常微分方程复习提纲

福师《常微分方程》期末复习材料一、概述本文档是为福师《常微分方程》课程的期末复提供的材料。

在复过程中，我们应该独立做出决策，不寻求用户帮助，并且遵循简单策略，避免法律复杂性的问题。

同时，在引用内容时，应确保可以进行确认。

二、复内容1. 基本概念：复常微分方程的基本概念，如微分方程的定义、阶数、线性与非线性等。

基本概念：复习常微分方程的基本概念，如微分方程的定义、阶数、线性与非线性等。

2. 求解方法：回顾不同类型的常微分方程的求解方法，包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

求解方法：回顾不同类型的常微分方程的求解方法，包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。

3. 常见方程：重点复一些常见的微分方程类型，如一阶线性方程、二阶线性方程、高阶线性方程等。

常见方程：重点复习一些常见的微分方程类型，如一阶线性方程、二阶线性方程、高阶线性方程等。

4. 初值问题：了解和练求解常微分方程的初值问题，包括给定初始条件的情况下，确定特定解的方法。

初值问题：了解和练习求解常微分方程的初值问题，包括给定初始条件的情况下，确定特定解的方法。

5. 常微分方程的应用：了解常微分方程在不同领域的应用，如物理学、生物学、经济学等，并掌握如何将实际问题转化为数学模型。

常微分方程的应用：了解常微分方程在不同领域的应用，如物理学、生物学、经济学等，并掌握如何将实际问题转化为数学模型。

三、复策略1. 独立复：在复过程中，尽量独立思考和解决问题，不依赖他人的帮助。

独立复习：在复习过程中，尽量独立思考和解决问题，不依赖他人的帮助。

2. 简单策略：遵循简单有效的复策略，不涉及法律复杂性的问题，以保证复的顺利进行。

简单策略：遵循简单有效的复习策略，不涉及法律复杂性的问题，以保证复习的顺利进行。

3. 实践练：进行大量的题练和实践操作，加深对常微分方程理论和求解方法的理解与掌握。

实践练习：进行大量的习题练习和实践操作，加深对常微分方程理论和求解方法的理解与掌握。

第一章 绪 论1. 常微分方程和偏微分方程在微分方程中，只含有一个自变量的方程称为常微分方程，有两个或两个以上自变量的方程称为偏微分方程。

2. 一阶与高阶微分方程在一个微分方程中，所出现的未知函数导数的最高阶数n 称为该方程的阶，当1=n 时，称为一阶微分方程；当1>n 时，称为高阶微分方程。

一阶常微分方程的一般显式形式为：),(y x f y ='。

一阶常微分方程的一般隐式形式为：0),,(='y y x F 。

n 阶显方程的一般形式为：),,,,()1()(-'=n n y y y x f y 。

n 阶隐方程的一般形式为：0),,,,()(='n y y y x F 。

其中F 及f 分别是它所依赖的变元的已知函数。

3. 线性和非线性微分方程如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F 的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则它称为线性微分方程，否则，为非线性微分方程。

n 阶线性微分方程的一般形式为：)()()()()1(1)(0x g y x a y x a y x a n n n =+++-其中0)(0≠x a ，)(),(,),(),(10x g x a x a x a n 均为x 的已知函数。

特别地，一阶线性微分方程的一般形式为：()()()a x y b x y g x '+=，其中()0a x ≠，(),(),()a x b x g x 均为x 的已知函数。

4. 方程的解对于微分方程0),,,,()(='n yy y x F ，若将函数)(x y ϕ=代入方程后使其有意义且两端相等，即0))(,),(),(,()(≡'x φx φx φx F n ，则称函数)(x y ϕ=为该方程的一个显式解。

