对称问题中的最值
- 格式：doc
- 大小：1.50 MB
- 文档页数：7
word格式-可编辑-感谢下载支持
轴对称在几何最值问题中的应用：
一：两点与一条直线：
1、两点在直线异侧：
问题1 ：
如图，“西气东输”是造福子孙后代的创世工程.要在燃气管道l
上修建一个泵站,分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方,
可使所用的输气管线最短?
实际问题数学化：
已知：如图，点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，
使PA+PB最小（即PA与PB的和最小）.
问题的求解
要使PA+PB最小，在连接AB的线中，线段AB最短.
解：连结AB，交直线l于点P，点P为所求.
思考：1、如图，点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，
使PA-PB的绝对值最小（即PA与PB的差的绝对值最小）
（线段AB的垂直平分线与直线l的交点P为所求，PA=PB，0PAPB最小）
2、如图，点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA-PB的绝对值最大（即PA与PB的差的绝对值最大）
（点B关于直线l的对称点'B，直线'AB交直线l于点P为所求，APBPAPBPAB最大）
3、游戏规则如下：如图，在操场上有两定点A、B和一条
直线l，每组两名同学一人在点A，一人在点B，（Ａ、B
距直线l的距离不等），两人在线l上找一点P，分别沿直
线运动到该点，通过测算，两人距离之差绝对值越大，该
小组就胜利，如果你是小组组长，怎样找这样一点保证一
定胜利？
将问题数学化:
已知：如图，点A、点B在直线l的异侧（点A、点B距直线l距离不等），在l上找点P使|PAPB|最大.
4、如果A、B两城镇在河流的异侧，架一座桥（垂直于河岸）
连通两岸，选择一个架桥点使从A城镇到B城镇距离最短，
架桥点选在何处呢？
2、两点在直线的同侧：
已知：A、B两点在直线l的同侧，点A′与A关于直线l对称，连接A′B交l于P点，设A′B=a
（1）求AP+BP； A
B l P AlBword格式-可编辑-感谢下载支持
（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM+BM>ＡＰ＋ＢＰ
lPA'ABM
问题2 （教材42页探究）
如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B
两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?
实际问题数学化
已知： 如图，点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，
使PA+PB最小.
问题的求解
点B关于直线l的对称点'B，连接'AB交直线l于点P即为所求
如果P1是异于点P的一点，你能证明AP1+BP1> AP+BP吗？
证明：连接B1P1. 由轴对称性质，
BP1=B1P1，BP=B1P.
所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1，
AP+BP=AP+ B1P =AB1，
在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1，
即 AP1+BP1 > AP+BP.
所以PA+PB最小
思考：1、已知：如图，直线和点A，B，试在直线上
找一点P，使△PAB的周长最小，并说明理由。
2、如图，点A、B在直线l的同侧，在l上找点P，使PAPB最小（即PA与PB的差的绝对值最小）
（线段AB的垂直平分线与直线l的交点P即为所求，PA=PB，0PAPB最小）
lABB1AlPBP1B1AlPBword格式-可编辑-感谢下载支持
3、如图，点A、B在直线l的同侧，在l上找点P，使PAPB最大（即PA与PB的差的绝对值最大）
（连接A、B，线段AB的延长线交直线l于点P即为所求，APBPAB最大）
4、、已知：如图，直线和点A，B，在直线上找两点M，N，且MN=5，点M在N的左边，使四边形ABNM的周长最小。
二：一点与两条直线：
问题3 如图，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使所修建的道路最短？
实际问题数学化
如图，P为∠MON内一定点，分别在OM与ON上找
点A、B，使△ABP的周长最小.
问题求解
解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2 ，
P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求.
思考：已知：如图， ∠MON=90°,∠MON内有
一定点P，在OM、ON上各找出一点A、B使
△PAB的周长最小.
三：两点与两条直线
问题4 （教材47页9题）
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，
先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，
请你帮他确定这一天所走的最短路线.
1. 实际问题数学化
如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在OM
和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.
