江西省宜春市上高二中2020-2021学年高二年级上学期数学(理)期末考试试题

2020年江西省宜春市上高中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知=（）A．f′（x0）B．f′（x0）C．2f′（x0）D．﹣f′（x0）参考答案：C【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x0），∴=2f′（x0），故选C．2. 某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装电话，调查的结果如表所示，则该小区已安装电话的户数估计有（）A．300户B．6500户C．9500户D．19000户参考答案：C 【考点】总体分布的估计．【专题】概率与统计．【分析】首先根据图表提供的数据算出200户居民中安装电话的频率，用总住户乘以频率即可．【解答】解：由图表可知，调查的200户居民中安装电话的有95户，所以安装电话的居民频率为95：200根据用户样本中已安装电话的频率得：20000×=9500．所以该小区已安装电话的住户估计有9500（户）．故选C．【点评】本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的频率分布估计总体的分布，解答此类问题的关键是利用频率相等，是基础题3. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x +≥1+2=3，当且仅当e x =时，f （x ）=（e x ）*的最小值为3．故选：B．4. 设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）A．直线l过点B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在﹣1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制．【解答】解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确，两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B不正确，直线斜率为负，相关系数应在（﹣1，0）之间，故C不正确，所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D不正确，故选A．【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，是一个基础题．5. 数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，这个小组的平均分是（）A．97.2 B．87.29C．92.32 D．82.86参考答案：B略6. 已知实数满足，则的最大值为（）A．4 B．3 C. 0 D．2参考答案：A由已知不等式组，画出可行域如图所示，阴影部分，其中，令有表示经过原点的直线，由有，当直线的纵截距有最大值时，就有最大值，所以直线经过点B时，纵截距有最大值，的最大值为，选A.7. 在△ABC中,,,则（）A．B．C． D．1参考答案：B略8. 已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF1⊥x轴进而可得M的坐标，则MF1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF2．【解答】解：已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，M（3，，则MF1=，故MF2=，故F1到直线F2M的距离为．故选C．9. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.参考答案：C略10、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3D．6∶5∶4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是________．参考答案：12. 设f（t）=，则f（﹣3）= ．（用数字作答）参考答案：﹣341【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，f（t ）==，代入计算，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（t）==，∴f（﹣3）==﹣341．故答案为：﹣341．13. 抛物线的准线与轴的交点为K，抛物线的焦点为F，M是抛物线上的一点，且，则△MFK的面积为 .参考答案：14. 对于三次函数的导数，的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：函数的对称中心为 .参考答案：15. 双曲线﹣y 2=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．参考答案：2, y=±x.【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ．16. 设变量满足,则目标函数的最小值为（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：C 略17. 二项式展开式中的常数项为______．参考答案：【分析】结合二项展开式的通项公式，计算常数项对应的r 的值，代入，计算系数，即可．【详解】该二项展开式的通项公式为，要使得该项为常数项，则要求，解得，所以系数为【点睛】考查了二项展开式的常数项，关键表示出通项，计算r 的值，即可，难度中等．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年宜春市上高二中高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.用最小二乘法得到一组数据(x i ,y i )其中i =1，2，3，4，5的线性回归方程为y ̂=bx +3，若∑x i 5i=1=25，∑y i 5i=1=65，则回归系数b =( )A. 3B. 2C. 4D. 以上都不对2.甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示． 甲乙98 8 3 3 7210 9●9老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清．若从{0,1,2,…,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为( )A. 110B. 19C. 15D. 453. 若二次函数f(x)=k(x +1)(x −2)的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点或焦点，则k =( )A. √3B. ±√3C. √32 D. ±√324. 甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是( )A. 16B. 13C. 12D. 235. 过点P(1,√2)的直线l 将圆(x −2)2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于( )A. −√22B. √22C. −12D. 126. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，且α∩β=l ，则下列命题正确的是 ( ) A. 若m//α，n//β，则m//n//l B. 若m//α，n ⊥l ，则m ⊥n C. 若m ⊥α，n//β，则n ⊥lD. 若m ⊥α，n//l ，则m ⊥n7. 执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为( )．A. n≤5B. n≤6C. n≤7D. n≤88. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A. B. C. D.9. 在区间[−1,1]上任取两个数x，y，则点P(x,y)落在以原点为圆心，12为半径的圆内的概率是()A. π16B. π8C. π4D. π210. 8.直线与抛物线交于两点(点在第一象限)，为抛物线的焦点，则的值()A. 