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简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量 1．振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A 表示。
(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。
2．全振动图11-2-1类似于O →B →O →C →O 的一个完整振动过程。
3．周期(T )和频率(f )描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) 1．x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。
2．A 表示简谐运动的振幅。
3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT ＝2πf 。
4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。
1．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。
振幅越大，振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。
在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。
其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。
(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式： x ＝A sin(ωt ＋φ)(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πT ＝2πf 。
第2节 简谐运动的描述1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位．2.理解周期和频率的关系．3．了解简谐运动的数学表达式，知道在数学表达式中各物理量的意义．一、描述简谐运动的物理量1．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离．振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小．2．周期和频率(1)全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动．弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T 表示．单位：在国际单位制中，周期的单位是秒(s)．(3)频率：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用f 表示．单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz.(4)周期和频率的关系：f ＝1T． (5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快．3．相位：在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．二、简谐运动的表达式简谐运动的表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ)．1．A ：表示简谐运动的振幅．2．ω：是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT＝2πf ． 3．ωt ＋φ：代表简谐运动的相位．4．φ：表示t ＝0时的相位，叫做初相．判一判 (1)振幅就是指振子的位移．( )(2)振幅就是指振子的路程．( )(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程．( )提示：(1)× (2)× (3)×想一想 简谐运动的表达式一般表示为x ＝A ·sin(ωt ＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同．描述简谐运动的物理量及其关系1．对全振动的理解正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五种特征．(1)振动特征：一个完整的振动过程．(2)物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同．(3)时间特征：历时一个周期．(4)路程特征：振幅的4倍．(5)相位特征：增加2π.2．简谐运动中振幅和几个常见量的关系(1)振幅和振动系统能量的关系：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．(2)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．(3)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．(4)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．命题视角1 从振动图象上获取解题信息(多选)如图是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是( )A ．振动周期是2×10－2 s B ．物体振动的频率为25 HzC ．物体振动的振幅为10 cmD ．在6×10－2 s 内物体通过的路程是60 cm [解析] 周期在图象上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2 s ，A 项错误；又f ＝1T，所以f ＝25 Hz ，则B 项正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A ＝10 cm ，则C 项正确；t ＝6×10－2s ＝112T ，所以物体通过的路程为4A ＋2A ＝6A ＝60 cm ，故D 正确．[答案] BCD命题视角2 简谐运动中的位移、振幅和路程关系(2018·厦门高二检测)弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，B 、C 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s 内通过的路程及5 s 末位移的大小．[思路点拨] 对弹簧振子做简谐运动而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称，其距离为2A .一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系．简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离．要注意各物理量之间的区别与联系．[解析] (1)振幅设为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm.(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此T ＝2t 1＝1 s ；再根据周期和频率的关系可得f ＝1T＝1 Hz. (3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，即一个周期运动的路程为40 cm ，s ＝t T×4A ＝5×40 cm ＝200 cm ， 5 s 的时间为5个周期，又回到原始点B ，故5 s 末位移的大小为10 cm.[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅；在半个周期内的路程一定为两个振幅；在14个周期内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当振动物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，14个周期内的路程才等于一个振幅． 【通关练习】1．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )A ．1∶1，1∶1B ．1∶1，1∶2C ．1∶4，1∶4D ．1∶2，1∶2解析：选B.弹簧的压缩量即为振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2；而对同一振动系统，其周期与振幅无关，故周期之比为1∶1.