轴对称-最短路线问题
能量储备
求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
另两种常见的最短路径问题 问题
在射线OA、OB上分别求点M、N，使三角形PMN周长最小
在射线OA、OB上分别求点M、N，使四边形PMNQ周长最小
作法 分别作点P关于两射线的对称点P′，P″，连接P′P″，与两射线交点即为M，N 分别作点P，Q关于两射线的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两射的交点即为M，N
图形
原理 PM＋MN＋PN＝P′P″，两点之间，线段最短 PQ＋PM＋MN＋NQ＝PQ＋P′Q′，两点之间
通关宝典
★ 基础方法点
方法点1.解决最短路径的选址问题
例1：如图所示，邮递员小王的家在两条公路OM和ON相交成的角(∠MON)的内部A处，小王每天都要到开往OM方向的车上取下快件，然后再送到开往ON方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点．(画出草图，保留作图痕迹)
解：如图所示，分别作点A关于射线OM所在直线的对称点E，点A关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF，分别交射线OM，ON于点B，C，连接AB，AC，根据轴对称的性质得AB＝EB, AC＝FC，此时△ABC的周长最小，则B处，C处分别为小王在公路OM和ON上的等车地点．
★★ 易混易误点
1. 忽略题意要求而导致作图错误
例1：如图所示，A，B两点在直线l的异侧，在l上找一点C，使点C到点A、点B的距离之差最大．
解：如图所示，A，B两点在直线l的异侧，在l上找一点C，使点C到点A、点B的距离之差最大．
理由：在直线l上任取一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.
第一章 平移、对称与旋转
第 4 讲 利用轴对称破解最短路径问题
一、学习目标
1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与 作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。
2. 能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借 助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。
二、 基础知识•轻松学
与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：
（ 1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短） ；
（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（ 3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
【精讲 】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点 之间线段最短” 或者 “三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的 对称点实现“折”转“直” 。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性 质。（判定： 如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质： 平行四边形的对边相等。 ）
三、 重难疑点•轻松破
最短路径问题
在平面图形中要解决最短路径问题， 自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的 数学公理， 通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点， 从而运用两点之间， 线 段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路 径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边） 三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。
（1）“一线同侧两点”问题
例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.
（1） AB与AP+PB相等吗为什么
（2） 在m上再取一点 N,并连接 AN与NB比较 AN+N有 AP+PB的大小，并说明理由.
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1.
简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2.
带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3.
多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4.
带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。 5.
动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7.
双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
一、知识重点
1、最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
2、运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
3、利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
二、经典例子解析
【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．
【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点
解：如图，
【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
证明AC＋CB＜AC′＋C′B.
如下：
证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，
所以直线l是线段BB′的垂直平分线．
因为点C与C′在直线l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
