六年级--数论综合

高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一第十五讲数论综合提高本讲知识点汇总：一. 整除1. 整除的定义如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a.2. 整除判定(1)尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.(2)截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征.(3)截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性.3. 常用整除性质(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)(2)已知ab |ac，则b |c .(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ?(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .4. 整除的一些基本方法：(1)分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.(2)数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.(3)试除法：①除数比较大；②被除数的首位已知(4) 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性?二、质数与合数1. 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.2. 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ?典型题型一.整除1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；(1)9的考点：乱切法；(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和.2. 整除性质的使用；3. 整除与位值原理；4. 整除方法在数字谜中的应用.二.质数合数1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；3. 末尾0的个数问题：层除法.例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例 2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:位数abc是多少?例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数? 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.数学王国里的一颗明珠一一梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完美数（Perfect number）.1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如2P1的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.作业1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲数论综合提高一例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差387504 一定是624的倍数，所以答案是504.(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931 等于26999.例&答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以2满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.例9.答案：865详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可?对肓，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.例10 . 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648例12 . 答案：83详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.练习4、答案：最小值是2907;最大是8793作业6. 答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.8. 答案：75简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.9. 答案：34简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.10. 答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于是当n 235 30时，n2900为所求答案.。

数论综合（三）约数倍数姓名：日期：成绩：1．从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？只有3个约数的数有几个？2．360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？3．把自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是240。

A等于多少？4．所有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？5．100以内只有10个不同约数的自然数有哪些？6．有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是多少？7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b 两数之差是多少？8．自然数N，它们被5和49整除，并且共有10个约数，求N。

9．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的灯分别是哪几盏？10．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。

③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。

11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？12．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有多少种分法？13．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。

学科培优数学“数论综合二”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。

翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显著的位置。

在小学各类数学竞赛和小升初考试中,我们系统研究发现,直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中,这一分值比例还将更高。

知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题目】一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算．为了显示出222222,最少要按“7”键多少次?【试题来源】【题目】有一批图书总数在1000本以内,若按24本书包成一捆,则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆,最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆,则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【试题来源】【题目】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是 .【试题来源】【题目】在纸上写着一列自然数1,2,…,98,99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到4,5,…,98,99,6；而两次操作后得到7,8,…,98,99,6,15.这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后剩下的数是 .【试题来源】【题目】有两种规格的9箱钢珠,每箱300个,甲种钢珠每个10克,乙种钢珠每个11克,将这9箱钢珠编为1~9号,然后依次从1~9号箱中取出20,21,22,23,24,25,26,27,28,个钢珠,这些钢珠共重5555克。

问：哪几箱是甲种钢珠？【试题来源】【题目】把除1外的所有奇数依次按一项,二项,三项,四项循环的方式进行分组：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,3l,33),(35,37,39,41),(43),……．那么,第1994个括号内的各数之和是多少?【试题来源】【题目】2001个球平均分给若干人,恰好分完。

第9讲小升初专项复习（6）——数论综合思维启航一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳1．数的整除（1）熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。

