[优质文档]2013新课程背景下高考数学试题的研究

2013年高考数学三角函数的题型分析[文献标识码]A近几年的高考中，三角函数题所占的分值不少，题目的类型比较固定，但是考查的知识点全面，涉及的内容广。

在2013年的高考题中，三角函数是怎样出题的？考查了哪些知识点？所占的分值是多少？与其他部分的知识点有哪些联系？针对上述这些问题，笔者对2013年各省市理科数学高考题中三角函数的试题进行了研究，统计了2013年各省市理科数学三角函数的知识点分布以及在各套试卷中所占的分值。

在这一统计工作的基础上，笔者对去年三角函数各知识点出现的频率进行了统计，对去年三角函数知识点的考查重点进行了分析。

各个知识点的考查都不是单独进行的，三角函数它是一种特殊的函数，三角函数体现出了函数的很多性质，那么这一特殊函数它通常和哪些知识点间有紧密的联系？笔者针对上述问题对去年的高考题进行了分析，并针对研究的结果，相应地提出了一些建议。

在现在的高考中，知识点之间的联系越来越紧密，三角函数与其他知识块综合考查。

笔者通过对这部分题型的统计、分析，总结出在2013年的高考中和三角函数综合考查的知识点有哪些，对高考中这些知识点间做个系统的梳理。

通过以上工作，对高考中三角函数有个整体的把握，摸清“出什么，怎么出”，有利于学生在复习中分清主次、找到联系。

对最新的高考题进行分析，有利于学生抓住高考试题的走向与重点所在。

对于2013年理科高考中三角函数试题的研究与分析，有助于对2014年三角函数这部分系统的把握。

现在对与各省市理科试卷中三角函数试题逐题进行系统统计与分析这样的研究相对较少，所以笔者进行这样的一项工作，通过分析“2013”把握“2014”。

三角函数这部分主要考查是从基础出发，稳中求变，稳中求新，能有自己的思维。

一、 2013年高考数学（理科）三角函数试题的统计与分析以2012年高考中全国各省市理科数学试卷中的三角函数试题为调研对象，进行统计、分析。

见下表：由表1得出，三角函数这部分知识在2013的高考试题中，主要集中在17、5、11这几道题中，尤其第17题。

2013年高考数学试题分析（新课标卷）山西晚报网--2013-06-10■特邀名师许晓莉:山大附中数学高级教师、山西省学科带头人、山西省教学能手、山西省骨干教师、山西省优秀班主任、太原市德育标兵今年是山西省使用新课标卷高考的第三年，经历了第一年的易，第二年的难，考前按一线教师的估计今年应该难易适中，趋于稳定。

但从学生考完后的反应来看，有的感觉易，有的感觉难，说法不一。

7日晚我拿到试卷认真分析后，认为今年的考题不偏、不怪，理科数学与去年难度相近，文科数学与去年相比较为简单。

一、今年高考数学具体有以下特点1、试题构成总体稳定，风格特点基本没变从试题总体来看，主干知识中函数约22分，立体几何约22分，圆锥曲线约22分，三角约17分，概率统计约17分，数列约15分，不等式及其应用约10分，向量、二项式定理、集合、复数及算法各5分。

不过理科卷中一些常见知识没有考查，比如：命题与逻辑，排列组合，三角函数的图像和变换，线性规划，积分，正态分布，独立性检验与回归分析等。

文科卷的知识点覆盖比较全面。

今年的考题仍遵循了考试大纲所倡导的“高考应具有较高的，必要的区分度和适当的难度”这一原则。

很多题目似曾见过，但又不尽相同，进行了适度创新，体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。

总之，试题融入了考纲的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学，具有积极的导向作用。

2、试题知识点考查层次分明，难度设置比较合理理科试卷共24个题，其中22、23、24题是三选一。

1到12题是选择题，13到16题是填空题，17到24题是解答题。

选择题中前11个题目，比较常规，是学生平时常练的类型，容易上手。

不过个别题目问法较为新颖，需有一定的思辨能力。

第12题融合了数列、三角、圆锥曲线三大知识点，有一定的难度。

由于这个题属选择题，可以选择小题小做的办法，采用特值技巧加以解答。

2013年高考数学试题（新课标I）分析作者：黄丽来源：《都市家教·下半月》2013年第04期【摘要】2013年高考全国卷新课标1卷数学试题，严格遵循考试大纲和考试说明的各项要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，展现了数学的学科价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，具有良好的选拔和导向功能。

【关键词】数学试题；高考；分析2013年高考新课标I卷数学试题，严格遵循考试大纲和考试说明的各项要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，展现了数学的学科价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，具有良好的选拔和导向功能。

