2018-2019学年江西省宜春市上高二中九年级(上)期末数学试卷

2018-2019九年级上学期末考试数学试题一、精心选一选（每小题3分，共36分）1、下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）MN 上移动时，矩形PAOB 勺形状、大小随之变化，贝U AB 的长度（）A 变大B 变小C 不变D 不能确定&如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A （- 3，0），对称轴为直线x = - 1， 下列结论：① b 2>4ac :②2a + b = 0 ; @ a + b + c>0 ;④若 B （- 5，y 1 ）、C （- 1，y ） 为函数图象上的两点，贝U %<y 2 •其中正确结论是（ ）A ②④B ①③④C ①④D ②③9、 如图，已知AB 是O O 的直径，AD 切O O 于点A ,点C 是EB 的中点，则下列结论： ①OC/ AE ②EC = BC ③/ DAE=Z ABE ④ACLOE 其中正确的有（） A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个10、 某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 81%则平均每场降价（ ）A 10%B 19%C 9.5%D 20%11、 如图，I 是厶ABC 的内心，AI 的延长线和△ ABC 的外接圆相交于点 连接BI ，BD DC 下列说法中错误的一项是（ ） A 线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合 B 线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合 C / CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与/ DAB 重合A B C D 32、 盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同，从中任意拿出一支笔 芯，则拿出黑色笔芯的概率为2 1 2 A -B1 C-3553、 用配方法解一元二次方程X 2-6X +6 = 0时，配方后得到的方程是（）A （X - 3）2=6B （X +3）2=3C （X - 3）2 =3D （X - 3）2 =-34、 抛物线y 二a （x • 1）（x —3）（a = 0）的对称轴是直线（A X = 1B 5、 如图，四边形） x = -1 C x = 3 DABCD 是O O 的内接四边形，若/第5题 6、 已知：如图，则/ BPC 的度数是（ 7、 如图，四边形PAOB 是扇形OMN 勺内接矩形，顶点P 在MN ，且不与M N 重合，当P 点在 四边形 第6题 ABCD 是O O 的内接正方形，点 第8题P 是劣弧上不同于点C 的任意一点, C 75° D 90° 尸x = -3B=110°，则/ ADE 的度数为（ ）D线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合（11题）12、用一个圆心角为120°,半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）1 3A 丄B 1C -D 、2二、细心填一填（每小题3分，共15分）13、把抛物线y = -2（x-1）2+3向右平移2个单位再向下平移5个单位,得到抛物线解析式为_____________________ 。

江西省宜春市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）某反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过点（）A .B .C .D .2. （2分） (2017九上·宜昌期中) 三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A . 11B . 13C . 11或13D . 11和133. （2分）桌面上有三张背面相同的卡片，正面分别写有数字1、2、3．先将卡片背面朝上洗匀．然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字均为奇数的概率是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016九上·宜昌期中) 关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A . k＜1B . k＞1C . k≤1D . k≥15. （2分）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（）A . 7mB . 8mC . 6mD . 9m6. （2分）(2018·浦东模拟) 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A . ；B . ；C . ；D . ．7. （2分）(2020·衢州模拟) 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（）A . 左视图会发生改变，其他视图不变B . 俯视图会发生改变，其他视图不变C . 主视图会发生改变，其他视图不变D . 三种视图都会发生改变8. （2分） (2020八上·上海期末) 如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D．记的面积为，的面积为，则和的大小关系是（）A .B .C .D . 由A、C两点的位置确定9. （2分） (2019九上·上海月考) 如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A . 4.5米B . 6米C . 7.2米D . 8米10. （2分）(2018·吉林模拟) 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA= ，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2017·满洲里模拟) 为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为________ %．12. （1分） (2014·无锡) 已知双曲线y= 经过点（﹣2，1），则k的值等于________．13. （1分） (2017八下·徐汇期末) 2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是________．14. （1分）(2020·连云模拟) 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是________15. （1分）(2017·合川模拟) 如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：①E为AB的中点；②FC=4DF；③S△ECF= ；④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．其中一定正确的是________．16. （1分）在△ABC中，DE∥BC，若△ADE与△ABC的面积之比1：2，则=________ ．三、解答题 (共9题；共70分)17. （10分） (2017八下·嘉兴期中) 请选择适当的方法解下列一元二次方程：（1）（2）18. （5分）如图,一次函数的图象与反比例函数（x>0）的图象交于点P,PA⊥x轴于点A,PB⊥y 轴于点B,一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D,且S△DBP=27,．（1）求点D的坐标;（2）求一次函数与反比例函数的表达式;（3）根据图象写出当x取何值时,一次函数的值小于反比例函数的值?19. （5分）(2019·周至模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE.求证：AE∥CF.20. （10分） (2015九上·新泰竞赛) 如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y= 的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．21. （10分）某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关，其中两个分别控制A、B两盏电灯，另两个分别控制C、D两个吊扇．已知电灯、吊扇均正常，且处于不工作状态，开关与电灯、电扇的对应关系未知．（1）若四个开关均正常，则任意按下一个开关，正好一盏灯亮的概率是多少？（2）若其中一个控制电灯的开关坏了，则任意按下两个开关，正好一盏灯亮和一个扇转的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．22. （10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．23. （5分） (2018九上·惠来期中) 如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？24. （5分） (2019九上·上海月考) 如图，，，，，，一动点P从B向D运动，问当点P离B多远时，与是相似三角形？试求出所有符合条件的p点的位置.25. （10分） (2018九上·滨湖月考) 在和中，，，.（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共9题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：。

2018-2019学年江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．下列图形中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列事件是随机事件的是( ) A ．小明购买彩票中奖B ．在标准大气压下，水加热到100时沸腾C ．在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球D ．一名运动员的速度为40米/秒3．若点(3,2)A m n -+关于原点的对称点B 的坐标是(3,2)-，则m ，n 的值为( ) A ．6m =-，4n =- B ．0m =，4n =-C ．6m =，4n =D ．6m =，4n =-4．若关于x 的方程2(3)410a x x ---=有实数根，则a 满足( ) A ．1a -…且3a ≠B ．3a ≠C ．1a >-且3a ≠D ．1a -…5．若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，下列结论：（1）40a b +=（2）93a bc >；（3）90:a b c ++=（4）若方程(1)(5)2a x x +-=-的两根为1x 和2x ，且12x x <，则1215x x <<<，其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．O 的直径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与O 的位置关系是 ． 8．关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是1，则另一根为 ． 9．抛物线245y x x =-+向左平移一个单位长度后的对称轴是直线 ．10．如图，(3,0)C ，(2,2)B ，以OC ，BC 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．11．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =，则阴影部分图形的面积为 ．12．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，4BC cm =，D 为BC 的中点，若动点E 以1/cm s 的速度从点A 出发，沿着A C A →→的方向运动，设点E 的运动时间为秒(012)t 剟，连接DE ，当CDE ∆是直角三角形时，t 的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）解方程：254x x -=；（2）如图，四边形ABCD 中，60C ∠=︒，110BED ∠=︒，BD BC =，点E 在AD 上，将BE 绕点B 逆时针旋转60︒得BF ，且点F 在DC 上，求EBD ∠的度数．14．如图，在等边三角形ABC 中，点E ，D 分别在BC ，AB 上，且60AED ∠=︒，求证：~AEC EDB ∆∆．15．如图，平面直角坐标系中，以点A 为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于B ，C 两点．若二次函数2y x bx c =++的图象经过点B ，C ，试求此二次函数的顶点坐标．16．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45ABC ∠=︒，请用无刻度的直尺按要求作图． （1）如图1，请在图1中画出弦CD ，使得CD AC =．（2）如图2，AB 是O 的直径，AN 是O 的切线，点B ，C ，N 在同一条直线上请在图中画出ABN ∆的边AN 上的中线BD ．17．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题． （1）按这种方法组成两位数45是 事件，填( “不可能”、“随机”、“必然” ) （2）组成的两位数能被3整除的概率是多少？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分18．在平面直角坐标系中，抛物线N 过(1,3)A -，(4,8)B ，(0,0)O 三点 （1）求该抛物线和直线AB 的解析式；（2）平移抛物线N ，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式： ①平移后抛物线的顶点在直线AB 上；②设平移后抛物线与y 轴交于点C ，如果3ABC ABO S S ∆∆=．19．平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数1(0)ky x x=>的图象上，点B 与点A 关于原点O 对称，一次函数2y mx n =+的图象经过点B ．（1）设2a =，点(4,2)C 在函数1y ，2y 的图象上．分别求函数1y ，2y 的表达式．（2）如图，设函数1y ，2y 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为3a ，ABC ∆的面积为16，求k 的值．20．如图，O 是ABC ∆的外接圆，点E 为ABC ∆内切圆的圆心，连接EB 的延长线交AC 于点F ，交O 于点D ，连接AD ，过点D 作直线DN ，使ADN DBC ∠=∠． （1）求证：直线DN 是O 的切线；（2）若1DF =，且3BF =，求AD 的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）若每天的利润为3780元，为减少库存，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本x 每天的销售量） 22．如图1，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接BE ，CD ，点F ，G ，H 分别是BE ，CD ，BC 的中点 （1）观察猜想：图1中，FGH ∆的形状是 ．（2）探究证明：把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，FGH ∆的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若2AD =，6AB =，请直接写出FGH ∆的周长的最大值．六、（本大题共12分23．已知抛物线2()n n n y x a b =--+，(n 为正整数，且120)n a a a <<⋯剟与x 轴的交点为(0,0)A 和(n n A C ，0)，12n n C C -=+，当1n =时，第1条抛物线2111()y x a b =--+与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他依此类推． （1）求1a ，1b 的值及抛物线2y 的解析式．（2）抛物线的顶点B 坐标为( ， )；依此类推，第1n +条抛物线1n y +的顶点1n B +坐标为( ， )所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ； （3）探究下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)x m m =>与抛物线n y 分别交于1C ，2C ，⋯，n C 则线段1C ，2，23C C ，⋯，1n n C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．。

江西省宜春市2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）高二年级数学（理科）试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13.14.72 15. 3 16. 17．(本小题10分)解：（1）若命题为真，则 为真，…………4分（2） 若命题为真，则 …………5分又 “且”是假命题，“或”是真命题是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题…………7分或…………8分的取值范围是…………10分18.(本小题12分) 解析 (1)当a ＝2时，f(x)＝|x －3|－|x －2|＝－1，x≥3，5－2x ，2<x<3， …………3分f(x)≤－21等价于21或21或，1解得411≤x<3，或x ≥3，所以原不等式的解集为{x|x ≥411}．…………………………6分(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|.…………9分所以若存在实数x ，使得f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤23，故实数a 的取值范围是(－∞，23]．…………12分19.(本小题12分)（1）由已知,结合正弦定理得，所以，…………4分即，即，因为，所以.…………6分（2）由，得，即，…………8分又，得，…………10分所以，又. …………12分20. (本小题12分)解析(1)连结,交于点，连结,则为的中点，因为为的中点，所以∥,又因为平面,平面,∥平面…………4分(2)由，可知,以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，,,,………6分设是平面的法向量，则即可取 (8)分同理，设是平面的法向量，则，可取.…………10分从而所以锐二面角的余弦值为…………12分21.(本小题12分)解：(1)由S n2－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*，得[S n－(n2＋n)](S n＋3)＝0.又已知各项均为正数，故S n＝n2＋n. …………3分当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以a n＝2n，n∈N*.………………6分（2）证明：…………8分………10分………………………………………………………12分22.(本小题12分)（1）由题意知，有，得，所以椭圆的方程为．由，得所以椭圆的方程为．………………………………………4分（2）证明①设，由题意知，因为，又，即，所以，即．………………………………………8分②设，将代入椭圆的方程，可得，由，可得①则有，所以．因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积将代入椭圆的方程，可得，由，可得②，令，由①②可知，因此，故，当且仅当时，即时取得最大值，由（1）知，面积为，所以面积的最大值为．……………………12分。

