六年级奥数最详细全面-数论教师版

第十讲：数论之余数问题知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：++++=例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．板块二余数问题【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003商与余数之和为 2113，则被除数是多少【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ______．【解析】 (70110 160)50 290 ， 503 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是58．70 29 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，12 23 15 50，所以除数是29 (12)2315 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________ ．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9 】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220 后所得的余数，则这个自然数是多少【解析】 这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603 AK 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4A 2K 3 L L 4r 3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969513 17 ．51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题)22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找规律．用 7 除 23， 456，⋯的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，⋯， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个 数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4．因为 22003 23 6672，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同． 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2除以 7 余 1．故22003与 20032的和除以 7 的余数是 4 15．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少【解析】 238除以 7的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2200823 669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数为：6692 2 ； 2008 除以 7 的余数为227 的余数，为 1；所以16，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以2200820082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以这串数除以 5 的余数分别为： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0，⋯⋯ 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯这串数列当中第 2008 个数除以 3所得的余数为多少【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、1、 2、 0⋯⋯第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0．【例 13 】 ( 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________ ．【解析】 本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 ( 个 ) ， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 ( 个) ，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来．因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的组 数是：702 9 78 ( 组 ) ，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为 9-2 7 ．【例 14 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的余数为 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3．将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15 】设 20092009 的各位数字之和为A ， A 的各位数字之和为B ， B 的各位数字之和为C ， C 的各位数字之和为 D ，那么 D9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 2009 2009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数为200926 334 5633459 的余数为 51，所以 222 除以 2 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9 8036 72324 ，即 A ；那么 A 的各位数字之和 B9 5 45 ， B 的各位数字之72324和 C 9 2 18 ， 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14， 的各位数字之和为 5，即 D 5 ．CC板块三 完全平方数【例 16 】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而 72 23322 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于 2 31 31 19222008 2 322 2、⋯⋯、 22都满足题意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的满足条件的数共有31 个．【例 17 】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少【解析】设这个数减去2，减去 100为B2，则 A2B2A B A B100633737 1，63 为A可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19 ， B18，这样这个数为 182100424 ．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、 B 2 ，那么这两个完全平方数的差为54A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x ． 5x 是平方数，设 5 x2225 a ，则 x 5a，3x15a23 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有3 和 5 的质因数各 2 个，即 a2至少是 225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19 】 ( 美国小学数学奥林匹克) 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少如【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba(10a b) (10b a )9(a b)45 ，a b 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( 这个数也叫原数的反序数) ，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为 abcd ，则新数为dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a)90(c b) ．根据题意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数为1099．【例 20 】 ( 第五届希望杯培训试题) 有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因为 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它们的和是：222(a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数为4，其他两数分别是1， 2．