一、试卷保持相对稳定，平衡传承与创新2013年高考新课标I卷数学文、理试卷结构、题型、题量及分值分布等都与往年保持相对稳定，从宏观和微观上实现了“知识与技能，过程与方法，情感态度和价值观”的有机整合，继续承袭“多题把关”的命题特点，第20、21题并列压轴，选做题中的第24题沿袭了近几年的两问，第一问解不等式，第二问求参数范围。

文理两科的解答题，在题目设计上做到了入口宽、梯度合理，有利于不同程度的考生充分地发挥。

在保持相对稳定的基础上，2013年试卷进行了适度创新。

如文科第7题理科第5题，试题表面上以流程图的形式呈现，通过一系列地巧妙转换，化为考生熟悉的分段函数，一次函数与二次函数的最值问题，将基本不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来，一气呵成，浑然一体。

又如文科第12题理科第11题，以考生熟悉的分段函数为载体，以绝对值不等式求参数范围的形式呈现，考查了分类整合及自主学习的能力，“动静结合”，“等与不等”自然转化，富有思考性和挑战性，是考查考生创新意识和潜在的数学素养的极好素材，是今年新课标I卷的点睛之笔。

二、突出主干知识，注重能力立意试卷依据考试说明，全卷涵盖了考试说明中的绝大部分知识点，对要求较高的三角函数、立体几何、概率统计、数列、函数和导数的应用、圆锥曲线等主干知识均以解答题形式出现，并都达到了一定的考查深度和广度。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 与B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若i+2=2z z z g ，则z ＝ ( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 【测量目标】复数的代数形式的四则运算，复数的基本概念.【考查方式】给出复数的关系式，利用复数的四则运算化简，再根据复数的基本概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由i+2=2z z z g 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，（步骤1）所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.（步骤2） 2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( )第2题图A ．16 B ．2524 C ．34 D ．1112【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的程序框图，根据算法求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4；（步骤1） 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；(步骤2) 返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；（步骤3）返回，8＜8不成立，输出1112s =.（步骤4）3．在下列命题中，不是．．公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【测量目标】平面的基本性质及其应用.【考查方式】给出4个命题，根据平面的基本性质进行判断.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．4．“a …0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】函数图象的应用，函数单调性的判断,充分、必要性.【考查方式】给出两个条件，画出函数的图象先判断函数的单调性，再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a …0，故选C.5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出实际问题情境，利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C. （步骤2）6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}【测量目标】指数方程与对数方程，函数的定义域.【考查方式】给出不等式的解集，利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题意知－1＜10x ＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出圆的参数方程，利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程，从而求出圆的切线方程，最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(步骤1)所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.（步骤2） 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n …2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()…，则n 的取值范围是 ( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}【测量目标】函数图象的应用，直线的斜率.【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式，转化为直线的斜率关系式，再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()L 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()----L ，(步骤1)故上式可理解为y＝f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与y＝f(x)的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n＝2，②为n＝3，③为n＝4.（步骤2）9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足=2OA OB OA OB==u u u r u u u r u u u r u u u rg，则点集{}=+,1,P OP OA OBλμλμμ+∈u u u r u u u r u u u rR…所表示的区域的面积是() A．22B．23C．42D．43【测量目标】平面向量基本定理及其应用，向量的数量积运算，平面向量在平面几何中的应用,判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出问题情境，根据向量的数量积运算求出定点的坐标，再利用平面向量的基本定理确定动点的坐标取值范围，从而根据图象求解面积.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】以OAu u u r，OBuuu r为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知|OAu u u r|＝|OBuuu r|＝OAu u u rg OBuuu r＝2，可得出∠AOB＝60°，(步骤1)点A(3，1)，点B(3，－1)，点D(23，0)．（步骤2）现设P(x，y)，则由OPuuu r＝λOAu u u r＋μOBuuu r得(x，y)＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.xyλμλμ⎧(+)=⎪⎨-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|…1，λ，μ∈R，（步骤3）可得33,11,xy⎧-⎪⎨-⎪⎩剟剟画出动点P(x，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43⨯.(步骤4)10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】函数图象的应用，函数零点的求解与判断，利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的关系式和极值点，利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根，最后根据图象进行判断. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由()f x '＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．（步骤1）如图所示， x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.（步骤2）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若83x x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值，根据二项式的展开式定理求出通项，从而根据系数求解.【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】∵83x x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式，根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式， 再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等【参考答案】2π3【试题解析】∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①(步骤1)又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53a b=，73c b=，（步骤2）∴22222257133cos52223b b bb a cCab b b⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C=.（步骤3）13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．【测量目标】函数图象的应用，向量的数量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出问题情境，先将函数问题转化为向量坐标问题，再利用向量的坐标运算求解.【难易程度】中等【参考答案】[1，＋∞)【试题解析】如图，设C(x0，2x)(2x≠a)，A(a-，a)，B(a，a)，则CAu u u r＝(a x--，2a x-)，CBu u u r＝(a x-，2a x-)．（步骤1）∵CA⊥CB，∴CAu u u rg CBu u u r＝0，即－(a－2x)＋(a－2x)2＝0⇒(a－2x)(－1＋a－2x)＝0，∴2x＝a－1…0，∴a…1.（步骤2）14．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是__________．【测量目标】几何证明选讲，数列的通项.【考查方式】给出问题情境，利用三角形的相似求出面积之比，再根据相似比求解线段之间的比值，进而转化为数列问题从而求解.【难易程度】较难【参考答案】32na n-【试题解析】设11OA BS△＝S，∵a1＝1，a2＝2，OA n＝a n，∴OA 1＝1，OA 2＝2.（步骤1） 又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭△△. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S △＝3S .