -=的图象关于直线x ＝1对称，∴ 选B.技巧提示：若)(x f 自身满足)2()(x a f x f -=，则)(x f y =的图象关于直线x ＝a 对称；若)(x f 自身满足)2()(x a f x f --=，则)(x f y =的图象关于点（a ，0）对称. 两个函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线x ＝a 对称； 两个函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点（a ，0）对称.【例4】设22)(x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,解析：保留函数22x y -=在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数22)(x x f -=的图象.通过观察图像，可知)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在区间]0,2[-上是增函数， 由0<<b a ，且)()(b f a f =.可知02<<-<b a ， 所以2)(2-=a a f ，22)(b b f -=， 从而2222b a -=-，即422=+b a ，又ab ab b a b a 242)(222-=-+=-＞0，所以20<<ab .故选A.技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数22x y -=的图象和性质，进而得到22)(x x f -=的图像和性质.由0<<b a ，且)()(b f a f =，得到422=+b a 才使得问题变得容易.又例：直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围是 .解析：因为函数a x xy +-=2是偶函数，所以曲线a x x y +-=2关于y 轴对称.当x ≥0时，a x x y +-=2＝41)21(2-+-a x ， 其图象如下：由直线1=y 与曲线有四个交点，得⎪⎩⎪⎨⎧<->1411a a ，解得451<<a .故a 的取值范围是)45,1(.再例：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，1234_________.x x x x +++=解析：因为定义在R 上的奇函数，满足)()4(x f x f -=-，所以)()4(x f x f =-，函数图象关于直线2x =对称，且(0)0f =，再由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[－2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ， 不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-.【例5】定义在R 函数)(x f ＝mx xm +-2)2(的图象如下图所示，则m 的取值范围是（ ） A.（－∞，－1） B.(－1，2) C.(0，2) D.(1，2)解析：方法一（排除法）：若m ≤0，则函数mx xm x f +-=2)2()(的定义域不为R ，与图象信息定义域为R 不符，故排除掉A 、B. 取m ＝1，)(x f ＝12+x x，此函数当x ＝±1时，)(x f 取得极值， 与所给图形不符，排除C.选D.方法二：显然)(x f 为奇函数，又)1(f ＞0，)1(-f ＜0，即mm +-12＜0，解得－1＜m ＜2. 又)(x f 取得最大值时，x ＝m ＞1， ∴ m ＞1，∴ 1＜m ＜2.故选D.技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.m 对奇偶性影响不大，但对定义域、极值点影响明显.又例：当参数21,λλ=λ时，连续函数xx y λ+=1)0(≥x 的图像分别对应曲线1C 和2C ，则（ ） A.210λ<λ< B.120λ<λ< C.021<λ<λ D.012<λ<λ 解析：由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数0,021>λ>λ，即排除C ，D 项， 又取1x =，知对应函数值1111λ+=y ，2211λ+=y ，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项.【例6】定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -，已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 .ＯxyＣＣ错解分析：函数|log |)(21x x f =的图象如图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴2)4()41(==f f ，又0)1(=f ，∴],[b a 长度的最大值为314=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为49433=-. 解析：函数|log |)(21x x f =的图象如上图.令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x . ∴],[b a 长度的最大值为415414=-；最小值为43411=-. 故所求最大值与最小值的差为343415=-. 技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键.又例:已知函数)12(log )(-+=b x f xa )1,0(≠>a a 的图象如图所示，则ab ，满足的关系是（ ）A.101a b -<<< B.101b a -<<< C.101ba -<<<-D.1101ab --<<<解析：由图易得1>a ，∴101<<-a取特殊点0=x ，0log )0(1<=<-b f a . 即1log log 1log 1a a ab a<<=-， x∴101<<<-b a .故选A.【例7】若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间[]b a ,，且b －a ＝2，则k = .分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出219x y -=，2)2(2-+=x k y 的图像，根据图像确定k 的值。

一、函数图像的基本概念1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它把所有属于定义域的元素映射到值域中唯一确定的元素上。

函数的符号表示为 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f 表示函数名。

2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的几何表示，通常用曲线、直线或点的方式表示。

3. 自变量与因变量在函数中，自变量是独立的变量，通常表示为 x；因变量是依赖于自变量的变量，通常表示为 y。

4. 坐标系坐标系是用来表示函数图像的平面，它通常由横轴和纵轴组成。

横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

坐标系被分成四个象限，分别用来表示不同的正负值。

二、函数图像的特性1. 函数的奇偶性若对任意x∊D，都有 f(-x)=f(x)，则称函数 f(x) 是偶函数；若对任意x∊D，都有 f(-x)=-f(x)，则称函数 f(x) 是奇函数。

2. 函数的周期性若存在常数 T>0，使得对任意x∊D，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f(x) 是周期函数，T 称为函数的周期，最小的正周期称为函数的基本周期。

3. 函数的增减性若对任意x1,x2∊D，若 x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数在区间 D 上是增函数；若对任意x1,x2∊D，若 x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数在区间 D 上是减函数。

4. 函数的最值和极值函数在定义域 D 上的最大值和最小值称为函数的最值；函数在定义域 D 上的极大值和极小值称为函数的极值。

1. 一次函数 y = kx + b一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 表示直线的倾斜程度，截距 b 表示直线与 y 轴的交点。

2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由 a 的正负确定，开口向上时为正，开口向下时为负，顶点坐标为 (-b/2a, c-b^2/4a)。

3. 指数函数 y = a^x指数函数的图像是以底数 a (a>1) 为底，自变量 x 为指数的幂函数。