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件是随机事件的是（）A．小明购买彩票中奖B．在标准大气压下，水加热到100时沸腾C．在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球D．一名运动员的速度为40米/秒3．若点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣4 B．m＝0，n＝﹣4 C．m＝6，n＝4 D．m＝6，n＝﹣4 4．若关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3 B．a≠3 C．a＞﹣1且a≠3 D．a≥﹣15．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0（2）9a＞3bc；（3）9a+b+c＝0：（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是．8．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则另一根为．9．抛物线y＝x2﹣4x+5向左平移一个单位长度后的对称轴是直线．10．如图，C（3，0），B（2，2），以OC，BC为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t ≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．三．解答题（共84分）13．（1）解方程：x2﹣5＝4x；（2）如图，四边形ABCD中，∠C＝60°，∠BED＝110°，BD＝BC，点E在AD上，将BE绕点B逆时针旋转60°得BF，且点F在DC上，求∠EBD的度数．14．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC～△EDB．15．如图，平面直角坐标系中，以点A（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，C，试求此二次函数的顶点坐标．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC．（2）如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．17．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．（1）按这种方法组成两位数45是事件，填（“不可能”、“随机”、“必然”）（2）组成的两位数能被3整除的概率是多少？18．在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．19．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接EB的延长线交AC 于点F，交⊙O于点D，连接AD，过点D作直线DN，使∠ADN＝∠DBC．（1）求证：直线DN是⊙O的切线；（2）若DF＝1，且BF＝3，求AD的长．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）若每天的利润为3780元，为减少库存，销售单价应定为多少元？（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本x每天的销售量）22．如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点（1）观察猜想：图1中，△FGH的形状是．（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△FGH的周长的最大值．23．已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0≤a1＜a2＜…≤a n）与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线的顶点B坐标为（，）；依此类推，第n+1条抛物线y n+1的顶点B n+1坐标一为（，）所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是；（3）探究下结论：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y n分别交于C1，C2，…，∁n则线段C1，2，C2C3，…，C n﹣1∁n的长有何规律？请用含有m的代数式表示．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．下列事件是随机事件的是（）A．小明购买彩票中奖B．在标准大气压下，水加热到100时沸腾C．在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球D．一名运动员的速度为40米/秒【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、小明购买彩票中奖是随机事件；B、在标准大气压下，水加热到100时沸腾是必然事件；C、在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球是不可能事件；D、一名运动员的速度为40米/秒是不可能事件；故选：A．3．若点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣4 B．m＝0，n＝﹣4 C．m＝6，n＝4 D．m＝6，n＝﹣4 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），∴3﹣m＝3，n+2＝﹣2，m＝0，n＝﹣4，故选：B．4．若关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3 B．a≠3 C．a＞﹣1且a≠3 D．a≥﹣1【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当a﹣3＝0时，∴﹣4x﹣1＝0，∴x＝﹣当a﹣3≠0时，∴△＝16+4（a﹣3）≥0，∴a≥﹣1，综上所述，a≥﹣1故选：D．5．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．故选：B．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0（2）9a＞3bc；（3）9a+b+c＝0：（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对称轴可判断（1），根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点位置可判断（2），根据对称轴和图象经过（﹣1，0）可得a﹣b+c＝0①，8a+2b＝0②，可判断（3），利用二次函数与二次方程关系可判断（4）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，即4a+b＝0，所以（1）正确；由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，抛物线交y轴的正半轴，则c＞0，∵对称轴在y轴的右侧，则对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∴9a＜0，3bc＞0，∴9a＜3bc，所以（2）错误；∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0①，∵4a+b＝0，∴8a+2b＝0②，①+②得，9a+b+c＝0，所以（3）正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），则抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣5），方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根可看做抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣2交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，所以（4）正确；故选：C．二．填空题（共6小题）7．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是相切．【分析】根据题意可得半径r＝4，根据d＝r，可判断直线l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为8，∴半径＝4，∵圆心O到直线l的距离为4，∴圆心O到直线l的距离＝半径∴直线l与⊙O相切．故答案为：相切．8．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则另一根为﹣3 ．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，把x1＝1代入，可求x2，进而可求m．【解答】解：根据题意可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，∵x1＝1，∴1+x2＝﹣m，x2＝﹣3，∴m＝2．故答案为：﹣39．抛物线y＝x2﹣4x+5向左平移一个单位长度后的对称轴是直线x＝﹣2 ．【分析】先将抛物线y＝x2﹣4x+5化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1，∴平移后的函数解析式是y＝（x+2）2+1．∴对称轴是直线x＝﹣2，故答案为x＝﹣2．10．如图，C（3，0），B（2，2），以OC，BC为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为y＝﹣．【分析】设经过C点的反比例函数的解析式是y＝（k≠0），设A（x，y）．根据平行四边形的性质求出点A的坐标（﹣1，2）．然后利用待定系数法求反比例函数的解析式．【解答】解：设经过A点的反比例函数的解析式是y＝（k≠0），设A（x，y）．∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA；∵C（3，0），B（2，2），∴点A的纵坐标是y＝2，|2﹣x|＝3（x＜0），∴x＝﹣1，∴A（﹣1，2）．∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴2＝，解得，k＝﹣2，∴经过C点的反比例函数的解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为．【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝，然后由圆周角定理知∠COE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形OCB﹣S+S△BED．△COE【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝ED＝，又∵∠CDB＝30°，∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，∴OE＝CE•cot60°＝×＝1，OC＝2OE＝2，∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE•ED＝﹣+＝．故答案为：．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t ≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为4或7或9 ．【分析】由条件可求得AC＝8，可知E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，当△CDE为直角三角形时，只有∠EDC＝90°或∠DEC＝90°，再结合△CDE和△ABC相似，可求得CE的长，则可求得t的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，∴AC＝2BC＝8cm，∵D为BC中点，∴CD＝2cm，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，∵D为BC中点，∴E为AC中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEC＝90°时，∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；综上可知t的值为4或7或9，故答案为：4或7或9三．解答题（共11小题）13．（1）解方程：x2﹣5＝4x；（2）如图，四边形ABCD中，∠C＝60°，∠BED＝110°，BD＝BC，点E在AD上，将BE 绕点B逆时针旋转60°得BF，且点F在DC上，求∠EBD的度数．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）证明△BCD是等边三角形，得出∠DBC＝60°，由旋转的性质得出∠EBF＝60°，BE ＝BF，得出∠EBD＝∠FBC，证明△BDE≌△BCF（SAS），得出∠BDE＝∠C＝60°，由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）x2﹣5＝4x；原方程变形得：x2﹣4x﹣5＝0，因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0，于是得：x﹣5＝0，或x+1＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵∠C＝60°，BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°，由旋转的性质得：∠EBF＝60°，BE＝BF，∴∠EBD＝∠FBC，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴∠BDE＝∠C＝60°，∴∠EBD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣110°﹣60°＝10°．14．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC～△EDB．【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据“一线三等角”倒角，推出∠BED＝∠CAE，即可判定△AEC～△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC～△EDB．15．如图，平面直角坐标系中，以点A（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，C，试求此二次函数的顶点坐标．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，则CD＝，BC＝2，故BD＝1，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），即可求解．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，则CD＝，BC＝2，故BD＝1，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC．（2）如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．【分析】（1）利用直尺即可作图；（2）复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．【解答】（1）如后一个图：即为所求作的图形，使得CD＝AC．（2）如前一个图：即为所求作的图形．△ABN的边AN上的中线BD．17．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．（1）按这种方法组成两位数45是不可能事件，填（“不可能”、“随机”、“必然”）（2）组成的两位数能被3整除的概率是多少？【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和能组成的两位数的情况数，再根据随机事件的概念即可得出答案；（2）结合树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，由概率公式即可求出其概率．【解答】解：（1）画树形图如下：有图可知，能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44，按这种方法组成两位数45是不可能事件；故答案为：不可能；（2）由树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，∴组成的两位数能被3整除的概率是＝．18．在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面积公式得到•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝4××4×（4+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x；设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得，解得m＝1，n＝4，∴直线AB的解析式为y＝x+4；（2）当x＝0时，y＝x+4＝4，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝3××4×（4+1），即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12没有实数解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．19．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．【分析】（1）将点C（4，2）代入y1＝，求出k的值，得到函数y1的表达式；把x＝a ＝2代入y1＝，求出点A坐标，根据A和点A'关于原点对称，得到点A'的坐标，将点A'和点B的坐标代入y2＝mx+n，利用待定系数法求出函数y2的表达式；（2）由反比例函数图象上点的坐标特征可得点A坐标，根据A和点B关于原点对称，得到点B（﹣a，﹣）．又点B在y2＝mx+n的图象上，那么点B（﹣a，﹣am+n）．解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵点C（4，2）在函数y1＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8，∴函数y1的表达式为y1＝．∵点A在y1＝的图象上，∴x＝a＝2，y＝4，∴点A（2，4）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'和点B，∴，解之，得：，∴函数y2的表达式为y2＝x﹣2；（2）∵点A的横坐标为a，∴点A（a，）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣a，﹣）．∵点B在y2＝mx+n的图象上，∴点B的坐标为（﹣a，﹣am+n）．∴﹣＝﹣am+n，a2m＝an+k①．∵点C的横坐标为3a，∴点C（3a，3am+n）或（3a，），∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②由①②得：a2m＝，an＝﹣．过点A作AD⊥x轴，交BC于点D，则点D（a，am+n），∴AD＝﹣am﹣n．∵S△ABc＝AD（x c﹣x b）＝•4a（﹣am﹣n）＝16，∴k﹣a2m﹣an＝8，∴k﹣﹣（﹣）＝8，∴k＝6．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接EB的延长线交AC 于点F，交⊙O于点D，连接AD，过点D作直线DN，使∠ADN＝∠DBC．（1）求证：直线DN是⊙O的切线；（2）若DF＝1，且BF＝3，求AD的长．【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥AC，再根据∠ADN＝∠DAC，即可判定AC∥DN，进而得到OD⊥DN，据此可得直线DN是⊙O的切线．（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠AED＝∠EAD，即可得出DA＝DE，再判定△DAF∽△DBA，即可得到DA2＝DF•DB，据此解答即可．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴OD⊥BC，又∵∠ADN＝∠DBC，∠DBC＝∠DAC，∴∠ADN＝∠DAC，∴AC∥DN，∴OD⊥DN，又∵OD为⊙O半径，∴直线DN是⊙O的切线；（2）∵＝，∴∠DAF＝∠DBA，又∵∠ADF＝∠ADB（公共角），∴△DAF∽△DBA，∴＝，即DA2＝DF•DB，∵DF＝2，BF＝3，∴DB＝DF+BF＝5∴DA2＝DF•DB＝10∴DA＝DE＝．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）若每天的利润为3780元，为减少库存，销售单价应定为多少元？（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本x每天的销售量）【分析】（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答；（2）通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值；（3）实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．【解答】解：（1）设销售单价应定为x元，根据题意，得（x﹣50）（50+500﹣5x）＝3780整理，得x2﹣160x+6256＝0解得：x1＝68，x2＝92，为减少库存，x2＝92（舍去）．答：为减少库存，销售单价应定为68元．（2）设每天销售利润为y元，根据题意，得y＝（x﹣50）（50+5000﹣5x）（50≤x≤100）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500当x＝80时，y有最大值为4500．答：销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000解得：x1＝70，x2＝90，所以当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，因为每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000解得x≥82．所以82≤x≤90．又因为50≤x≤100，答：销售单价应控制在82元至90元之间．22．如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点（1）观察猜想：图1中，△FGH的形状是等边三角形．（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△FGH的周长的最大值．【分析】（1）观察猜想：如图1，先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，则BD＝CE，再根据三角形中位线性质得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，从而得到FH＝GH，∠FHG＝60°，从而可判断△FGH为等边三角形；（2）探究证明：连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与（1）一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，可得FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，则计算出∠BHF+∠CHG＝120°，从而得到∠FHG＝60°，于是可判断△FHG为等边三角形．（3）拓展延伸：利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为8，则GH的最大值为4，然后可确定△FHG的周长的最大值．【解答】解：（1）观察猜想：如图1，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝CE，∵点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点∴FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCA＝60°，∠CHG＝∠CBA＝60°，∴∠FHG＝60°，∴△FGH为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）探究证明：△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与（1）一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，∴∠BHF+∠CHG＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，∴∠FHG＝60°，∴△FHG为等边三角形．（3）拓展延伸：∵GH＝BD，∴当BD的值最大时，GH的值最大，∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为2+6＝8，∴GH的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．23．已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0≤a1＜a2＜…≤a n）与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线的顶点B坐标为（n，n2）；依此类推，第n+1条抛物线y n+1的顶点B n+1坐标一为（n+1 ，（n+1）2）所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x2；（3）探究下结论：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y n分别交于C1，C2，…，∁n则线段C1，2，C2C3，…，C n﹣1∁n的长有何规律？请用含有m的代数式表示．【分析】（1）A1（2，0），则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4，即可求解；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（n，n2），以此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，即可求解；（3）①△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），即可求解；②y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1，即可求解．【解答】解：（1）A1（2，0），则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4；故y2＝﹣（x﹣a2）2+b2＝﹣（x﹣2）2+4；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（n，n2），以此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，故答案为：（n，n2）；[（n+1，（n+1）2]；y＝x2；（3）①存在，理由：点A（0，0），点A n（2n，0）、点B n（n，n2），△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），解得：n＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+1；②y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1＝﹣（m﹣n）2+n2+（m﹣n+1）2﹣（n﹣1）2＝2m．。