【巩固】 ( 迎春杯决赛 ) 有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a、 b、 c，那么6 个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 19 3，所以所有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a， b， c 分别是0 : 9 中不同的数码，用a， b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几【解析】由 a ，b， c 组成的六个数的和是222(a b c) ．因为223422210 ，所以 a b c 10 ．若 a b c11，则所求数为222112234208，但 2081011，不合题意．若 a b c12，则所求数为222122234430 ，但 430712，不合题意．若 a b c13，则所求数为222132234652， 6 5213，符合题意．若 a b c14，则所求数为222142234874，但 8741914 ，不合题意．若 a b c15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21 】在几进制中有 4 13 100【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6， 4， 3，2 中的一个．但是式子中出现了4，所以 n 要比 4 大，不可能是4， 3，2 进制．另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知道n 10 ，那么n不能是12．所以， n 只能是 6．【巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45 20 ，但是现在为 4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为16 的约数，可能为16、 8、 4 或 2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、 2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制．【例 22】在 6 进制中有三位数abc ，化为9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】(abc)6 =a× 62＋ b× 6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c× 92+b×9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3 ，5)=1 ．所以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7 ，16)=1 ，并且 a、c≠ 0，所以 a=16，c=7．但是在6， 9 进制，不可以有一个数字为16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c； mod7 后， 3+2c≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k为整数 ) ．因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1 ．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc7( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc7 b c，整理得(b1)(c1)8 ，又8 1 82 4 ，对应的 b 2、c9( 舍去 ) 或b 3、c5，所以这三个质数可能是3， 5，7练习 2 ．有一个大于 1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，4514，14，的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．59(56,14)14练习 3 ．将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：L ，试求这个多位数除以 9 的余数．【解析】以这个八位数为例，它被9 除的余数等于19 99 2 00 0 被 9 除的余数，但是由于1999与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0 0 0 被 9 除的余数相同， 所以就与 1999 2000被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数L被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为： 1 2008 20082017036 ，它被 9 除的余数为 1． 2另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，⋯⋯， 0062007 ， 2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同．因此，此数被 9 除的余数为 1．练习 4 ． 在 7 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】 首先还原为十进制： (abc )7 a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9 c 92b 9 a 81c 9b a ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ，则 3a 5c ． 所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数． 所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 549 3 248 ．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数把它们写出来 ．【解析】 有六个这样的数，分别是 11， 13， 17， 23， 37， 47．【备选 2】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _______．（415 4 88）（4 1） 79【解析】 因为被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍问题可知， 除数为所以，被除数为79 4 8 324．【备选 3】 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 ________．【解析】 先将 1016 分解质因数： 10163a 是一个完全平方数，所以至少为42，故2 127 ，由于 1016 2127 a 最小为 2 127 254．【 备选 4】在几进制中有 125 125 16324【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因为 15625 16324，所以一定是不到10 就已经进位，才能得到16324，所以 n 10 ．再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10 ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位．所以说进位制 n为21 的约数，又小于 10，也就是可能为7 或 3．因为出现了 6，所以 n只能是 7．。

第19讲数论综合知识点精讲特殊数的整除特征1. 尾数判断法1) 能被2整除的数的特征：2) 能被5整除的数的特征：3) 能被4 (或25)整除的数的特征：4) 能被8 (或125)整除的数的特征：2. 数字求和法：3. 99的整除特性：4. 奇偶位求差法：5. 三位截断法：特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、质数合数1. 基本定义【质数】一一【合数】一一注：自然数包括0、1、质数、合数.【质因数】一一【分解质因数】一一用短除法和分拆相乘法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且a 1 <a 2<a 3< va n。

【互质数】【偶数】【奇数】2. 质数重要性质1）100以内有25个质数：2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是：3）1既不是质数，也不是合数4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数5）最小的质数是2•最小的奇质数是36）有无限多个3. 质数的判断：1）定义法：判断整除性2）熟记100以内的质数3）平方判断法：例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.4. 合数1）无限多个2）最小的合数是43）每个合数至少有三个约数5. 互质数1）什么样的两个数- -定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21.6. 偶数和奇数1）2）偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数3）4）数是他们乘积的一半5）•因此，要分解的合数应写在等号左边，如：0属于偶数十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是除2外所有的正偶数均为合数相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇奇X 奇=奇偶X 奇=偶偶 ><禺=偶四、约数与倍数1. 约数与倍数概念：2. 一个数约数的个数：3. 平方数与约数个数的关系：4.最大公约数与最小公倍数求法：分解质因数： 辗转相除法： 5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。

