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函数)sin(A ϕω+=x y 的图像（1）物理意义：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x ∈［0，+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T =ωπ2，1f T=称为频率，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相。
（2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系：① 函数sin y x =的图像纵坐标不变,横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图像；③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像；④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。
ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____（当ϕ〉0时）或向______(当ϕ〈0时）平移ϕ个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍（纵坐标不变）。
A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩：先伸缩后平移：【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换： （1）向右平移2π个单位长度； (2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31；（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的43；(4）向上平移1。
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。
接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。
三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。
平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。
伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。
翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。
通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。
正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。
正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。
余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。
余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。
正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。
正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。
正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们的图象可以通过适当的变换得到。
例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
三角函数的伸缩变换与平移变换嘿，你们知道吗，三角函数其实还挺有意思的呢。
它们可以通过
伸缩变换和平移变换，变得更加灵活多变。
就好比我们平时的生活一样，有时候也需要做些变化才能更加精彩呢。
哎呀，伸缩变换就是把三角函数的图像按照一定的比例进行伸缩，就好像我们自己的身高一样。
有时候我们想变得更高更远一些，就需
要做一下伸缩变换嘛。
这样一来，三角函数的图像就可以变得更高或
者更矮，更宽或者更窄了。
咦，平移变换和伸缩变换不太一样哦。
它是把三角函数的图像沿
着坐标轴水平或者垂直方向进行移动，就好像我们在空间中移动一样。
有时候我们想要到达不同的地方，就需要做一下平移变换。
这样一来，三角函数的图像就可以在坐标轴上来回移动了。
唉呦，你们知道吗，这些伸缩变换和平移变换其实也可以帮助我们更好地理解三角函数的特点。
就好像我们在生活中需要不断调整自己的状态一样，三角函数也可以通过这些变换，变得更加灵活和多样化。
嗨，如果你们对三角函数感兴趣的话，不妨也尝试一下图像的变换，也许会有意想不到的收获呢。
就好比我们平时生活中，经历一些变化之后，也会找到更多新的乐趣和意义一样。
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
三角函数的平移伸缩变换规律三角函数是数学中非常重要的一部分，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，平移和伸缩变换是非常常见的操作，通过对三角函数的平移和伸缩变换，我们可以得到不同的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质。
接下来，我们将详细介绍三角函数的平移伸缩变换规律。
首先，让我们来了解一下什么是三角函数的平移和伸缩变换。
在数学中，平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移，而伸缩变换则是指对函数图像进行拉伸或压缩。
对于三角函数而言，平移和伸缩变换会改变函数图像的周期、振幅、相位等性质。
对于正弦函数和余弦函数而言，它们的平移和伸缩变换规律如下：1. 正弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*sin(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制振幅的变化，当|A|>1时，振幅增大；当0<|A|<1时，振幅减小。
B控制周期的变化，周期T=2π/|B|。
C控制相位的变化，向右平移C个单位；向左平移-C个单位。
D控制上下平移，向上平移D个单位；向下平移-D个单位。
2. 余弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cos(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与正弦函数相似，只是对于余弦函数而言，A控制振幅的变化，B控制周期的变化，C控制相位的变化，D控制上下平移。
除了正弦函数和余弦函数外，切线函数和余切函数也有类似的平移和伸缩变换规律：3. 切线函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*tan(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制纵向拉伸或压缩。
B控制周期的变化，周期T=π/|B|。
C控制横向平移。
D控制上下平移。
4. 余切函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cot(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与切线函数相似，只是对于余切函数而言，A控制纵向拉伸或压缩，B控制周期的变化，C控制横向平移，D控制上下平移。
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
三角函数的变换与性质三角函数是数学中常见的一类函数，它们在数学和物理等领域有着重要的应用。
本文将介绍三角函数的变换与性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的变换与性质正弦函数可以表示为f(x) = sin(x)，其图像是一个周期性的波形。
正弦函数的变换包括平移、伸缩和翻转等操作。
1. 平移：当正弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。
例如，f(x) = sin(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。
2. 伸缩：当正弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。
若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。
3. 翻转：当正弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。
即f(x) = sin(-x)的图像将关于y轴对称。
正弦函数的性质有：1. 周期性：正弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。
即sin(x + 2π) = sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即f(-x) = - f(x)。
这意味着正弦函数的图像关于原点对称。
二、余弦函数的变换与性质余弦函数可以表示为f(x) = cos(x)，它与正弦函数是相互关联的。
余弦函数的变换与正弦函数类似，也包括平移、伸缩和翻转等操作。
1. 平移：当余弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。
例如，f(x) = cos(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。
2. 伸缩：当余弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。
若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。
3. 翻转：当余弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。
即f(x) = cos(-x)的图像将关于y轴对称。
余弦函数的性质有：1. 周期性：余弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。
即cos(x + 2π) = cos(x)。
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．sin y x =2sin 214y x =++ ⎪⎝⎭解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原1π⎛⎫π⎛⎫x+）﹣sin2x+、向左平移个单位个单位个单位个单位按向量A 、B 、C 、D 、3、将函数的图象按向量平移，得到y=f （x ）的图象，则f （x ）=（ ）A 、B 、C 、D 、sin （2x ）+34、把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是（）A、沿x轴方向向右平移B、沿x轴方向向左平移C、沿x轴方向向右平移D、沿x轴方向向左平移5、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A、向右平移个单位长度B、向右平移个单位长度倍（纵坐标不变），然后个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（、、、。