2018-2019学年宜春八中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件是随机事件的是（）A．小明购买彩票中奖B．在标准大气压下，水加热到100时沸腾C．在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球D．一名运动员的速度为40米/秒3．若点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣4 B．m＝0，n＝﹣4 C．m＝6，n＝4 D．m＝6，n＝﹣44．若关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3 B．a≠3 C．a＞﹣1且a≠3 D．a≥﹣15．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0（2）9a＞3bc；（3）9a+b+c＝0：（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是．8．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则另一根为．9．抛物线y＝x2﹣4x+5向左平移一个单位长度后的对称轴是直线．10．如图，C（3，0），B（2，2），以OC，BC为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．三．解答题（共84分）13．（1）解方程：x2﹣5＝4x；（2）如图，四边形ABCD中，∠C＝60°，∠BED＝110°，BD＝BC，点E在AD上，将BE绕点B逆时针旋转60°得BF，且点F在DC上，求∠EBD的度数．14．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC～△EDB．15．如图，平面直角坐标系中，以点A（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点．若二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过点B ，C，试求此二次函数的顶点坐标．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC．（2）如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．17．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．（1）按这种方法组成两位数45是事件，填（“不可能”、“随机”、“必然”）（2）组成的两位数能被3整除的概率是多少？18．在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．19．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接EB的延长线交AC于点F，交⊙O于点D，连接AD，过点D作直线DN，使∠ADN＝∠DBC．（1）求证：直线DN是⊙O的切线；（2）若DF＝1，且BF＝3，求AD的长．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）若每天的利润为3780元，为减少库存，销售单价应定为多少元？（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本x每天的销售量）22．如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点（1）观察猜想：图1中，△FGH的形状是．（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△FGH的周长的最大值．23．已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0≤a1＜a2＜…≤a n）与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线的顶点B坐标为（，）；依此类推，第n+1条抛物线y n+1的顶点B n+1坐标一为（，）所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是；（3）探究下结论：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y n分别交于C1，C2，…，∁n则线段C1，2，C2C3，…，C n﹣1∁n的长有何规律？请用含有m的代数式表示．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．下列事件是随机事件的是（）A．小明购买彩票中奖B．在标准大气压下，水加热到100时沸腾C．在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球D．一名运动员的速度为40米/秒【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、小明购买彩票中奖是随机事件；B、在标准大气压下，水加热到100时沸腾是必然事件；C、在一个装有蓝球和黄球的袋中，摸出红球是不可能事件；D、一名运动员的速度为40米/秒是不可能事件；故选：A．3．若点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣4 B．m＝0，n＝﹣4 C．m＝6，n＝4 D．m＝6，n＝﹣4【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点A（3﹣m，n+2）关于原点的对称点B的坐标是（﹣3，2），∴3﹣m＝3，n+2＝﹣2，m＝0，n＝﹣4，故选：B．4．若关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3 B．a≠3 C．a＞﹣1且a≠3 D．a≥﹣1【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：当a﹣3＝0时，∴﹣4x﹣1＝0，∴x＝﹣当a﹣3≠0时，∴△＝16+4（a﹣3）≥0，∴a≥﹣1，综上所述，a≥﹣1故选：D．5．若ab＜0，则正比例函数y＝ax 与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合．故选：B．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0（2）9a＞3bc ；（3）9a+b+c＝0：（4）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对称轴可判断（1），根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点位置可判断（2），根据对称轴和图象经过（﹣1，0）可得a﹣b+c＝0①，8a+2b＝0②，可判断（3），利用二次函数与二次方程关系可判断（4）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，即4a+b＝0，所以（1）正确；由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，抛物线交y轴的正半轴，则c＞0，∵对称轴在y轴的右侧，则对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∴9a＜0，3bc＞0，∴9a＜3bc，所以（2）错误；∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0①，∵4a+b＝0，∴8a+2b＝0②，①+②得，9a+b+c＝0，所以（3）正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），则抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣5），方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根可看做抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣2交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，所以（4）正确；故选：C．二．填空题（共6小题）7．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是相切．【分析】根据题意可得半径r＝4，根据d＝r，可判断直线l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为8，∴半径＝4，∵圆心O到直线l的距离为4，∴圆心O到直线l的距离＝半径∴直线l与⊙O相切．故答案为：相切．8．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则另一根为﹣3 ．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，把x1＝1代入，可求x2，进而可求m．【解答】解：根据题意可得x1+x2＝﹣＝﹣m，x1x2＝＝﹣3，∵x1＝1，∴1+x2＝﹣m，x2＝﹣3，∴m＝2．故答案为：﹣39．抛物线y＝x2﹣4x+5向左平移一个单位长度后的对称轴是直线x＝﹣2 ．【分析】先将抛物线y＝x2﹣4x+5化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1，∴平移后的函数解析式是y＝（x+2）2+1．∴对称轴是直线x＝﹣2，故答案为x＝﹣2．10．如图，C（3，0），B（2，2），以OC，BC为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为y＝﹣．【分析】设经过C点的反比例函数的解析式是y＝（k≠0），设A（x，y）．根据平行四边形的性质求出点A 的坐标（﹣1，2）．然后利用待定系数法求反比例函数的解析式．【解答】解：设经过A点的反比例函数的解析式是y＝（k≠0），设A（x，y）．∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA；∵C（3，0），B（2，2），∴点A的纵坐标是y＝2，|2﹣x|＝3（x＜0），∴x＝﹣1，∴A（﹣1，2）．∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴2＝，解得，k＝﹣2，∴经过C点的反比例函数的解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为．【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝，然后由圆周角定理知∠COE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED．【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝ED＝，又∵∠CDB＝30°，∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，∴OE＝CE•cot60°＝×＝1，OC＝2OE＝2，∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE•ED＝﹣+＝．故答案为：．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为4或7或9 ．【分析】由条件可求得AC＝8，可知E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，当△CDE为直角三角形时，只有∠EDC＝90°或∠DEC＝90°，再结合△CDE和△ABC相似，可求得CE的长，则可求得t的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，∴AC＝2BC＝8cm，∵D为BC中点，∴CD＝2cm，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，∵D为BC中点，∴E为AC中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEC＝90°时，∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；综上可知t的值为4或7或9，故答案为：4或7或9三．解答题（共11小题）13．（1）解方程：x2﹣5＝4x；（2）如图，四边形ABCD中，∠C＝60°，∠BED＝110°，BD＝BC，点E在AD上，将BE绕点B 逆时针旋转60°得BF，且点F在DC上，求∠EBD的度数．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）证明△BCD是等边三角形，得出∠DBC＝60°，由旋转的性质得出∠EBF＝60°，BE＝BF，得出∠EBD＝∠FBC，证明△BDE≌△BCF（SAS），得出∠BDE＝∠C＝60°，由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）x2﹣5＝4x；原方程变形得：x2﹣4x﹣5＝0，因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0，于是得：x﹣5＝0，或x+1＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵∠C＝60°，BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°，由旋转的性质得：∠EBF＝60°，BE＝BF，∴∠EBD＝∠FBC，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴∠BDE＝∠C＝60°，∴∠EBD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣110°﹣60°＝10°．14．如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC～△EDB．【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据“一线三等角”倒角，推出∠BED＝∠CAE，即可判定△AEC～△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB +∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC～△EDB．15．如图，平面直角坐标系中，以点A（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B ，C两点．若二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过点B，C，试求此二次函数的顶点坐标．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，则CD＝，BC＝2，故BD＝1，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），即可求解．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，连接BC，则CD＝，BC＝2，故BD＝1，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝45°，请用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图1，请在图1中画出弦CD，使得CD＝AC．（2）如图2，AB是⊙O的直径，AN是⊙O的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出△ABN的边AN上的中线BD．【分析】（1）利用直尺即可作图；（2）复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．【解答】（1）如后一个图：即为所求作的图形，使得CD＝AC．（2）如前一个图：即为所求作的图形．△ABN的边AN上的中线BD．17．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．（1）按这种方法组成两位数45是不可能事件，填（“不可能”、“随机”、“必然”）（2）组成的两位数能被3整除的概率是多少？【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和能组成的两位数的情况数，再根据随机事件的概念即可得出答案；（2）结合树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，由概率公式即可求出其概率．【解答】解：（1）画树形图如下：有图可知，能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44，按这种方法组成两位数45是不可能事件；故答案为：不可能；（2）由树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，∴组成的两位数能被3整除的概率是＝．18．在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点（1）求该抛物线和直线AB的解析式；（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：①平移后抛物线的顶点在直线AB上；②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S △ABO．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，接着表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面积公式得到•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝4××4×（4+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x；设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得，解得m＝1，n＝4，∴直线AB的解析式为y＝x+4；（2）当x＝0时，y＝x+4＝4，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+4），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+4，当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，则C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴•|t2+t+4﹣4|•（4+1）＝3××4×（4+1），即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12没有实数解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．19．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B与点A关于原点O 对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B．（1）设a＝2，点C（4，2）在函数y1，y2的图象上．分别求函数y1，y2的表达式．（2）如图，设函数y1，y2的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值．【分析】（1）将点C（4，2）代入y1＝，求出k的值，得到函数y1的表达式；把x＝a＝2代入y1＝，求出点A坐标，根据A和点A'关于原点对称，得到点A'的坐标，将点A'和点B的坐标代入y2＝mx+n，利用待定系数法求出函数y2的表达式；（2）由反比例函数图象上点的坐标特征可得点A坐标，根据A和点B关于原点对称，得到点B（﹣a，﹣）．又点B在y2＝mx+n的图象上，那么点B（﹣a，﹣am+n）．解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵点C（4，2）在函数y 1＝（x＞0）的图象上，∴k＝4×2＝8，∴函数y1的表达式为y1＝．∵点A在y1＝的图象上，∴x＝a＝2，y＝4，∴点A（2，4）．∵A和点B 关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'和点B，∴，解之，得：，∴函数y2的表达式为y2＝x﹣2；（2）∵点A的横坐标为a，∴点A（a，）．∵A和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣a，﹣）．∵点B在y2＝mx+n的图象上，∴点B的坐标为（﹣a，﹣am+n）．∴﹣＝﹣am+n，a2m＝an +k①．∵点C的横坐标为3a，∴点C（3a，3am+n）或（3a，），∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②由①②得：a2m＝，an＝﹣．过点A作AD⊥x轴，交BC于点D ，则点D（a，am+n），∴AD ＝﹣am﹣n．∵S△ABc＝AD（x c﹣x b）＝•4a （﹣am﹣n）＝16，∴k ﹣a2m﹣an＝8，∴k﹣﹣（﹣）＝8，∴k＝6．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接EB的延长线交AC于点F，交⊙O于点D，连接AD，过点D作直线DN，使∠ADN ＝∠DBC．（1）求证：直线DN是⊙O的切线；（2）若DF＝1，且BF＝3，求AD的长．【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥AC，再根据∠ADN＝∠DAC，即可判定AC∥DN，进而得到OD ⊥DN，据此可得直线DN是⊙O的切线．（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠AED＝∠EAD ，即可得出DA ＝DE，再判定△DAF∽△DBA，即可得到DA2＝DF•DB，据此解答即可．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴OD⊥BC，又∵∠ADN＝∠DBC ，∠DBC＝∠DAC，∴∠ADN＝∠DAC，∴AC∥DN，∴OD⊥DN，又∵OD为⊙O半径，∴直线DN是⊙O的切线；（2）∵＝，∴∠DAF＝∠DBA，又∵∠ADF＝∠ADB（公共角），∴△DAF∽△DBA，∴＝，即DA2＝DF•DB，∵DF＝2，BF＝3，∴DB＝DF+BF＝5∴DA2＝DF•DB＝10∴DA＝DE＝．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）若每天的利润为3780元，为减少库存，销售单价应定为多少元？（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本x每天的销售量）【分析】（1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答；（2）通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值；（3）实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．【解答】解：（1）设销售单价应定为x元，根据题意，得（x﹣50）（50+500﹣5x）＝3780整理，得x2﹣160x+6256＝0解得：x1＝68，x2＝92，为减少库存，x2＝92（舍去）．答：为减少库存，销售单价应定为68元．（2）设每天销售利润为y元，根据题意，得y＝（x﹣50）（50+5000﹣5x）（50≤x≤100）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500当x＝80时，y有最大值为4500．答：销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000解得：x1＝70，x2＝90，所以当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，因为每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000解得x≥82．所以82≤x≤90．又因为50≤x≤100，答：销售单价应控制在82元至90元之间．22．如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点（1）观察猜想：图1中，△FGH的形状是等边三角形．（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△FGH的周长的最大值．【分析】（1）观察猜想：如图1，先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，则BD＝CE，再根据三角形中位线性质得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，从而得到FH＝GH，∠FHG＝60°，从而可判断△FGH为等边三角形；（2）探究证明：连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD＝CE，∠ABD ＝∠ACE，与（1）一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，可得FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG ＝∠CBD，则计算出∠BHF+∠CHG＝120°，从而得到∠FHG＝60°，于是可判断△FHG为等边三角形．（3）拓展延伸：利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为8，则GH的最大值为4，然后可确定△FHG 的周长的最大值．【解答】解：（1）观察猜想：如图1，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝CE，∵点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点∴FH∥CE，FH＝CE，GH ∥AD，GH＝BD，∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCA＝60°，∠CHG＝∠CBA＝60°，∴∠FHG＝60°，∴△FGH为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）探究证明：△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与（1）一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，∴∠BHF+∠CHG＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，∴∠FHG＝60°，∴△FHG为等边三角形．（3）拓展延伸：∵GH ＝BD，∴当BD的值最大时，GH的值最大，∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为2+6＝8，∴GH的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．23．已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0≤a1＜a2＜…≤a n）与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线的顶点B坐标为（n，n2）；依此类推，第n+1条抛物线y n+1的顶点B n+1坐标一为（n+1 ，（n+1）2）所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x2；（3）探究下结论：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y n分别交于C1，C2，…，∁n则线段C1，2，C2C3，…，C n﹣1∁n的长有何规律？请用含有m的代数式表示．【分析】（1）A1（2，0），则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4，即可求解；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（n，n2），以此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，即可求解；（3）①△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），即可求解；②y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1，即可求解．【解答】解：（1）A1（2，0），则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4；故y2＝﹣（x﹣a2）2+b2＝﹣（x﹣2）2+4；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（n，n2），以此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，故答案为：（n，n2）；[（n+1，（n+1）2]；y＝x2；（3）①存在，理由：点A（0，0），点A n（2n，0）、点B n（n，n2），△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），解得：n＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+1；②y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1＝﹣（m﹣n）2+n2+（m﹣n+1）2﹣（n﹣1）2＝2m．。