数论综合（二）教学目标：1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一 质数合数【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=⨯，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=⨯、222376743=⨯=⨯、333379=⨯、4443712746=⨯=⨯、5553715=⨯、6663718749=⨯=⨯、7773721=⨯、88837247412=⨯=⨯、9993727=⨯．把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二 余数问题【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 10】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】 根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷=L L 22939A K r ÷=L L 33393A K r ÷=L L由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷=L L ()22939222A K r ⨯÷=L L ()33393424A K r ⨯÷=L L这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,96951317==⨯．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？ 【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于200954014÷=L ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】着名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个)， 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例 14】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=⨯=⨯所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例 15】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．板块三 完全平方数【例 16】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【例 17】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】 设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x ，则它们的和为5x ， 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯，则25x a =，2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个， 即2a 至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四 位值原理【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】 设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+．推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a ，b ，c 分别是09:中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】 由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ⨯++．因为223422210>⨯，所以10a b c ++>．若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．板块五 进制问题【例 21】 在几进制中有413100⨯=？【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以，n 只能是6．【巩固】 算式153********⨯=是几进制数的乘法？【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．【例 22】 在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】 (abc)6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0．所以c=2或者2+7k(k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，7练习 2． 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．练习 3． 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213L 20072008，试求这个多位数除以9的余数．【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数12345678910111213L 20072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+⨯=，它被9除的余数为1． 另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．练习 4． 在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】 首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415=+÷---）（）（，所以，被除数为3248479=+⨯．【备选3】1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【备选4】在几进制中有12512516324⨯=？【解析】 注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．。

小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点．⑴同余性质是解决同余问题的重要依据,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题. ⑵熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.⑶能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理．带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数()0b ≠，那么一定有另外两个整数q 和r ，0r b ≤<，使得a b q r =⨯+．当0r =时，我们称a 能被b 整除．当0r ≠时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)．用带余数除式又可以表示为a b q r ÷= ,0r b ≤<．同余式：若两个整数a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a ，b 对于模m 同余，用“同余式”表示为()mod a b m ≡意味着(我们假设a b ≥)a b mk -=，k 是整数，即()|m a b -．若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被c 整除．余数定理：①两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和．实例：7321÷= ，5312÷= ，这样()753+÷的余数就等于()123+÷的余数．②两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差．实例：8322÷= ，4311÷= ，这样()843-÷的余数就等于()213-÷的余数．③两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积．实例：7321÷= ，5312÷= ，这样()753⨯÷的余数就等于()123⨯÷的余数． 