正确选项为B.2．(2018·宁夏育才中学高二期中)如图是某振子做简谐振动的图象，以下说法中正确的是( )A ．因为振动图象可由实验直接得到，所以图象就是振子实际运动的轨迹B ．由图象可以直观地看出周期、振幅C ．振子在B 位置的位移就是曲线BC 的长度D ．振子运动到B 点时的速度方向即为该点的切线方向解析：选B.振动图象反映了振子的位移随时间的变化情况，并不是振子的运动轨迹，所以不能说：振子运动到B 点时的速度方向为该点的切线方向，而是沿x 轴负方向，A 、D 错误；由图读出振幅A ＝4 cm ，周期T ＝0.2 s ，B 正确；振子的位移等于图象的纵坐标，不是曲线的长度，C 错误．3．(多选)(2018·安徽屯溪一中高二期中)物体做简谐运动，通过A 点时的速度为v ，经过时间t 后物体第一次以相同速度v 通过B 点，又经过同样的时间物体紧接着又通过B 点，已知物体在这段时间内走过的总路程为18 cm ，则该简谐运动的振幅可能是( )A ．3 cmB ．5 cmC ．7 cmD ．9 cm解析：选AD.过A 、B 点速度相等，AB 两点一定关于平衡位置O 对称，若从A 点向右运动，则如图所示：根据对称性可以知道：2A ＝18 cm ，则A ＝9 cm ，故选项D 正确；若从A 点向左运动，则如图所示：根据对称性可以知道：2A ＋A ＋2A ＋A ＝18 cm ，则A ＝3 cm ，故选项A 正确．对简谐运动表达式的理解做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ)，式中各物理量的意义是：1．x ：表示振动物体相对于平衡位置的位移．2．A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．3．ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πT＝2πf . 可见ω、T 、f 相当于一个量，描述的都是振动的快慢．4．ωt ＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．5．φ：表示t ＝0时振动物体所处的状态，称为初相位或初相．6．相位差：即某一时刻的相位之差．(2018·青岛高二检测)物体A 做简谐运动的振动位移为x A ＝3cos ⎝⎛⎭⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动位移为x B ＝5cos ⎝⎛⎭⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 mB ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 sC ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD ．A 振动的频率f A 大于B 振动的频率f B[解题探究] (1)从简谐运动的表达式中，可以直接得到哪些物理量？(2)简谐运动中怎样根据周期T 或频率f 求ω？[解析] 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别是3 m 、5 m ，选项A 错误；周期是标量，A 、B 的周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2 s ，选项B 错误；因为ωA ＝ωB ，故f A ＝f B ，选项C 正确，选项D 错误．[答案] C【通关练习】1．(2018·宁夏平罗中学高二期末)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π4t cm ，则下列关于质点运动的说法中正确的是( ) A ．质点做简谐运动的振幅为5 cmB ．质点做简谐运动的周期为4 sC ．在t ＝4 s 时质点的速度最大D ．在t ＝4 s 时质点的位移最大解析：选C.由x ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π4t cm 可知，A ＝10 cm ，ω＝2πT ＝π4rad/s ，得T ＝8 s ．t ＝4 s 时，x ＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大、位移为0，所以只有选项C 正确．2．如图所示为A 、B 两个简谐运动的位移－时间图象．请根据图象写出：(1)A 的振幅是________cm ，周期是________s ；B 的振幅是________cm ，周期是________s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式．解析：(1)由图象知：A 的振幅是0.5 cm ，周期是0.4 s ；B 的振幅是0.2 cm ，周期是0.8 s.(2)由图象知：A 中振动的质点已振动了12周期，φ＝π，由T ＝0.4 s ，得ω＝2πT＝5π，则简谐运动的表达式为x A ＝0.5sin (5πt ＋π) cm.B 中振动的质点在0时刻从平衡位置沿x 轴正方向已振动了14周期，φ＝π2，由T ＝0.8 s ，得ω＝2πT＝2.5π，则简谐运动的表达式为x B ＝0.2·sin ⎝⎛⎭⎫2.5πt ＋π2 cm. 答案：(1)0.5 0.4 0.2 0.8(2)x A ＝0.5sin (5πt ＋π) cmx B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎫2.5πt ＋π2 cm简谐运动的多解性问题1．周期性造成的多解问题：简谐运动是一种周期性的运动，其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化．因此，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同， 也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．2．对称性造成的多解问题：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题．命题视角1 简谐运动的周期性造成多解(多选)(2018·牡丹江市一中高二月考)弹簧振子以O 点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O 点时开始计时，振子第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则振子第三次通过M 点还要经过的时间可能是( )A.13s B ．815 s C ．1.4 s D ．1.6 s[解析] 如图，假设弹簧振子在水平方向BC 之间振动，如图1，若振子开始先向左振动，振子的振动周期为T ＝2×0.2 s ＋0.13×4 s ＝1.63s ，则振子第三次通过M 点还要经过的时间是t ＝0.2 s ＋0.13×4 s ＝13s.如图2，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫0.3＋0.22 s ＝1.6 s ，则振子第三次通过M 点还要经过的时间是t ＝1.6 s －0.2 s ＝1.4 s ，A 、C 正确．[答案] AC命题视角2 简谐运动的对称性造成多解(多选)一弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过O 点时开始计时，经过0.3s ，第一次到达M 点，再经过0.2 s 第二次到达M 点，则弹簧振子的周期为( )A ．0.53 sB ．0.14 sC ．1.6 sD ．3 s[思路点拨] 振子通过O 点的速度方向有两种可能，一种是从O 指向M ，另一种是背离M .再利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系．[解析] 如图甲所示，O 为平衡位置，OB (OC )代表振幅，振子从O →C 所需时间为T 4.因为简谐运动具有对称性，所以振子从M →C 所用时间和从C →M 所用时间相等，故T 4＝0.3 s ＋0.2 s 2＝0.4 s ，解得T ＝1.6 s.如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向B 运动，设M ′与M 关于O 点对称，则振子从M ′经B 到M ′所用的时间与振子从M 经C 到M 所需时间相等，即0.2 s ．振子从O 到M ′和从M ′到O 及从O 到M 所需时间相等，为0.3 s －0.2 s 3＝130 s ，故周期为T ＝⎝⎛⎭⎫0.5＋130 s ＝1630s ≈0.53 s.[答案] AC求解这类问题，要认真分析题意，画出振子运动的过程示意图，防止漏解．也可画出振子的x －t 图象，根据图象分析求解．【通关练习】1．