专题：轴对称模型求最值

1 专题：轴对称模型求最值

模型1：

2 模型2：

模型3：

3 模型4：

模型例题：

例题1．如图，P是AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若30AOB，3OP，则PMN的周长的最小值为___________.

解答：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

△点P关于OA的对称点为C，△PM=CM，OP=OC，△COA=△POA；

△点P关于OB的对称点为D，△PN=DN，OP=OD，△DOB=△POB， 4 △OC=OD=OP=3，△COD=△COA+△POA+△POB+△DOB=2△POA+2△POB=2△AOB=60°，

△△COD是等边三角形，△CD=OC=OD=3．

△△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．

例题2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，求△PMN周长的最小值

2解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′， ON′，OM，ON，∵N关于AB的对称点为N′， ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N是弧MB的中点， ∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°，

∴∠MON′＝60° ∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4,

∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5

例题3．如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ 时，AC＋BC的值最小．

5 例题3如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 2

．

3解：设△ABP中AB边上的高是h．

∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，

∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．

例题4：如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.

4解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，

连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；

再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），

连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：

∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，

∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，

∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；

连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：

∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，

∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，

∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，

DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，

在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：

＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，

6 例题5：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝ 时，四边形APQE的周长最小．

:5解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，

此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，

∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，

即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，

设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，

∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝

例题6：如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，求PM+PN的最小值

6解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），

∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，

∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．

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精品变式练习：

1.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，求DQ＋PQ的最小值为 ．

2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．

2如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为

3.图所示，30AOB，点P为AOB内一点，8OP，点,MN分别在,OAOB上，求PMN周长的最小值为：

8 4.在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 ．

5如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 ．

6.如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是 ．

7 （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为 ．

（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．

（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

9 8如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．

（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为 ．

10 9如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点

求KM+MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11 10已知，如图，二次函数2230yaxaxaa图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H、B关于直线l：333yx对称.

(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；

(2)求二次函数解析式；

(3)过点B作直线//BKAH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.