第 6讲数论(二)【例 1】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【分析】 (70110160)50290++-=，503162÷= ，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058152÷= ，5250>，所以除数不是58．7029212÷= ，11029323÷= ，16029515÷= ，12231550++=，所以除数是29．【例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析】 设两位数ab (a 表示十位数字，b 表示个位数字)1091ab a b a a b a b a b+==++++ 由于余数不会超过除数a b +的值，所以我们对a b +的值从最大值18开始往小进行尝试搜索：当18a b +=，此时余数为9． 当17a b +=，则两位数为89、98，余数为4、13．当16a b +=，则两位数为97、88、79，余数为1、8、15．则余数最大的为15，因为接下来，除数最大为15，这样余数中最大的也只可能为14，所以余数最大的是15．【例 1】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数和a 的值. ［分析］ 将这些数转化被该自然数除后余数为2a 的数：()42952848-⨯=，791、50021000⨯=，这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ，同余. 将这三个数相减，得到84879157-=、1000848152-=，所求的自然数一定是57和152的公约数，而()57,15219=，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，6a =时成立,所以这个自然数是19，6a =.［拓展］已知60，154，200被某自然数除所得余数分别是1a -，2a ，31a -，求该自然数的值． ［分析］ 自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a ，2a ，3a ．自然数2613721=与154同余，611549394⨯=与201同余，所以除数是3567和9193的公约数，运用辗转相除法可得到该除数为29．经过检验成立．［拓展］甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？［分析］ 设这个数为M ，则11603M A r ÷=22939M A r ÷=33393M A r ÷=122r r =,232r r =,要消去余数1r ,2r ,3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 这样我们可以得到下面的式子：11603M A r ÷=()22939222M A r ⨯÷=()33393424M A r ⨯÷=这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,30651317==⨯．603，939，393这三个数有公约数3．51317÷=．则A 等于17．【例 2】 一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值，称为“好数”．例如，根据()757757738-++=是“好数”．在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后，可以使得无论圆圈内填入09 中的哪个数字，该四位数都不是“好数”，那么在方框中应填写数字__________．【分析】 注意到所有“好数”都是9的倍数，但9的倍数不一定都是好数．200x 对应的“好数”是20021998x x --=；201x 对应的“好数”是201212007x x ---=；202x 对应的“好数”是202222016x x ---=；…… …… ……209x 对应的“好数”是209292079x x ---=；210x 对应的“好数”是210212097x x ---=；即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097． 所以，如果在20□○的“□”内填入8，则不管“○”填入什么数都不能是“好数”．【例 3】 (南京市“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个．某幼儿园大班人数超过40．每人分得一样多的糖果，一样多的饼干，也分得一样多的桔子．余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1:3:2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个．【分析】 法一：设大班共有a 名小朋友．由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254186210+-一定是a 的倍数，即2541862102301230102325+-==⨯=⨯=⨯⨯是a 的倍数．同样，225418632223142327⨯-==⨯=⨯⨯也一定是a 的倍数．所以，a 只能是232⨯的因数．但40a >，所以46a =．此时25446524=⨯+，21046372=⨯+，18646348=⨯+．故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个．法二：如果糖果有25461524⨯=粒，饼干有2102420⨯=块，橘子有1863558⨯=个，那么余下的糖果、饼干、橘子的个数相等，所以1524、420、558这三个数的相互之差是大班人数的倍数，152********-=，558420138-=，()1104,138138=，所以幼儿园大班人数是138的大于40的约数，即138、69、46，经过检验，其中只有46满足条件．每人分得糖果5粒、饼干3块、橘子3块．【例 4】 试求105253168⨯的末两位数．【分析】 分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看51832432418=⨯⨯除以25的余数，可知余数为18；又2418432⨯=除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．［拓展］试求20082007的末两位数.［分析］200720007=+，所以20082007的末两位数与20087的末两位数相同． ()()100450220082100425027749492401====，2401被100除余1所以5022401被100除得的余数等于5021，所以20082007的末两位数是01.［拓展］求89143除以7的余数．［分析］ 法一：∵()1433mod7≡(143被7除余3)∴()89891433mod7≡(89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等)而63729=，()7291mod7≡∴()8966655143333335mod7≡⨯⨯⨯⨯≡≡个． 89于是余数以6为周期变化．所以335mod7≡≡．【例 5】1234200512342005+++++ 除以10所得的余数为多少？ 【分析】 求结果除以10的余数即求其个位数．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++ 的个位数字，为4．2005个加数中有100组另5个数，100组的个位数是4100400⨯=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【例 6】 求{10031203308L 个除以19的余数． 【分析】 法一：{{{10161003101312033081266406332=-L L L 个个个 {{101310132063326332=⨯-L L 个个 {1013196332=⨯L 个 所以{10031203308L 个除以19的余数为0． 法二：首先计算120308被19除所得余数为0，120330812030810228=⨯+，228也是19的倍数，所以1203308也是19的倍数．12033308120330810228=⨯+，所以1203308也是19的倍数．以此递推可得到{10031203308L 个也是19的倍数．［拓展］(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a = 个，问：a 除以13所得余数是______.［分析］2008除以13余6，10000除以13余3， 注意到200820082008100002008=⨯+；20082008200820082008100002008=⨯+；2008200820082008200820082008100002008=⨯+；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数，而2008除以3余1，所以20082008200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.【例 7】 对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．【分析】18977271=⨯，7与271互质，因为29035(mod 7)≡，8035(mod7)≡，4642(mod 7)≡，2612(mod7)≡，所以，290380346426155220(mod7)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为2903193(mod 271)≡，803261(mod 271)≡，464193(mod 271)≡，所以29038034642611932611932610(mod271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除． 