六年级数论综合(20200513200231)

前言：该奥数系列讲座由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。

（最新精品奥数系列讲座）数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2， 3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2， 3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13， 21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132，213， 231， 312，321 ，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13， 23， 31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc 11 b c，整理得 (b 1)(c 1)12，又12 1 12 2 6 3 4，对应的、b 2c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11， 13 或 3， 7， 11．【例 3】用 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、 4、 8、 9 可以组成质数41、 89，而 6可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33132 2 31330L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2倍 (想想为什么？ )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373、22237 674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 666 3718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有 ( 74 3 )77 和( 37 18 )55的两位数字相同．所以满足题意的答案是74 和 3，37和 18．板块二余数问题【例 5】( 2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题” 可得：除数 =(2083-13) ÷(17+1)=115，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于10 的约数，1998 2 3337 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3， 6， 9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法 1) 393 36， 147 3144 ， (36,144) 12， 12 的 数是 1,2,3,4,6,12 ，因 余数 3要小于除数， 个数是 4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公 数．51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以 个数是 4,6,12 ．【例 8】(2005 年全国小学数学奥林匹克 )有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么 个整数是 ______．【解析】(70 110160) 50 290 ， 503 16...... 2，除数 当是 290 的大于 17 小于70 的 数，只可能是29 和 58， 11058 1...... 52， 52 50 ，所以除数不是 58．7029 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ， 1223 15 50 ，所以除数是29......12 23 15【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克 )用自然数n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和25，那么 n=________．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258 ．因 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的 数． 然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9】一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 220 后所得的余数，个自然数是多少？【解析】 个自然数去除90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 90 164 254 后所得的余数， 所以 254 和 220 除以 个自然数后所得的余数相同，因此 个自然数是 254220 34 的 数，又大 于 10， 个自然数只能是 17 或者是 34．如果 个数是34 ，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分 是 22、28、 16，不符合 目条件； 如果 个数是17，那么他去除 90、164、220 后所得的余数分 是 5、11、16，符合 目条件，所以 个自然数是 17．【例 10】 甲、乙、丙三数分 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除 乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少？【解析】 根据 意， 三个数除以 A 都有余数， 可以用 余除法的形式将它 表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 AK 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我 只能先把余数 理成相同的，再两数相减．我 先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都 大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我 可以得到下面的式子：603 A K 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4 A 2K 3 L L 4r 3余数就 理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4603 969，1275,969 51 3 17 ．51 的 数有1、3、 17、 51，其中1、3 然不 足， 17 和 51 可知 17 足，所以 A 等于 17． 【例 11】 (2003 年南京市少年数学智力冬令) 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找 律．用7 除 2， 2 2， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 6 ， ⋯的余数分 是 2，4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ⋯， 2 的个数是 3 的倍数 ，用7 除的余数 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 ，用 7 除的余数 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 ，用 7 除的余数 4．因 2 2003 23 6672，所以 2 2003 除以 7 余 4．又两个数的除以 7 的余数，与两个数分 除以 7 所得余数的 相同．而 2003 除以 7 余 1，所以 20032除以 7 余1．故 22003与 20032 的和除以 7 的余数是 4 1 5 ．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少？【解析】 238除以 7 的余数 1， 20083 669 1 ，所以 2200823669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数 ：66922 ； 2008 除以7 的余数2的余数等于27 的余数，1；所以16， 2008 除以 7 6 除以 2200820082 除以 7 的余数 ： 21 3 ．【例 12】 (2009 年走美初 六年)有一串数： 1，1， 2， 3， 5， 8， ⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个 数之和，在 串数的前2009 个数中，有几个是 5 的倍数？