不定积分一.ppt

x)
1 arctan
x
C
kd[(x)] k(x) C
不定积分
例4
若 f (x)dx F(x) C, 则 ex f (ex)dx ( C )
A. F (ex ) C
B. F(ex ) C
C. F(ex ) C
D. 1 F(ex ) C
x
分析：
(ex ) (ex )(x)
ex f (ex )dx f (ex )d (ex )
为常数) ( C )
A. y ln(x k)
B. y k ln x
C. y ln(kx)
D.
y 1 ln(kx) k
分析：
[ln(kx)]
1
(kx)
1
k
1
kx
kx x
2、下列函数中不是e2x e2x 的原函数
的是( )
A. 1 (e2x e2x )
2
C. 1 (ex ex )2
x dx 1 x1 C( 1)
1
理解为下面的结构式：
d
1 1 C( 1)
1
式中的方块 可以为自变量x， 也可以是 x的函数.
不定积分
如：
sin3 xd(sin x) 1 sin 4 x C
4
ln
xd (ln
x)
2
ln
3 2
x
C
3
1 (arctan
x)2
d
(arctan
不定积分
例1
下列函数中，为函数e2x 的原函数
的是（ B ） A. y 2e2x C. y e2x
B.
y 1 e2x 2
D. y 2e2x
： 分析 ( 1 e2x ) 1 e2x (2x) e2x
2
2
故选B
不定积分
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课堂 练习
1、设ln x 是f (x) 的一个原函数，
则f (x)的另一个原函数是(其中k 0
1 1 x2
dx arcsin x C arccos x C
13、 1
1 x
2
dx
arctan
x
C
arc
cot
x
C
说明：
1、基本公式是以x为积分变量的，若将基
本公式所有的x换成其它的字母公式亦
成立.如： cosudu sin u C
不定积分
2、基本公式中的x 均可理解为x 的的连续
函数.如：
两种运算互相抵消.
不定积分
⑵、如果先微分再积分，其结果只差
一个常数.
如：
1、[ (1 7x)103dx] (1 7x)103 2、 g(x)dx g(x) C
2、不定积分的性质 ⑴、不为零的常数因子，可以提到
积分号前.
不定积分
kf (x)dx k f (x)dx(k 0)
⑵、两个函数的代数和的积分等于
f (x)dx (cosx C1)dx sin x C1x C2
令C1 0,C2 1 故选B
不定积分
2、不定积分几何意义
积分曲线：
设f (x)的一个原函数为F(x), 则曲线 y F(x)称为函数 f (x) 的一条积分曲线.
不定积分的几何意义：
f (x)的全部积分曲线所组成的积分 曲线族，其方程是
2
B. 1 (ex ex )2
2
D. 2(e2x e2x )
分析：
D
[2(e2x e2x )] 4e2x 4e2x
不定积分
二、不定积分
1、不定积分 函数f (x) 的全体原函数F(x) C叫做 f (x) 的不定积分.记为
f (x)dx F(x) C 其中 F(x) f (x)
1 sin x C 故选A
sin x
不定积分
四、不定积分的性质
1、不定积分与导数(或微分)的关系
(1)、[ f (x)dx] f (x) 或 d[ f (x)dx] f (x)dx (2)、 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
说明： ⑴、对一个函数先积分再微分，结果
（一）
【不定积分】
一、原函数
1、原函数 设 f (x)是定义在某区间的已知函数， 若存在函数 F(x), 使得F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx, 则称 F(x)是f (x) 的一个原函数. 如： (sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
不定积分
2、原函数存在定理 定理1 若函数 f (x)在某区间上连续,则 在该区间上的原函数一定存在. 定理2 若F(x)是f (x) 的一个原函数,则F(x) C 是f (x) 的全部原函数，其中C 是任意 常数.
不定积分
6、 sin xdx cos x C 7、 cosxdx sin x C
8、 sec2 xdx tan x C
9、 csc2 xdx cot x C 10、 secx tan xdx sec x C 11、 cscx cot xdx csc x C
不定积分
12、
y F(x) C
不定积分
说明：
曲线族里的所有积分曲线在横坐标x 相同的点处的切线彼此平行，即这些切
线有相同的斜率 f (x).
例3 已知曲线 y f (x) 在任意一点 x 处的
切线斜率为 3x2且曲线经过 (1,2)点,求 此曲线的方程.
不定积分
解：设所求曲线的方程为：y f (x) 由题意知：
说明：
x称为积分变量， “”称为积分号，
f (x)称为被积函数， C称为积分常数, f (x)dx 称为被积表达式.
不定积分
例2 若f (x)的导函数为sin x ，则f (x) 的一
个原函数是（ B ）
A. 1 sin x
B. 1sin x
C. 1 cosx
D. 1cosx
分析： f (x) sin x f (x) cos x C1
ex
F(ex ) C
故选C
不定积分
练 习
(
1 s in 2
x
1)d
(sin
x)
____
A
A. 1 sin x C
sin x
B. 1 sin x C
sin x
C. cotx sin x C D. cotx sin x C
分析： 1
1
(sin2
1)d(sin x) x
sin2
x d sin x 1d sin x
函数积分的代数和.
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
y 3x2dx x3 C
又 积分曲线族过 (1,2)点
2 1C
即C 1 故所求曲线的方程为y x3 1
不定积分
三、基本积分公式
1、 0dx C 2、x dx 1 x1 C
1
3、 1x dx ln | x | C
4、axdx 1 ax C ln a
5、exdx ex C