因为7与271互质，所以A 能被1897整除．【例 8】 在下表中填入自然数，要求第一行中所填入的自然数从左到右依次是31，32，33， ，第中填入的自然数从左到右依次是13，23，33， ，第三行中填入的自然数是同一列当中第一行、7【分析】 第一行的数被7除所得余数依次是1，1，6，1，6，6，0，……，以7为周期．第二行的数被7除所得的余数依次是3，2，6，4，5，1……，以6为周期．第三行的自然数如果除以7余1，那么对应第一行、第二行的自然数被7除，只有0+1和6+2两种情况，其中第一种情况下，对应的列数能被7和6整除，所以在第42列才能出现该情况，第二种情况下，对应的列数被7除余3，5，6，被6除余2，符合条件的最小列数是20．“物不知数问题”一般解题步骤：①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，可使用逐步满足法或使用“中国剩余定理” ．④逐步满足法：先满足条件一，得N ，再用“M N =+已满足除数公倍数”来满足下一个条件．《孙子算经》中有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”．到现在，这个问题已成为世界数学史上闻名的问题．到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知．用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15．最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少．《孙子算经》中这个问题的算法是：702213152233⨯+⨯+⨯=；23310510523--=；所以这些物品最少有23个．得出问题中的系数70、21、15，实际上是非常巧妙的构造过程,这三个数满足以下条件70是5和7的公倍数，且被3除余1；21是3和7的公倍数，且被5除余1；15是3和5的公倍数，且被7除余1．在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应除数除后所得的余数恰好等于对应余 数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应除数除后所得的余数． 即702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数．【例 9】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】 法一：仔细分析可以发现321527⨯+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，在7的基础上加上3，5，11的最小公倍数，得到172即为所求的数．［铺垫］一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿． ［分析］ 根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是53718+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，所以[]5,7,9315=，所以这个数最小为3158323+=．［铺垫］一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？［分析］ 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11813103-=-=，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[]11,13143=，所以这个数是1433140-=．【例10】 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为＿＿＿＿．【分析】 法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：分别找出除以7余7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为：158-105=53．法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合前两个条件的最小自然数，用3不断加2，当2被加上两个3时得到8，检验符合前两个条件，再用3和5的最小公倍数不断加8，当8被加上3个15，得到53，检验符合三个条件．法三：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，用7不断加4，当4被加上两个7时得到18，检验符合后两个条件，再用7和5的最小公倍数不断加18，当18被加上1个35，得到53，检验符合三个条件．【例11】有连续的三个自然数a、1a+，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最a+、2小的数至少是多少？【分析】法一：由1a+是7的倍数，得到a被7除余5，运用中国a+是8的倍数，得到a被8除余7，由2剩余定理求a：(⨯+⨯=495是满足各个余数条件的最小441728854527值，所以a至少是495．法二：a、1a++也分别是9、a++、27a+、18a+、2a+恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a+的最小值是987504⨯⨯=，即a至少是495．8、7的倍数，即9a+是9、8、7的倍数，9【例12】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【分析】将33210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值．［拓展］一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小数．［分析］本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．1． 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【分析】 由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以63+90+130-25=258能被这个自然数整除.258=2×3×43，显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6，3×(6-1)=15，所以均不能满足条件.当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足.那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足. 显然这3个余数中最大的为20．2． ()200831312008+被13除所得的余数是多少？【分析】31被13除所得的余数为5，31n 当n 取1，2，3， 时31n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12， 所以200831被13除余1．2008被13除所得的余数是6，6n 当n 取1，2，3， 时，6n 被13除所得的余数分别是6，10，8，9，2，12，7，3，5，4，11，1，6， 所以316被13除所得的余数等于76被13除所得的余数，即7，所以()200831312008+被13除所得的余数是178+=．3． 一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是___________．【分析】 这个数加上11后能被7、8、9整除．7、8、9的最小公倍数是789504⨯⨯=，所以除以7,8,9后分别余3、5、7的数最小为50411-．504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191⨯+⨯+⨯=，则50411-分别除以7、8、9所得的商之和是19123185-⨯=．7581851913=+⨯，所以这个数为5041150432005-+⨯=．4． 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数．【分析】 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”．[]5,6228-=，即28适合前两个条件．分析[]285,6x +⨯中能满足“除以7余1”的x 的值．可得到4x =是满足条件的最小值，所以，适合条件的最小的自然数是28304148+⨯=．5． 将一些水果装盘（少于100）个，如果7个7个装盘则剩下2个不能装，如果11个11个装盘则剩下6个不能装盘，如果13个13个装盘，那么还剩下7个不能装盘，那么这些水果有多少个？【分析】 11×13的倍数：143、286、429，……其中被7除余2的有429；7×13的倍数：91，182，……除以11余6的有182；7×11的倍数：77，154，……除以13余7的有462．1824624291073++=，由于水果数少于100，所以水果数有1073100172-=个．选绿色包装——减少垃圾灾难每人每年丢掉的垃圾重量超过人体平均重量的五六倍．北京年产垃圾430万吨，日产垃圾1.2万吨，人均每天扔出垃圾约1千克，相当于每年堆起两座景山．我国目前垃圾的产生量是1989年的4倍,其中很大一部分是过度包装造成的．不少商品特别是化妆品、保健品的包装费用已占到成本的30%—50%．