【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于 两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以 串数除以 5 的余数分 ： 1， 1， 2，3， 0， 3，3， 1， 4， 0， 4， 4， 3， 2，0， 2， 2， 4， 1，0 ，1， 1， 2， 3， 0， ⋯⋯ 可以 串余数中，每 20 个数 一个循 ，且一个循 中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】着名的裴波那契数列是 的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯ 串数列当中第2008 个数除以 3所得的余数 多少？【解析】 斐波那契数列的构成 是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列 被 3 除所得余数的数列：1 、1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、1、 1、 2、 0⋯⋯ 第九 和第十 两个是 1，与第一 和第二 的 相同且位置 ，所以裴波那契数列被 3 除 的余数每 8 个一个周期循 出 ，由于 2008 除以 8 的余数 0，所以第 2008 被 3 除所得的余数 第 8 被 3 除所得的余数， 0．【例 13】 (1997 年全国小学数学奥林匹克)将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字， 成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________．【解析】 本 第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再 数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 (个 )， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 (个 )，所以数 写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数， 第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是9，其中 2 未写出来．因9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的 数是：702 9 78 ( )，依次排列后， 它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数 9-2 7 ．【例 14】 有 2 个三位数相乘的 是一个五位数， 的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本 条件 出了两个乘数的数字之和，同 乘 的一部分已 出，即乘 的一部分数字之和已 出，我 可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因 是一个一定正确的算式， 所以一定可以 足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分 1 和 8，所以等式一 除以9 的余数 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必 8，□只能是 3．将 31031 分解 因数 有一种情况可以 足是两个三位数的乘 ，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15】20092009 的各位数字之和A ， A 的各位数字之和B ， B 的各位数字之和C ， C 的各位数字之和 D ，那么 D ？9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数 2， 20092009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数1，所以200926 334 56 33459 的余数 522 2 除以 2 除以 9 的余数，即 5．另一方面，由于 2009 2009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超 8036 位，那么它的各位数字之和不超 9 8036 72324 ，即 A ；那么A 的各位数字之和B 9 5 45 ， B 的各位数字之72324C D 5和， 小于 18 且除以 9 的余数 5，那么 5 或 14， 的各位数字之和 5，即 ．C 9 2 18 CC板块三 完全平方数【例 16】 从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有 因数必定成 出 ．而 72 23322 6 6 ，所以 足条件的数必 某个完全平方数的 2 倍，由于 2 31 31 1922 2008 2 3222、⋯⋯、 22都 足 意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的 足条件的数共有31 个．【例 17】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，个数是多少？【解析】个数减去22， A2B2A B A B1006337 37 1，63 A，减去 100 B可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19，B18，个数 182100424 ．【巩固】能否找到么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假能找到，两个完全平方数分A2、 B 2 ，那么两个完全平方数的差54 A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性相同，所以A B A B 不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54是偶数但不是 4 的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么中所的数是找不到的．【例 18】有 5 个自然数，它的和一个平方数，中三数的和立方数，五个数中最小数的最小．【解析】考平方数和立方数的知点，同涉及到数量少的自然数，未知数的候有技巧：一般是中的数，前后的数关于中的数是称的．中数是 x，它的和5x，中三数的和3x． 5x 是平方数，5x22， x2，5a5a3x 15a2 3 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有 3和 5的因数各 2 个，即 a2至少是 225，中的数至少是1125，那么五个数中最小数的最小1123．板块四位值原理【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交后的新的两位数的差是45，求的两位数中最大的是多少？【解析】原来的两位数ab ，交后的新的两位数ba ，根据意，ab ba (10a b)(10b a ) 9(a b) 45 ，a b 5 ，原两位数最大，十位数字至多9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字序倒来，得到一个新的四位数(个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】原数 abcd ，新数dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a) 90(c b) ．根据意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数1099．【例 20】 (第五届希望杯培)有 3个不同的数字，用它成 6 个不同的三位数，如果 6 个三位数的和是 1554，那么 3 个数字分是多少？【解析】六个不同的三位数abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它的和是：222 (a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于三个数字互不相同且均不0 ，所以三个数中小的两个数至少1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数4，其他两数分是1， 2．【巩固】 (迎春杯决 )有三个数字能成 6 个不同的三位数， 6 个三位数的和是2886，求所有的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】三个数字分a、 b、 c，那么 6 个不同的三位数的和：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数1，十位数尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数尽可能地大，最大9，此十位数13 19 3，所以所有的 6 个三位数中最小的三位数139．