常微分方程课程
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常微分方程 一流本科课程申报书
常微分方程一流本科课程申报书摘要：1.课程概述2.课程目标3.课程内容4.教学方法5.课程评价6.预期成果正文：一、课程概述常微分方程是一门研究常微分方程理论及其应用的课程，主要面向数学与应用数学专业的本科生。
该课程旨在培养学生具备良好的数学素养，掌握常微分方程的基本理论、方法和应用技巧，为后续深入学习及相关领域研究奠定基础。
二、课程目标1.掌握常微分方程的基本概念、性质和解法。
2.熟悉常微分方程的稳定性、奇点、相空间等重要概念。
3.熟练运用常微分方程理论解决实际问题。
4.培养学生的数学建模、逻辑思维和创新能力。
三、课程内容1.常微分方程的基本概念：微分方程、解、通解等。
2.常微分方程的解法：可分离变量、齐次、线性、伯努利等。
3.常微分方程的性质：稳定性、奇点、相空间等。
4.常微分方程的应用：建模与求解。
四、教学方法1.讲授式教学：以课堂讲授为主，结合实际例子讲解理论知识。
2.讨论式教学：组织学生进行课堂讨论，激发学生的思考和创新能力。
3.实践性教学：布置课后习题，要求学生运用所学知识解决实际问题。
4.线上教学：利用网络资源，为学生提供课后学习辅导。
五、课程评价1.课堂测验：检验学生对课堂知识的掌握程度。
2.课后作业：检验学生对课后知识的理解和运用能力。
3.期末考试：全面评估学生的理论知识和应用能力。
4.课程报告：评估学生的实践能力和学术报告水平。
六、预期成果1.学生掌握常微分方程的基本理论和方法。
2.学生具备解决实际问题的能力，培养创新意识。
《常微分方程》国家级一流本科课程
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，主要研究函数的导数与自变量的关系。
它广泛应用于物理、工程、生物学、经济学等领域，在现代科学和技术的发展中起着举足轻重的作用。
常微分方程课程作为国家级一流本科课程，不仅具有重要的理论意义，更是对学生培养适应未来科学技术发展需要的基本素质及能力的重要载体。
下面将围绕常微分方程的相关主题进行深入探讨。
一、常微分方程概述常微分方程是指未知函数的若干阶导数与自变量的关系式，通常表示为$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中$y$是未知函数，$y'$是$y$对$x$的一阶导数，$y''$是$y$对$x$的二阶导数，$y^{(n)}$是$y$对$x$的$n$阶导数。
通过求解常微分方程，我们可以得到函数$y$的具体形式，这对于研究自然界的现象以及工程技术中的问题具有重要的意义。
二、基本概念1. 常微分方程的阶数：常微分方程中导数的最高阶数称为方程的阶数。
$y''+3y'+2y=0$是一个二阶常微分方程。
2. 解的存在唯一性：对于一阶线性常微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，如果$p(x)$和$q(x)$在某个区间上连续，则存在且只存在一条通过点$(x_0,y_0)$的积分曲线。
3. 隐函数与显函数：当一个方程中含有若干个未知函数的导数时，这种方程称为含有隐函数的方程。
如果这个方程可以表示为每一个未知函数关于独立变量的函数形式，那么这种方程称为含有显函数的方程。
三、基本理论1. 解的存在与唯一性定理：对于线性常系数常微分方程以及一阶常微分方程的初值问题，存在唯一解。
2. 解的表示定理：对于一阶线性常微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以通过积分因子法求得其解的表示形式。
3. 非线性常微分方程：对于一些特殊的非线性常微分方程，我们可以通过变量变换、分离变量等方法求得精确解或者近似解。
常微分方程课程设计
常微分方程 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握常微分方程的基本概念、分类和性质，理解微分方程在数学建模和科学研究中的重要性。
2. 使学生掌握一阶微分方程的解法，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程以及伯努利方程等。
3. 帮助学生理解高阶微分方程的求解方法，包括常数变易法和待定系数法。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）解决常微分方程问题的能力。
2. 培养学生分析实际问题时，能够建立数学模型，转化为微分方程，并求解的能力。
3. 提高学生通过合作学习、讨论交流等方式，解决复杂微分方程问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对常微分方程的兴趣和热情，激发学生探索数学奥秘的精神。
2. 培养学生严谨的科学态度，养成独立思考、分析问题和解决问题的习惯。
3. 增强学生的团队协作意识，学会尊重他人，提高沟通表达能力。
本课程针对高年级学生，课程性质为专业基础课。
在分析课程性质、学生特点和教学要求的基础上，将课程目标分解为具体的学习成果，以便后续的教学设计和评估。
通过本课程的学习，使学生不仅掌握常微分方程的基本知识，还能将其应用于实际问题中，提高学生的综合素质和能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 常微分方程的基本概念与性质：介绍微分方程的定义、阶数、线性与非线性微分方程，分析微分方程的解及其存在唯一性定理。
2. 一阶微分方程的解法：涵盖可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等，通过实例解析各类方程的求解方法。
3. 高阶微分方程的求解：介绍常数变易法、待定系数法等求解方法，并对具体方程进行分析。
4. 微分方程组：讲解微分方程组的求解方法，包括解的存在唯一性定理、线性微分方程组的解法等。