若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。

方程显式解和隐式解统称为微分方程的解。

常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。

本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。

常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。

一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。

1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。

1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。

解分为通解和特解。

通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。

1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。

初值问题的解是满足给定初值条件的特解。

二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。

2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。

线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。

2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。

对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。

2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。

2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。

2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。

三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。

常微分方程知识点总结一、基本概念。

1. 常微分方程。

- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。

例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。

- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。

如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。

2. 解与通解、特解。

- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。

- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。

例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。

- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。

比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。

二、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式：g(y)dy = f(x)dx。

- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。

例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。

2. 齐次方程。

- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。

- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。

例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。

2012-2013第二学期常微分方程期末复习提纲第一章绪论掌握微分方程的概念, 能正确判断微分方程的阶数以及是否线性方程.第二章一阶微分方程的解法1 掌握变量分离方程的解法.2 掌握恰当方程的判定以及求解方法. 对于非恰当方程, 重点掌握如何求只与x或y有关的积分因子, 并由此求解方程.3 了解一些常见的能够化为变量分离方程的类型以及所用的变换. 例如齐次方程ddy ygx x⎛⎫= ⎪⎝⎭, 111222dda xb y cyx a x b y c++=++, ()ddyf ax by cx=++等类型.重点掌握形如111222d da xb y cyx a x b y c++=++的方程的求解方法.第三章一阶微分方程的解的存在定理1 简要理解解的存在性定理.2 了解利普希兹（Lipschitz）条件与偏导连续的关系.第四章高阶微分方程1 熟悉齐次与非齐次线性方程的解的结构以及性质定理2 掌握Wronsky行列式与线性相关或无关的关系.3 掌握基本解组相关概念.4 重点掌握常系数高阶非齐次线性微分方程的求法.特征根法和比较系数法.5 了解常见的可以降阶的高阶方程的类型, 重点掌握不显含未知函数的高阶方程的降阶求解法.第五章方程组1 熟悉基解矩阵的概念.2 掌握Atexp与基解矩阵的关系.3 重点掌握利用特征值求基解矩阵以及标准基解矩阵Atexp的方法.(只考虑有n个特征值的情形即可)。

《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。

常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。

1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。

它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。

常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。

2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。

常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。

一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。

3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。

它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。

求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。

4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。

这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。

5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。

6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。

例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。

7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。

这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。

总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。

常微分方程重点第一章 初等积分法1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。

2、微分方程的分类''(,)f x y ⎧=⎪⎨⎪⎩显式方程：y 隐式方程：F(x,y,y ）=0。

3、解的分类1212,,...(,,,...)n n n n C C y x C C ϕ⎧⎪=⎨⎪⎩通解：阶常微分方程的含有个任意常数C 的解使C 。

特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。

4、初值问题：00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(也叫柯西问题)例1：求下列方程满足所给初始条件的解：2'2(1)20(0)1x y xy y ⎧-+=⎨=⎩5、变量可分离方程：()*(),()()()()0dy f x y dx M x N y dx P x Q y dy ϕ⎧=⎪⎨⎪+=⎩或例2：求解方程(1)2211y dy dx x -=- (2)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 6、齐次方程：()dy y f dx x = (类似于11111****()()****dy a x b y c d a b f f dx a x b y c d a b ηξηξξη+++=⇒=+++) （变量代换）例3：求解1-3dy x y dx x y -+=+ 7、一阶线性微分方程：()*()dy p x y q x dx =+（采用常数变易法） ()()()()0, y=c*e ()0, y=(()*)*e p x dx p x dx p x dx q x q x q x e c -⎧⎰=⎪⎨⎰⎰⎪≠+⎩⎰ 定积分形式：000()()0(()*)s s x x p d p s ds x x y q s e ds y e ττ-⎰⎰=+⎰例4：21*2(2)2(0)2dy y x dx x x ⎧=+-⎪-⎨⎪=⎩例5：（证明题）设函数f(t)在[0,]+∞上连续且有界，试证明：方程()dx x f t dt+=的所 有解解在[0,]+∞上有界。

期末复习：福师版《常微分方程》第一章导论1.1 微分方程的定义与例子- 微分方程：未知函数及其导数之间的关系式。

- 一阶微分方程：形式为 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \) 的微分方程。

- 二阶微分方程：形式为 \( \frac{d^2y}{dx^2} = f(x) \) 的微分方程。

1.2 微分方程的解法- 分离变量法：将方程中的变量分离到等式的两边。

- 积分因子法：乘以一个积分因子使方程变为可积形式。

- 变量替换法：用一个新的变量替换原方程中的变量。

第二章一阶微分方程2.1 可分离变量的微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} = f(x) \)- 解法：分离变量，积分求解。

2.2 齐次方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} = f(y) \)- 解法：设 \( y = v(x) \)，代入原方程，解出 \( v(x) \)，从而得到 \( y \) 的解。

2.3 一阶线性微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \)- 解法：积分因子法。

2.4 可化为齐次方程的线性微分方程- 形式：\( \frac{dy}{dx} + Py = Q(x) \)- 解法：先求解对应的齐次方程，再求解非齐次方程的通解。

第三章二阶微分方程3.1 二阶线性微分方程- 形式：\( \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \)- 解法：特征方程法。

3.2 常系数二阶线性微分方程- 形式：\( a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) \)- 解法：特征方程法，求出特征根，写出通解。

