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因、倍、质、合【知识点总结】1．质数、合数⑴除了2其余的质数都是奇数；⑵除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9；⑶如何判断一个数是否是质数？⑷常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
2．数字拆分—分解质因式相关名词：质因数、互质数、分解质因数例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
210=2⨯3⨯5⨯7可知这三个数是5、6和7。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
3、约数个数定理唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积例如：12=2⨯2⨯3=22⨯3约数个数定理：约数个数：(2+1)⨯(1+1)=6所有约数的和：(20+21+22)⨯(30+31)例题讲解板块一:质数的快速判断1、两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【巩固】（1）如果a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝______。
（2）三个不同的质数的和是18，这三个质数的乘积的最大值是（）板块二：分解质因数1、牛小顿去看电影，他买的票的排数与座位数的积是391，而且排数比座位数大6，牛小顿买的电影票是几排几座？【巩固】（1）、三个连续的自然数相乘的结果是 1716，那么这三个自然数的和是多少？（2）、把462名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在12到20人之间，求每组人数及分成的组数。
2、【外冲】有n个自然数相加：1＋2＋…＋n＝aaa，那么a＝______。
【巩固】将一个三位数的个位与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数乘积为55872，则这两个三位数和为______。
板块三、因数三大定律因数个数定律：（指数+1）再连乘因数和定律：每个质因子所有可能相加再连乘因数积定律：自身的n次方（n=因数个数÷2）1、数160的约数个数是多少？巩固：（1）分别求出72和150的因数个数。
六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版数的整除知识框架一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
第19讲数论综合知识点精讲一、特殊数的整除特征1.尾数判断法1)能被2整除的数的特征：2)能被5整除的数的特征：3)能被4（或25）整除的数的特征：4)能被8（或125）整除的数的特征：2.数字求和法：3.99的整除特性：4.奇偶位求差法：5.三位截断法：特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。
三、质数合数1.基本定义【质数】——【合数】——注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】——【分解质因数】——用短除法和分拆相乘法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×a n，其中a1、a2、a3……a n都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<a n。
【互质数】——【偶数】——【奇数】——2.质数重要性质1)100以内有25个质数：2)除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3)1既不是质数,也不是合数4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数5)最小的质数是2.最小的奇质数是36)有无限多个3.质数的判断：1)定义法：判断整除性2)熟记100以内的质数3)平方判断法：例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4.合数1)无限多个2)最小的合数是43)每个合数至少有三个约数5.互质数1)什么样的两个数一定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=3⨯7,不能写成：3⨯7=21.6.偶数和奇数1)0属于偶数2)十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3)除2外所有的正偶数均为合数4)相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半5)奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶四、约数与倍数1.约数与倍数概念：2.一个数约数的个数：3.平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数：辗转相除法：5.两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。
其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。
首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。
其次，整除是数论中的重要概念。
要掌握能被30以下质数整除的数的特征。
例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。
而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
最后，还有进制和位值等方面的内容。
其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。
而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。
掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。
总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。
掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。
N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。
N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。
1. 特殊数的尾数特征
2. 位值原理的综合运用
3. 约数倍数之间的关系
特殊数是竞赛中经常遇到的，这些题目中我们要注意认真读题，仔细思考。
【例 1】 下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数
字．⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数。
=美妙数学___________
【巩固】 北京有一家餐馆，店号“天然居”，里面有一副著名对联：客上天然居，居然天上客。
巧的很，
这副对联恰好能构成一个乘法算式(见右上式)。
相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
“天然居”表示成三位数是_______。
×
客
上天然居4
居然天上客知识框架
重难点
例题精讲
特殊数博览会
【例 2】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数
字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________
⨯
学而思杯
学而思杯
【巩固】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13这七个数的平均数，
那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．
1999998
⨯学习改变命运
变
【例 3】 右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8和9，不同的汉字代表
不同的数字，如果“北”和“京”分别代表1和9，请写出“奥运会”所代表的所有三位整数，并且说明理由。
=北奥运会京心想事成。
质数合数、约数倍数知识框架一、质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。
最小的质数是2。
合数有无限多个。
最小的合数是4。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．三、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1.求最大公约数的方法●分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；●短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；●辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷= ；6003151285÷= ；315285130÷= ；28530915÷= ；301520÷= ；所以1515和600的最大公约数是15．2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求．4.约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数四、倍数的概念与最小公倍数1.倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数1)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
小学奥数数论专题：约数倍数、质数合数、分解质因数【常见例题】【例1】（☆☆）把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？（1992年小学数学奥林匹克竞赛试题）【例2】（☆☆☆）已知自然数A、B满足以下两个性质：⑴A、B不互素；⑵A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。
那么A+B的最小值是多少？【例3】（☆☆☆☆）三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）【例4】（☆☆☆）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？（第二届“华罗庚金杯”赛决赛试题）【例5】（☆☆☆）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是毫米。
（1991年小学数学奥林匹克决赛试题）【例6】（☆☆☆）已知一个苹果重415千克，一个梨重245千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？【例7】（☆☆☆）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？。
(祖冲之杯小学数学邀请赛)【例8】（☆☆☆）一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。
【例9】（☆☆☆☆☆）3个质数的平方和是39630，那它们的和是多少？【拓展训练】⨯⨯⨯（），要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号里最小应填什么数？1、9759359322、4200有多少个约数？这些约数的和是多少？3、23个不同的整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能值达到的最大的值是多少？4、10个非零自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？（2002我爱数学少年夏令营）5、有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。