5. 微分方程应用：结合实际案例，教授如何将微分方程应用于物理、生物、经济等领域。
教学内容安排如下：第1周：常微分方程基本概念与性质；第2周：一阶微分方程解法（可分离变量、齐次方程）；第3周：一阶微分方程解法（一阶线性方程、伯努利方程）；第4周：高阶微分方程求解方法（常数变易法、待定系数法）；第5周：微分方程组及其解法；第6周：微分方程在实际问题中的应用。
《常微分方程》课程教学标准
《常微分方程》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。
本课程的口的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析儿何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分儿何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣, 做好准备。
教学时间应安排在第四学期或第三学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用山中山大学王高雄周之铭朱思铭王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年岀版的《常微分方程》笫二版一书,作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下儿本重要的参考书：1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义（第二版），叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章绪论主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导岀的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。
同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。
通过这一章的学习,学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与儿何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。
《常微分方程》课件
学习变量分离法解决一些特定类型的常微分方程，为深入研究提供技术支持。
齐次常微分方程及非齐次常微 分方程
理解齐次和非齐次常微分方程的区别，学习它们的解法并应用于实际问题。
常微分方程的初值问题及其解 法
探索常微分方程的初值问题，并学习如何求解初值问题的特解和解的存在唯 一性。
高阶常微分方程转化为一阶常微分方程
学习将高阶常微分方程转化为一阶形式，为解决复杂问题提供简化和便利。
常微分方程的特殊解与通解
探索常微分方程的特殊解和通解的概念，以及如何求解并理解其意义。
线性常微分方程及其解法
深入研究 的解法。
变量分离法求解常微分方程
《常微分方程》PPT课件
欢迎来到《常微分方程》PPT课件！本课程将带你深入了解常微分方程的基础 概念和解法，并展示其在各个领域的应用。
常微分方程基础
探索微分方程的定义、基本类型和解析解的概念，为后续学习打下坚实基础。
一阶常微分方程解法
介绍一阶常微分方程的多种解法，包括分离变量法、恰当方程法和线性方程 法。
齐次常微分方程及非齐次常微 分方程
理解齐次和非齐次常微分方程的区别，学习它们的解法并应用于实际问题。
常微分方程的初值问题及其解 法
探索常微分方程的初值问题，并学习如何求解初值问题的特解和解的存在唯 一性。
高阶常微分方程转化为一阶常微分方程
学习将高阶常微分方程转化为一阶形式，为解决复杂问题提供简化和便利。
常微分方程的特殊解与通解
探索常微分方程的特殊解和通解的概念，以及如何求解并理解其意义。
线性常微分方程及其解法
深入研究 的解法。
变量分离法求解常微分方程
《常微分方程》PPT课件
欢迎来到《常微分方程》PPT课件！本课程将带你深入了解常微分方程的基础 概念和解法，并展示其在各个领域的应用。
常微分方程基础
探索微分方程的定义、基本类型和解析解的概念，为后续学习打下坚实基础。
一阶常微分方程解法
介绍一阶常微分方程的多种解法，包括分离变量法、恰当方程法和线性方程 法。
常微分方程先修课程
常微分方程先修课程常微分方程先修课程引言：常微分方程作为数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、生物、经济等领域中的数学建模与问题求解中。
作为初学者，学习常微分方程前需要先修的一些数学基础知识是至关重要的。
本文将介绍常微分方程先修课程内容，帮助读者理解并掌握这门重要学科。
一、微积分基础1. 一元函数的基本概念：函数的定义域、值域、极限和连续性等。
2. 导数的概念及其基本性质：包括一阶导数、高阶导数、复合函数求导等。
3. 不定积分和定积分的概念：学习基本的积分法则、换元积分法、分部积分法等。
二、微分方程基础1. 常微分方程的定义和分类：区分常微分方程和偏微分方程，了解常微分方程的一阶和高阶形式。
2. 分离变量法：学习如何将微分方程中的各个变量分离开来，从而简化问题求解。
3. 线性微分方程：研究一阶和高阶线性微分方程的解法，掌握常系数线性微分方程的特解和通解求解方法。
三、高级微分方程1. 高阶常微分方程：学习高阶常微分方程的一般解法，包括特征方程法和变换法等。
2. 线性微分方程组：了解线性微分方程组的概念和求解方法，研究线性微分方程组的特解和通解。
3. 线性非齐次方程：研究线性非齐次方程的特解和通解求解方法，掌握常系数线性非齐次方程的特解形式。
4. 常微分方程的应用：深入了解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用，探究如何将数学与实际问题相结合。
结语：常微分方程是数学中的重要学科，学习它需要一定数学基础。