一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则( )A ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T 2的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子振动的加速度一定相等D ．若Δt ＝T 2，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻弹簧的长度一定相等 解析：选C.本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析．如图所示，图中的a 、b 、c 三点位移大小相等、方向相同，显然Δt 不等于T 的整数倍，故选项A 是错误的；图中的a 、d 两点的位移大小相等、方向相反，Δt <T 2，故选项B 是错误的；在相隔一个周期T 的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C 是正确的；相隔T 2的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D 是错误的．2．(多选)(2018·河南鹤壁市淇县一中高二月考)水平方向振动的弹簧振子做简谐运动的周期为T ，则( )A ．若在时间Δt 内，弹力对振子做的功为零，则Δt 一定是T /2的整数倍B ．若在时间Δt 内，弹力对振子做的功为零，则Δt 可能小于T /2C ．若在时间Δt 内，弹簧振子的速度变化量为零，则Δt 一定是T 的整数倍D ．若在时间Δt 内，弹簧振子的速度变化量为零，则Δt 可能小于T /4解析：选BD.若在时间Δt 内，弹簧的弹力对振子做的功为0，两个时刻振子可能经过同一位置，也可能经过关于平衡位置对称的位置，所以Δt 不一定是T 2的整数倍，也可能小于T 2，故A 错误，B 正确；若在时间Δt 内，要使振子在两个时刻速度相等，则Δt 可能是T 的整数倍．也可能振子经过关于平衡位置对称的位置，即可能小于T 4，故C 错误，D 正确．[随堂检测]1．(2018·烟台高二检测)如图所示，弹簧振子以O 为平衡位置在B 、C 间做简谐运动，则( )A ．从B →O →C 为一次全振动B ．从O →B →O →C 为一次全振动C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动D ．从D →C →O →B →O 为一次全振动解析：选C.由全振动的定义可得，选项C 正确．2．(2018·河北定州中学高三考试)一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法中正确的是( )A ．质点的振动频率是4 HzB ．在10 s 内质点经过的路程是20 cmC ．第4 s 末质点的速度是零D ．在t ＝1 s 和t ＝3 s 两时刻，质点位移大小相等，方向相同解析：选B.从图中可知质点振动的周期T ＝4 s ，故频率为：f ＝1T ＝14Hz ＝0.25 Hz ，故A 错误；10 s 内的质点路程为振幅的10倍，故路程为s ＝10A ＝20 cm ，故B 正确；O 时刻与第4 s 末，质点位于平衡位置，故速度最大，故C 错误；在t ＝1 s 和t ＝3 s 两时刻，质点的位移大小相同，但方向相反，故D 错误．3．(2018·牡丹江市一中高二期中)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，位移x 随时间t 变化的关系为x ＝A sin ωt ，振动图象如图所示，下列说法不正确的是( )A ．弹簧在第1 s 末与第3 s 末的长度相同B ．简谐运动的角速度ω＝π4rad/s C ．第3 s 末振子的位移大小为22A D ．从第3 s 末到第5 s 末，振子的速度方向发生变化解析：选D.在第1 s 末与第3 s 末的位移相同，振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，故A 说法正确；由图知，振子振动的周期T ＝8 s ，则角速度ω＝2πT ＝π4rad/s ，故B 说法正确；位移x 随时间t 变化的关系为x ＝A sin ωt ，第3 s 末振子的位移大小为：x ＝A sin 3π4＝22A ，故C 说法正确；x －t 图象的切线斜率表示速度，则知，从第3 s 末到第5 s 末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负向，故D 说法不正确．4．质点沿x 轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O ，质点经过a 点和b 点时速度相同，时间t ab ＝0.2 s ；质点由b 再次回到a 点所需的最短时间t ba ＝0.4 s ，则质点做简谐运动的频率为( )A ．1 HzB ．1.25 HzC ．2 HzD ．2.5 Hz解析：选B.由题意可知a 、b 是关于平衡位置的对称点，且不是最大位置，设右侧的最大位置为c 点，则运动的示意图如图所示．从a →b ，t ab ＝0.2 s ；从b 到c 再到a ，t ba ＝0.4 s ．由对称性可知，从b →c 所用时间t bc ＝0.1 s ，则t Oc ＝T 4＝0.2 s ，所以T ＝0.8 s ，则f ＝1T＝1.25 Hz ，选项B 正确． [课时作业] [学生用书P87(单独成册)]一、单项选择题1．质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是( )A ．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期B ．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期C ．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期D ．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期解析：选D.质点连续两次经过同一位置经过的时间一般不是一个周期，选项A 错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周期，选项B 错误；质点连续两次经过同一位置时，加速度相同，但经历的时间一般不等于一个周期，选项C 错误；质点在任何半周期内通过的路程一定是振幅的2倍，选项D 正确．2．(2018·吉林高二月考)一个物体做简谐运动时，周期是T ，振幅是A ，那么物体( )A ．在任意T 4内通过的路程一定等于A B ．在任意T 2内通过的路程一定等于2A C ．在任意3T 4内通过的路程一定等于3A D ．在任意T 内通过的路程一定等于2A解析：选B.物体做简谐运动，是变加速直线运动，在任意T 4内通过的路程不一定等于A ，故A 错误；物体做简谐运动，在任意T 2内通过的路程一定等于2A ，故B 正确；物体做简谐运动，在任意3T 4内通过的路程不一定等于3A ，故C 错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A ，故D 错误．3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝8sin π2t (cm)，则( ) A ．质点的振幅为16 cmB ．质点的振动周期为2 sC ．在0～1 s 内，质点的速度逐渐减小D ．在1～2 s 内，质点的动能逐渐减小解析：选C.根据简谐运动的表达式x ＝A sin2πT t 可知振幅A ＝8 cm ，周期T ＝2πω＝4 s ，选项A 、B 错误；根据简谐运动的表达式可画出质点的振动图象，如图所示，由图可知，在0～1 s 内，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，速度逐渐减小，在1～2 s 内，质点由正的最大位移向平衡位置运动，速度逐渐增大，动能逐渐增大，选项C 正确，D 错误．4．一个做简谐运动的物体，频率为25 Hz ，那么它从一侧最大位移的中点D ，振动到另一侧最大位移的中点C 所用的最短时间，下面说法中正确的是( ) A ．等于0.01 s B ．小于0.01 sC ．大于0.01 sD ．小于0.02 s 大于0.01 s解析：选B.一侧最大位移的中点D ，振动到另一侧最大位移的中点C 所用的最短时间，可以知道小于14T ，即小于0.01 s ，故选项B 正确．5．弹簧振子在A 、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，A 、B 间的距离是20 cm ，振子由A 运动到B 的时间是2 s ，如图所示，则( )A ．从O →B →O 振子做了一次全振动 B ．