与的值有关B. 与的值有关C. 与的值都有关D. 与的值都有无关11. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M(点A对应实数0，点B对应实数1)，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．给出下列命题：①f(14)=1；②f(12)=0；③f(x)是奇函数；④f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是()A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④12. 已知点F 为双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA 与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ，若FA ⃗⃗⃗⃗ =(√3−1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则此双曲线的离心率是( ) A. √2B. √3C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有16件，那么此样品容量为n =______．14. 已知椭圆x 216+y24=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为______． 15. 给出下列命题：①函数f(x)=log a (2x −1)−1的图象过定点(1,0)；②已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=x(x +1)，则f(x)的解析式为f(x)=x 2−|x|；③若log a 12<1，则a 的取值范围是(0,12)∪(2,+∞)； 其中所有正确命题的序号是______ ．16. 把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知圆C 的方程是(x −1)2+(y −1)2=4，直线l 的方程为y =x +m ，求：当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1=AC =BC ，∠ACB =90°，P 是AA 1的中点，Q 是AB 的中点． (1)求异面直线PQ 与B 1C 所成角的大小；(2)若直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为12，求四棱锥C −BAPB 1的体积．19. 如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据(单位：百万件)年份 2011 2012 2013 2014 2015 年份代码12 3 45快递业务总量 34 557185 105(Ⅰ)在图中画出所给数据的折线图；(Ⅱ)建立一个该市快递量y 关于年份代码x 的线性回归模型； (Ⅲ)利用(Ⅱ)所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量． 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：斜率：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i−x)2，纵截距：a ^=y −b ^x ．20. 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．分组频率[1.00,1.05)[1.05,1.10)[1.10,1.15)[1.15,1.20)[1.20,1.25)[1.25,1.30)(1)在题中表格中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．21. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．(1)求证：BB1⊥平面ABC；(2)求直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求A 1B 1与平面DCA 1所成角的余弦值．22. 已知点P(−1,32)是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴． (1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<4，且λ≠2)，求直线AB 的斜率． (3)在(2)的条件下，当△PAB 面积取得最大值时，求λ的值．参考答案及解析1.答案：B解析：解：因为∑x i 5i=1=25，∑y i 5i=1=65，所以x −=255=5，y −=655=13，因为回归直线经过样本中心，所以13=5b +3，解得b =2， 故选：B ．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，然后求解即可． 本题考查回归直线方程的应用，是基础题．2.答案：A解析：解：甲的平均分为88+89+90+91+925=90设●为x ，则乙的平均分为83+83+87+90+x+995令83+83+87+90+x+995>90，则x >8，即x =9∴从{0,1,2,…,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110 故选A ．计算甲、乙的平均分，建立不等式，求出满足题意的数字，即可求得概率． 本题考查概率的计算，考查茎叶图，考查计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，二次函数的简单性质的应用，属于基础题．求出二次函数与x 轴的交点，得到a ，c ，然后求解b ，即可求解二次函数当x =0时的y 值，然后求解k 即可．解：二次函数f(x)=k(x +1)(x −2)过点(−1,0),(2,0)， 二次函数的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点或焦点，可得c =1，a =2，则b =√3， 则二次函数过点(0,√3)或(0,−√3)， 所以f (0)=−2k =±√3， 解得k =±√32．故答案选：D．4.答案：B解析：解：甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，基本事件总数n=A33=6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数C21C11C11=2，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率p=mn =26=13．故选：B．基本事件总数n=A33=6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数C21C11C11=2，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率．本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：如图示，由图形可知：点P(1,√2)在圆(x−2)2+y2=4的内部，圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小，则直线l⊥OP，所以k l=−1k OP =−1−√2=√22．故选：B．先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所在的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．6.答案：D解析：解：A.由m//α，n//β，则m//n//l不一定成立；B.若m//α，n⊥l，由于n⊥α不一定成立，因此m⊥n不一定成立；C.若m⊥α，n//β，则n⊥l不成立；D .若m ⊥α，则m ⊥l ，又n//l ，则m ⊥n ，正确． 故选：D ．利用线面平行垂直的判定定理与性质定理即可判断出．本题考查了线面平行垂直的判定定理与性质定理，考查了推理能力，属于中档题．7.答案：B解析：依据程序框图知，1+2+22+⋯+2n =127，则=127，2n+1=128，∴n =6.因此条件①应为n ≤6．8.