【巩固】 a ， b ， c 分别是 0 : 9 中不同的数码，用 a ， b ， c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？【解析】 由 a ， b ， c 组成的六个数的和是 222 (a b c) ．因为 2234 222 10 ，所以 a b c 10 ．若 ab c 11，则所求数为 222 11 2234 208 ，但 2 0 8 10 11 ，不合题意． 若 a b c 12 ，则所求数为 222 12 2234 430 ，但 4 3 0 7 12 ，不合题意． 若 a b c 13 ，则所求数为 222 13 2234 652 ， 6 5 2 13 ，符合题意．若 ab c14 ，则所求数为 222 14 2234 874 ，但 8 7 4 19 14 ，不合题意． 若 a bc 15 ，则所求数 222 15 2234 1096，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为 652．板块五进制问题【例 21】 在几进制中有 4 13 100？ 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10 (12)10 ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12， 6， 4，3， 2 中的一个． 但是式子中出现了 4，所以 n 要比 4 大，不可能是 4， 3， 2 进制． 另外，由于 (4)10 (13)10 (52)10 ，因为 52 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知道 n 10 ，那么 n 不能是 12．所以， n 只能是 6 ．【 巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法？【解析】 注 意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 4 5 20 ，但是现在为4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、 8、 4 或 2． 1534 25 38350 43214，所以在因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、 2 进位，而在十进制中有 原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制． 【例 22】 在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少 ？【解析】 (abc)6 =a × 62＋ b × 6+c=36a+6b+c ； (cba)9=c × 92+b × 9+a=81c+9b+a ；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数， 80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1．所 以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c ；则 7a=16c ； (7，16)=1，并且 a 、c ≠ 0，所以 a=16， c=7．但是在 6，9 进制， 不可以有一个数字为 16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c ；mod 7 后， 3+2c ≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数 )．因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数， 于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5× 6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足 abc 7( a b c) ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 7，不妨记 为 a ，那么 bc 7 b c ，整理得 (b 1)(c 1)8 ，又 8 1 8 2 4 ，对应的 b 、c 舍去 或 b 、2 9( )3 c5，所以这三个质数可能是 3， 5，7练习 2． 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数 ．【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数． 101 45 56 ， 45 14 ， 14 ， 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14．59 (56,14) 14 练习 3． 将 1 至 2008这 2008 个 自 然 数 ， 按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出 ， 得 一 个 多 位 数 ：12345678910111213 L20072008，试求这个多位数除以9 的余数．【解析】 以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于1 9 9 92 00 0 被 9 除的余数，但是由于 1999 与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 00 被 9 除的余数相同， 所以 19992000就与 19992000 被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数 12345678910111213 L 20072008被 9 除的余数与前 2008 个自然数之 和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式， 个和 ： 1 2008 2008 9 除的余数 1．2 2017036 ，它被另外 可以利用9 个自然数之和必能被 9 整除 个性 ，将原多位数分成 123456789 ， 101112131415161718 ，⋯⋯， 199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可 它被9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同． 因此，此数被9 除的余数 1．4． 在 7 制中有三位数 abc ，化 9 制 cba ，求 个三位数在十 制中 多少？【解析】 首先 原 十 制：(abc )7a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9c92 b9 a 81c 9ba ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也 是8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 制下，不可能有 8 个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ， 3a 5c ．所以 a 5 的倍数， c 3 的倍数．所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 5 49 3 248 ．于是， 个三位数在十 制中248．月 ：【 1】某 数加6 或减 6 得到的数仍是 数，在50 以内你能找出几个 的 数？把它 写出来．【解析】 有六个 的数，分 是11，13， 17， 23，37， 47．【 2】 (2002 年全国小学数学奥林匹克)两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415， 被除数是 _______．（415 48 8）（4 1） 79【解析】 因 被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍 可知， 除数所以，被除数 79 4 8 324．【 3】 1016 与正整数 a 的乘 是一个完全平方数， a 的最小 是 ________．【解析】 先将 1016分解 因数： 1016 31016 a 是一个完全平方数，所以至少 422 127 ，由于 2 127 ，故a 最小 2127 254．【4】在几 制中有 125 125 16324？【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因 1562516324，所以一定是不到10 就已 位，才能得到16324，所以 n 10．再注意尾数分析，(5)10(5)10 (25)10 ，而 16324 的末位4，于是 254 21 到上一位．所以 位制 n21 的 数，又小于 10，也就是可能7 或 3．因 出 了6，所以 n只能是 7．。

