轴对称在几何最值问题中的应用： 一：两点与一条直线： 1、两点在直线异侧： 问题1 ：如图，“西气东输”是造福子孙后代的创世工程.要在燃气管道l 上修建一个泵站,分别向A ，B 两城镇供气.泵站修在什么地方, 可使所用的输气管线最短? 实际问题数学化：已知：如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ，使P A+PB 最小（即P A 与PB 的和最小）.问题的求解要使P A +PB 最小，在连接AB 的线中，线段AB 最短. 解：连结AB ，交直线l 于点P ，点P 为所求.思考：1、如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ， 使P A-PB 的绝对值最小（即P A 与PB 的差的绝对值最小）（线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点P 为所求，P A=PB ，0PA PB -=最小）2、如图，点A 、B 在直线l 的异侧，在l 上找点P ，使P A-PB 的绝对值最大（即P A 与PB 的差的绝对值最大） （点B 关于直线l 的对称点'B ，直线'AB 交直线l 于点P 为所求，AP BP AP B P AB ''-=-=最大）3、游戏规则如下：如图，在操场上有两定点A 、B 和一条直线l ，每组两名同学一人在点A ，一人在点B ，（Ａ、B 距直线l 的距离不等），两人在线l 上找一点P ，分别沿直 线运动到该点，通过测算，两人距离之差绝对值越大，该 小组就胜利，如果你是小组组长，怎样找这样一点保证一 定胜利？将问题数学化:已知：如图，点A 、点B 在直线l 的异侧（点A 、点B 距直线l 距离不等），在l 上找点P 使|P A -PB |最大.4、如果A 、B 两城镇在河流的异侧，架一座桥（垂直于河岸） 连通两岸，选择一个架桥点使从A 城镇到B 城镇距离最短， 架桥点选在何处呢？AlAlB2、两点在直线的同侧：已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，点A ′与A 关于直线l 对称，连接A ′B 交l 于P 点，设A ′B=a （1）求AP+BP ；（2）若点M 是直线l 上异于P 点的任意一点，求证：AM+BM >ＡＰ＋ＢＰ问题2 （教材42页探究）如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?实际问题数学化已知： 如图，点A 、B 在直线l 的同侧.在l 上找点P ，使P A+PB 最小.问题的求解点B 关于直线l 的对称点'B ，连接'AB 交直线l 于点P如果P 1是异于点P 的一点，你能证明AP 1+BP 1> AP +BP 吗？证明：连接B 1P 1. 由轴对称性质，BP 1=B 1P 1，BP =B 1P . 所以 AP 1+BP 1=AP 1+ B 1P 1， AP +BP =AP+ B 1P =AB 1， 在△AP 1B 1中，AP 1+B 1P 1>AB 1， 即 AP 1+BP 1 > AP +BP .所以P A+PB 最小思考：1、已知：如图，直线 和点A ，B ，试在直线 上找一点P ，使△PAB 的周长最小，并说明理由。
与轴对称有关的最值问题【典型题型一】：如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。
APD BEC图（5）【典型题型二】如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB最小。
【练习】 1、( 温州中考题 ) 如图（ 5），在菱形 ABCD中，AB=4a,E 在 BC上，EC=2a，∠ BAD=1200, 点 P 在 BD上，则 PE+PC 的最小值是（）解：如图（ 6），由于菱形是轴对称图形，因此 BC中点 E 对于对角线 BD的对称点 E 必定落在 AB的中点 E1，只需连结 CE1，CE1 即为 PC+PE的最小值。
这时三角形 CBE1 是含有 30 角的直角三角形， PC+PE=C1E=23 a 。
因此选（ D）。
2、如图（ 13），一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋 B 西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家，他可以达成这件事所走的最短距离是（）（A） 4+ 185 英里（B） 16 英里（C） 17 英里（D） 18 英里3．如图， C为线段 BD上一动点，分别过点 B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD，连结 AC、EC。
已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.请问点 C知足什么条件时， AC＋CE的值最小 ?ＡＣ' 4．如图，在△ ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， D是 BC边的中点， E是 AB边上一动点，则 EC＋ED的最小值为 _______。
E即是在直线 AB上作一点 E，使 EC+ED最小作点 C对于直线 AB的对称点 C' ，连结 DC'交AB E DC' EC+ED DBC' DB=1 BC=2 于点，则线段的长就是的最小值。
在直角△中，，依据勾股定理可得， DC'= 55．如图，等腰 Rt△ABC的直角边长为 2，E是斜边 AB的中点， P 是 AC边ＣＢD Ａ上的一动点，则 PB+PE的最小值为E 即在 AC上作一点 P，使 PB+PE最小P作点 B对于 AC的对称点 B' ，连结 B'E，交 AC于点 P，则 B'E = PB'+PE = PB+PEB'E 的长就是 PB+PE的最小值B' ＣＢF在直角△ B'EF 中，EF = 1 ，B'F = 3 依据勾股定理， B'E = 10A D6．如下图，正方形 ABCD的面积为 12，△ ABE是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，E 在对角线 AC上有一点 P，使 PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）P A．2 3 B．2 6 C．3 D． 6B C即在 AC上求一点 P，使 PE+PD的值最小点 D对于直线 AC的对称点是点 B，连结 BE交 AC于点 P，则 BE = PB+PE= PD+PE，BE的长就是 PD+PE的最小值 BE = AB = 2 37．如图，若四边形 ABCD是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm，E 为边 BC上的一个动点， P 为C'BD上的一个动点，求 PC+PD的最小值；A D作点 C对于 BD的对称点 C' ，过点 C'，作 C'B⊥BC，交 BD于点 P，则 C'E 就是 PE+PC的最小20值直角△ BCD中，CH= 错误！不决义书签。
最值问题专题（轴对称的应用）1、线段之和的最值。
（将军饮马问题）（1）如图，A、B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小。
作法：i）作点A关于l的对称点：作AO⊥l于O，在AO延长线上截。
ii）连结，交l于点P。
点P即为所求。
（2）如图，A、B在直线l同侧，在l上求作两点P、Q（P在Q左侧）且PQ=a，使四边形APQB的周长最小。
分析：四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB。
其中PQ、AB为定值，问题转化为AP+QB最小，与（1）不同，将军不是去河边饮了马就折走，而是要沿河走一段线段a，如果能把这段a提前走掉就可以转化为问题（1）了，于是考虑从A沿平行的方向走a至c，之后同问题（1）。
作法：i）作线段且ii）作点C关于的对称点：。
iii）连结BC’’交L于点Qiv）在L上Q左侧截PQ=a。
四边形APQB即为所求。
（3）如图，A、B、C三点在直线同侧，在上求作一点P，使四边形APBC周长最小。
分析：四边形APBC的周长=AP+PB+BC+AC其中BC+AC为定值所以要使周长最小，即使PA+PB最小于是转化为问题（1）。
（4）如图，点M在锐角∠AOB内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使△MPQ周长最小。
作法：i）作M关于OA对称点M1，作M关于OB对称点M2。
ii）连结M1M2分别交OA、OB于P、Q，△MPQ即为所求。
（5）如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小。
作法：i）作M关于OB的对称点。
ii）作MH垂直OA于H，交OB于点P。
点P即为所求。