振动周期为2 s ，振幅是10 cmC ．从B 开始经过6 s ，振子通过的路程是60 cmD ．从O 开始经过3 s ，振子处在平衡位置解析：选C.振子从O →B →O 只完成半个全振动，A 选项错误；从A →B 振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2 s ，所以振动周期是4 s ，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A ＝10 cm ，B 选项错误；t ＝6 s ＝112T ，所以振子经过的路程为4A ＋2A ＝6A＝60 cm ，C 选项正确；从O 开始经过3 s ，振子处在位置A 或B ，D 选项错误．6．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s ．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间为( ) A ．0.5 s B ．0.75 s C ．1.0 sD ．1.5 s解析：选C.由振动周期T ＝3.0 s 、ω＝2πT、A ＝20 cm 知，游船做简谐运动的振动方程x ＝A sinωt＝20sin 2π3t cm.在一个周期内，当x＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s．游客能舒服登船的时间Δt＝t2－t1＝1.0 s，选项C正确，选项A、B、D错误．二、多项选择题7．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是()A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处B．周期和频率的乘积是一个常数C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关解析：选BD.振幅A是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即T·f＝1，B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，振子周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，C错误，D正确．8．弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则()A．振子的振动周期是2 s，振幅是4 cmB．振子的振动频率是2 HzC．振子完成一次全振动通过的路程是16 cmD．从振子通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为36 cm解析：选AC.由题意知，振子做简谐运动的振幅A＝8 cm2＝4 cm，周期T＝6030s＝2 s，选项A正确；振动的频率f＝1T＝12Hz＝0.5 Hz，选项B错误；完成一次全振动通过的路程s＝4A＝4×4 cm＝16 cm，选项C正确；3 s内通过的路程s′＝6A＝6×4 cm＝24 cm，选项D错误．9.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图所示，由图可知()A．质点振动的频率是4 HzB．质点振动的振幅是2 cmC．t＝3 s时，质点的速度最大D．t＝3 s时，质点的振幅为零解析：选BC.由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，B正确；t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误．10.(高考山东卷)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y ＝0.1sin (2.5πt ) m ．t ＝0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下；t ＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.以下判断正确的是( )A ．h ＝1.7 mB ．简谐运动的周期是0.8 sC ．0.6 s 内物块运动的路程为0.2 mD ．t ＝0.4 s 时，物块与小球运动方向相反解析：选AB.由物块简谐运动的表达式y ＝0.1·sin (2.5πt ) m 知，ω＝2.5π rad/s ，T ＝2πω＝2π2.5πs ＝0.8 s ，选项B 正确；t ＝0.6 s 时，y ＝－0.1 m ，对小球：h ＋|y |＝12gt 2，解得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6 s 内路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同．故选项C 、D 错误． 三、非选择题11．如图所示是弹簧振子的振动图象，请回答下列问题．(1)振子的振幅、周期、频率分别为多少； (2)振子在5 s 内通过的路程；(3)根据振动图象写出该简谐运动的表达式．解析：(1)由图象可知，振幅A ＝2 cm ；周期T ＝0.8 s ；频率f ＝1T ＝1.25 Hz.(2)在5 s 内通过的路程s ＝t T ×4A ＝50.8×4×2 cm ＝50 cm. (3)由图象可知，振子的初相为0，ω＝2πf ＝2.5π rad/s ，表达式为x ＝2sin (2.5πt ) cm. 答案：见解析12．A 、B 两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况．(1)A 开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，试在图甲中画出A 观察到的弹簧振子的振动图象．已知经过1 s 后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅为5 cm(设平衡位置上方为正方向，时间轴上每格代表0.5 s)．(2)B 在A 观察3.5 s 后，开始观察并记录时间，试在图乙中画出B 观察到的弹簧振子的振动图象．解析：(1)由题意知，振子的振动周期T ＝2 s ，振幅A ＝5 cm.根据正方向的规定，A 观察时，振子从平衡位置向－x 方向运动，经t ＝0.5 s ，达到负向最大位移．画出的A 观察到的振子的振动图象如图A 所示．(2)因为t ＝3.5 s ＝134T ，根据振动的重复性，这时振子的状态跟经过时间t ′＝34T 的状态相同，所以B 开始观察时，振子正好处于正向最大位移处．画出的B 观察到的振子的振动图象如图B 所示．答案：见解析。
2．简谐运动的描述学习目标：1.[物理观念]理解振幅、周期和频率，了解相位． 2.[科学思维]能用简谐运动的表达式描述简谐运动．☆阅读本节教材，回答第35页“问题”并梳理必要的知识点．教材第35页问题提示：根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点，物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动．一、描述简谐运动的物理量1．振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)．(2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小．2．周期(T)和频率(f)内容周期频率定义做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间物体完成全振动的次数与所用时间之比单位秒(s)赫兹(Hz)物理含义都是表示振动快慢的物理量联系f＝1T注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的．3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述． 二、简谐运动的表达式 1．表达式：简谐运动的表达式可以写成 x ＝A sin ()ωt ＋φ或x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT t ＋φ 2．表达式中各量的意义(1)“A ”表示简谐运动的“振幅”．(2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率．(3)“T ”表示简谐运动的周期，“f ”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T ＝1f .(4)“2πT t ＋φ”或“2πft ＋φ”表示简谐运动的相位．