江西省宜春市2019届九年级上期末数学试卷含答案解析一．选择题1．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）2．下列汽车标志中，是中心对称图形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件B．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为=x2﹣2x﹣1与反比例函数y2=﹣（x＞0）的图象在如图所示的同一坐标系4．二次函数y1中，若y1＞y2时，则x的取值范围（）A．﹣1＜x＜1 或 x＞2 B．1＜x＜2C．x＜1 D．0＜x＜1或x＞25．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空7．请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式．8．已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为．9．将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶千米．10．学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）报名参加，现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团，小明估算了一下，自己被选中的概率为，则共有名男生报名．11．如图，△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若点A（3，4），点C（1.5，2），点D（2，1），则点D的对应点B的坐标是．12．元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的圆心角应为度．13．公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=75cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm．14．如图，P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=0相切时，点P的坐标为．三、解答题15．已知关于x的方程 x2﹣（2k﹣1）x+k2=0（1）若原方程有实数根，求k的取值范围？。

九年级上册宜春数学期末试卷（Word 版 含解析）一、选择题 1．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π2．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．3- D ．33．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ）A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度4．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）A ．3B ．±3C ．9D ．±9 5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AB AD=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）A ．12AE EC =B ．2EC AC= C ．12DE BC = D ．2AC AE = 6．某篮球队14名队员的年龄如表： 年龄（岁） 18 1920 21 人数 54 3 2 则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A ．18，19B ．19，19C ．18，4D ．5，47．方程2210x x --=的两根之和是（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．12- 8．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°9．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-10．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）A ．32B ．3C ．323 D ．311．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ）A ．②④B ．①③④C ．①④D ．②③12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．110°二、填空题13．O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与O 的位置关系是______.14．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____.15．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；16．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.17．已知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是________．18．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．19．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ．20．一组数据3，2，1，4，x 的极差为5，则x 为______.21．已知正方形ABCD 边长为4，点P 为其所在平面内一点，PD 5，∠BPD ＝90°，则点A 到BP 的距离等于_____．22．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．C 是⊙O 上一个动点．且不与A ，B 重合．若∠PAC ＝α，∠ABC ＝β，则α与β的关系是_______．23．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．24．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M ，若△DEM 的面积为1，则□ABCD 的面积为________．三、解答题25．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于点F ，交CB 的延长线于点G .（1）求证：EG 是O 的切线；（2）若23GF =4GB =，求O 的半径. 26．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点F 是AD 上一点，连接AF 交CD 的延长线于点E ．（1）求证：△AFC ∽△ACE ；（2）若AC ＝5，DC ＝6，当点F 为AD 的中点时，求AF 的值．27．如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP =60°，PA =PD ．（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若点C 是弧AB 的中点，已知AB =4，求CE •CP 的值．28．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点A （-3，0），与y 轴交于点B （0，4），在第一象限内有一点P （m,n)，且满足4m+3n=12.（1）求二次函数解析式.（2）若以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，求点P 的坐标.（3）若点A 关于y 轴的对称点为点A′，点C 在对称轴上，且2∠CBA+∠PA′O=90◦.求点C 的坐标.29．某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为x 元（30x >）时，每周的销售量y （件）满足关系式：10600y x =-+.（1）若每周的利润W 为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？（2）当3552x ≤≤时，求每周获得利润W 的取值范围.30．“2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A ．全程马拉松；B ．半程马拉松；C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；（2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．31．解下列方程：（1）（y ﹣1）2﹣4＝0；（2）3x 2﹣x ﹣1＝0．32．对于实数a ，b ，我们可以用{}max ,a b 表示a ，b 两数中较大的数，例如{}max 3,13-=，{}max 2,22=．类似的若函数y 1、y 2都是x 的函数，则y ＝min{y 1， y 2}表示函数y 1和y 2的取小函数．（1）设1y x =，21=y x ，则函数1max ,y x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的图像应该是___________中的实线部分．（2）请在下图中用粗实线描出函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像，观察图像可知当x 的取值范围是_____________________时，y 随x 的增大而减小．（3）若关于x 的方程()(){}22max 2,20x x t ---+-=有四个不相等的实数根，则t 的取值范围是_____________________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl ＝π×2×6＝12π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程230x -=的两根,再利用韦达定理即可求解.【详解】解：由题可知p,q 是方程230x -=的两根,∴,故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键. 3．C解析：C【解析】【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y ＝2(x －1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x 2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y ＝2(x －1)2＋3 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．4．B解析：B【解析】【分析】两边直接开平方得：3x =±，进而可得答案．【详解】解：29x =，两边直接开平方得：3x =±，则13x =，23x =-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解．5．D解析：D【解析】【分析】 只要证明AC AB AE AD =，即可解决问题． 【详解】解:A.12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD =，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；12DE BC = D. 2AC AB AE AD==，可得DE//BC ， 故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．A解析：A【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】∵这组数据中最多的数是18，∴这14名队员年龄的众数是18岁，∵这组数据中间的两个数是19、19， ∴中位数是19192+＝19（岁）， 故选：A ．【点睛】本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键．7．C 解析：C【解析】【分析】利用两个根和的关系式解答即可.【详解】两个根的和=1122b a ， 故选：C.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式， 1212,b c x x x x a a+=-=. 8．A解析：A【解析】试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．解：连结BC ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∴∠ADC=∠B=40°．故选A ．考点：圆周角定理．9．D解析：D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，33∴△ABC 的面积为12BC•AD=1232⨯3 S 扇形BAC =2602360π⨯=23π， ∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣3﹣3， 故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 10．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO 和△BPO 中，OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO ≌△BPO （AAS ），∴AP=12AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP =3， ∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P 是AB 中点，难度不大.11．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可得△＝b 2﹣4ac>0，可对①进行判断；由抛物线的对称轴可得﹣2b a＝﹣1，可对②进行判断；根据对称轴方程及点A 坐标可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，可对③进行判断；根据对称轴及二次函数的增减性可对④进行判断；综上即可得答案．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即：b 2＞4ac ，故①正确，∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣2b a＝﹣1， ∴2a ＝b ，即：2a ﹣b ＝0，故②错误．∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴二次函数与x 轴的另一个交点的坐标为（1，0），∴当x ＝1时，有a+b+c ＝0，故结论③错误；④∵抛物线的开口向下，对称轴x ＝﹣1，∴当x ＜﹣1时，函数值y 随着x 的增大而增大，∵﹣5＜﹣1则y 1＜y 2，则结论④正确【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△=b2-4ac决定：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△= 0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．C解析：C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠D=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题13．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，∵4＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.14．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠m解析：2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.15．6【解析】【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案.【详解】，∴当t=1时，h有最大值6.故答案为：6.此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6【解析】【分析】现将函数解析式配方得221266(1)6h tt t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.16．【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ，∴,即解得a=（-舍去）∴【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222a a =+解得1（-1舍去）∴tan DAE ∠=tanF=2EC a CF ==12. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.17．【解析】【分析】直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．【详解】解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．故答案为：解析：13x【解析】【分析】直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．