过度包装不仅造成了巨大的浪费，也加重了消费者的经济负担，同时还增加了垃圾量，污染了环境．我们选购产品的时候还是以使用价值为主，尽量避免选购过度包装的产品，减少垃圾的制造量．拒子入门子发是战国时期楚国的一位将军．一次，他带兵与秦国作战，前线断了粮草，他派人向楚王告急．使者顺便去看望子发的老母．老人问使者：“兵士都好吗?”使者回答：“还有点儿豆子，只能一粒一粒分着吃．”“你们将军呢?”母亲问．使者回答道：“将军每餐都能吃到肉和米饭，身体很好．”子发得胜归来，母亲紧闭大门不让他进家门，并派人去告诉子发：“你让士兵饿着肚子打仗，自己却有吃有喝，这样做将军，打了胜仗也不是你的功劳．”母亲又说：“越王勾践伐吴的时候，有人献给他一罐酒，越王让人把酒倒在江的上游，叫士兵们一起饮下游的水．虽然大家没尝到酒味，却鼓舞了全军的士气，提高了战斗力．现在你却只顾自己不顾士兵，你不是我的儿子，你不要进我的门．”子发听了母亲的批评，向母亲认了错，决心改正，才得以进家门．俗话说：“子不教，父之过．”子女成长的好坏，长辈有着极大的责任．父母为了使孩子成长成参天大树，就必须在我们心中植下博爱之心，有了博爱之心，才有施爱于他人的可能．多以有时候，责备也蕴涵着父母对子女深沉的爱．。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2， 3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2， 3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13， 21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132，213， 231， 312，321 ，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13， 23， 31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc 11 b c，整理得 (b 1)(c 1)12，又12 1 12 2 6 3 4，对应的、b 2c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11， 13 或 3， 7， 11．【例 3】用 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、 4、 8、 9 可以组成质数41、 89，而 6可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33132 2 31330L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2倍 (想想为什么？ )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373、22237 674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 666 3718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有 ( 74 3 )77 和( 37 18 )55的两位数字相同．所以满足题意的答案是74 和 3，37和 18．板块二余数问题【例 5】( 2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题” 可得：除数 =(2083-13) ÷(17+1)=115，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于10 的约数，1998 2 3337 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3， 6， 9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法 1) 393 36， 147 3144 ， (36,144) 12， 12 的 数是 1,2,3,4,6,12 ，因 余数 3要小于除数， 个数是 4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公 数．51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以 个数是 4,6,12 ．【例 8】(2005 年全国小学数学奥林匹克 )有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么 个整数是 ______．【解析】(70 110160) 50 290 ， 503 16...... 2，除数 当是 290 的大于 17 小于70 的 数，只可能是29 和 58， 11058 1...... 52， 52 50 ，所以除数不是 58．7029 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ， 1223 15 50 ，所以除数是29......12 23 15【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克 )用自然数n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和25，那么 n=________．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258 ．因 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的 数． 然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9】一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 220 后所得的余数，个自然数是多少？【解析】 个自然数去除90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 90 164 254 后所得的余数， 所以 254 和 220 除以 个自然数后所得的余数相同，因此 个自然数是 254220 34 的 数，又大 于 10， 个自然数只能是 17 或者是 34．如果 个数是34 ，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分 是 22、28、 16，不符合 目条件； 如果 个数是17，那么他去除 90、164、220 后所得的余数分 是 5、11、16，符合 目条件，所以 个自然数是 17．【例 10】 甲、乙、丙三数分 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除 乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少？【解析】 根据 意， 三个数除以 A 都有余数， 可以用 余除法的形式将它 表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 AK 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我 只能先把余数 理成相同的，再两数相减．我 先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都 大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我 可以得到下面的式子：603 A K 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4 A 2K 3 L L 4r 3余数就 理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4603 969，1275,969 51 3 17 ．51 的 数有1、3、 17、 51，其中1、3 然不 足， 17 和 51 可知 17 足，所以 A 等于 17． 【例 11】 (2003 年南京市少年数学智力冬令) 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找 律．用7 除 2， 2 2， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 6 ， ⋯的余数分 是 2，4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ⋯， 2 的个数是 3 的倍数 ，用7 除的余数 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 ，用 7 除的余数 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 ，用 7 除的余数 4．因 2 2003 23 6672，所以 2 2003 除以 7 余 4．又两个数的除以 7 的余数，与两个数分 除以 7 所得余数的 相同．而 2003 除以 7 余 1，所以 20032除以 7 余1．故 22003与 20032 的和除以 7 的余数是 4 1 5 ．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少？【解析】 238除以 7 的余数 1， 20083 669 1 ，所以 2200823669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数 ：66922 ； 2008 除以7 的余数2的余数等于27 的余数，1；所以16， 2008 除以 7 6 除以 2200820082 除以 7 的余数 ： 21 3 ．