(步骤2)∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴11113132n nOA B nOA B S OA S OA S S n S n ∆∆===+(-)-.∴1132n a a n =-，∴32n a n =-.（步骤3）15．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 的面积为6【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出问题情境，画出图象进行判断. 【难易程度】较难 【参考答案】①②③⑤【试题解析】当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；（步骤1）如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN∽△QC1R得11C Q C RCQ CN=，即114314C R=，C1R＝13，故③正确；（步骤2）如图(3)所示，当34＜CQ＜1时，截面为五边形APQMF，所以④错误；（步骤3）当CQ＝1时，截面为APC1E，可知AC13EP2，且四边形APC1E为菱形，S四边形APC1E＝62，故⑤正确．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx gπsin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A xωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期，（1）利用三角恒等变换求解函数的周期，从而求解；（2）利用函数sin()y A xωϕ=+的性质进行分类讨论函数的单调性.【难易程度】中等【试题解析】(1)f(x)＝4cos ωx g sinπ4xω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx g cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2） (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0…x …π2，则ππ5π2444x +剟.（步骤3）当πππ2442x +剟，即π08x 剟时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x +剟，即ππ82x 剟时，f (x )单调递减．（步骤4） 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k …a …1＋k 时，求I 长度的最小值． 【测量目标】函数零点的求解，利用导数求函数的最值,导数的运算.【考查方式】(1)给出函数的关系式，转化为方程零点的问题，从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根据k 的取值讨论单调性，从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．(步骤1)因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +.(步骤2) (2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k …a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a …1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k …a …1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．（步骤3）而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.（步骤4）18．(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率与方程，两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式，（1）根据椭圆的几何性质求解标准方程；（2）根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.（步骤1） (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中221c a =-.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--．（步骤2） 当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.（步骤3）由于F 1P ⊥F 1Q ， 所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1.（步骤4） 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．（步骤5）19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .【测量目标】线面平行的判定，平面的基本性质，二倍角，面面垂直，线面角. 【考查方式】给出问题情境，（1）利用线线平行到线面平行，再利用平行的传递性求证；（2）先利用射影定理找出线面角，再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .(步骤1)又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（步骤2） (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .(步骤3)又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，（步骤4） 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．（步骤1） 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ， 则OF ＝OP g tan ∠OPF ＝h g tan 60°＝3h .（步骤5） 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.（步骤6） 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此(21)21OC h ==+-.（步骤7） 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝36321OF hOC h==-(+)， 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝22(63)1=17122---.（步骤8）20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x x x n-+++++L (x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.【测量目标】函数零点的应用，利用导数判断函数单调性，直接证明.【考查方式】给出函数的解析式，(1)利用导数的运算求出导函数，再利用函数零点的定义求证；（2）利用特殊值法代入求值，在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，()n f x '＝11+2n x xn-++L ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增（步骤1）由于f 1(1)＝0，当n …2时，f n (1)＝22211123n+++L ＞0，故f n (1)…0.又2222221121131 ()3334334kk n n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++-+=-+⎪⎝⎭∑∑ (2)112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-< ⎪⎝⎭-g，（步骤2）所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.（步骤3）(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，（步骤4） 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=L ，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n pn p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)L L ＋.② ①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n …1，得x n －x n ＋p ＝222211k k k k n p n p n n p nn p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+∑∑∑… 21111(1)n p n pk n k n k k k ++=+=+<-∑∑…111n n p n =-<+.（步骤5）因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.(步骤6)21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .【测量目标】对立事件的概率，排列与组合及其应用，不等式的基本性质.【考查方式】给出问题情境，(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论，再根据排列与组合求解概率，再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.(步骤1) (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k …m …t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n kn k ------=.（步骤2） 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m kn kn k k n k k kn n------=. 当k …m ＜t 时，P (X ＝m )…P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---…11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2…(n －m )(2k －m )⇔m (2)(1)22k k n +-+.（步骤3） 假如k (2)(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k …2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+…t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．（步骤4） (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k (2)(1)22k k n +-+＜t .因为1…k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---=+++厖.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －2(1)2k n ++＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k (2)(1)22k k n +-+＜t .（步骤5）。