答案：C解析：试题分析：把原来的几何体补成以为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，，，．考点：1.补体法；2.几何体与外接球之间的元素换算．9.答案：A解析：解：由题意，在区间[−1,1]上任取两个数x ，y ，对应区域是边长为2的正方形，面积为4， 则点P(x,y)落在以原点为圆心，12为半径的圆内，对应区域面积为π(12)2=π4； 所以由几何概型的公式得到所求的概率是：π44=π16；故选A ．由题意，本题是几何概型，由于是两个变量，所以利用区域的面积比求概率．本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的几何测度为变量对应区域的面积；利用面积比求得概率．10.答案：A解析：解：由直线方程y =2kx −kp 得：y =k(2x −p)，所以直线恒过抛物线的焦点F联立 得：设 ，所以 ①由题意知，=，令=m，则②将②代入①得：所以m的值与k有关，故选A．11.答案：D解析：解：如图，因为M在以(1,1−12π)为圆心，12π为半径的圆上运动，对于①当m=14时．M的坐标为(−12π,1−12π)，直线AM方程y=x+1，所以点N的坐标为(−1,0)，故f(14)=−1，则①错；对于②，当m=12时，对应的点在点A的正下方，此时点N(0,0)，所以f(12)=0，则②对；对于③，因为实数m所在区间(0,1)不关于原点对称，所以f(x)不存在奇偶性．则③错；对于④，当实数m越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N(n,0)也越来越往右，即n也越来越大，所以f(x)在定义域上单调递增，则④对．其中正确的为②④．故选D．由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，①m=14此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标；②当m=12时，对应的点在点A的正下方，即可求出n；③可由奇函数的定义域关于原点对称来确定正误；④可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性．本题考查映射的概念，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对四个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，题目较抽象．解析：由题意可得点F(c,0)，设点A(0,b)，求得直线AF 的方程，联立渐近线方程，求得交点B 的横坐标，由向量的坐标表示可得a ，c 的关系，由离心率公式可得所求值．本题考查了双曲线的方程和性质应用问题，主要是渐近线方程和离心率的求法，是基础题． 解：由题意可得F(c,0)，设A(0,b)， 直线FA 的方程为bx +cy −bc =0，与双曲线的渐近线y =−ba x 的交点B 横坐标为x =aca−c ， 由FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得−c =(√3−1)⋅aca−c ， 化为c =√3a ，即离心率为e =ca =√3． 故选B ．13.答案：72解析：解：由于A 型号产品的样本数为16，A 型号产品所占的比例为22+3+4，故样本容量n =16÷22+3+4=72，故答案为：72．用A 型号产品的样本数16，除以A 型号产品所占的比例22+3+4，即得样本容量n 的值．本题考查分层抽样的定义和方法，用A 型号产品的样本数除以A 型号产品所占的比例，即得样本容量．14.答案：2解析：解：由已知椭圆的方程可得a 2=16，所以a =4， 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，则由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a =8， 不妨设|PF 1|=6，则|PF 2|=2， 即点P 到另一个焦点的距离为2， 故答案为：2．先由椭圆的方程求出a 的值，然后根据椭圆的定义即可求解． 本题考查了椭圆的定义，属于基础题．解析：解：当x=1时，函数f(x)=−1恒成立，故函数f(x)=log a(2x−1)−1的图象过定点(1,−1)，故①错误；∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，∴当x>0时，f(x)=x(x−1)，综上可得：f(x)的解析式为f(x)=x2−|x|；故②正确；若log a12<1，则a∈(0,12)∪(1,+∞)，故③错误；故答案为：②求出函数f(x)=log a(2x−1)−1的图象所过定点，可判断①；求出函数的解析式，可判断②；求出满足条件的a的范围，可判断③．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数解析式等知识点，难度中档．16.答案：572解析：解：如图，设三个半径为9的球的球心分别为A、B、C，半径为19的球的球心为D，连接AB、BC、AC、AD、BD、CD，则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G，可得BG=23√182−92=6√3，三棱锥D−ABC为正三棱锥，侧棱DB=28，则DG=√282−(6√3)2=26．再设大球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上，要使大球与四个小球都内切，则OD+19=OB+9，设OB=x，则OG=√x2−(6√3)2=√x2−108，∴OD=DG−OG=26−√x2−108，则26−√x2−108+19=x+9，解得x=392．∴大球的半径为x+9=392+9=572．故答案为：572．由题意画出图形，利用大球与四个小球内切，结合半径相等列式即可求解．本题考查球与球位置关系的应用，考查多面体外接球半径的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.答案：解：由圆的方程(x −1)2+(y −1)2=4，得到圆心坐标为(1,1)，圆的半径r =2，(1)当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把(1,1)代入y =x +m 中，解得m =0； (2)当直线与圆相切时，圆心(1,1)到直线x −y +m =0的距离d =√2=r =2，解得m =±2√2；(3)当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心(1,1)到直线的距离d =√2<r =2，解得：−2√2<m <2√2．所以，当m =0时，直线平分圆；当m =±2√2时，直线与圆相切；当−2√2<m <2√2时，直线与圆有两个公共点．解析：本题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，属于中档题．(1)根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m 的值；(2)直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，让d 等于圆的半径列出关于m 的方程，求出方程的解即可得到符合题意m 的值； (3)直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，让d 小于圆的半径列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m 的范围．18.答案：解：(1)以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CC 1为X ，Y ，Z 轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设CC 1=AC =BC =2．依题意，可得点的坐标P(2,0,1)，Q(1,1,0)，B 1(0,2,2)． 于是，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−2)． 由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则异面直线PQ 与B 1C 所成角的大小为π2．(2)连接CQ.