（4×25=100）（3）一个数的末三位数能被8或125整除。

那么这个数就能被8或125整除。

（8×125=1000）（4）一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。

另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。

（很常用，请牢记。

）（7×11×13=1001）（5）如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。

即如果c︱a，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。

（6）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。

即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。

（7）如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。

即如果a︱b，b︱c，则a︱c。

（8）如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。

即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。

2．奇数和偶数（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。

反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。

小学六年级数论知识点数论是数学的一个分支领域，主要研究整数之间的性质和关系。

在小学六年级数学学习中，数论是一个非常重要且需要掌握的知识点。

本文将介绍小学六年级数论的几个重要知识点。

一、素数和合数在小学六年级数论中，首先要了解的是素数和合数的概念。

素数是指只能被1和自身整除的正整数，除了1以外没有其他的因数。

而合数则是可以被除了1和自身以外的其他正整数整除的数。

二、质因数分解质因数分解是指将一个合数分解为几个素数的乘积的过程。

对于一个合数，可以通过不断地除以素数，直到不能再分解为止，得到质因数分解的结果。

例如，12可以分解为2 × 2 × 3。

三、最大公因数和最小公倍数最大公因数是指两个或多个数中同时能够整除的最大的正整数，而最小公倍数则是指两个或多个数中能够被它们同时整除的最小的正整数。

在小学六年级，通常通过求质因数分解的方式来计算最大公因数和最小公倍数。

四、奇数和偶数奇数和偶数是数论中的另一个重要概念。

奇数是指不能被2整除的正整数，而偶数则是可以被2整除的正整数。

小学生在学习数论时需要熟练掌握奇数和偶数的特点及其性质。

五、整数的性质在数论中，还有一些关于整数的性质需要掌握。

例如，两个偶数的和或差仍为偶数，两个奇数的和为偶数、差为偶数，奇数与偶数相乘的结果为偶数等等。

这些性质在解题过程中经常会用到，小学生需要加以练习和记忆。

六、数字的尾数在数论中，数字的尾数是指该数字的个位数字。

小学六年级学生需要掌握尾数的特点以及不同尾数之间的规律。

例如，以0、2、4、6、8结尾的数字都是偶数，而以1、3、5、7、9结尾的数字都是奇数。

以上就是小学六年级数论的几个重要知识点。

通过对这些知识点的学习和掌握，学生可以更好地理解整数之间的性质和关系，提高数学解题的能力和思维能力。

希望本文对小学六年级学生在数论学习上有所帮助。

第19讲数论综合知识点精讲特殊数的整除特征1. 尾数判断法1) 能被2整除的数的特征：2) 能被5整除的数的特征：3) 能被4 (或25)整除的数的特征：4) 能被8 (或125)整除的数的特征：2. 数字求和法：3. 99的整除特性：4. 奇偶位求差法：5. 三位截断法：特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数1. 基本定义【质数】一一【合数】一一注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】一一【分解质因数】一一用短除法和分拆相乘法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且a 1 <a 2<a 3< va n。

【互质数】【偶数】【奇数】2. 质数重要性质1）100以内有25个质数：2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3）1既不是质数，也不是合数4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数5）最小的质数是2•最小的奇质数是36）有无限多个3. 质数的判断：1）定义法：判断整除性2）熟记100以内的质数3）平方判断法：例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.4. 合数1）无限多个2）最小的合数是43）每个合数至少有三个约数5. 互质数1）什么样的两个数- -定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21.6. 偶数和奇数1）2）偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3）4）数是他们乘积的一半5）•因此，要分解的合数应写在等号左边，如：0属于偶数十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是除2外所有的正偶数均为合数相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇奇X 奇=奇偶X 奇=偶偶 ><禺=偶四、约数与倍数1. 约数与倍数概念：2. 一个数约数的个数：3. 平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数： 辗转相除法： 5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