【例 12】 (2009 年走美初 六年)有一串数： 1，1， 2， 3， 5， 8， ⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个 数之和，在 串数的前2009 个数中，有几个是 5 的倍数？【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于 两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以 串数除以 5 的余数分 ： 1， 1， 2，3， 0， 3，3， 1， 4， 0， 4， 4， 3， 2，0， 2， 2， 4， 1，0 ，1， 1， 2， 3， 0， ⋯⋯ 可以 串余数中，每 20 个数 一个循 ，且一个循 中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】着名的裴波那契数列是 的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯ 串数列当中第2008 个数除以 3所得的余数 多少？【解析】 斐波那契数列的构成 是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列 被 3 除所得余数的数列：1 、1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、1、 1、 2、 0⋯⋯ 第九 和第十 两个是 1，与第一 和第二 的 相同且位置 ，所以裴波那契数列被 3 除 的余数每 8 个一个周期循 出 ，由于 2008 除以 8 的余数 0，所以第 2008 被 3 除所得的余数 第 8 被 3 除所得的余数， 0．【例 13】 (1997 年全国小学数学奥林匹克)将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字， 成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________．【解析】 本 第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再 数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 (个 )， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 (个 )，所以数 写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数， 第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是9，其中 2 未写出来．因9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的 数是：702 9 78 ( )，依次排列后， 它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数 9-2 7 ．【例 14】 有 2 个三位数相乘的 是一个五位数， 的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本 条件 出了两个乘数的数字之和，同 乘 的一部分已 出，即乘 的一部分数字之和已 出，我 可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因 是一个一定正确的算式， 所以一定可以 足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分 1 和 8，所以等式一 除以9 的余数 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必 8，□只能是 3．将 31031 分解 因数 有一种情况可以 足是两个三位数的乘 ，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15】20092009 的各位数字之和A ， A 的各位数字之和B ， B 的各位数字之和C ， C 的各位数字之和 D ，那么 D ？9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数 2， 20092009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数1，所以200926 334 56 33459 的余数 522 2 除以 2 除以 9 的余数，即 5．另一方面，由于 2009 2009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超 8036 位，那么它的各位数字之和不超 9 8036 72324 ，即 A ；那么A 的各位数字之和B 9 5 45 ， B 的各位数字之72324C D 5和， 小于 18 且除以 9 的余数 5，那么 5 或 14， 的各位数字之和 5，即 ．C 9 2 18 CC板块三 完全平方数【例 16】 从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有 因数必定成 出 ．而 72 23322 6 6 ，所以 足条件的数必 某个完全平方数的 2 倍，由于 2 31 31 1922 2008 2 3222、⋯⋯、 22都 足 意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的 足条件的数共有31 个．【例 17】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，个数是多少？【解析】个数减去22， A2B2A B A B1006337 37 1，63 A，减去 100 B可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19，B18，个数 182100424 ．【巩固】能否找到么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假能找到，两个完全平方数分A2、 B 2 ，那么两个完全平方数的差54 A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性相同，所以A B A B 不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54是偶数但不是 4 的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么中所的数是找不到的．【例 18】有 5 个自然数，它的和一个平方数，中三数的和立方数，五个数中最小数的最小．【解析】考平方数和立方数的知点，同涉及到数量少的自然数，未知数的候有技巧：一般是中的数，前后的数关于中的数是称的．中数是 x，它的和5x，中三数的和3x． 5x 是平方数，5x22， x2，5a5a3x 15a2 3 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有 3和 5的因数各 2 个，即 a2至少是 225，中的数至少是1125，那么五个数中最小数的最小1123．板块四位值原理【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交后的新的两位数的差是45，求的两位数中最大的是多少？【解析】原来的两位数ab ，交后的新的两位数ba ，根据意，ab ba (10a b)(10b a ) 9(a b) 45 ，a b 5 ，原两位数最大，十位数字至多9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字序倒来，得到一个新的四位数(个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】原数 abcd ，新数dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a) 90(c b) ．根据意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数1099．【例 20】 (第五届希望杯培)有 3个不同的数字，用它成 6 个不同的三位数，如果 6 个三位数的和是 1554，那么 3 个数字分是多少？【解析】六个不同的三位数abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它的和是：222 (a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于三个数字互不相同且均不0 ，所以三个数中小的两个数至少1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数4，其他两数分是1， 2．【巩固】 (迎春杯决 )有三个数字能成 6 个不同的三位数， 6 个三位数的和是2886，求所有的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】三个数字分a、 b、 c，那么 6 个不同的三位数的和：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数1，十位数尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数尽可能地大，最大9，此十位数13 19 3，所以所有的 6 个三位数中最小的三位数139．