由AC =BC ，Q 是AB 的中点，得CQ ⊥AB ； 由AA 1⊥面ABC ，CQ ⊊面ABC ，得CQ ⊥AA 1． 又AA 1∩AB =A ，因此CQ ⊥面ABB 1A 1由直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为12⇒CC1=AC=BC=1.可得CQ=√22．所以，四棱锥C−BAPB1的体积为V C−BAPB1=13⋅CQ⋅S BAPB1=13⋅√22⋅[12(12+1)⋅√2]=14．解析：(1)以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线PQ与B1C的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线PQ与B1C所成角的大小；(2)连接CQ.由AC=BC，由已知中，Q是AB的中点，AA1⊥面ABC，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到CQ⊥AB，CQ⊥AA1，进而根据线面垂直的判定定理，得到CQ⊥面ABB1A1，故C Q即为四棱锥C−BAPB1的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，棱锥的体积，其中(1)的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题，而(2)的关键是根据线面垂直的判定定理，得到CQ为棱锥的高．19.答案：解：(Ⅰ)所给数据的折线图如下：(Ⅱ)可得x=3，y=70，b^=(1−3)(34−70)+(2−3)(55−70)+(3−3)(71−70)+(4−3)(85−70)+(5−3)(105−70)(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2，=72+15+0+15+704+1+0+1+4=17210=17.2，a^=70−17.2×3=18.4，∴y与x的回归模型为：y^=17.2x+18.4．(Ⅲ)把2016年的年份代码x=6代入回归模型得ŷ=17.2×6+18.4=121.6(百万件)，∴预计该市2016年的快递业务总量约为121.6百万件．解析：(Ⅰ)根据表中所给的数据，得到点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图；(Ⅱ)先求出年份代码x和快递量y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；(Ⅲ)先求得2016年对于的年份代码，代入线性回归方程，即可求得该市2016年的快递业务总量．本题考查散点图，考查线性回归方程的求法，考查利用线性回归方程进行预测，属于基础题．20.答案：解：(1)根据频率分布直方图可知，频率=组距×(频率/组距)，故可得下表分组频率[1.00,1.05)0.05[1.05,1.10)0.20[1.10,1.15)0.28[1.15,1.20)0.30[1.20,1.25)0.15[1.25,1.30)0.02(2)0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47．(3)=2000，所以水库中鱼的总条数约为2000条．解析：略21.答案：(1)证明：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，AB∩A1D=D，AB，A1D在平面AA1B1B内．∴CD⊥平面AA1B1B，又BB1在平面AA1B1B.∴CD⊥BB1，又BB1⊥AB，AB∩CD=D，AB，CD在平面ABC内，∴BB1⊥平面ABC．(2)解：连接BC1，B1C交于O点，连接OD，则OD//AC1，所以∠A 1DO 为异面直线AC 1与A 1D 所成角或其补角，在△A 1DO 中，A 1D =√4+(√2)2=√6,A 1O =√4+(√2)2=√6,OD =√2, cos∠A 1DO =2×√6⋅√2=√36， 故直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为√36；(3)解：∵CD ⊥平面ABB 1A 1，CD 在平面A 1CD ， ∴平面A 1CD ⊥平面ABB 1A 1， 作B 1E ⊥A 1D 交A 1D 于E ，∵平面A 1CD ∩平面ABB 1A 1=A 1D ，B 1E 在平面ABB 1A 1， 则B 1E ⊥面A 1CD ，则∠B 1A 1E 为A 1B 1与平面DCA 1所成角，在△A 1DB 1中，A 1D =√6，A 1B 1=2√2，B 1D =√6， cos∠B 1A 1E =2√6⋅2√2=√33， 则A 1B 1与平面DCA 1所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线面、面面垂直的判定和性质，考查空间异面直线所成的角和直线与平面所成的角，考查运算能力，属于中档题．(1)运用线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)连接BC 1，B 1C 交于O 点，连接OD ，则OD//AC 1，所以∠A 1DO 为异面直线AC 1与A 1D 所成角或其补角，在△A 1DO 中，运用余弦定理即可得到；(3)由面面垂直的性质定理，作B 1E ⊥A 1D 交A 1D 于E ，则B 1E ⊥面A 1CD ，则∠B 1A 1E 为A 1B 1与平面DCA 1所成角，在△A 1DB 1中运用余弦定理即可得到．22.答案：解：(Ⅰ)∵PF 1⊥x 轴，∴F 1(−1,0)，c =1，F 2(1,0)，∴|PF 2|=√22+(32)2=52，∴2a =|PF 1|+|PF 2|=4，∴a =2，∴b 2=3，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1.…(3分)(2)证明：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<4，且λ≠2)，得(x 1+1,y 1−32)+(x 2+1,y 2−32)=λ(1,−32)， ∴x 1+x 2=λ−2，y 1+y 2=32(2−λ)…①…(5分)又{x 224+y 223=1x 124+y 123=1，两式相减得3(x 1+x 2)(x 1−x 2)+4(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0…..②以①式代入可得AB 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=12.…(8分)(3)设直线AB 的方程为y =12x +t ，与3x 2+4y 2=12联立消去y 并整理得 x 2+tx +t 2−3=0，△=3(4−t 2)，|AB|=√1+k 2|x1−x2|=√1+14×√3(4−t 2)=√152×√4−t 2，点P 到直线AB 的距离为d =√5，△PAB 的面积为S =12|AB|×d =√32×√4−t 2|t −2|，…(10分)设f(t)=S 2=−34(t 4−4t 3+16t −16)(−2<t <2)，f′(t)=−3(t 3−3t 2+4)=−3(t +1)(t −2)2，由f′(t)=0及−2<t <2得t =−1． 当t ∈(−2,−1)时，f′(t)>0，当t ∈(−1,2)时，f′(t)<0，f(t)=−1时取得最大值814， 所以S 的最大值为92．此时x 1+x 2=−t =1=λ−2，λ=3.…(12分)解析：(Ⅰ)由PF 1⊥x 轴，求出2a =|PF 1|+|PF 2|=4，由此能求出椭圆E 的方程．(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<4，且λ≠2)，得x 1+x 2=λ−2，y 1+y 2=32(2−λ)，再由3(x 1+x 2)(x 1−x 2)+4(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，由此能求出AB 的斜率．(3)设直线AB 的方程为y =12x +t ，与3x 2+4y 2=12联立得x 2+tx +t 2−3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB 的面积为S =√32×√4−t 2|t −2|，设f(t)=S 2=−34(t 4−4t 3+16t −16)(−2<t <2)，求出f′(t)=−3(t +1)(t −2)2，由f′(t)=0及−2<t <2得t =−1.由此能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、导数等知识点的合理运用．。