(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相．说明：1．相位ωt ＋φ是随时间变化的一个变量．2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)振幅就是振子的最大位移． (×)(2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．(×)(3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． (×)(4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×) 2．(多选)如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间振动，则( )A ．从B →O →C →O →B 为一次全振动B ．从O →B →O →C →B 为一次全振动C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动D ．B 、C 两点关于O 点对称ACD [O 点为平衡位置，B 、C 为两侧最远点，则从B 起经O 、C 、O 、B 的路程为振幅的4倍，即A 正确；若从O 起经B 、O 、C 、B 的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B 错误；若从C 起经O 、B 、O 、C 的路程为振幅的4倍，即C 正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B 、C 两点关于O 点对称，D 正确．]3．(多选)物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动位移x B ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 mB ．周期是标量，A 、B 周期相等，为100 sC ．A 振动的圆频率ωA 等于B 振动的圆频率ωBD ．A 的相位始终超前B 的相位π3CD [振幅是标量，A 、B 的振幅分别是3 m 、5 m ，A 错；A 、B 的圆频率ω＝100 rad/s ，周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2 s ，B 错，C 对；Δφ＝φAO －φBO ＝π3为定值，D 对．]描述简谐运动的物理量提示：(1)振子的振幅在数值上与振子的最大位移相等．(2)10 cm.1．振幅与位移、路程、周期的关系(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．2．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动．(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征．①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．②时间特征：历时一个周期．③路程特征：振幅的4倍．④相位特征：增加2π.【例1】一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为() A．4 cm10 cm B．4 cm100 cmC．024 cm D．0100 cm思路点拨：根据质点在一个周期内通过路程为4A，求路程．B[质点的振动周期T＝1f＝0.4 s，故时间t＝2.50.4T＝614T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×614cm＝100 cm，选项B正确．]振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅．(2)若从一般位置开始计时，14周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．[跟进训练]1．弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点．求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s 内通过的路程大小．[解析] (1)设振幅为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm.(2)从B 点首次到C 点的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ；再根据周期和频率的关系可得f ＝1T ＝1 Hz.(3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，则5 s 内通过的路程为s ＝t T ·4A＝5×40 cm ＝200 cm.[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm简谐运动的表达式式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间；A 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．2．各量的物理含义(1)圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T 及频率f 的关系：ω＝2πT ＝2πf .(2)φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ表示做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以表示简谐运动的相位．3．做简谐运动的物体运动过程中的对称性(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等．(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如t B C ＝t C B；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如t B C＝t B′C′，如图所示．4．做简谐运动的物体运动过程中的周期性简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断：(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．(2)若t2－t1＝nT＋12T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反．(3)若t2－t1＝nT＋14T或t2－t1＝nT＋34T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．【例2】一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像．思路点拨：简谐运动振动方程的一般表达式x＝A sin(ωt＋φ)，读出振幅A，由ω＝2πf求出ω，将在t＝0时，位移是4 cm代入即可求解振动方程，便能画出振动图像．[解析]简谐运动的表达式为x＝A sin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝π6或φ＝56π，因为t ＝0时，速度方向沿x 轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝56π，所求的振动方程为x ＝8sin(πt ＋56π) cm ，画对应的振动图像如图所示．[答案] 见解析用简谐运动表达式解答振动问题的方法(1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．(2)ω＝2πT ＝2πf 是解题时常涉及到的表达式．(3)解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了．[跟进训练]2．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s ．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．[解析] 由于振幅A 为20 cm ，振动方程为y ＝A sin ωt (平衡位置计时，ω＝2πT )，由于高度差不超过10 cm ，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t 1＝T 12，t 2＝5T 12，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt ＝t 2－t 1＝T 3＝1.0 s. [答案] 1.0 s1．