【详解】解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．故答案为：-1＜x ＜3．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．18．3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】 解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226， 解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.19．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,解析：5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.20．－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x 是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x 是最小值，解析：－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．x 可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x 是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x 是最小值，则4-x=5，所以x=－1；故答案为－1或6．【点睛】本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．21．或【解析】【分析】由题意可得点P 在以D 为圆心，为半径的圆上，同时点P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP ，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【详解】解析：2或2【解析】【分析】由题意可得点P 在以D P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP ，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【详解】∵点P 满足PD∴点P 在以D∵∠BPD ＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴如图，点P 是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，∴BD＝2∵∠BPD＝90°，∴BP22BD PD-3，∵∠BPD＝90°＝∠BAD，∴点A，点B，点D，点P四点共圆，∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AH＝HP，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴16＝AH2+（3AH）2，∴AH 335+AH335-，若点P在CD的右侧，同理可得AH＝3352，综上所述：AH＝3352或3352．【点睛】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D5BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．22．或【解析】【分析】分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC的度数，再根据圆周角定理得到∠AO C的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解析：αβ=或180αβ+︒＝【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解：当点C 在优弧AB 上时，如图，连接OA 、OB 、OC ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（α-90°）+2β=180°，∴180αβ+︒＝；当点C 在劣弧AB 上时，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°，∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，∵∠AOC=2∠ABC=2β，∴2（90°-α）+2β=180°，∴αβ=.综上：α与β的关系是180αβ+︒＝或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝.本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.23．80【解析】∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.解析：80【解析】∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°−140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°.故答案为80.24．16【解析】【分析】【详解】延长EF交BC的延长线与H,在平行四边形ABCD中,∵AD=BC,AD∥BC∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM∴ ,∵F是CD的中点∴DF解析：16【解析】【分析】【详解】延长EF交BC的延长线与H,在平行四边形ABCD中,∵AD=BC,AD ∥BC∴△DEF ∽△CHF, △DEM ∽△BHM ∴DE DF CH CF = ,2()DEM BMHS DE S BH ∆∆= ∵F 是CD 的中点∴DF=CF∴DE=CH∵E 是AD 中点∴AD=2DE∴BC=2DE∴BC=2CH∴BH=3CH∵1DEM S ∆= ∴211()3BMH S ∆= ∴9BMH S ∆=∴9CFH BCFM S S ∆+=四边形∴9DEF BCFM S S ∆+=四边形∴9DME DFM BCFM S S S ∆∆++=四边形∴19BCD S ∆+=∴8BCD S ∆=∵四边形ABCD 是平行四边形∴2816ABCD S =⨯=四边形故答案为:16.三、解答题25．（1）见解析；（2）O 的半径为4.【解析】【分析】(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.【详解】解：(1)证明：连接OE .∵AB BC =∴A C ∠=∠∵OE OC =∴OEC C ∠=∠∴A OEC ∠=∠∴OEAB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =-=∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴BF BG OE OG =∴244OE OE=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.26．（1）见解析；（25【解析】【分析】 （1）根据条件得出AD ＝AC ，推出∠AFC ＝∠ACD ，结合公共角得出三角形相似； （2）根据已知条件证明△ACF ≌△DEF ，得出AC ＝DE ，利用勾股定理计算出AE 的长度，再根据（1）中△AFC ∽△ACE ，得出AF AC ＝AC AE，从而计算出AF 的长度. 【详解】（1）∵CD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径∴AD ＝AC∴∠AFC ＝∠ACD ．∵在△ACF 和△AEC 中，∠AFC ＝∠ACD ，∠CAF ＝∠EAC∴△AFC ∽△ACE（2）∵四边形ACDF 内接于⊙O∴∠AFD ＋∠ACD ＝180°∵∠AFD ＋∠DFE ＝180°∴∠DFE ＝∠ACD∵∠AFC ＝∠ACD∴∠AFC＝∠DFE．∵△AFC∽△ACE∴∠ACF＝∠DEF．∵F为AC的中点∴AF＝DF．∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF ∴△ACF≌△DEF．∴AC＝DE＝5．∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径∴CH＝DH＝3．∴EH＝8在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝45．∵△AFC∽△ACE∴AFAC＝ACAE，即5AF＝45，∴AF＝55.【点睛】本题属于圆与相似三角形的综合，涉及了圆内接四边形的性质，勾股定理，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定定理等，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形.27．（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8.【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD 和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．28．（1）24(3)9y x =+；（2）P(1511,2411)；（3）C(-3,-5)或 (-3，2513) 【解析】【分析】（1）设顶点式，将B 点代入即可求；（2）根据4m+3n=12确定点P 所在直线的解析式，再根据内切线的性质可知P 点在∠BAO 的角平分线上，求两线交点坐标即为P 点坐标；（3）根据角之间的关系确定C 在∠DBA 的角平分线与对称轴的交点或∠ABO 的角平分线与对称轴的交点，通过求角平分线的解析式即可求.【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为A(-3,0),设二次函数解析式为y=a(x+3)2，将B （0，4）代入得，4=9a ∴a=49∴24(3)9y x =+ （2）如图 ∵P （m,n)，且满足4m+3n=12∴443n m =-+ ∴点P 在第一象限的443y x =-+上， ∵以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，∴点P 在∠BAO 的角平分线上，∠BAO 的角平分线：y=1322x +， ∴134=4223x x +-+， ∴x=1511,∴y=2411∴P(1511,2411)(3)C(-3,-5)或 (-3，2513)理由如下：如图，A´(3，0),可得直线L A´B的表达式为443y x=-+，∴P点在直线A´B上，∵∠PA´O=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,在对称轴上取点D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G点,设D点坐标为(-3,t)则有(4-t)2+32=t2t=25 8,∴D(-3,25 8),作∠DBA的角平分线交AG于点C即为所求点，设为C1∠DBA的角平分线BC1的解析式为y=913x+4,∴C1的坐标为 (-3, 25 13)；同理作∠ABO的角平分线交AG于点C即为所求，设为C2，∠ABO的角平分线BC2的解析式为y=3x+4,∴C2的坐标为(-3,-5).综上所述，点C的坐标为(-3, 2513)或(-3,-5).【点睛】本题考查了二次函数与图形的结合，涉及的知识点角平分线的解析式的确定，切线的性质，勾股定理及图象的交点问题，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.29．（1）售价应定为每件40元；（2）每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程即可求解；（2）根据题意列出二次函数，根据3552x ≤≤求出W 的取值.【详解】解：（1）根据题意得()()30106002000x x --+=，解得140x =，250x =.∵让消费者得到最大的实惠，∴140x =.答：售价应定为每件40元.（2）()()230106001090018000W x x x x =--+=-+- ()210452250x =--+.∵100-<，∴当45x =时，W 有最大值2250.当35x =时，1250W =；当52x =时，1760W =.∴每周获得的利润的取值范围是1250元W≤≤2250元.【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或二次函数进行求解.30．（1）13；（2）13．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人被分配到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为13；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人被分配到同一个项目组的结果数为3，所以两人被分配到同一个项目组的概率＝39＝13．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知树状图的画法.31．（1）y1＝3，y2＝﹣1；（2）x1＝1136+，x2＝1136．【解析】【分析】（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）（y﹣1）2﹣4＝0，（y﹣1）2＝4，y﹣1＝±2，y＝±2+1，y1＝3，y2＝﹣1；（2）3x2﹣x﹣1＝0，a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，x ＝113±， x 1＝113+，x 2＝1136-． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．32．（1）D ；（2）见解析；20x -<<或2x >；（3）40t -<<．【解析】【分析】（1）根据函数解析式，分别比较1x ≤- ，10x -<<，01x <≤，1x >时，x 与1x 的大小，可得函数1max ,y x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的图像；（2）根据{}max ,a b 的定义，当0x <时，()22x -+图像在()22x --图像之上，当0x =时，()22x --的图像与()22x -+的图像交于y 轴，当0x >时，()22x --的图像在()22x -+之上，由此可画出函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像； （3）由（2）中图像结合解析式()22x --与()22x -+可得t 的取值范围．【详解】（1）当1x ≤-时，1x x ≤， 当10x -<<时，1x x >， 当01x <≤时，1x x <， 当1x >时，1x x> ∴函数1max ,y x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的图像为故选：D ．（2）函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像如图中粗实线所示：令()2=02x -+得，2x =-，故A 点坐标为(-2,0),令()2=02x --得，2x =，故B 点坐标为(2,0),观察图像可知当20x -<<或2x >时，y 随x 的增大而减小；故答案为：20x -<<或2x >；（3）将0x =分别代入()()2212, =22y x y x =---+，得12==4y y -，故C(0,-4)， 由图可知，当40t -<<时，函数()(){}22max 2,2y x x =---+的图像与y t =有4个不同的交点．故答案为：40t -<<．【点睛】本题通过定义新函数综合考查一次函数、反比例函数与二次函数的图像与性质，关键是理解新函数的定义，结合解析式和图像进行求解．。

江西省宜春市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) (共8题；共23分)1. （3分）(2017·白银) 某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体的俯视图是（）A .B .C .D .2. （3分）在六张卡片上分别写有π，， 1.5，﹣3，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A .B .C .D .3. （3分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD 的长为（）A .B .C .D .4. （3分）几何体在平面P的正投影,取决于（）①几何体形状;②投影面与几何体的位置关系;③投影面P的大小A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③5. （2分）(2020·西安模拟) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，cos∠ABC＝，则BD的长为（）A . 2B . 4C . 2D . 46. （3分）在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 75°7. （3分） (2019九上·崇阳期末) 如图，已知A（﹣2，0），以B（0，1）为圆心，OB长为半径作⊙B，N是⊙B上一个动点，直线AN交y轴于M点，则△AOM面积的最大值是（）A . 2B .C . 4D .8. （3分）点P1（x1 ， y1），点P2（x2 ， y2）是一次函数y ＝－4x＋3 图象上的两个点，且 x1＜x2 ，则y1与y2的大小关系是（）。