2020-2021学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足：（1﹣i）z＝1+i，其中i为虚数单位（）A．（0，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，0）2．（5分）设集合，集合B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣3，1）C．（1，2）D．（﹣3，+∞）3．（5分）已知x＝lg2，y＝ln3，z＝0.2﹣0.6，则x，y，z的大小关系为（）A．y＜x＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．x＜y＜z4．（5分）设，为非零向量，则“|+|+||”是“与（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣16．（5分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则（）A．3B．8C．12D．169．（5分）设函数在上单调递减，则下述结论：①f（x）关于中心对称；②f（x）关于轴对称；③f（x）在上的值域为；④方程f（x）＝1在[0，2π]有4个不相同的根．其中正确结论的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④10．（5分）某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，因特殊原因，电梯只能停在某一层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（）A．7B．8C．9D．1011．（5分）已知双曲线C：的左焦点为F，A、B为双曲线的左、右顶点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，BC1⊥α，点E、F分别为AA1，CC1的中点，，若α∩平面ABCD＝m，α∩平面EFG＝n（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省宜春市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在中，若，则是（ ）A . 有一内角为 30°的直角三角形B . 等腰直角三角形C . 有一内角为 30°的等腰三角形D . 等边三角形2. （2 分） 已知数列{an}满足， 其中 为实常数，则数列{an}（ ）A . 不可能是等差数列，也不可能是等比数列B . 不可能是等差数列，但可能是等比数列C . 可能是等差数列，但不可能是等比数列D . 可能是等差数列，也可能是等比数列3. （2 分） (2017 高二上·长春期中) 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为 （）A.B. C.2 D.4 4. （2 分） (2018 高二上·抚顺期中) 下列说法错误的是（ ） A . 命题“若 x2－4x＋3＝0，则 x＝3”的逆否命题是：“若 x≠3，则 x2－4x＋3≠0” B . “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件第 1 页 共 12 页C . 若 p 且 q 为假命题，则 p、q 均为假命题 D . 命题 p：“∃ x0∈R 使得 ＋x0＋1<0”，则 p：“∀ x∈R，均有 x2＋x＋1≥0”5. （2 分） 已知向量与垂直，则实数 的值为（ ）A.-B.C.-D.6. （2 分） 已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点，线 与双曲线的一条渐近线平行，椭圆 与双曲线 的离心率分别为， 椭圆的一个短轴端点为 ， 直 ， 则 取值范围为（ ）A.B.C.D.7. （2 分） (2018·荆州模拟) 下列命题正确的是（ ）A . 命题“”为假命题，则命题 与命题 都是假命题；B . 命题“若，则”的逆否命题为真命题；C.“”是“”成立的必要不充分条件；D . 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.8. （2 分） (2019 高三上·静海月考) 已知 是数列 A . 72的前 项和，且第 2 页 共 12 页，则（ ）．B . 88C . 92D . 989. （2 分） 在中，角 、 、 所对的边分别为，若，A.，则 （ ）B.C.D.10. （2 分） (2017·张掖模拟) 等差数列{an}中， （）是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为A.1B.C.D.11. （2 分） 已知正项等比数列 值为（ ）满足。

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1. 直线y＝x+1的倾斜角是（）A. B. C. D.2. 命题“∀a∈R，a2>0或a2＝0”的否定形式是（）A.∀a∈R，a2≤0B.∀a∈R，a2≤0或a2≠0C.∃a0∈R，a02≤0或a02≠0D.∃a0∈R，a02<03. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（）A.√3B.√5C.2D.√52 4. 平行线3x+4y−9=0和6x+my+2=0的距离是()A.8 5B.2C.115D.755. 直线ax−y−2a−1＝0与x2+y2−2x−1＝0圆相切，则a的值是（）A.2B.C.1D.6. 已知P是直线x+2y−1＝0上的一个动点，定点M(1, −2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是（）A.x+2y+1＝0B.2x−y+1＝0C.x+2y+7＝0D.2x−y+7＝07. 若条件p:|x−1|≤1，条件q:x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.a≥2B.a≤2C.a≥−2D.a≤−28. 过抛物线y2＝6x的焦点作一条直线与抛物线交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，若x1+x2＝3，则这样的直线（）A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条9. 已知A(−1, 0)，B(1, 0)和圆C:x2+(y−2)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P满足，则r的取值范围是（）A.(0, 1]B.(0, 3]C.[1, 3]D.[1, +∞)10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为(−4, 0)，则菱形判断框内可填入的条件是（）A.k≤2B.k>2C.k<4D.k≥411. 如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为a，b，c，则（）A.b>a>cB.a>b>cC.D.12. 已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，若，，则双曲线的离心率e＝（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）)13. 在空间直角坐标系中，点P的坐标为(−1, 2, −3)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是________．14. 已知圆C：(x−1)2+(y−2)2＝9，圆C以(−1, 3)为中点的弦所在直线的斜率k＝________．15. F是抛物线y2＝4x的焦点，过F的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝10，则△OAB的面积为________．16. 已知△ABC中，B(−1, 0)，C(1, 0)，k1，k2分别是直线AB和AC的斜率．关于点A有如下四个命题：＝1上的点，则k1⋅k2=2．①若A是双曲线x2−y22+y2＝1上的点．