物理观念：描述简谐运动的物理量：振幅、周期和初相位．2．科学思维：简谐运动的表达式．3．科学探究：探究弹簧振子运动的特点．1．下列说法正确的是()A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅B．物体在14个周期内，通过的路程是1个振幅C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅D．物体在34个周期内，通过的路程是3个振幅C[在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在14个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在14个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在34个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在34个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误．]2．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm 后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是()A．该弹簧振子的振动频率为1 HzB．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 sD．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置B[将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历T4，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝1T＝12Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过14T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误．] 3．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是()A．该简谐运动的周期是0.2 sB．前1 s内质点运动的路程是100 cmC．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小D．t＝0.6 s时质点的动能为0C[由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt(cm)，可知圆频率ω＝5π，则周期T＝2πω＝2π5πs＝0.4 s，A错误；1个周期内运动的路程为4A＝20 cm，所以前1 s内质点运动的路程是s＝tT·4A＝2.5×20 cm＝50 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，C正确；t＝0.6 s时，质点经过平衡位置，动能最大，D错误．]4．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是()A．质点的振动频率为4 HzB．在0～10 s内质点经过的路程是20 cmC．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等BCD[由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝1T＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在0～10 s内质点经过的路程是s＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确．] 5．[思维拓展]情景：在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．问题：(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？(2)试着作出P的振动图像．(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原来相同．由图丙中数据求纸带的加速度．提示：(1)由图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝xt，可得t＝xv＝0.21s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s.(2)由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示．(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由丙图可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝0.25－0.210.22m/s2＝1.0 m/s2.[答案](1)0.2 s(2)见解析图(3)1.0 m/s21/10。
第2节简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量1．弹簧振子做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过4s振子第一次经过P点，又经过了1s，振子第二次经过P点，则该简谐运动的周期为（）A．5s B．8s C．14s D．18s【答案】D【详解】如图，假设弹簧振子在水平方向BC之间振动若振子开始先向右振动，振子的振动周期为14(4)s18s2T=⨯+=若振子开始先向左振动，设振子的振动周期为T'，则1()4s242T T''+-=解得6sT'=故选D。
2．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO=OC=5cm。
若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（）A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1s，振幅是10cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20cmD．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm【答案】D【详解】AB ．振子从B 经O 到C 只完成半次全振动，再回到B 才算完成一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故T =2s ，AB 错误；C ．经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路程是40cm ，C 错误；D ．从B 开始经过3s ，振子通过的路程是30cm ，D 正确。
故选D 。
二、简谐运动表达式3．如图所示，水平弹簧振子沿x 轴在M 、N 间做简谐运动，坐标原点O 为振子的平衡位置，其振动方程为5sin(10)cm 2x t ππ=＋。
下列说法不正确的是（ ）A ．MN 间距离为5 cmB ．振子的运动周期是0.2sC ． 0=t 时，振子位于N 点D ．0.05s t =时，振子具有最大速度【答案】A【详解】A ．MN 间距离为210 cm A =，A 错误；B ．由5sin(10)cm 2x t ππ=+可知10rad/s ωπ=可知振子的运动周期是20.2s πω==T ，B 正确； C ．由5sin(10)cm 2x t ππ=+可知0=t 时 5 cm x =即振子位于N 点，C 正确；D ．由5sin(10)cm 2x t ππ=+可知t=0.05 s 时0x =此时振子在O 点，振子速度最大，D 正确。