A . y1＞y2B . y1＞y2＞0C . y1＜y2D . y1＝y2二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) (共6题；共17分)9. （3分）已知关于x的方程x2+bx+a=0有一根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为________．10. （2分）对角线________的四边形是矩形，对角线________的平行四边形是矩形．11. （3分） (2019九上·镇江期末) 如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为经过点（1，0）且垂直于x轴的直线.给出四个结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x的增大面减小；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0.其中正确的结论是________（写出所有正确结论的序号）12. （3分）合肥大建设再创新高潮，继“高架时代”后合肥即将迈入“地铁时代”，2015年合肥市投入200亿元用于地下轨道交通建设，并计划2016年、2017年两年累计再投入528亿元用于地下轨道交通建设，若设这两年中投入资金的年平均增长率为x，则可列方程为________13. （3分）(2017·五华模拟) 如图，正方形ABCD的面积为4，其面积标记为S1 ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ，…，按照此规律继续下去，则S10的值为________．14. （3分）(2014·遵义) 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．三、作图题(本大题满分4分) (共1题；共4分)15. （4分） (2018八上·杭州期末) 如图，已知，请按下列要求作出图形：①用刻度尺画BC边上的高线．②用直尺和圆规画的平分线．四、解答题(本大题共9小题，共74分) (共9题；共74分)16. （8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：（1）求y1关于x的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2-11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．17. （6分） (2019九上·东台月考) 西宁教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”.规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表.针对以下六个项目（每人只能选一项）：A.课外阅读；B.家务劳动；C.体育锻炼；D.学科学习；E.社会实践；F.其他项目进行调查.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽查的样本容量为________，请补全条形统计图________；（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动.请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果.18. （6分） (2017九上·北京月考) 已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=－1．（1）求的值；（2）画出这条抛物线；（3）若直线过点B且与抛物线交于点（－2m，－3m），根据图象回答：当取什么值时，≥ .19. （6分） (2019八下·端州期中) 如图，矩形的对角线，交于点，以为邻边作平行四边形，连接．求证：四边形是平行四边形；20. （8分）如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,（1）求证：CB//PD；（2）若AB=5,sin∠P=,求BC的长．21. （8分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长;（2）如图1，求证：HF=EF;（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．22. （10.0分）(2020·绍兴模拟) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线;（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于y轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？23. （10.0分） (2016七上·南江期末) 如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上．（1）请画出这个几何体的三视图．（2）如果在这个几何体的表面喷上红色的漆，则在所有的小正方体中，有________个小正方体只有一个面是红色，有________个小正方体只有两个面是红色，有________个小正方体只有三个面是红色．24. （12分） (2016九上·鼓楼期末) 如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O 与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．（1）求证：AM与⊙O相切；（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) (共8题；共23分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) (共6题；共17分) 9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、作图题(本大题满分4分) (共1题；共4分)15-1、四、解答题(本大题共9小题，共74分) (共9题；共74分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

2019-2019学年江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷一．选择题1．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（2，﹣1）C ．（﹣2，1）D ．（﹣2，﹣1）2．下列汽车标志中，是中心对称图形的有 （ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列说法正确的是（ ）A ．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件B ．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大C ．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D ．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为4．二次函数y 1=x 2﹣2x ﹣1与反比例函数y 2=﹣（x ＞0）的图象在如图所示的同一坐标系中，若y 1＞y 2时，则x 的取值范围（ ）A ．﹣1＜x ＜1 或 x ＞2B ．1＜x ＜2C ．x ＜1D ．0＜x ＜1或x ＞25．在平面直角坐标系xOy 中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y 轴所在直线的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．二．填空7．请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式．8．已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为．9．将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶千米．10．学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）报名参加，现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团，小明估算了一下，自己被选中的概率为，则共有名男生报名．11．如图，△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若点A（3，4），点C（1.5，2），点D（2，1），则点D的对应点B的坐标是．12．元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的圆心角应为度．13．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=75cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm．14．如图，P是抛物线y=x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=0相切时，点P的坐标为．三、解答题15．已知关于x的方程 x2﹣（2k﹣1）x+k2=0（1）若原方程有实数根，求k的取值范围？（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程．16．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．17．仅用无刻度的直尺过点C作出圆的切线（保留作图痕迹，并简要的写出作图过程）．18．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（OA=1米）弹跳到人梯顶端椅子B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P（，）（1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式．（2）在一次表演中，已知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子B处算表演成功，为了这次表演成功，人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由．四．解答题19．某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金．现有两种抽取的方案：①小芳抽取方案是：直接从四张牌中抽取两张．②小明抽取的方案是：先从四张牌中抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张．你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大？请用树形图或列表法进行分析说明．20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．（1）求运动时间t的取值范围；（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？五、（本大题共10分）23．每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（≈0.83）（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？六、（本大题12分）24．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a ＞0）的图象，如图所示．（1）探究：当x≠0时，a与m有何数量关系？（2）应用：已知动点M（x，y）到定点A（0，4）的距离与到定直线y=﹣4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式．（3）拓展：根据抛物线的平移变换，抛物线y=（x﹣1）2+2的图象可以看作到定点A（，）的距离与它到定直线y= 的距离相等的动点M（x，y）所形成的图形．（4）若点D的坐标是（1，8），在（2）中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2019-2019学年江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．【解答】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．故选C．【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x+a）2+h中，其顶点坐标为（﹣a，h）．2．下列汽车标志中，是中心对称图形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：第一个图形是中心对称图形；第二个图形不是中心对称图形；第三个图形是中心对称图形；第四个图形不是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件B．“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D ．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为【考点】概率的意义；随机事件．【分析】根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案． 【解答】解：A 、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故此选项错误；B 、“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大，该说法正确，故此选项正确；C 、“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票可能会中奖，故此选项错误；D 、由于抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，即正面向上的概率为，故此选项错误．故选B ．【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．4．二次函数y 1=x 2﹣2x ﹣1与反比例函数y 2=﹣（x ＞0）的图象在如图所示的同一坐标系中，若y 1＞y 2时，则x 的取值范围（ ）A ．﹣1＜x ＜1 或 x ＞2B ．1＜x ＜2C ．x ＜1D ．0＜x ＜1或x ＞2【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】直接求出两函数图象的交点横坐标，进而得出y 1＞y 2时x 的取值范围．【解答】解：由题意可得：x 2﹣2x ﹣1=﹣，解得：x 1=1，x 2=2，即两函数图象的交点横坐标为：1，2；则y 1＞y 2时，0＜x ＜1或x ＞2．故选：D ．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，正确得出函数交点横坐标是解题关键．5．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y轴相交，故选C．【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD 沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．【解答】解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，∴∠CPD+∠BPE=90°，又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CDP，∴，即，则y=﹣x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．二．填空7．请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式y=x2．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题；二次函数图象及其性质．【分析】开口向上即为a大于0，与x轴只有一个交点即为根的判别式为0，写出满足题意的抛物线解析式即可．【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式为y=x2．故答案为：y=x2【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式的关系为：两个交点即为根的判别式大于0；一个交点即为根的判别式等于0；没有交点即为根的判别式小于0．8．已知x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，那么此方程的另一个根为﹣3 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据方程的解的定义求出b的值，根据根与系数的关系列式计算即可．【解答】解：∵x=0是方程x2+bx+b﹣3=0的一个根，∴b﹣3=0，解得，b=3设方程的另一个根为a，则a+0=﹣3，解得，a=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=是解题的关键．9．将油箱注满k 升油后，轿车行驶的总路程S （单位：千米）与平均耗油量a （单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k 是常数，k ≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶 950 千米．【考点】反比例函数的应用．【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米”利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k 值，再带人a=0.08求出S 即可得出结论．【解答】解：∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米，∴760=，解得：k=76，∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S==950（千米）． 故答案为：950．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k 的值是关键．10．学校开展合唱社团活动，九年级（1）班有10名女生和若干名男生（包括小明）报名参加，现从中各选一名女生和一名男生参加合唱团，小明估算了一下，自己被选中的概率为，则共有 15 名男生报名．【考点】概率公式．【分析】设共有x 名男生报名，再直接根据概率公式求解即可．【解答】解：设共有x 名男生报名，∵从中选一名男生参加合唱团，小明被选中的概率为，∴=，解得x=15（名）． 故答案为：15．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．11．如图，△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若点A（3，4），点C（1.5，2），点D（2，1），则点D的对应点B的坐标是（4，2）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC 上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．【解答】解：∵△ABO和△CDO是以点O为位似中心的位似图形，点A（3，4），点C（1.5，2），∴点D（2，1）的对应点B的坐标是：（2×2，1×2）即（4，2）．故答案为（4，2）．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆以原点为位似中心的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．12．元旦晚会上，小刚用一张半径为25cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的圆心角应为144 度．【考点】圆锥的计算．【分析】首先根据地面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得圆锥的弧长，利用弧长公式求解即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，∴圆锥的底面周长为20πcm，设侧面展开扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得：=20π，解得：n=144，故答案为：144．【点评】考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长=侧面展开图的弧长；13．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=75cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是76 cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，如图所示：∵AD=24cm，则NC=24cm，∴BN===7（cm），∵∠AMB=∠CNB=90°，∠ABM=∠CBN，∴△BNC∽△BMA，∴，∴，解得：AM=72，故点A到地面的距离=72+4=76（cm）．故答案为：76．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNC∽△BMA是解题关键．14．如图，P 是抛物线y=x 2﹣4x+3上的一点，以点P 为圆心、1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线y=0相切时，点P 的坐标为 （2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1） ．【考点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】⊙P 与直线y=0相切时就是：⊙P 与x 轴相切，半径为1个单位长度，即点P 的纵坐标|y|=1，根据P 是抛物线y=x 2﹣4x+3上的一点，代入计算出x 的值，并写出点P 的坐标，一共有3种可能．【解答】解：当y=1时，x 2﹣4x+3=1，解得：x=2±，∴P （2+，1）或（2﹣，1）， 当y=﹣1时，x 2﹣4x+3=﹣1，解得：x 1=x 2=2，∴P （2，﹣1），则点P 的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，首先理解圆的半径和点P 的纵坐标有关，且点P 又在抛物线上，x 、y 的值满足解析式，所以列一元二次方程可求解．三、解答题15．已知关于x 的方程 x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2=0（1）若原方程有实数根，求k 的取值范围？（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k 的值，使原方程有实数根，并解方程．【考点】根的判别式．【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据（1）的结论，选k=﹣2，将其代入原方程，利用分解因式法解方程，此题得解．【解答】解：（1）由已知得：△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2=﹣4k+1≥0，解得：k≤．∴若原方程有实数根，k的取值范围为k≤．（2）当k=﹣2时，原方程为x2﹣5x+4=（x﹣1）（x﹣4）=0，解得：x1=1，x2=4．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）得出﹣4k+1≥0；（2）熟练掌握一元二次方程的解法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．16．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质和反比例系数k的几何意义即可求得A的在以及三角形AOC的面积，进而求得三角形AOB的面积．【解答】解：当点B在x轴上时，如图1，作AC⊥OB于C，∵△AOB是等边三角形，设OC=x，∴AC=x，∴A（x， x），∵顶点A 在反比例函数y=（x ＞0）图象上，∴x •=4， ∴x=2，∴A （2，2）； 当点B 在y 轴上时，如图2，作AC ⊥y 轴于C ，∵△AOB 是等边三角形，设OC=y ，∴AC=y ，∴A （y ，y ），∵顶点A 在反比例函数y=（x ＞0）图象上，∴y •y=4，∴y=2，∴A （2，2）；S △AOB =2××4=4．【点评】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征．17．仅用无刻度的直尺过点C 作出圆的切线（保留作图痕迹，并简要的写出作图过程）．【考点】作图—复杂作图；切线的性质．【分析】直接利用垂径定理以及全等三角形的判定与性质和切线的判定方法得出答案．【解答】解：1、AB的中垂线与BC的中垂线的交点即为圆心O；2、连接OC并构造Rt△OEC≌Rt△CFD；3、连接直线CD即为切线．【点评】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定与性质，正确找到圆心的位置是解题关键．18．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（OA=1米）弹跳到人梯顶端椅子B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P（，）（1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式．（2）在一次表演中，已知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高处点P后落到人梯顶端椅子B处算表演成功，为了这次表演成功，人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设抛物线解析式为y=a （x ﹣h ）2+k ，由已知条件可知h 和k 的值，再把点A 的坐标代入求出a 的值即可；（2）由BC=3.4米，可知点B 的纵坐标为3.4，把其纵坐标代入抛物线的解析式求出其横坐标，即可得到人梯离起跳点A 的水平距离OC ．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a （x ﹣h ）2+k ，∵最高处点P （，），∴h=，k=，∴y=a （x ﹣）2+， ∵OA=1米，∴点A 的坐标为（0，1），∴1=a ×+，解得：a=﹣，∴y=﹣（x ﹣）2+=﹣x 2+3x+1；（2）∵BC=3.4米，∴B 的纵坐标为3.4，∴3.4=﹣x 2+3x+1，解得：x=4或1，∴人梯离起跳点A 的水平距离OC 是4米．【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．四．解答题19．某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和作为公司发的年终奖金．现有两种抽取的方案：①小芳抽取方案是：直接从四张牌中抽取两张．②小明抽取的方案是：先从四张牌中抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张．你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大？请用树形图或列表法进行分析说明．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先利用树状图展示两种方案的所有等可能的结果数，利用概率公式求出小明抽到的奖金不少于1000元的概率和小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率，然后比较概率的大小即可．【解答】解：小芳抽取方案画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1000元的概率==；小明抽取的方案：共有16种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1000元的概率==因为＜，所以小明抽到的奖金不少于1000元的概率大．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．．20．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD=2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）欲证明CD为⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可．（2）作OF⊥AB于F，设AD=x，则OF=CD=2x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解决问题．【解答】证明：（1）连接OC．∵点C在⊙O上，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CAD=∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°，∴CD是⊙O切线．（2）作OF⊥AB于F，∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，∴四边形CDFO是矩形，∴OC=FD，OF=CD，∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，∵DF=OC=10，∴AF=10﹣x，在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，∴（10﹣x）2+（2x）2=102，解得x=4或0（舍弃），∴AD=4，AF=6，AC=4，∵OF⊥AB，∴AB=2AF=12．【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．（1）求运动时间t的取值范围；（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t≤4；（2）先根据三角形的面积公式，用含有t的式子表示△POQ的面积=﹣t2+6t，然后根据二次函数的最值公式解答即可；（3）分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB，然后根据相似三角形对应边成比例，即可求出相应的t的值．【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，∵点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，∴2t=8，解得：t=4，∴0≤t≤4；（2）根据题意得：经过t秒后，AP=t，OQ=2t，∴OP=OA﹣AP=6﹣t，∵△POQ的面积=•OP•OQ，即△POQ的面积=（6﹣t）×2t=﹣t2+6t．∵a=﹣1＜0，∴△POQ的面积有最大值，当t=﹣=3时，△POQ的面积的最大值==9，即当t=3时，△POQ的面积最大，最大值是9．（3）①若Rt△POQ∽Rt△AOB时，∵Rt△POQ∽Rt△AOB，∴，即=，解得：t=；②若Rt△QOP∽Rt△AOB时，∵Rt△QOP∽Rt△AOB，∴，即，解得：t=．所以当t为或时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似．【点评】此题是一次函数的综合题型，主要考查了三角形的面积，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，第（3）问的解题的关键是：分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB．五、（本大题共10分）23．每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（≈0.83）（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设平均降价率为x，根据“这件A商品的利润率为10%”列出方程求解即可；（2）首先列出方程求得增长率，然后求得标价即可．【解答】解：（1）设平均降价率为x，根据题意得：80（1﹣x）2=50（1+10%），解得：x=17%，答：平均每次降价率为17%；（2）依题意得：[80（1+a%）×50%﹣50]×60（1+a%）=3600，解得：a=100，标价80（1+100%）=160元，答：乙网店在双十一购物活动这天的网上标价为160元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系，难度不大．六、（本大题12分）24．课题学习：我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定点A（0，m）（m＞0）的距离与它到定直线y=﹣m的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线y=ax2（a ＞0）的图象，如图所示．。