新课程背景下高考数学试题能力导向研究作者：陈开懋来源：《数学教学通讯·中等教育》2013年第09期摘要：本文利用S0L0分类理论，依据解答数学试题所用思维能力的水平高低，制定出符合目前高考的试题划分标准，并将高考数学试题划分为四个S0L0层次：单点结构水平（U）、多点结构水平（M）、关联结构水平（R）和抽象扩展结构水平（E）. 根据上述标准，对四个首批课改实验区从2007年到2012年共六年的高考数学试题进行S0L0层次划分，得到了不同年份、不同地区的高考数学试卷能力结构和S0L0层次分布趋势. 最后得出新课标高考数学试题合理的能力结构分布.关键词：高考；数学；能力结构；SOLO分类理论[⇩] 问题的提出自2007年首次新课程高考，广大一线教师、教研员都对新课标下的高考数学发表了自己的见解. 以“高考数学试题”为关键词，在中国期刊网上搜索，得到上百篇与高考数学试题相关的文章. 经分类整理，主要有以下四类：第一类，关注高考数学试题的命制技术；第二类，关注高考数学试卷的整体走向；第三类，关注高考数学试题的典型例题；第四类，关注高考数学试卷和新课程的联系. 这些研究都侧重对数学试题设计的探讨，对试卷结构、知识点的统计，研究仍停留在对高考数学试题考查能力种类的划分上，对能力考查的表达仍停留在“体现能力立意”、“以能力立意为核心”之类相对模糊的叙述上，而对试题考查的能力结构的划分比较模糊，缺少对具体试题能力结构的分析研究.《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出，贯彻“以人为本、全面实施素质教育”，必须“坚持能力为重”，着力提高学生的“学习能力、实践能力、创新能力”. 高考作为为高等院校选拔人才的考试，受到社会的高度关注. 新课程背景下的高考数学试题如何体现新课程改革的理念？新课程背景下的高考数学试题能否体现出较好的教学导向功能和选拔功能？新课程背景下的高考数学试题对我们广大一线教师的日常教学又提出了哪些新要求？这些问题都需要一个科学、客观、有效、公正的答案. 在此，笔者以首批课改省份2007年至2012年的六年高考数学试题作为研究对象，分析评价新课标下高考数学试题在能力导向上的特点，希望为一线教师提供一些教学启示.[⇩] 试题能力结构的评价工具——SOLO分类理论澳大利亚的教育心理学教授John Biggs在皮亚杰的发展阶段论的基础上经过研究发现，个人的总体认知水平实际上是一个纯粹的理论概念，无法直接评价，将其称为假设的认知结构（Hyposhertical Cognitive Structure， HCS）.但一个人回答某一个具体问题时所表现出来的思维结构却是可以测量的，称之为可观察的学习成果结构（Structure of The Observed LearningOutcome），简称SOLO. SOLO分类理论是评价学习者在具体学习活动中产生的一系列表现. 根据学生在回答具体问题时，答案所呈现出的结构复杂性和层次的变化特点，来判断学生所处的五种不同的思维层次，即SOLO的五个结构水平：前结构水平（prestructur-al）；单点结构水平（unistructural）；多点结构水平（multistructural）；关联结构水平（relational）；抽象扩展水平（extended abstract）. 五个层次可用下图表示：上图表明，学习过程是一个由浅入深、从量变到质变的发展过程，这个过程实现了从新手到专家的转变. 五个层次中，前结构可看做是“新手”的准备阶段，单点结构和多点结构主要是对学习的“量”的描述，考查的关键是学得知识点的多少及适当的知识迁移能力. 关联结构和抽象扩展结构主要是对学习的“质”的描述，考查学生高级思维能力和提出问题、分析问题、解决问题的能力，这种考查是在以知识的“量”为积累的水平上进行的.高考数学试题SOLO能力结构的划分在新课标《考试大纲》的能力考查要求中，已对数学学科的考查能力类型作出具体的划分：运算求解能力；数据处理能力；空间想象能力；抽象概括能力；推理论证能力；实践能力；创新意识.结合《高中数学课程标准（实验）》中对认知性和学习性目标的界定，笔者认为可以将SOLO分类理论中对学生思维层次划分的方法应用于高考数学试题中，按照学生顺利解答试题所需要的思维水平的层次来划分高考数学试题的能力结构，每一个层次代表顺利解题所需要达到的思维层次，以便更清晰地了解新课程改革后高考数学试题的能力结构特点.