综合训练之数论2一、约数与倍数1、几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.自然数a与b的最大公因数记作（a,b）.2、如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b3、几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数几个自然数的公倍数有无限多个，所以不存在最大公倍数，除零外，其中最小的只有一个，这个数就叫做这几个数的最小公倍数.自然数a和b的最小公倍数记作［ａ，b］4、将一个自然数分解质因数比较困难时，可运用辗转相除法求两自然数的最大公约数.即一个较大自然数与另一个自然数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数.5、约数个数与约数和：设自然数n的质因子分解式如n= p m11 p m22 ...p mk k，那么：①n的约数个数：（指数＋1）相乘。

即（m1+1）(m2+1) （m3+1）……(m k+1)②n的所有约数和：指数递减，相加相乘。

即（p m11 + p m1-11 +p m1-21 +…+ p1 +p01）（p m22 + p m2-12 +p m2-22 +…+ p2 +p02）（p m33 + p m3-13 +p m3-23+…+ p3 +p03）……（p mk k + p mk-1k +p mk-2k +…+ p k +p0k）6、完全平方数性质①平方差： A2–B2 =（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：把数分解，使他满足积是平方数。

④奇数的平方被4除余1，偶数的平方能被4或8整除。

⑤任何两个整数的平方和被4除一定不余3.⑥任何两个整数的平方差被4除一定不余2.二、余数与同余在有余数的除法里被除数=除数×商+余数。

第20讲数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．2 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？4宫格 9宫格5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．6 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．7 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个8 不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有 个9 试说明，将1+21+31+。

+401的和写成一个最简分数nm 时，m 不会是5的倍数10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？11 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字a 、b ，1，2组成的其他23个四位数的和等于 90669，求a 和6的值． N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N 的最大值是13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、_ ___、____、____、314 N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为 15 写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n 位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是。

六年级数论综合 work Information Technology Company.2020YEAR六年级第8讲数论综合（一）【兴趣篇】4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24)。

已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？【分析与解】一个是5的倍数, 各4位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。

能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。

被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95，能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。

经试得满足条件的三位数是656。

6．一个自然数N共有9个约数，而N—1共有8个约数。

满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？【分析与解】N要约数为9。

N分解质因数指数必定是2与2，N—1要约数为8，N—1分解质因数指数必定是1、1与1，N要最小，所以从2的2次乘3的3次，可是，N—1不符合，经试，只有196才符合，用同样的方法，得到第二小的是256。

10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。

对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件:①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同;②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数.你能破解此密文吗?【分析与解】由①得，A不能为3、7，B不能为4、8，C不能为2、1，21C ÷12，当C为5时，余数是11，当C为8时，余数是2，当C为9时，余数是3，其它的不符合。

8B4÷12，当B为5时，余数是2，其它的不符合，所B只能是5， C只能是9。

六春第10讲数论综合例题选讲：倍数特征【例1】有一个四位数a7b4可被72整除，请问a×b有几种可能不同的值?【例2】六位数20□□14能被99整除，□□是多少？【例3】一位魔术师让观众写下一个六位数a，并将a的各位数字相加得b，他让观众说出a−b中的5个数字，观众报出1、3、5、7、9，魔术师便说出余下的那个数字，那个数字是几？【例4】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．分解质因数【例5】三个相邻的自然数的乘积是3360，这三个自然数分别是多少？【例6】假设1×2×3×……×2010×2011=14n×A，其中n与A都是正整数。

请问n可能的最大值是什么？【例7】有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是多少？奇偶性【例8】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出3个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球42个、黄球23个、蓝球43，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？【例9】黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5，每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1……）。

如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是多少？。