江西省宜春市2018-2019学年第一学期期末统考高二数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题：，的否定是A.， B. ，C.， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是：，．故选：C．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础．2.若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,不正确，当a=1,b=-2.不满足条件；故选项不对.B当a=1,b=-2,不满足.故选项不正确。

C ,当c=0时，，故选项不正确.D 当，构造函数是增函数，故当，.故选项正确.故答案为：D.3.在中，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.考点：正弦定理的应用.4.设为等差数列的前n项和，已知，，则公差A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式直接求解．【详解】为等差数列的前n项和，，，，解得公差．故选：B．【点睛】本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.5.已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，结合题意可得答案．【详解】双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为，又由双曲线的一条渐近线为，即，则；故选：A．【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，当双曲线焦点在x轴上，其渐近线方程为，焦点在y轴上，渐近线方程为．6.已知数列的通项公式为，设其前n项和为，则使成立的正整数n有A. 最小值64B. 最大值64C. 最小值32D. 最大值32【答案】C【解析】【分析】根据数列的通项公式求出其前n项和的的表达式，然后令即可求出n的取值范围，即可知n有最小值．【详解】由题意可知；，设的前n项和为，，即，成立的正整数n有最小值为32，故选：C．【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，考查学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．7.若函数在点处的切线平行于直线，则A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】求导数，可得处的切线斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a．【详解】函数的导数为，在点处的切线平行于直线，可得，即，故选：D．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求抛物线的焦点坐标，则有椭圆的焦点坐标，据此可得，，，结合椭圆的离心率公式可得m的值，计算可得n的值，分析可得答案．【详解】根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点也为，焦点在y轴上，则有，，又由椭圆的离心率为，即，则，则，则；故选：A．【点睛】本题考查椭圆、抛物线的性质，注意椭圆离心率公式的应用，属于基础题．9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理可得，变形得，根据余弦定理可求得答案．【详解】根据题意，若，则有：，整理得：，可得：，又在中，，．故选：C．【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．10.已知函数为R上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数，则，则，则，则，，，，即，则，得，，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选：D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．11.已知点在椭圆上，点为平面上一点，O为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】点在椭圆上，得到a，b关系，然后通过基本不等式可得最小值，且求出取最小值时a，b的值，然后求解离心率．【详解】点在椭圆上，可得，为平面上一点，O为坐标原点，则当，当且仅当，可得，，，可得．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查利用基本不等式求最值问题，考查转化思想以及计算能力．12.已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数x从小到大排成数列，，则数列的通项公式是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解的所有正数根，然后根据函数的导数以及三角函数求值求解.【详解】函数，由，即，解得，从而2，3，，，故选：B．【点睛】本题考查导数的运算，三角函数方程的求解，以及数列通项公式的求法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集是______．【答案】或【解析】【分析】利用移项通分，转化为整式不等式组，即得答案．【详解】，，．．或，或．不等式的解集是或．故答案为：或．【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于简单题.14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．【答案】14【解析】【分析】由等比数列的性质得：，，成等比数列，即2，4，成等比数列，由此能求出．【详解】等比数列的前n项和为，，，由等比数列的性质得：，，成等比数列，，4，成等比数列，，解得．故答案为：14．【点睛】本题考查等比数列性质的应用，已知数列为等比数列，则，，也成等比数列．15.已知抛物线的焦点F和，点P为抛物线上的动点，则的周长取到最小值时点P的坐标为______，【答案】【解析】【分析】求周长的最小值，即求的最小值设点P在准线上的射影为D，可知因此问题转化为求的最小值，当D、P、A三点共线时最小，由此即可求点P坐标．【详解】抛物线的焦点为，点，求周长的最小值，即求的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知因此，的最小值，即的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时最小，P 的纵坐标为：2，可得，解得．则的周长取到最小值时点P的坐标为故答案为：．【点睛】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时最小，是解题的关键．16.随着人工智能的兴起，越来越多的事物可以用机器人替代，某学校科技小组自制了一个机器人小青，共可以解决函数、解析几何、立体几何三种题型已知一套试卷共有该三种题型题目20道，小青解决一个函数题需要6分钟，解决一个解析几何题需要3分钟，解决一个立体几何题需要9分钟已知小青一次开机工作时间不能超过90分钟，若答对一道函数题给8分，答对一道解析几何题给6分，答对一道立体几何题给9分该兴趣小组通过合理分配题目可使小青在一次开机工作时间内做这套试卷得分最高，则最高得分为______分【答案】140【解析】【分析】由题意及不等式的知识可列不等式组，由简单的线性规划知识画出不等式组所对应的可行域，再观察图象即可得解，【详解】设函数、解析几何、立体几何三种题型的题数分别为：x，y，z，则，x，y，，则有，化简得：，由题意可列不等式组，目标函数，不等式所对应的可行域为三角形ABC边界及其内部，由简单的线性规划及图象可得：当直线过点，即时，目标函数m取最大值140，故答案为：140．【点睛】本题考查了不等式及简单的线性规划知识，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.命题p：的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．若命题p为真，求实数m的取值范围；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】命题p为真命题等价不等式恒成立，进行求解即可．根据复合命题真假关系，判断p，q的真假即可．【详解】解：若命题p为真，则，为真，．若命题q为真，则，又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题或，，或，的取值范围是，．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，若．求角C；若，，求角B．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求，结合范围，可求C的值．由已知利用正弦定理可求，利用大边对大角可求，进而可求A的值，根据三角形内角和定理可求B的值．【详解】解：，，，，，可得，，，，，由，可得：，，可得，，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.已知函数，．在答题卡中的平面直角坐标系里作出的图象；求满足的x的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】根据绝对值的应用将函数转化为分段函数形式进行作图即可．作出两个函数的图象，利用图象法进行求解即可．【详解】解：(1)f(x)=|x+1|+|x-2|，，则对应的图象如图：，作出和的图象如图：若，则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．此时对应的x满足或，即不等式的解集为．【点睛】本题主要考查函数图象的应用，结合绝对值的意义转化为分段函数形式是解决本题的关键．20.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．求数列和的通项公式；令，求数列的前n项和．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，，，，，，．．，．．．数列的前n项和，，【点睛】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.设椭圆，B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，已知的最小值与最大值之和为4，且离心率，抛物线的通径为4．求椭圆和抛物线的方程；设坐标原点为O，A为直线与已知抛物线在第一象限内的交点，且有．试用k表示A，B两点坐标；是否存在过A，B两点的直线l，使得线段AB的中点在y轴上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）椭圆方程为，抛物线方程为；（2）①，，；②不存在.【解析】【分析】根据|的最小值与最大值之和为4，可求出a=2，再根据离心率求出c，再求得，则椭圆方程可得，根据抛物线的通径为4，可得，即可求出抛物线方程，设直线OA方程为，与抛物线方程联立，解得即可求出点A的坐标，根据设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立，解得即可求出点B 的坐标，根据的结论，利用线段AB的中点在y轴上，若求出k的值，在存在，否则不存在【详解】解：为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，的最小值与最大值之和为4，，，，，椭圆方程为，抛物线的通径为4，，抛物线的方程为．设直线OA方程为，显然，将直线OA与抛物线联立：得，，，，，设直线OB方程为，将直线OB与椭圆联立：得，当时，，，，，当时，，，，，综上，，，当时，，的中点在y轴上，即，此时方程无解，当时，，，即，此时方程无解，综上可知，不存在这样的直线l，使得AB的中点在y轴上．【点睛】本题考查了椭圆方程的几何性质和直线与抛物线和直线和椭圆的交点坐标，考查了运算能力，属于中档题．22.已知函数当时，求函数的极值；求函数的单调递增区间；当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）的极小值是，无极大值；（2）；（3）.【解析】【分析】代入a值，求函数的导数，解导数不等式得到函数的单调区间，即可求极值；求函数的导数，通过讨论a的范围，解导数不等式得函数的递增区间；问题转化为，令，根据函数的单调性求最大值，从而求a的范围．【详解】解：时，，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，而在处无定义，故的极小值是，无极大值；，当时，解得：或，故函数在，递增，当时，解得：，故函数在递增；，，令，则，，令，解得：，在递增，在递减，即，故．【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，综合性较强．。