模块一：质数合数例题221. 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2. 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲例题11第十一讲数论综合（二）教学目标板块二 余数问题例题33例题77例题66例题55例题44【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．例题1111例题1010例题99例题88【巩固】2008222008 除以7的余数是多少？【巩固】 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？例题1414例题1313例题1212板块三 完全平方数【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例题1818例题1717例题1616例题1515板块四 位值原理【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【巩固】 a ，b ，c 分别是09 中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？例题2020例题1919板块五 进制问题【巩固】 算式153********⨯=是几进制数的乘法？例题2222例题2121练习11家庭作业练习44练习33练习22备选11月测备选备选44备选33备选22。
小学六年级奥数知识点约数与倍数总结
小学六年级奥数知识点:约数与倍数总结
约数和倍数：假设整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是：6，记作(12，18)=6;
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的.公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数的方法。
行程问题基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程数论问题奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数几何问题小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积计数问题加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法应用题鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题计算问题分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律其他数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题小学六年级奥数基础知识——数论一一质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。
（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。
二整除性（１）概念一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。
质数合数、约数倍数知识框架一、质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。
最小的质数是2。
合数有无限多个。
最小的合数是4。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p的平方数p，我们可以先找一个大于且接近如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是1212?144?质数.常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．三、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；被排除在约数与倍数之外(4)0．求最大公约数的方法1.分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．?2221?3?7(231,252)?73252?2??；，例如：，所以11??3?723112218短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：?(12,18)?2?3?6；，所以63932?辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：；；28513152315?600?1515?600?；；；所以1515和600的最大公约数是15．030?15915?2?315285?130?28530?2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；nn．，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以③几个数都乘以一个自然数3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的b即为所求．分子的最大公约数b；a4.约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数四、倍数的概念与最小公倍数1.倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数1)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
2.求最小公倍数的方法分解质因数的方法；??22227252?2?3??7?11?2231,252??32772；，，所以例如：113?231??7 短除法求最小公倍数；21812??；，所以例如：36??3?18,122?2?369332a?b．?b][a,(a,b)3.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．4.求一组分数的最小公倍数方法步骤a；求出各个分数分母的最大公约数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数b155[3,5]3即为所求．例如：；??[,]b4(4,12)412a??1,441???4,?例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.????2,323??5.倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数五、最大公约数与最小公倍数的常用性质1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
m为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小如果BBAAbA?maaB?mb、，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：公倍数为mab①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；mabmmb??A?B?ma?②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．BABA?A?B2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
即3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数21076??5?b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为336??3362?168876??注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大。
”几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大“小关系，即．六、求约数个数与所有约数的和1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
32?72?5，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24如:1400严格分解质因数之后为个。
(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。
难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
33?7?25?321000?，所以21000如：所有约数的和为2323 748807)?)(1?3)(1?5?5?(1?2?25?2)(1?此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
重难点，质数的个位数特征2、5（1）特殊质数）要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（2任何一个数字都可以表示为“（3）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟☆☆☆△...?△??△”的结构，而且表达形式唯一例题精讲.）2009这三个数中，质数的个数是（1】在19、197、【例3) D 2 () ( B ）（A 0 () 1 Cπ之间，3.1415927和3.1415926的值在年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出1500大约【巩固】．ππ的值计算到了小数位小数的人．现代人利用计算机已经将的值精确到成为世界上第一个把7点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？【例2】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌码是四位数．同时，她感到这个码很容易记aabba和是两个数字()住，因为它的形式为．具有这种形，其中，而且和都是质数b?babaab式的数共有多少个？【巩固】自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自NN然数有多少个？【例3】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为【巩固】三位数满足：它的所有质因数之和是。
这样的三位数有个。
AA26【例4】用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．【巩固】，那么这些质数中最大的一个可能是多少？21如果一些不同质数的平均数是?????、cba、b342ca?b??b?【例5】。
都是质数，如果，那么ca ，那么，，，都是质数，并且。
【巩固】，____ ?bba??d?44c?33b?c66?cd将】6【例10拆成60个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？【巩固】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？。
【例7】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这【巩固】个数是几？LLL及它本身以外，不能被1)除1的全体正整数．如果中的数(1用【例8】不算表示所有被3除余LL—质数”是什么？ 8的任何数整除，称此数为“个“—质数”．问：第【巩固】将八个不同的合数填入下面的括中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【例9】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？DCBCABCDA，+，=187不等于1，也不等于10【例】两个整数、或的最大公约数是，最小公倍数是，并且已知BA等于多少？+那么caa b cb，则它们的最大公【巩固】若 , 的自然数，且, 是三个互不相等的大于0 = 1155 + +约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值为．【例11】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【巩固】恰有8个约数的两位数有________个．【例12】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）111得优，得良，一次考试，参加的学生中有【例13】得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满27350人，那么得差的学生有多少人？111得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满参加的学生中有【巩固】一次考试，100473人，那么得差的学生有多少人？【例14】两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值?【巩固】已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。