②若k1⋅k2=−2，则A是椭圆x22③若k1⋅k2=−1，则A是圆x2+y2=1上的点．④若|AB|=2|AC|，则A点的轨迹是圆．其中所有真命题的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17. 如图，△ABC中，顶点A(1, 2)，BC边所在直线的方程为x+3y+1＝0，AB边的中点D在y轴上．（1）求AB边所在直线的方程；（2）若|AC|＝|BC|，求AC边所在直线的方程．18. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？参考公式：＝，＝-．19. 已知命题p：“存在a∈R，使函数f(x)＝x2−2ax+1在[1, +∞)上单调递增”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，x2−ax+1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．20. 如图，已知以点A(−1, 2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切．过点B(−2, 0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当|MN|＝时，求直线l的方程．21. 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F1AB的面积为时，求直线l的斜率．22. 如图，已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(2p, 0)作直线l交抛物线C 于A，B两点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)．（1）若x1⋅x2＝4，求抛物线C的方程；（2）若直线l与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点M，直线BF交抛物线C于另一点N．求证：直线l与直线MN斜率之比为定值．参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【解析】根据题意，设直线的倾斜角为θ，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得tanθ＝1，据此分析可得答案．2.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．3.【答案】D【解析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．4.【答案】B【解析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．5.【答案】C【解析】根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．6.【答案】C【解析】设P(m, n)，Q(x, y)，由题意可得M(1, −2)为线段PQ的中点，运用中点坐标公式和代入法，化简可得所求轨迹方程．7.【答案】A【解析】先利用绝对值不等式的解法将条件p等价转化，然后再利用充分条件与必要条件的定义将问题转化为集合关系，求解即可．8.【答案】A【解析】设AB的方程为x＝ty+，联立抛物线于直线AB的方程，由x1+x2＝t(y1+y2)+3＝3，求得t即可判断直线AB的条数．9.【答案】C【解析】利用向量垂直得到点P的轨迹是以A(−1, 0)，B(1, 0)为直径的圆，求出圆的方程，由两圆有公共点，列出不等关系，求解即可．10.【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出(x, y)，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．11.【答案】B【解析】由频率分布直方图分别求出众数、中位数、平均数，由此能求出结果．12.【答案】C【解析】设|BF1|＝m，由双曲线的定义可求得|BF2|和|AF2|，在△ABF2中，由余弦定理可推出m ＝a，再由勾股定理的逆定理可证得∠ABF2＝90∘，然后在Rt△BF1F2中，利用勾股定理可得5a2＝2c2，从而得解．二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）13.【答案】(0, 2, −3)【解析】点P(a, b, c)在平面yOz的射影为Q(0, b, c)．14.【答案】2【解析】根据题意，求出圆C的圆心的坐标，设P(−1, 3)，要求斜率的弦所在的直线为l，求出k CP，由垂径定理分析可得答案．15.【答案】【解析】求出F的坐标，利用抛物线的定义求出点A的坐标，进而求出直线AB的方程，并与抛物线方程联立求出点B的坐标，即可求解．16.【答案】①③④【解析】①求出斜率验证即可；②求出动点轨迹方程对比即可；③求出动点轨迹方程对比即可；④求出动点轨迹方程验证即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】因点B在直线x+3y+1＝3上，不妨设B(−3a−1，由题意得(−8a−1)+1＝7，解得a＝0，所以B的坐标为(−1, 4)，故AB边所在直线的方程为，即x−y+1＝0；因|AC|＝|BC|，所以点C在线段AB的中垂线x+y−6＝0上由，解得x＝2，即C的坐标为(2，又点A(5, 2)，∴AC边所在直线的方程为，即3x+y−8＝0．【解析】（1）利用点B在直线上，设B(−3a−1, a)，利用中点坐标公式，求出点B的坐标，然后再由两点式求出直线方程即可；（2）联立两条直线的方程，求出交点坐标即点C，再由两点式求出直线方程即可．18.【答案】由对应数据，计算得，，＝0.5，，所求的回归方程为；取x＝100，得，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低70−61＝5（吨标准煤）．【解析】（1）由已知数据可得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x＝100求得即可．19.【答案】若p为真，则对称轴，+∞)的左侧．若q为真，则方程x2−ax+1＝0无实数根．∴△＝(−2a)2−4<4，∴−1<a<1．∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，∴−7<a<1．故实数a的取值范围为(−1, 7)．【解析】根据条件求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．20.【答案】设圆A的半径为r．由于圆A与直线相切，∴，∴圆A的方程为(x+5)2+(x−2)2＝20．①当直线l与轴x垂直时，易知x＝−2不符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．即kx−y+7k＝0．点A到l的距离．∵，∴，则由，得k＝1或k＝7，故直线l的方程为x−y+2＝0或5x−y+14＝0．【解析】（1）通过圆A与直线相切，求出圆的半径，然后得到圆的方程．（2）①当直线l与轴x垂直时，验证即可，②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．利用点A到l的距离．结合圆的半径，弦心距以及半弦长满足勾股定理，转化求解k，得到直线方程．21.【答案】因为椭圆过点，所以．①又因为离心率为，所以，所以．②解①②得a3＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程为．设直线方程为y＝k(x−5)，A(x1, y1)，B(x5, y2)，由得(4k6+3)x2−2k2x+4k3−12＝0，则△＝42×32(k5+1)>0，且，，所以＝|k|∗|x2−x2|＝＝＝，即25k4−23k5−54＝0，解得k2＝6或（舍去），所以所求直线的斜率为或．【解析】（1）由椭圆经过点，离心率，列方程组，解得a，b，c，进而可得椭圆的方程．（2）设直线方程为y＝k(x−1)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1x2，x1+x2，再计算＝，解得k，即可说得出答案．22.【答案】设直线l的方程为x＝my+2p，代入y2＝5px得y2−2pmy−3p2＝0，则△＝4p2(m2+5)>0，且，，得p＝1．∴抛物线C的方程为y8＝4x．证明：M(x3, y8)，N(x4, y4)．由（1）同理可得，．又直线l的斜率，直线MN的斜率，∴，又因，∴，故直线l与直线MN斜率之比为定值．【解析】（1）设直线l的方程为x＝my+2p，代入y2＝2px，得y2−2pmy−4p2＝0，利用韦达定理，求解p，推出抛物线方程．（2）M(x3, y3)，N(x4, y4)．由（1）同理可得，．求解斜率，利用斜率比值关系，化简求解即可．。