3.3 伯努利方程- 形式：\( \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \) - 解法：配方，化为标准形式。

常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。

本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。

《常微分方程》课程复习提纲 ( 共8页 )一．计算方面----常微分方程主要可求解类型及解法要点1． 一阶方程（1） 一阶变量可分离方程：)()(y h x g dx dy = ；)(xydx dy ϕ= ；)(222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=ϕ （2） 一阶线性方程：)()(x q y x p dx dy += ；R)n , 0,1(n )()(∈≠+=n y x q y x p dxdy（3） 一阶恰当方程：)y M (0),(),(xNdy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+ 积分因子：))(y M)((0),(),(xN dy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+μμμμ 单变量积分因子：)(1x N N M dx d X Y ϕμμ≡-= ； )(1y MM N dy d YX ϕμμ≡-= 恰当方程解法：分项组合法（又称凑微分法）或者用偏积分法：)(),(),(y dx y x M y x U ϕ+=⎰yy)dx M(x,y)N(x, )(∂∂=⎰一dy y d ϕ（4） 一阶隐方程：),( , ),( )(y y f x y x f y '='=II 型解法：0),( , 0),( )(='='∏y y F y x F∏型解法：2．n 阶线性常系数方程（1） n 阶线性常系数齐次方程：),(a 0i 1111R t R x a dt dxa dt x d a dt x d n n n n n n ∈∈=++++--- 特征方程：0111=++++--n n n n a a a λλλ（2） n 阶线性常系数非齐次方程：),(a )(i 1111R t R t f x a dt dxa dt x d a dt x d n n n n n n ∈∈=++++--- 其特解的求法：a ） 常数变易法：令)()()()()(11*t x t c t x t c t x n n ++=则：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''---)(0)()()()()()(1)1()1(111t f t x t x t x t x t c t c n n n n n b) 待定系数法：t m e t p t f 0)()()(λ=I ，可待定t m k e t q t t x *0)()(λ=，其中0λ是k 重特征根 t n m e t t B t t A t f ] sin )( cos )([)( )(αββ+=∏，可待定tl l k e t t q t t p t t x *] sin )( cos )([)(αββ+=，其中0λ=i βα±是k 重特征根，l=max{m,n} c) 拉斯变换法：)()( 0)(,0)0( )()()()]([)*(*s A s F s B x s A s B s F t x L i ==+=时当3．高阶可降阶方程： 0),,,()()(=n k x xt F ，0),,,()(='n x x x F4．一阶n 维线性常系数方程组（1）．一阶n 维线性常系数齐次方程组：),(a )()()()(ij 111111R t R t x t x a a a a t x t x n nn n n n ∈∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''基解矩阵Ate t =Φ)(求法：a ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t n n e e A λλλλ00e , 001At1则 b ） A 可相似对角化，即存在可逆阵P ，使得：1-Λ=P P A（特：A 具有n 个不等的特征根n λλ ,1） 则：1At0e1-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P e e P t t n λλ( 此种情况下()n t t tp e p e Pen λλ,,11 =∆也是方程的基解矩阵 ，但有可能是复的)c ）A 只有一个n 重特征根λ则：k n k kt EtAt t AtE A k t e ee e)(!10 λλλλ-==∑-=-d ） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t D t D s S e e D D A0e , 001At1则 其中： 的阶数为i i k i i n k ktEtt D t tD D nE D k teee ei i i I i i ,)(!10 λλλλ-==∑-=- *e ） A 不可相似对角化，也不属于上述其他类型，这时可用约当标准型法第一步, 对A E -λ作初等变换至对角阵，得约当阵J 第二步，求P 使得PJ AP =，第三步，1-=P Pe Jt Ate（2）．一阶n 维线性常系数非齐次方程组：),(a )()( )()()()(ij 1111111R t R t f t f t x t x a a a a t x t x n n nn n n n ∈∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'' 其特解的求法：常数变异法（特殊自由项可用待定系数法）令)()()()()()()(11*t C t t X t c t X t c t X n n Φ=++=则：)()()()()()()()()()(11111111t f t t f t f t x t x t x t x t c t c n nn n n n --Φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''满足初始条件0)(0*=t X 的特解：⎰⎰--=ΦΦΦ=tt s t A Attt ds s f e e t ds s f s t t X )( 1*)( )( )()()()(⎰⎰--+=ΦΦΦ+Φ=tt s t A At At tt ds s f e C e e t ds s f s t C t t X )( 10)( )( )()()()()(通解## 练习：求解下列方程及方程组。