根据Biggs的研究成果，可以将高考数学试题划分为以下四个层次：单一结构水平（U）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元或者解题所需的知识点单一，正确解答只需回忆再现一个或两个知识点.多元结构水平（M）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元为2-3个，或者正确解答应回忆再现出三个以上知识点.关联结构水平（R）：试题的情景素材陌生新颖，正确的解答需要结合试题给出的情境素材，顺利回忆、再现多个知识点，并且联系题干给出的多个信息，从整体上把握解题思路，整理、归纳答案.抽象扩展结构水平（E）：在关联结构水平上，超越问题情境，采用合乎逻辑的演绎，将相关的知识点和题干信息综合成抽象的假设，得出的结论可能不唯一.[⇩] 新课程高考数学试题SOLO能力结构统计分析笔者对课改实验区的近六年高考数学试题进行统计分析，结合高考数学的考试说明和考试大纲中对各知识点的描述情况，根据顺利解答每个小题所需的知识点数量及各知识点之间联系的紧密程度划分试题的等级，并对每一年各个省的试题能力结构层次分布特点进行横向与纵向的分析评价，力求得出高考数学试卷能力结构层次的合理结论.1. 2007-2012年高考数学试题SOLO层次特点以SOLO分类理论的U、M、R、E四个层次为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出四个课改实验区的髙考数学试题的SOLO层次特点示意图. 如下图所示：2. 四个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势以新课程高考年份为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出各个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势图.以该分布走势图为依据分析每个课改实验区的SOLO层次特点，所得结果如下所示：[⇩] 研究结论和展望1. 研究结论本文根据SOLO分类理论，利用统计分析方法，建立了评价高考数学试题SOLO层次的标准，并利用该标准对宁夏、海南、广东、山东四省首批课改实验区的新课标高考数学试卷进行SOLO层次划分，通过按高考时间的横向研究和按高考不同地区的纵向研究，得出单一时点和多重时点下的高考数学试题SOLO层次分布趋势.横向研究表明2007年至2012年的髙考数学试题的SOLO层次分布图以单峰值居多，最高峰出现在M层次和R层次试题的图线数量相当. M层次试题的主要作用是考查主干知识，增加知识点覆盖面；R层次试题主要作用是考查学生利用特定的情景素材解决数学问题的能力，突显新课程改革的理念，体现高考试卷的能力立意. 各省的SOLO图线顶峰在M层次和R层次中移动，体现命题者力图在顺应新课程改革的背景下，尝试命制出既符合本省教学实际情况又有利于选拔学生的高考试卷.纵向研究得出四个课改省份的SOLO层次分布走势图，从而可以总结出新课程改革高考六年来各个实验区的高考数学试题的稳定性和变化情况.U层次试题，考查学生基础知识掌握程度，位于SOLO层次的最底端，可以降低试卷的难度. 新课标高考六年来，四个实验区高考数学试卷的单点结构水平试题比例在经过波动之后回归到10%上下，根据上述命题走势，笔者认为U层次试题作为一种调控试卷难易程度的试题，其所占比例不会太高，合理范围应该在10%左右.M层次试题，位于SOLO层次的第二层，其主要作用是扩大高考考查的知识面，确保高考试卷知识点覆盖的全面性.该水平试题属于中等难度试题. 从课改实验区六年的SOLO层次分布图上看，四省的多点结构水平试题比例已趋向平稳，其合理范围应该在40%上下浮动.R层次试题，能体现学生高水平的思维能力，学生解答此类试题必需联系题干中的多个知识点及相关信息.海南、宁夏、广东的R层次试题，除2011年比例接近50%外；其余五年均在35%—40%之间，而山东省的R层次试题比例六年保持相对稳定，均在50%左右. 经以上分析，笔者认为这种需要运用知识点和题干信息之间相互联系来解决的R层次试题能很好体现新课程改革对高考数学的能力要求，受到许多命题专家的青睐. 因而，该层次试题的合理比例将在40%左右.E层次试题，是用来区分出基础扎实、综合能力强的拔尖人才的试题. 这类试题试题会明显提高试卷的难度，但试题数量太多时将会导致学生答题时间不够，且容易降低学生的学习积极性.四个课改实验区的该试题比例始终维持在10%左右，由此可见，该层次试题的合理比例将在40%左右.2. 研究展望由于时间、精力以及笔者学识的限制，本研究内容尚有许多有待进一步完善之处.