宜春市九年级上册数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）下列图形是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知A（3，1）、B两点都在双曲线y= 上，O为坐标原点，若△AOB为等腰三角形，则点B的个数为（）A . 3 个B . 4个C . 5个D . 6个3. （2分）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）如图，l1∥l2∥l3 ，直线a ， b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F ．若，DE=4，则EF的长是（）.A .B .C . 6D . 105. （2分） (2019八上·随县月考) 如图所示，在中，，于，，则线段的长是（）A . 3B . 4C . 8D . 16. （2分）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（）A . 1cmB . 2cmC . πcmD . 2πcm7. （2分） (2017九下·福田开学考) 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A .B .C . 1D . 08. （2分） (2016八上·路北期中) 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的依据是（）A . （SAS）B . （SSS）C . （ASA）D . （AAS）9. （2分） (2018九上·金山期末) 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A . 30厘米、45厘米；B . 40厘米、80厘米；C . 80厘米、120厘米；D . 90厘米、120厘米二、填空题 (共8题；共8分)10. （1分）在下列四个函数①y=2x；②y=﹣3x﹣1；③y= ；④y=x2+1（x＜0）中，y随x的增大而减小的有________（填序号）．11. （1分）若二次函数y=x2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则m=________．12. （1分）(2017·苏州模拟) 抛物线y=2x2+3上有两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1=y2 ，当x=x1+x2时，y=________．13. （1分）(2017·泾川模拟) 如图，如图，点A（3，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠1，tan∠1=，则m的值是________．14. （1分） (2016九上·泰顺期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC=________．15. （1分）(2017·菏泽) 一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2 ，则此扇形的半径长为________．16. （1分） (2016九上·云阳期中) 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列四个结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△AED的周长是9．其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上．）17. （1分） (2016七下·威海期末) 一、二班共有100名学生参加期末体育测试，两班的平均达标率为81%，其中一班的达标率为87.5%，二班的达标率为75%，设一班有学生x名，二班有学生y名，根据题意，可以得到方程组________．三、解答题 (共7题；共61分)18. （5分） (2017九上·遂宁期末) 计算： .19. （10分）(2012·镇江)（1）解方程：；（2）解不等式组：．20. （5分） (2019七下·仁寿期中) 聪聪在对方程①去分母时，错误的得到了方程：2（x+3）-mx-1=3（5-x）②，因而求得的解是x= ，试求m的值，并求方程的正确解。

高二年级数学（文科）试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B A C D A C D C B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.14.14 15.16.140三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）若命题为真，则为真，…………4分（2）若命题为真，则…………5分又“且”是假命题，“或”是真命题是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题…………7分或…………8分的取值范围是…………10分18.（本小题满分12分）（1）∵,即∴。

6分（2）∵=∴=×=∵即。

∵。

12分19.（本小题满分12分）（1）6分（2）∵，由第一问图像可知，当时，图像在图像的上方。

的解集为12分20.（本小题满分12分）（1）∵∴=3分6分(2)∵8分12分21.（本小题满分12分）(1)∴∵∴即∴椭圆方程为（2）①设直线方程为显然将直线与抛物线联立：得∴∴直线方程可设为直线方程与椭圆方程联立：得②当由题可知即此方程无解。

当由题可知即此方程无解。

∴综上可知，不存在这样的直线，使得中点在轴。

22.（本小题满分12分）（1）时令可得，即在上递增，上递减，上递增，而在处无定义。

∴有极小值无极大值。

（2）当时，解得∴增区间为当时，解得∴增区间为。

（3）∵即。

令=∴∵即∴上递增，上递减。

即∴。

宜春市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·新宁模拟) 若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2 ，且x1≠x2 ，有下列结论：①x1=2，x2=3；② ；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，符合题意结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）下列事件是随机事件的是（）．A . 在一个标准大气压下，加热到100℃，水沸腾B . 购买一张福利彩票，中奖C . 有一名运动员奔跑的速度是30米/秒D . 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球4. （2分）(2019·遂宁) 如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A . 有两个相等的实数根B . 有两个不相等的实数根C . 没有实数根D . 无法确定6. （2分） (2019九上·杭州月考) 给出下列命题：①平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；②平面上任意三点能确定一个圆；③图形经过旋转所得的图形和原图形全等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等；⑤经过圆心的直线是圆的对称轴，正确的命题为（）A . ①③⑤B . ②④⑤C . ③④⑤D . ①②⑤7. （2分）甲、乙两人进行象棋比赛，比赛规则为3局2胜制．如果两人在每局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先胜了第1局，那么最后甲获胜的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·株洲) 已知二次函数的图像如下图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上（）A . （－1,2）B . （1，－2）C . （2,3）D . （2，－3）9. （2分）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（）A . 400（1+x）2=1600B . 400[1+（1+x）+（1+x）2]=1600C . 400+400x+400x2=1600D . 400（1+x+2x）=160010. （2分）已知两点A（-5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0 ， y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0 ，则x0的取值范围是（）A . x0＞-5B . x0＞-1C . -5＜x0＜-1D . -2＜x0＜3二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）在平面直角坐标系中，点（-3，2）关于y轴的对称点的坐标是________.12. （1分） (2019九上·宝应期末) 若一元二次方程的两个实数根分别是3、，则=________.13. （1分） (2019七上·宜兴月考) 如图是一个正方体的表面展开图，相对面上两个数互为相反数，则x+y ＝________.14. （1分）一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，它们除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共实验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有________个．15. （1分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛．求参加邀请赛的球队数．若设共有x个球队参加此次邀请赛，则根据题意可列方程为________ ．16. （1分）(2017·浦东模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60° ，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么 =________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）解方程：（1）（2）18. （7分） (2015八下·萧山期中) 2014年某市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同，且设这个增长率为x．（1） 2015年的投资额为________亿元，2016年的投资额为________亿元；（用含x的代数式表示）（2）求每年市政府投资的增长率．19. （5分）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．20. （8分） (2020九下·深圳月考) 某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如图不完整统计图．请结合图中信息，解决下列问题．（1）此次调查中接受调查的人数为________人，其中“非常满意”的人数为________人；“一般”部分所在扇形统计图的圆心角度数为________．（2）兴趣小组准备从“不满意”的位群众中随机选择位进行回访，已知这位群众中有位来自甲片区，另位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众都来自甲片区的概率．21. （10分） (2016九上·婺城期末) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．22. （10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，要求每件销售价格不得高于27元，并将所得利润捐给贫困母亲。

宜春市九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解.【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83t =（2）∵PE AC ∥，∴=DP DEDA DC ， 即886-=t DE， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ，∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t（3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ， 在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2222+=+CE CQ PD DE ，即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t解得1256-=t ，2256+=-t （舍）所以当=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？ 【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ， 解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=， 解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件． 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．3．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．4．如图直线y ＝kx +k 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，且AB ＝2 （1）求k 的值；（2）点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ，连接OP ，设△PQO 的面积为S ，点P 运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•32t＝﹣323．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣13＝323．（3）直线PQ的解析式为y 353．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB223AB OA-=∴k3（2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OBOA= ∴∠BAO ＝60°， ∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°， ∴∠AQP ＝30°， ∴AQ ＝2AP ＝2t ，当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t 3323． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1）•32t ＝32t 2﹣34t ． （3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7， ∴3t 2﹣11t +6＝0， 解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （1233Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx +b ，则有133250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为35333y x =-+． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4yx x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称 设Q 的横坐标为a 则()11a x --=-- ∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++ 当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M - ∴2(3)1AM =---= 设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3y x将2x =-代入3y x，得1y =∴(2,1)E -， ∴1EM=∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯=（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合， ∴3OQ = ∵2223(1)4yx x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ， 则1DK =，4OK = ∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，DQ =∴4FG ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m +()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m = 当4m =-时，2235m m --+=- 当1m =时，2230m m --+=． ∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时， 直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时， （Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN=2AN =， 解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．8．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y＝﹣23x2﹣43x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2．连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则PM＝﹣23m2﹣43m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵当x＝0时，y＝﹣23×0﹣43×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝12AO•PM+12CO•PN﹣12AO•CO＝12×3×（﹣23m2﹣43m+2）+12×2×（﹣m）﹣12×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴当m＝﹣2ba＝﹣32时，S△PAC有最大值．∴n＝﹣23m2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52，∴存在点P（﹣32，52），使△PAC的面积最大．（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD与△CBO中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可证△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．9．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.【解析】【分析】（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式【详解】解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；②∵M（4,1），N（-2,3）∴，又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6，4∴n=-1或5（2）如图1，①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，结合图象可知：②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，点P的坐标为（，7）或（，-3）（3）如图2，y=+或y=+【点睛】此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A（-1，10．如图，已知二次函数22(0)0），与y轴正半轴交与点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．(1) 求一次函数解析式； (2)求顶点P 的坐标；(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标；(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值． 【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3 (2)顶点P 的坐标为（1，4） (3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-） （445【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求； （2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值． 【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1 ∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++ ∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4） (3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+ ∵直线3y x b =+过P （1，4） ∴b=1∴平移后的直线为31y x =+ ∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠= 设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M -23-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N 当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3， ∴A （-1，0）， P 点坐标为（1，4）， 则可得PD 解析式为：y=2x+2， 令x=0，可得y=2， ∴D （0，2），∵D 与D′关于直线x=1对称， ∴D′（2，2）． 根据ND′⊥PD ， 设ND′解析式为y=kx+b ， 则k=-12，即y=-12x+b ， 将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b ，解得b=3， 可得函数解析式为y=-12x+3， 将两函数解析式组成方程组得：13222y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214,)55，由两点间的距离公式：d=222144522555⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为455【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．综合与实践问题情境在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1，MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．观察发现（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；实践探究（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；提出问题（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】【分析】（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；（4）过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.【详解】综合与实践（1）AB+DB=CB（2）线段CE如图所示.证明：∵∠ECB=∠ACD=60º，∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，∴∠2=∠1.∵∠ACD=∠DBN=60º, ∠ABD+∠DBN=180º，∴∠ABD+∠ACD=180º，∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180º.∵∠CAB+∠4=180º，∴∠4=∠3.又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB（ASA）∴EA=BD，EC=BC.又∵∠ECB=60°，∴△ECB为等边三角形,∴EB=CB.而EB=EA+AB=DB+AB,∴CB=DB+AB.（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60º∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA即∠ECA=∠BCD∵∠DBN=120º∴∠DBA=60º又∵∠AFB=∠DFC∴∠EAF=∠BDC又∵AC=DC∴△ACE≌△DCB（ASA）∴BC=EC∴△ECB为等边三角形∴∠CEB=60º∵BC⊥CD∴∠ECA=∠BCD=90º∴在Rt△AEC中，∠CAE=30º∵BC=2，EC=BC∴AC=EC·tan60º= 23【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据题中条件适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等的性质得出线段关系是本题的关键.12．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．13．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF'的长最大值为2 22 +315α=．【解析】【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；②当旋转到A、O 2，此时α=315°．【详解】(1)如图1,延长ED交AG于点H,∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，90OA ODAOG DOEOG OE=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，∵OA=OD=12OG=12OG′，∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=OAOG'=12，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD,OA⊥AG′，∴OD∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，即α=30°；(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°−30°=150°.综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA=OD=OC=OB=22，∵OG=2OD，∴2，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=22+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°.【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．14．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）612；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF=2221-=3，在Rt△ABF中，BF=22AB AF- =6，∴BD=CE=BF﹣DF=61-，∴FH=12EC=612-．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．15．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同（1）可证∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°， 即AD⊥BE ， ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ， ∴FH ⊥FG ， 即FH=FG ，FH ⊥FG ， 结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．四、初三数学 圆易错题压轴题（难）16．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，()两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A (0，2)， (1)求的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交； (3)设⊙P 与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P 的纵坐标为0或4+2或4﹣2． 【解析】。