【内容概述】我们在本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中数字，不特加说明，均为十进制．【例题】题1．计算：(234)7+(656)7[分析与解]我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进1，如下：于是，和为(1223)7题2．在几进制中有4×13＝100．[分析与解]我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10＝(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10＝(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．题6．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？[分析与解](abc)6＝a×62＋b×6＋c＝36a＋6b＋c；(cba)9＝c×92＋b×9＋a＝81c＋9b＋a．所以36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a；于是35a＝3b＋80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)＝1．所以，b＝0或5．①当b＝0，则35a＝80c；则7a＝16c；(7，16)＝1，并且a、c≠0，所以a ＝16，c＝7；但是在6、9进制，不可以有一个数字为16．②当b＝5，则35a＝3×5＋80c；则7a＝3＋16c；mod7后，3+2c≡0．所以c＝2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c＝2．于是，35a＝15＋80×2；a＝5．于是(abc)6＝(552)6＝5×62＋5×6＋2＝212．所以，这个三位数在十进制中为212．题7．N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．[分析与解]我们将b进制中数改写为10进制，则(777)b＝7×b2+7×b+7；则有7×b2+7×b+7＝x4，我们知道N是7的倍数，所以x4也是7的倍数，又7为质数，所以x是7的倍数．于是，令x＝7t，则7×b2+7×b+7＝2401t3，则b2+b+1＝343t4；当t＝1时，b2+b+1＝343，b(b+1)＝342，则b＝18；因为t最小，所以b也是最小的．所以有最小在18进制有(777)18＝(74)10．题8．设1987可以在b进制中写成三位数，且x+y+z＝1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及b．题9．(1)证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数．(2)证明10101在任何进制的记法中，都是一个合数．[分析与解](1)设在b进制，则(10201)b＝1×b4+2×b2+1＝(b2+1)2；所以不管在何进制，均是一个非1的完全平方数，当然是一个合数．(2)设在a进制，则(10101)＝1×a4+1×a2+1＝(a2+1)2-a2＝(a2+1-a)(a2+1+a)；a可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然为合数．例10．下列加法算式是( )进制的不同字母代表不同的数字．[分析与解]于是，我们知道n＝4，所以为4进制，则A+B+C+D＝3+1+2+0＝6．题11．称n个相同的数a相乘叫做a的n次方，记做a n，并规定a0＝1．如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就称这样的数为“双子数”，如9＝23＋20，36＝25＋22．它们都是双子数，那么小于1040的双子数有_______个．[分析与解]我们注意到与二进制的联系：(9＝23＋20)10＝(1001)2，(36＝25＋22)10＝(100100)2，写成2的两个不同次方(包括零次方)的和这样的数改写为二进制后只含有2个1，我们知道：(1040＝210＋24)10＝(10000000000＋10000)2＝(10000010000)2，这样二进制为11位数，但是11位数有限制；我们先看10位数，于是(**********)，这样10位数，选择2个数位填1，其他为0，所以为；再考虑11位数，于是(1000001****)，只有4个“*”和紧邻的“1”于是有5种选择；所以，共有＋5＝50种选择方法．所以这样的“双子数”为50个．题12．一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码1的个数是偶数，则称之为“坏数”．例如：18＝(10010)2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数．[分析与解]我们现把2004转化为二进制：(1024)10＝210＝(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况，于是为＝＝45+210+210+45+1＝511．于是，小于1024的“坏数”有511个．题16．试求(22006－1)除以992的余数是多少？[分析与解]我们注意到被除数与2的次幂有关，所以，我们试图通过2进制来解决．题17．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．凌老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那么这样的三位数一共有多少个？[分析与解]我们设(3ab)10＝(4cd)9＝(5ef)8；我们知道(4cd)9在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92－1，也就是324～406；还知道(5ef)8在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82－1，也就是320～383；又知道(3ab)10在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位应在在324～383之间，于是有383－324+1＝60个三位数满足条件．题18．一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天？。

六年级奥数训练第8讲数论综合一内容概述运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．典型问题兴趣篇1．如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数．2．一个五位数25□8，空格中的数未知，请问：□(1)如果该数能被72整除，这个五位数是多少？(2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？3．在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？5 ．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？6．一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？7．一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A378B421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．你能破解此密文吗？拓展篇1．已知7b0是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请3a×c问：三位数abc是多少？2. 11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？4．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？5．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？6．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次，在比赛道路上，从起点开始每隔8312米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？7．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？8．一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．9．已知a 与b 是两个正整数，且a>b ．请问：(1)如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？(2)如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？10．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b 与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？11．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．12．如图8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔．问：这个圆圈上共有多少个孔？超越篇1．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．请问：这6个数的和最小是多少？2．设N= 301×302×…×2005×2006，请问：(1)N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？(2)用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？4．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？5．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a>b>c．请问：满足条件的a、b、c 共有多少组？6．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？7．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？8．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数，。