对本研究中四个课改实验区近六年来的十八套高考数学试题的SOLO层次的定级，尽管笔者是一线教师，也经过多次反复验证，但仍感缺少专家层面的检验，因而该SOLO层次的定级存在一定的主观性. 另一方面，笔者做本研究的目的，在于尝试为高考数学试题提供一种新的分析评价工具. 因此，本文可作为案例供感兴趣的研究者参考，并期待该理论在高考数学试题评价方面得到进一步的修正和完善.[⇩] 问题的提出自2007年首次新课程高考，广大一线教师、教研员都对新课标下的高考数学发表了自己的见解. 以“高考数学试题”为关键词，在中国期刊网上搜索，得到上百篇与高考数学试题相关的文章. 经分类整理，主要有以下四类：第一类，关注高考数学试题的命制技术；第二类，关注高考数学试卷的整体走向；第三类，关注高考数学试题的典型例题；第四类，关注高考数学试卷和新课程的联系. 这些研究都侧重对数学试题设计的探讨，对试卷结构、知识点的统计，研究仍停留在对高考数学试题考查能力种类的划分上，对能力考查的表达仍停留在“体现能力立意”、“以能力立意为核心”之类相对模糊的叙述上，而对试题考查的能力结构的划分比较模糊，缺少对具体试题能力结构的分析研究.《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》指出，贯彻“以人为本、全面实施素质教育”，必须“坚持能力为重”，着力提高学生的“学习能力、实践能力、创新能力”. 高考作为为高等院校选拔人才的考试，受到社会的高度关注. 新课程背景下的高考数学试题如何体现新课程改革的理念？新课程背景下的高考数学试题能否体现出较好的教学导向功能和选拔功能？新课程背景下的高考数学试题对我们广大一线教师的日常教学又提出了哪些新要求？这些问题都需要一个科学、客观、有效、公正的答案. 在此，笔者以首批课改省份2007年至2012年的六年高考数学试题作为研究对象，分析评价新课标下高考数学试题在能力导向上的特点，希望为一线教师提供一些教学启示.[⇩] 试题能力结构的评价工具——SOLO分类理论澳大利亚的教育心理学教授John Biggs在皮亚杰的发展阶段论的基础上经过研究发现，个人的总体认知水平实际上是一个纯粹的理论概念，无法直接评价，将其称为假设的认知结构（Hyposhertical Cognitive Structure， HCS）.但一个人回答某一个具体问题时所表现出来的思维结构却是可以测量的，称之为可观察的学习成果结构（Structure of The Observed Learning Outcome），简称SOLO. SOLO分类理论是评价学习者在具体学习活动中产生的一系列表现. 根据学生在回答具体问题时，答案所呈现出的结构复杂性和层次的变化特点，来判断学生所处的五种不同的思维层次，即SOLO的五个结构水平：前结构水平（prestructur-al）；单点结构水平（unistructural）；多点结构水平（multistructural）；关联结构水平（relational）；抽象扩展水平（extended abstract）. 五个层次可用下图表示：上图表明，学习过程是一个由浅入深、从量变到质变的发展过程，这个过程实现了从新手到专家的转变. 五个层次中，前结构可看做是“新手”的准备阶段，单点结构和多点结构主要是对学习的“量”的描述，考查的关键是学得知识点的多少及适当的知识迁移能力. 关联结构和抽象扩展结构主要是对学习的“质”的描述，考查学生高级思维能力和提出问题、分析问题、解决问题的能力，这种考查是在以知识的“量”为积累的水平上进行的.高考数学试题SOLO能力结构的划分在新课标《考试大纲》的能力考查要求中，已对数学学科的考查能力类型作出具体的划分：运算求解能力；数据处理能力；空间想象能力；抽象概括能力；推理论证能力；实践能力；创新意识.结合《高中数学课程标准（实验）》中对认知性和学习性目标的界定，笔者认为可以将SOLO分类理论中对学生思维层次划分的方法应用于高考数学试题中，按照学生顺利解答试题所需要的思维水平的层次来划分高考数学试题的能力结构，每一个层次代表顺利解题所需要达到的思维层次，以便更清晰地了解新课程改革后高考数学试题的能力结构特点.根据Biggs的研究成果，可以将高考数学试题划分为以下四个层次：单一结构水平（U）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元或者解题所需的知识点单一，正确解答只需回忆再现一个或两个知识点.多元结构水平（M）：试题的情景素材为学生所熟悉，题干给出的信息单元为2-3个，或者正确解答应回忆再现出三个以上知识点.