NMPOABP2P1BAB1A1NMPONMOABCDword格式-可编辑-感谢下载支持
2. 问题的求解
解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1， A1B1与OM、ON分别交于点C、D，
则此时AC+CD+BD最小.
补充练习：
1.已知直线l及其两侧两点A、B，如图.
(1)在直线l上求一点P，使PA=PB；
(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
(3)在直线l上求一点R,使||RARB最大.
2。 在旷野上，一个人骑马从A到B，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图所示）. 他应该怎样选择饮水点P，可使使所走的路程PA+PB最短?
3。 如图，公园中有两处古迹P和Q，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路的费用最低？
4。 如图，现有一条地铁线路l，小区A 、B在l的同侧，已知地铁站两入口C、D间的长度为a米，现设计两条路AC、BD连接入口和两小区. 地铁站入口C、D设计在何处，能使所修建的公路AC与BD之和最短？
轴对称在坐标系中的应用：
1．如图，在直角坐标系中，ｘ轴上一动点Ｍ（ｘ，０）到两定点Ａ（５，５），Ｂ（２，１）的距离之和取最小值时，求点Ｍ的坐标。
2．直角坐标系中，Ａ（3，2）、Ｂ（1，1），在ｘ轴上找一点P，使PBPA最大，
１）求Ｐ点坐标。
２）若点Ｂ坐标改为（２，－１），其他条件不变，求Ｐ点坐标。
3．已知A（-1，2）和B（-3，-1）．试在y轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标．
4．如图，一束光线从点A（0,1）出发，经ｘ轴上点P反射后，经过点B（3，3），求点Ｐ的坐标，直线BP与ＡＰ的解析式；
B1A1NMDCOABBAllABword格式-可编辑-感谢下载支持
5、牧马人某一天要从马厩牵出马,先到一条东西走向的河边饮马,再到一块南北走向的草地边的某一处牧马,然后回到帐篷,若以河流的方向为x轴, 草地的走向为y轴,已知马厩A的坐标为(3百米,1百),帐篷B在马厩的西北方向上,离草地距离为1百米.
(1)画出直角坐标系,标出A、B点,并求出帐篷B的坐标;
(2)请你帮它确定这一天的最短路线,并求出这时牧马和
饮马的位置(用坐标表示).
综合运用：
1.已知: 等腰直角△ABC的直角边长为3,D是斜边AB的中点,P是AC边上一动点,求PB+PD的最小值.
(10)
2. △ABC中,AB=2,∠BAC=30◦,若在AC,AB上各取一点M,N使BM+MN的值最小,求最小值.
( 1312)
3.在边长为2的正方形ABCD中,点Q为BC边中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB,△PBQ的周长的最小值时,求PQ的长..
4.正方形ABCD的面积为12, △ABE是等边三角形,E点在正方形内,对角线AC上有一点P
求PD+PE的最小值。
5。在正方形ABCD中，点E在BC边上，BE=2，CE=1，点P在ＢＤ上，求ＰＥ＋ＰＣ的最小值。
6。正方形ABCD中，AB=8，M是DC上一点，且DM=2，N是AC上一动点，求DN+MN的最大值与最小值。
7。直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，求△APD中AP边上的高。
8。如图，⊙Ｏ半径为５，ＭＮ为直径，弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝６，ＡＢ⊥ＭＮ于Ｅ，
ＣＤ⊥ＭＮ于Ｆ，点Ｐ为ＥＦ上任一点，求ＰＡ＋ＰＣ的最小值。
9。ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝４，点Ｃ是半圆的三等分点，点Ｄ是弧ＢＣ的中点，ＡＢ上有一动点Ｐ，连接ＰＣ，PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P的位置。
10。抛物线2yaxc经过A（0，1），B（2，-3）
1）求解析式，并判断C（1，0）是否在抛物线上；
2）M是抛物线对称轴上一动点，连接MB，MC，求△MBC变周长的最小值。
11。的五笔抛物线2yxbx经过A（4，0），设点C（1，-3），在抛物线的对称轴上确定一点D，使xyo