江西省上高二中2020-2021学年上学期高二年级第三次月考（12月）数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∀x＞2，x2+e x≥0”的否定是（）A．∀x＞2，x2+e x≤0 B．∃x0≤2，x02+0x e＜0C．∃x0＞2，x02+0x e＜0 D．∀x≤2，x2+e x＜02．把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD一定是一个（）A.菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形3．设双曲线C：2221yxb-=（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则离心率e＝（）A． B．2 C． D．4．已知直线a，b和平面α，β，满足a⊂α，b⊂β，则“a和b相交”是“α和β相交”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线2ax﹣by+2＝0被x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0截得弦长为6，则ab的最大值是（）A．9 B．4 C． D．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的对应点为P，点A、B、C在俯视图上的对应点为A、B、C，则PA与BC所成角的余弦值为（）A ．5 B ．5 C ．2D ．2 7．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点是M （﹣4，1），则椭圆的离心率是（ ）A ．5 B ．2 C ．2 D ．128．设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是（ ）①m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ；②α∥γ，β∥γ，则α∥β；③m ∥l ，m ∥α，则l ∥α； ④l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；⑤m ⊂α，m ∥β，l ⊂β，l ∥α，则α∥β． A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．双曲线22:194x y C -=的左、右焦点为F 1、F 2，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ|的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．不确定，随P 点位置变化而变化10．如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）A.y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝x11．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下面结论不正确的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．平面ACC 1A 1⊥CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （﹣a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S ＝（ ） A ．4 B ．8 C． D．二、填空题（共4小题, 每小题5分，共20分）13．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2＞a ”，命题q ：“方程x 2+2ax+2＝0没有实根”，若命题“p 且￢q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．14．△ABC 的两个顶点为A （0，0），B （6，0），顶点C 在曲线y ＝x 2+3上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ．15．已知椭圆22:143x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为 。

2021-2022学年宜春市上高二中高二上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=2−4|x −12|；当x >1时，f(x)=af(x −1)，a ∈R ，a 为常数．下列有关函数f(x)的描述： ①当a =2时，f(32)=4；②当|a|<1，函数f(x)的值域为[−2,2]；③当a >0时，不等式f(x)≤2a x−12在区间[0,+∞)上恒成立；④当−1<a <0时，函数f(x)的图象与直线y =2a n−1(n ∈N ∗)在[0,n]内的交点个数为n −1+(−1)n2．其中描述正确的个数有( )A. 4B. 3C. 2D. 12.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则5个剩余分数的方差为A.1169B. 367C. 6D. 303.已知条件p ：x 2−x <0，条件q ：x+1x−1≤0，则p 是q 成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，若BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y +z 的值为( )A. 3B. 1C. −1D. −35.若直线与圆C ：相交，则点的位置是( )A. 在圆C 外B. 在圆C 内C. 在圆C 上D. 以上都可能6.已知F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点，点M为椭圆上一点，且△MF1F2为等边三角形，则该椭圆的离心率的值为()A. 13B. 12C. √33D. √327.平面a//平面b，AB，CD是夹在a和b之间的两条线段，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与a的关系是．A. 平行B. 相交C. 垂直D. 不能确定8.如图所示的算法流程图中，第2个输出的数是()A. B. C. D.9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 6π7B. πC. 7π6D. 2π10.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为()A. 116B. 18C. 14D. 411.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm，高为12cm.现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计).如果每0.5kg涂料可以涂1m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料()A. 1.23kgB. 1.76kgC. 2.46kgD. 3.52kg12.已知双曲线E：x24−y2b2=1(b>0)，过双曲线E右焦点且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，设点A，B到双曲线E同一条渐近线的距离分别为d A，d B，且d A+d B=4√3，则双曲线E的方程是()A. x24−y23=1 B. x24−y2√3=1 C. x24−y22√3=1 D. x24−y212=1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一150人、高二120人、高三180人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是______ ．