【巩固】 a ， b ， c 分别是 0 : 9 中不同的数码，用 a ， b ， c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？【解析】 由 a ， b ， c 组成的六个数的和是 222 (a b c) ．因为 2234 222 10 ，所以 a b c 10 ．若 ab c 11，则所求数为 222 11 2234 208 ，但 2 0 8 10 11 ，不合题意． 若 a b c 12 ，则所求数为 222 12 2234 430 ，但 4 3 0 7 12 ，不合题意． 若 a b c 13 ，则所求数为 222 13 2234 652 ， 6 5 2 13 ，符合题意．若 ab c14 ，则所求数为 222 14 2234 874 ，但 8 7 4 19 14 ，不合题意． 若 a bc 15 ，则所求数 222 15 2234 1096，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为 652．板块五进制问题【例 21】 在几进制中有 4 13 100？ 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10 (12)10 ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12， 6， 4，3， 2 中的一个． 但是式子中出现了 4，所以 n 要比 4 大，不可能是 4， 3， 2 进制． 另外，由于 (4)10 (13)10 (52)10 ，因为 52 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知道 n 10 ，那么 n 不能是 12．所以， n 只能是 6 ．【 巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法？【解析】 注 意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 4 5 20 ，但是现在为4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、 8、 4 或 2． 1534 25 38350 43214，所以在因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、 2 进位，而在十进制中有 原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制． 【例 22】 在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少 ？【解析】 (abc)6 =a × 62＋ b × 6+c=36a+6b+c ； (cba)9=c × 92+b × 9+a=81c+9b+a ；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数， 80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1．所 以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c ；则 7a=16c ； (7，16)=1，并且 a 、c ≠ 0，所以 a=16， c=7．但是在 6，9 进制， 不可以有一个数字为 16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c ；mod 7 后， 3+2c ≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数 )．因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数， 于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5× 6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足 abc 7( a b c) ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 7，不妨记 为 a ，那么 bc 7 b c ，整理得 (b 1)(c 1)8 ，又 8 1 8 2 4 ，对应的 b 、c 舍去 或 b 、2 9( )3 c5，所以这三个质数可能是 3， 5，7练习 2． 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数 ．【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数． 101 45 56 ， 45 14 ， 14 ， 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14．59 (56,14) 14 练习 3． 将 1 至 2008这 2008 个 自 然 数 ， 按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出 ， 得 一 个 多 位 数 ：12345678910111213 L20072008，试求这个多位数除以9 的余数．【解析】 以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于1 9 9 92 00 0 被 9 除的余数，但是由于 1999 与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 00 被 9 除的余数相同， 所以 19992000就与 19992000 被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数 12345678910111213 L 20072008被 9 除的余数与前 2008 个自然数之 和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式， 个和 ： 1 2008 2008 9 除的余数 1．2 2017036 ，它被另外 可以利用9 个自然数之和必能被 9 整除 个性 ，将原多位数分成 123456789 ， 101112131415161718 ，⋯⋯， 199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可 它被9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同． 因此，此数被9 除的余数 1．4． 在 7 制中有三位数 abc ，化 9 制 cba ，求 个三位数在十 制中 多少？【解析】 首先 原 十 制：(abc )7a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9c92 b9 a 81c 9ba ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也 是8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 制下，不可能有 8 个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ， 3a 5c ．所以 a 5 的倍数， c 3 的倍数．所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 5 49 3 248 ．于是， 个三位数在十 制中248．月 ：【 1】某 数加6 或减 6 得到的数仍是 数，在50 以内你能找出几个 的 数？把它 写出来．【解析】 有六个 的数，分 是11，13， 17， 23，37， 47．【 2】 (2002 年全国小学数学奥林匹克)两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415， 被除数是 _______．（415 48 8）（4 1） 79【解析】 因 被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍 可知， 除数所以，被除数 79 4 8 324．【 3】 1016 与正整数 a 的乘 是一个完全平方数， a 的最小 是 ________．【解析】 先将 1016分解 因数： 1016 31016 a 是一个完全平方数，所以至少 422 127 ，由于 2 127 ，故a 最小 2127 254．【4】在几 制中有 125 125 16324？【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因 1562516324，所以一定是不到10 就已 位，才能得到16324，所以 n 10．再注意尾数分析，(5)10(5)10 (25)10 ，而 16324 的末位4，于是 254 21 到上一位．所以 位制 n21 的 数，又小于 10，也就是可能7 或 3．因 出 了6，所以 n只能是 7．。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

1小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88(2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。

(1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10(2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。