2 简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量 1．振幅振动物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅．振幅是标量，用A 表示，单位是米(m)．振幅是反映振动强弱的物理量，振幅越大表示振动越强．2．周期和频率做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期．单位时间内完成全振动的次数叫作振动的频率．周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量．它们的关系是T ＝1/f .在国际单位制中，周期的单位是秒．频率的单位是赫兹，1 Hz ＝1 s －1.3．相位用来描述周期性运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量． 二、简谐运动的表达式简谐运动的正弦函数表达式可以写成x ＝A sin(ωt ＋φ)．其中A 代表简谐运动的振幅；ω叫作简谐运动的“圆频率”，它与周期的关系是ω＝2πT.它和周期、频率都表示简谐运动的快慢；ωt ＋φ代表简谐运动的相位，其中φ称为初相位．从简谐运动的正弦函数表达式中，我们知道(ωt ＋φ)表示相位，你能据此表达式导出相位的单位吗？提示：由ω＝2πT 及ωt ＋φ知ωt ＋φ＝2πT t ＋φ，其中φ表示角度，2πTt 也表示角度，所以其单位应为角度的单位——弧度．考点一描述简谐运动的物理量1．振幅说明：振幅的两倍(2A)表示振动物体的运动X围，如上图所示．振幅、位移和路程的关系振幅位移路程定义振动物体离开平衡位置的最大距离从平衡位置指向振子所在位置的有向线段运动轨迹的长度矢、标性标量矢量标量变化在稳定的振动系统中不发生变化大小和方向随时间做周期性变化随时间增加联系①振幅等于最大位移的大小；②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4个振幅，在半个周期内的路程等于2个振幅1在一个稳定的振动系统中，振幅是不变的，它与振动系统的周期频率或质点的位移无关.2振幅是标量，它没有负值，也无方向，它等于振子最大位移的大小，却不是最大位移.2．全振动(1)如图，如果从振子向右通过O点的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O.这样一个完整的振动过程称为一次全振动．若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0.(2)全振动的等时性：不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．(3)对一次全振动的认识对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：①从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向与初始状态完全相同)，即物体完成了一次全振动．②看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍．3．周期【拓展延伸】简谐运动的周期与什么因素有关？简谐运动的周期公式：T＝2πm k .公式中m为做简谐运动物体的质量，k为做简谐运动物体受到的合外力跟位移大小的比值．(特例：水平方向的弹簧振子，k指弹簧的劲度系数)4．频率(1)单位时间内完成全振动的次数，叫作振动的频率，用f表示．(2)单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹(Hz)．(3)意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大，表示振动得越快；频率越小，表示振动得越慢．(4)频率与周期的关系：T＝1 f .(1)简谐运动的频率(周期)由振动系统本身的因素决定，与振幅和其他因素无关，因此又称固有频率(周期)．(2)简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述完成一次全振动快慢的物理量．简谐运动的振幅和周期(频率)分别表示振动的强弱和快慢，各自是独立的，即振动的强弱与振动的快慢没有关系．或者说：周期(频率)与振幅无关．5．相位在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．【例1】如右图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则( )A．从B→O→C为一次全振动B．从O→B→O→C为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．从D→C→O→B→O为一次全振动【审题指导】思路1：全振动的意义是什么？物体完成一次全振动时，一定回到了初位置，且以与原来相同的速度回到初位置．思路2：全振动中路程与振幅有固定关系，即一次全振动通过的路程是振幅的4倍．【解析】一次全振动不是必须从平衡位置开始计时，只要再次同向经过某一位置，就完成了一次全振动，运动时间就是一个周期，运动的路程为4个振幅．【答案】 C(多选)如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是10 cm，B→C 运动时间是1 s，则( CD )A．振动周期是1 s，振幅是10 cmB．从B→O→C振子做了一次全振动C．经过两次全振动，通过的路程是40 cmD．从B开始运动经过3 s，振子通过的路程是30 cm解析：明确描述振动的物理量，弄清它们之间的关系是解题的关键．由题，BC间距离为10 cm，则振幅A＝5 cm，B→C运动时间为1 s，则周期T＝2 s．故A错误；从B→O→C，振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，B错误；经过两次全振动，通过的路程s＝8A＝40 cm，C正确；从B开始经过3 s，振子振动了1.5个周期，通过的路程s＝1.5×4A＝30 cm，故D正确．【例2】一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的值为多少？【审题指导】由于振动的往复性，质点经过某一位置时因速度方向不确定会导致多解．【解析】 将物理过程模型化，画出具体情景．设质点从平衡位置O 向右运动到M 点，那么质点从O 点到M 点运动时间为0.13 s ，再由M 点经最右端A 点返回M 点经历时间为0.1 s ，如图甲、乙所示．根据以上分析，可以看出从O →M →A 历时0.18 s ，根据简谐运动的对称性，可得到T 1＝4×0.18 s＝0.72 s.另一种可能如图丙所示，由O →A →M 历时t 1＝0.13 s ，由M →A ′历时t 2＝0.05 s ，则34T 2＝t 1＋t 2，故T 2＝43(t 1＋t 2)＝0.24 s ，所以周期的可能值为0.72 s 和0.24 s.【答案】 0.72 s 或0.24 s一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则( C )A ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T2的整数倍C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动的加速度一定相等D ．若Δt ＝T2，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻弹簧的长度一定相等解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可知，A 点与E 、I 等点对应的时间差为T 或T 的整数倍，A 点与B 、F 等点对应的时间差不为T 或T 的整数倍，因此A 选项不正确．图中A 点跟B 、C 、F 、G 等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A 点与C 、G 等点对应的时间差为T 2或T 2的整数倍，A 点与B 、F 等点对应的时间差不为T 2或T2的整数倍，因此B选项不正确．如果t 时刻和(t ＋Δt )时刻相差一个周期T ，则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C 正确．如果t 时刻和(t ＋Δt )时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D 也不正确.考点二 简谐运动的表达式1．简谐运动的表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移，t 表示振动的时间． (2)A 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．(3)ω称为简谐运动的圆频率，它也表示做简谐运动的物体振动的快慢．ω与周期T 及频率f 的关系为ω＝2πT＝2πf .所以简谐运动的表达式也可写成：x ＝A sin(2πTt ＋φ)或x ＝A sin(2πft ＋φ)．(4)φ表示t ＝0时，简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相．(5)(ωt ＋φ)代表了简谐运动的质点在t 时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．