14.若双曲线x225−y216=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离是______．15.下列说法正确的为______ ．①集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a−1}，若B⊆A，则−3≤a≤3；②函数y=f(x)与直线x=1的交点个数为0或1；③函数y=f(2−x)与函数y=f(x−2)的图象关于直线x=2对称；④a∈(14,+∞)时，函数y=lg(x2+x+a)的值域为R；⑤与函数y=f(x)−2关于点(1,−1)对称的函数为y=−f(2−x)．16.已知四面体P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=2√2，PB=AB=2，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的方程为x2+y2−2x−4y+5−m=0(m>0)．(1)求圆心C的坐标；(2)若直线l：3x+4y+9=0与圆C相切，求实数m的值．18.已知集合A是函数y=√20−8x−x2B是不等式x2−2x+1−a2≥0(a>0)的解集，p：x∈A，q：x∈B．(1)求集合A，集合B；(2)若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y(百件)与返还点数t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程ŷ=b̂t+â，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：(i)求这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值x 的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；(ii)将对返还点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：①b̂=∑t i n i=1y i −nt −y−∑t i 2n i=1−nt−2，a ̂=y −−b ̂t −；②∑t i 5i=1y i =18.8．20. 已知平面直角坐标系xOy 内两个定点A(1,0)，B(4,0)，满足|PB|=2|PA|的点P(x,y)形成的曲线记为Γ． (1)求曲线Γ的方程；(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点，当△COD 的面积最大时，求直线l 的方程(O 为坐标原点)； (3)设Q 点为A ，B 的中垂线上一个动点，过点Q 作曲线Γ的两条切线QM ，QN ，M ，N 分别为切点，连接直线MN ，是否存在定点E 始终在动直线MN 上，若存在请求出此定点E 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 如图，在正四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1=a ，AB =2a ，AA 1=√2a ，E 、F 分别是AD 、AB的中点．(Ⅰ)求证：平面EFB 1D 1//平面BDC 1； (Ⅱ)求证：A 1C ⊥平面BDC 1．注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．22. 如图，已知椭圆x24+y23=1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．(Ⅰ)若点G的横坐标为−14，求直线AB的斜率；(Ⅱ)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．。

【高二】江西省宜春市2021 2021学年高二上学期期末统考试题（数学理）【高二】江西省宜春市2021-2021学年高二上学期期末统考试题（数学理）试卷描述：第ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式的解集是()a．b．c．d．3.命题“存在使得”的否定是（）a．存在使得b．存在使得c．对于任意的d．对于任意的6.，则方程表示的曲线不可能是（）a圆b．椭圆c．双曲线抛物线因为，所以若，方程表示圆若，方程表示轴上的椭圆若，方程表示轴上的双曲线，所以方程表示的曲线不可能是抛物线.考点：1.圆锥曲线标准方程分类讨论思想，若是与的等比中项，则的最小值为（）a．8b．4c．1d．8.与椭圆共焦点，的双曲线方程是（）．bc．d．9.如图，已知为内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是（）ａ．．c．d．成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）a．b．c．d．第ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知数列对于任意有，若，则，，则的最小值为____________.14.已知椭圆的左右焦点为，若存在动点，满足，且的面积等于，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】15.下列命题正确的有.①“一元二次方程”有实数解的一个充分不必要条件是；②命题“，则”的否命题是假命题的解集是，的解集；④数列满足:若是递增数列，则.正确，而④是错误的.考点：1.充分必要条件；2.命题及其关系；3.一元二次不等式；4.数列的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）（1）平面过坐标原点，是平面的一个法向量，求到平面的距离；（2）直线过,是直线的一个方向向量，求到直线的距离.17.（本小题满分12分）在锐角中,角,,对应的边分别是,,.已知.（1）求角的大小；（2）若的面积,,求的值.18.（本小题满分12分）已知，设：函数在上单调递减；：函数在上为增函数.（1）若为真，为假，求实数的取值范围；（2）若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.19.（本题满分12分）已知是等比数列的前项和,、、成等差数列,且（1）求数列的通项公式是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合若不存在说明理由由题意得即解得故数列的通项公式为20.（本小题满分13分）已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先以b为坐标原点，分别以射线bf、bc、ba为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.（2）由（1）得四点共面，，设平面，则不妨令，故，由已知易得平面abcd的一个法向量为∴，设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为…………………………13分.考点：1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.21.（本小题满分14分）已知定点，曲线c是使为定值的点的轨迹，曲线过点.（1）求曲线的方程；（2）直线过点，且与曲线交于，当的面积取得最大值时，求直线的方程；（3）设点是曲线上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交曲线的长轴于点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）和；（3）.试题解析：（1）……2分曲线c为以原点为中心，为焦点的椭圆设其长半轴为,短半轴为,半焦距为，则，曲线c的方程为…………………………………………4分（3）由题意可知：=,=…………10分其中，将向量坐标代入并化简得：m（，……………………12分，所以，………………………………13分，所以………………………………14分每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源11每天发布最有价值的第9题abcdefabfecd(1)(2)江西省宜春市2021-2021学年高二上学期期末统考试题（数学理）。