与轴对称相关的线段之和最短问题

与轴对称相关的线段之和最短问题

在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。

一、基本模型

【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。

作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。

二、变式模型

通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。

【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。

解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。

对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。

从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。但原数学模型中借助轴对称变换思想，把问题转化成两个新的动点（即点 A′、B′）之间的最短距离的问题的解题策略是一致的。

【数学模型3】：（1）、已知两条相交直线l1，l2这两条直线外的一点P(如图（5）)，分别在这两条直线上找出两点M、N，使得这三点围成的三角形的周长最小。

解决方法：分别作出点P关于直线l1，，l2的对称点 P1 、P2 ，连接P1 P2 ，分别交直线l1，，l2 于点M、N，由轴对称的相关性质，则⊿MNP的周长=线段P1 P2的长度，最短。

【数学模型3】：（2）、已知两条相交直线l1，l2这两条直线外的两点A、B(如图（6）)，分别在这两条直线上找出两点C、D，使得这四点围成的四边形的周长最小。

解决方法：分别作出点A、B关于直线l1，，l2的对称点A′、B′ ，连接A′B′ ，分别交直线l1，，l2 于点C、D，由轴对称的相关性质，则四边形ABDC的周长=线段A′B′+AB的和的长度，最短。

对于不同的数学问题，可让学生从不同角度或切入点思考，以有效避免学生机械套用模型解题，而对模型中的数学原理缺乏深入全面的理解。改变设问方式与背景变式有效结合，能提高学生解决问题的能力，以明确选用哪种数学模型解决哪种数学问题。这里，对数学模型的深层性质的整体把握，是产生新的思维流程并产生简解的根本保证。

一、 例题呈现

由于角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等图形都具有轴对称性，因而，模型1通常建立在与这些图形有关的问题背景下。

例1、 如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+MC的最小值

解析：因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MC最小，过点B作BH⊥AC于点H，

则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 33

在直角△BHE中，BE = BH2 + HE2 = (33)2 + 12 = 27

例2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A．23 B．26 C．3 D．6

解析：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小

点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE = AB = 23

例3．如图所示：已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

解析：即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值。

连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，OA' = OB = 2

根据勾股定理，A'B = 22 DABCMEHMDACBEPEBCDAPA'BADOC例4、 如图（1），锐角⊿ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为______

解析：这里，式子BM+MN中，M、N是动点，只有点B是定点。咋看上去，此题象不能套模型解。但是，因为AD平分∠BAC，所以点B关于AD的对称点B′一定在AC上，且AB′=AB=。如果我们套用模型1，要使BM+MN最小，则必须使B′N⊥AB（直线外一点（B′）到直线（AB）上各点的所有连线中，垂线段最短），且B′N与AD的交点就是点M。如图（2）【答案】：4

这样的例子有很多，均把数学模型1与各种轴对称图形、成轴对称的函数图象相组合，从而形成新的变式题。这些背景不影响问题的基本结构，也不影响通过轴对称变换解决问题的基本思路。它们的作用只是使得其中一个定点关于定直线的对称点落在特定的位置，方便计算这个对称点和另一个定点之间的距离。

例5、如图（1），在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=8cm，AB=6cm，DC=10cm。以B为直角坐标系的原点，直线BC为x轴，直线AB为y轴建立平面直角系，点M在直线BC上，点N在直线AD上，是否存在这样的点M、N，使得AM+MN+NC的值最小？若存在，请直接写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由。

【说明】：此题套用模型2来解。AD、BC是两条平行的定直线，点A、C分别是两定点，点M、N分别在两定直线上。如图（2）由轴对称的性质，AM+MN+NC=A′M+MN+NC′=A′C′，最短符合题意。【答案】：点M、N存在，坐标分别为M（，0），N（，6）

例6：如图（1），在平面直角坐标系中，直线y= x+6分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕着点A顺时针转45°后得到射线AN，点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部。若存在点B、D，使得⊿BCD的周长最小，则此最小值为_____

【说明】：此题可套用模型3（1）解决。其中，AM、AN是模型中的两条相交直线l1，，l2，C是定点，B、D分别是两条定直线上的两个动点。分别作出点C关于AM、AN的对称点C1,、C2。如图（2），连接C1,C2与AM交于D，与AN交于B。由轴对称的性质可知，AC1=AC2=AC，此时⊿BCD的周长最小。【答案】：

前几例均涉及到多动点的折线最值问题，我们的解决方法是：通过多次轴对称变换，把折线问题转化为两点之间的线段问题，利用“两点之间线段最短”求最值。仿此可提出在平面甚至空间中的更一般的猜想。也就是说，这3个模型还可作进一步推广。

说到这里，我又想起了前面的基本模型。如果我们把数学模型1换一种说法，即把“使PA+PB的值最小”改成“使⊿PAB的周长最小”，实质是一回事。由此我不禁想到：如果要求在直线l上确定2个动点C、D，且线段CD的长固定不变，那么如何确定动点C、D的位置，使四点A、B、C、D围成的四边形的周长最小呢？ 对此，我们不仅要用到轴对称变换，而且还要用到平移变换，通过几何图形的平移、轴对称变换，紧扣“周长最小”这个“不变量”，实现解题思路的正迁移。

如图（1），“先作轴对称，再平移”；如图（2），“先平移，再作轴对称”（注：所作图形多种多样，作法不唯一）。这样做，都可以确定符合题意的两个动点C、D。

应该说，数学模型的应用价值，一方面，是从实际问题中抽象出数学模型，通过解决数学问题完成对实际问题的解答；另一方面，就是以数学的“眼光”，审视实际生活情境中遇到的问题，回归到数学模型的“原始状态”，学以致用。总之，“数学建模”是一种颇为重要的数学思想方法。我们既要会建，也要会用。