关联结构水平（R）：试题的情景素材陌生新颖，正确的解答需要结合试题给出的情境素材，顺利回忆、再现多个知识点，并且联系题干给出的多个信息，从整体上把握解题思路，整理、归纳答案.抽象扩展结构水平（E）：在关联结构水平上，超越问题情境，采用合乎逻辑的演绎，将相关的知识点和题干信息综合成抽象的假设，得出的结论可能不唯一.[⇩] 新课程高考数学试题SOLO能力结构统计分析笔者对课改实验区的近六年高考数学试题进行统计分析，结合高考数学的考试说明和考试大纲中对各知识点的描述情况，根据顺利解答每个小题所需的知识点数量及各知识点之间联系的紧密程度划分试题的等级，并对每一年各个省的试题能力结构层次分布特点进行横向与纵向的分析评价，力求得出高考数学试卷能力结构层次的合理结论.1. 2007-2012年高考数学试题SOLO层次特点以SOLO分类理论的U、M、R、E四个层次为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出四个课改实验区的髙考数学试题的SOLO层次特点示意图. 如下图所示：2. 四个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势以新课程高考年份为横坐标，试题比例为纵坐标作图，得出各个课改实验区的高考数学试题SOLO层次分布走势图.以该分布走势图为依据分析每个课改实验区的SOLO层次特点，所得结果如下所示：[⇩] 研究结论和展望1. 研究结论本文根据SOLO分类理论，利用统计分析方法，建立了评价高考数学试题SOLO层次的标准，并利用该标准对宁夏、海南、广东、山东四省首批课改实验区的新课标高考数学试卷进行SOLO层次划分，通过按高考时间的横向研究和按高考不同地区的纵向研究，得出单一时点和多重时点下的高考数学试题SOLO层次分布趋势.横向研究表明2007年至2012年的髙考数学试题的SOLO层次分布图以单峰值居多，最高峰出现在M层次和R层次试题的图线数量相当. M层次试题的主要作用是考查主干知识，增加知识点覆盖面；R层次试题主要作用是考查学生利用特定的情景素材解决数学问题的能力，突显新课程改革的理念，体现高考试卷的能力立意. 各省的SOLO图线顶峰在M层次和R层次中移动，体现命题者力图在顺应新课程改革的背景下，尝试命制出既符合本省教学实际情况又有利于选拔学生的高考试卷.纵向研究得出四个课改省份的SOLO层次分布走势图，从而可以总结出新课程改革高考六年来各个实验区的高考数学试题的稳定性和变化情况.U层次试题，考查学生基础知识掌握程度，位于SOLO层次的最底端，可以降低试卷的难度. 新课标高考六年来，四个实验区高考数学试卷的单点结构水平试题比例在经过波动之后回归到10%上下，根据上述命题走势，笔者认为U层次试题作为一种调控试卷难易程度的试题，其所占比例不会太高，合理范围应该在10%左右.M层次试题，位于SOLO层次的第二层，其主要作用是扩大高考考查的知识面，确保高考试卷知识点覆盖的全面性.该水平试题属于中等难度试题. 从课改实验区六年的SOLO层次分布图上看，四省的多点结构水平试题比例已趋向平稳，其合理范围应该在40%上下浮动.R层次试题，能体现学生高水平的思维能力，学生解答此类试题必需联系题干中的多个知识点及相关信息.海南、宁夏、广东的R层次试题，除2011年比例接近50%外；其余五年均在35%—40%之间，而山东省的R层次试题比例六年保持相对稳定，均在50%左右. 经以上分析，笔者认为这种需要运用知识点和题干信息之间相互联系来解决的R层次试题能很好体现新课程改革对高考数学的能力要求，受到许多命题专家的青睐. 因而，该层次试题的合理比例将在40%左右.E层次试题，是用来区分出基础扎实、综合能力强的拔尖人才的试题. 这类试题试题会明显提高试卷的难度，但试题数量太多时将会导致学生答题时间不够，且容易降低学生的学习积极性.四个课改实验区的该试题比例始终维持在10%左右，由此可见，该层次试题的合理比例将在40%左右.2. 研究展望由于时间、精力以及笔者学识的限制，本研究内容尚有许多有待进一步完善之处.对本研究中四个课改实验区近六年来的十八套高考数学试题的SOLO层次的定级，尽管笔者是一线教师，也经过多次反复验证，但仍感缺少专家层面的检验，因而该SOLO层次的定级存在一定的主观性. 另一方面，笔者做本研究的目的，在于尝试为高考数学试题提供一种新的分析评价工具. 因此，本文可作为案例供感兴趣的研究者参考，并期待该理论在高考数学试题评价方面得到进一步的修正和完善.。