2．相位差(1)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异．设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x 1＝A 1sin(ωt ＋φ1)，x 2＝A 2sin(ωt ＋φ2)， 它们的相位差Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1.可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．(2)若Δφ＝φB －φA >0，则称B 的相位比A 的相位超前Δφ或A 的相位比B 的相位落后Δφ；若Δφ＝φB －φA <0，则称B 的相位比A 的相位落后Δφ或A 的相位比B 的相位超前Δφ.1在比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程.2相位差的取值X 围：－π≤φ≤π；相位每增加2π就意味着完成了一次全振动.【例3】 (多选)物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动位移x B ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( )A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 sC ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD ．A 的相位始终超前B 的相位π3【审题指导】1．振动位移公式x ＝A sin(ωt ＋φ)，各物理量分别表示什么？ 2．振动的超前、落后由什么物理量决定？【解析】 振幅是标量，A 、B 的振动X 围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别为3 m 、5 m ．A 错．A 、B 振动的周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2s ，B 错；因T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φA －φB ＝π3为定值，D 对，故选C 、D.应用简谐运动的表达式解决相关问题时，首先明确振幅A 、周期T 、频率f 的对应数值，其中T ＝2πω，f ＝ω2π；然后把确定的物理量与所要求解的问题相对应，找到关系．【答案】 CD某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t cm ，则下列关于质点运动的说法中正确的是( C )A ．质点做简谐运动的振幅为5 cmB ．质点做简谐运动的周期为4 sC ．在t ＝4 s 时质点的速度最大D ．在t ＝4 s 时质点的位移最大解析：由x ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t cm 可知，A ＝10 cm ，ω＝2πT ＝π4 rad/s ，得T ＝8 s ．t ＝4 s 时，x ＝0，说明质点在平衡位置，此时质点的速度最大、位移为0，所以只有选项C 正确．学科素养提升 振幅与位移和路程的关系1．振动的振幅与振动的位移(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置变化． (2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻变化．(3)振幅是标量，位移是矢量．(4)振幅在数值上等于最大位移的绝对值． 2．振幅与路程的关系(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅． (2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅．(3)振动物体在14T 内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅．只有当14T 的初时刻振动物体在平衡位置或最大位移处，14T 内的路程才等于一个振幅．【典例】 如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx ，释放后振子在A 、B 间振动，且AB ＝20 cm ，振子首次由A 到B 的时间为0.1 s ，求：(1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由A 到O 的时间；(3)振子在5 s 内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小． 【解析】 (1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm ，t ＝0.1 s ＝T2，所以T ＝0.2 s.由f ＝1T得f ＝5 Hz.(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A 到O 的时间与振子由O 到B 的时间相等，均为0.05 s.(3)设弹簧振子的振幅为A ，则A ＝10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4 A ，故在t ＝5 s ＝25T 内通过的路程s ＝25×40 cm＝1 000 cm.5 s 内振子振动了25个周期，5 s 末振子仍处在A 点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.【答案】 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s(3)1 000 cm10 cm求路程时，首先应明确振动过程经过几个整数周期，得到这几个周期内的路程，再分析最后不到一个周期的时间内的路程，两部分之和即为总的路程，振子在14周期内的路程可能等于一个振幅，也可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有从平衡位置或最大位移处开始运动，14周期内的路程才等于一个振幅．1.如图所示是一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是( C )A ．t 1至t 2时刻质点完成一次全振动B ．t 1至t 3时刻质点完成一次全振动C ．t 1至t 4时刻质点完成一次全振动D ．t 2至t 4时刻质点完成一次全振动解析：一次全振动结束，各物理量刚好回到本次全振动开始时的值，从图像上来看，刚好完成一次周期性变化，所以只有t 1～t 4时间对应一次全振动．2．(多选)振动周期是指振动物体( CD )A ．从任一个位置出发又回到这个位置所用的时间B ．从一侧最大位移处运动到另一侧最大位移处所用的时间C ．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的时间D ．经历了四个振幅的时间解析：振子经历一个振动周期，速度的大小和方向又完全恢复到初始状态，振子运动的路程为四倍振幅．3．(多选)一个质点做简谐运动，质点每次经过同一位置时，下列物理量一定相同的是( BCD )A ．速度B ．加速度C ．动能D ．位移解析：质点做简谐运动，每次经过同一位置时，它的位移、加速度、动能一定相同；而速度大小相同，方向不一定相同．所以B 、C 、D 选项正确．4．一质点做简谐运动的位移—时间图线如图所示．关于此质点的振动，下列说法中正确的是( D )A ．质点做简谐运动的表达式为x ＝10sin(πt ) cmB ．在0.5～1.0 s 时间内，质点向x 轴正向运动C ．在1.0～1.5 s 时间内，质点的动能在增大D ．在1.0～1.5 s 时间内，质点的加速度在增大解析：本题考查简谐振动．由图像可知，质点振幅为5 cm ，振动周期T ＝2.0 s ，则ω＝2πT＝π.因此，振动方程为x ＝5sin(πt )cm ；0.5～1.0 s 时间内，质点向x 轴负向运动；1.0～1.5 s 时间内，质点由平衡位置向x 轴负向运动，速度逐渐减小，动能逐渐减小，加速度逐渐增大．选项A 、B 、C 错误，D 正确．5．一个简谐运动的振动方程为x ＝5sin(2πt ＋π2) cm ，这个振动的振幅是5 cm ；频率是1 Hz ；在t ＝0.1 s 时的相位是7π10；在1 s 的时间内振子通过的路程是20 cm. 解析：振幅可直接由表达式读出，A ＝5 cm ，圆频率ω＝2π，由ω＝2πf 知其频率f ＝1 Hz.t ＝0.1 s 时，2πt ＋π2＝0.2π＋π2＝710π，即相位为710π，因为f ＝1 Hz ，则T ＝1f ＝1 s ，故1 s 内通过的路程s ＝4A ＝4×5 cm＝20 cm.。