考点聚焦新课程标准下高考数学命题模式与教学策略研究■樊国强摘要：在新课标的大背景下，数学高考试题往往是将传统课程当中的数学知识与新课程中的内容进行有机融合，既强化了试题当中的综合性，又让新增内容的能力考察功能得以凸显。

故而，教师根据高考改革的新命题模式进行教学策略的规划是尤为重要的。

关键词：新课程标准；高考；数学命题模式；教学策略随着新课程标准的不断深入和推广，现代教育领域对高中数学教学提出了更全面的要求，数学高考也随着教学方式的改变而革新，更侧重于培养学生的创新精神和应用意识。

因而，高中数学教师就要充分挖掘新高考的教学方向，并突破传统教学模式的枷锁，创新教学内容、改革教学方法，努力探究高考命题新模式，采用更科学、合理、有效的教学策略，使学生最终在高考中获得优异的成绩。

一、新课程标准下高考数学命题模式探究（一）整体设计试题高考的重要目标之一即为考查学生对基础知识的理解程度、掌握程度、运用程度。

在高考中，既要全面考察数学基础知识，又不刻意根据刻板的百分比进行知识点的分布，对于支撑知识体系的主干知识，考试中会给予较高的比例和深度。

高中数学教学的目的之一就是根据学生的实际情况，构建符合个体特征的知识结构。

数学高考命题模式反对学生通过死记硬背深化知识，但并不排除对基础概念性知识的记忆，如：“函数是什么？”、“三垂线定理的内容是什么？”等等。

学生是否能够灵活运用基础知识和基本理论，是高考数学命题贯彻“实际操作能力和数学理论知识结合”原则的前提，也是新课程标准下数学教学的必然发展趋势。

（二）数学命题体现数学思想和方法数学思想和方法是数学知识在更高层次上的概括，其既体现在数学知识不断发展的过程中，又体现在学生灵活运用数学知识的过程中。

故此，在考查学生数学知识掌握程度时，考察数学思想和方法是必然的。

数学思想方法有观点和思想的属性，是对数学知识更深层次的提炼和概括，在高考中，“特殊和一般”、“类比和比较”、“综合和分析”等等都是考查学生是否具有分析与解决问题能力的普通方法。

2013江西高考数学试卷评析及备考建议杨文涛2013年的江西高考数学试卷难度不大，但要拿高分也不容易。

2013年的江西高考数学试卷，遵循《普通高中数学新课程标准（实验）》和《2013年江西省普通高考数学科考试说明》的各项要求。

重点考查高中数学的主体内容，主干知识，适当考查新课标的新增内容，体现了新课程改革的理念。

试卷在考查基础知识、基本技能和基本思想的基础上，突出了对考生空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查。

和2012年高考比较，文理科试卷整体难度都略高于去年，命题上沿袭了去年的风格，如理科小题依旧考了集合、函数的定义域、推理与证明、统计、函数图像、程序框图、数列、圆锥曲线、极坐标与参数方程、不等式等内容；文科小题依然考了复数、集合、三角函数、推理与证明、统计、三视图、圆锥曲线、数列、程序框图、不等式等内容。

概率的大题依然和去年一样与几何相结合。

试卷总体上稳中有变，注重双基，尤其是文理科的第3题，都是来源于课本的数列练习题和二倍角公式运用。

选择题最后一题依然是江西特色的传统题：即函数图像题，但今年难度略低。

文理科大题的技巧和计算量均有一定增加，理科17题数列的裂项相消学生较难看出，文理科第20题方法简单但计算量都比较大。

最后一题难度和计算量都较大。

对支撑高中数学学科的主干知识模块，如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查，难度适中，体现命题专家坚定推行新课程改革的决心及勇气，也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则。

试题很好地照顾了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况。

试卷整体具有较高的信度、效度和区分度，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标。

有利于为高校选拔人才，使学生进入大学后更快地与大学接轨；有利于中学教学实际，更好地指导中学数学教学；有利于新课标的改革，更好地向新课标过渡；有利于提高各类学生对数学学习的兴趣和学习能力。

2013高考数学试卷分析与专家点评（湖北卷）“稳定和创新”是2013年湖北省高考数学试卷的总体特征，既体现了新课改精神，又贴近新课程教学的实际;今年理科试卷的起点和难度较低，体现人文关怀，又注意甄别选拔功能，既强调依纲靠本，又注重适度创新。

有部分题目较新颖，属于探究式问题，重点突出对学生能力的要求;选择题与填空题重点突出新课标新增内容的知识以及高中数学六大主干知识板块内容的考察，其中新课标新增加的内容难度不大，学生在此处比较容易得分;主干知识依然突出对基本概念、基本思想和基本方法的考察。

此外，选择题第9题考察了期望，题目较简单，计算量略大;填空题13题依然与去年一样考察了柯西不等式，学生只用考虑等式成立条件，就可以轻松解出此题，填空题14题考察了推理与证明，与去年相似，总体突出对学生归纳总结能力的考察;解答题第一个解三角形的题比较常规，学生只需要注意边角转化，正确运用正弦定理就可以解出此题数列题第一问求的是等差数列的通项公式，考生运用等比数列性质求解即可，第二问属于数列与不等式综合的存在性问题，难度适中，与平时练习区别不大。

立体几何，第一问属于探究式问题，第二问与传统的求线面角或已知线面角判断点的位置有所不同，需要学生先用参数求出所需要的角，再证明一个恒等式。

第19题这次没有考分布列与期望，第一问考的是正态分布，好在题目提供了公式与参考数据，学生虽平时复习时易忽略此处，但相信大部分考生依然能正确解出此题，第二问属于线性规划的应用题，考生一般都能解出但应注意格式，这个其实也在警示我们复习时要注意那些我们容易忽略的考点。

圆锥曲线第一问考上只需要考虑一个特殊情况即可，可以很轻松解出此题，第二问其实只是将第一问的结论一般化，计算量较大，但总体难度较去年减小。

压轴题依然考察的是导数与不等式的综合问题，学生第一问一般都能得分，第二问是利用第一问结论去证明，考生只需将所需证明结论还原为第一问函数形式即可，第三问总体难度较大。