通过修习常微分方程先修课程，我们可以熟悉微积分基础及微分方程的基本概念和求解方法，为进一步深入学习和应用打下坚实的基础。
希望读者通过本文的介绍，对常微分方程先修课程有更加清晰的认识，并对今后的学习规划有所帮助。
让我们一同投入到这个精彩而充满挑战的学科中吧！。
常微分方程 一流本科课程申报书
常微分方程一流本科课程申报书摘要：一、引言二、常微分方程课程的重要性三、课程目标和教学内容四、教学方法和手段五、课程实践与成果六、课程团队与资源七、总结与展望正文：一、引言常微分方程作为数学专业的一门重要课程，在培养学生具有扎实的数学基础和严谨的科学思维方面具有不可替代的作用。
本课程申报书旨在详细介绍常微分方程课程的教学理念、目标、内容、方法和实践成果，为一流本科课程建设提供有力支持。
二、常微分方程课程的重要性常微分方程是数学学科中的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、生物、经济等众多领域。
学习和掌握常微分方程理论，不仅能够加深学生对微积分、线性代数等基础数学知识的理解，还能够培养学生运用数学方法解决实际问题的能力。
三、课程目标和教学内容本课程旨在使学生掌握常微分方程的基本概念、解的性质及其应用，培养学生运用常微分方程解决实际问题的能力。
教学内容主要包括：常微分方程的基本概念、解的性质、解法及应用，如分离变量法、一阶线性微分方程、线性微分方程组、常微分方程的稳定性等。
四、教学方法和手段采用问题驱动、案例教学、线上线下混合式教学等多种教学方法，注重培养学生的主动学习能力和团队协作精神。
同时，运用现代教育技术手段，如网络教学平台、在线资源等，为学生提供丰富的学习资源和自主学习空间。
五、课程实践与成果通过课程实践环节，学生能够运用所学知识解决实际问题，如物理、化学、生物等领域中的常微分方程问题。
课程成果方面，学生在课程学习过程中，能够提高自身的数学素养和解决实际问题的能力，为继续深造和从事相关工作奠定坚实基础。
六、课程团队与资源本课程由具有丰富教学经验和科研实力的教师团队承担，团队成员在常微分方程领域取得了丰硕的研究成果，为课程建设提供了有力保障。
同时，课程充分利用校内外资源，为学生提供实践、研究、交流的平台。
七、总结与展望常微分方程课程在培养学生的数学素养和解决实际问题的能力方面具有重要作用。
本课程申报书详细介绍了课程的教学理念、目标、内容、方法和实践成果，展现了课程团队在建设一流本科课程方面的决心和努力。
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他知年代道，捕19获14的各1种91鱼5 的比19例16近似1地91反7 映了19地18中海里各种 鱼类的百比分比例。1战1.9争期间21.捕4 鱼量22大.1幅下2降1.，2 但捕36获.4 量的下降为 什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有 利而不年是代 对食1饵91有9 利呢19？20他百19思21不得1其92解2 ，无19法23解释这一现 象，就百去分比求教2当7.3时著名16.的0 意大15利.9数学1家4.V8 .Vol1t0e.7rra，希望他 能建立一个数学模型研究这一问题。
2、模型分析
Po(0,0)是平凡平衡点且明 显是不稳定，没必要研究
方程组（3.31）是非线性的，不易直接求解。容易看 出，该方程组共有两个平衡点，即：
P0
0, 0
和
P1
r2
2
,
r1
1
所以x1、x2轴是方程组的 两条相轨线。
方程组还有两组平凡解：
x1(t) x2 (t)
x1 0
(0)er1t
1、模型建立
Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量 记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建 立双房室系统模型。
对于食饵（Prey）系统 ：
大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生 存将按增长率为r1的指数律增长（Mal景：
意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关 系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界 大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分 比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼 、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理 想的鱼类占总渔获量的百分比。在 1914~1923年期间，意大 利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：
dx1 dt
r1x1
由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速 率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：
dx1 dt
出
1x1x2
λ1反映了捕食者掠取食饵的能力
对于捕食者（Predator）系统 ：
捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：
dx2 dt
出
r2
x2
但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞
( x er2 2x1 1
)(
x r1 2
e
1x2
)
S
（3.32）
令
(
x1
)
(
x r2 1
e2 x1
)
( x2
)
(
x r1 2
e 1 x2
)
用微积分知识容易证明：
两者应具有类似的性质
(0) () 0
x1
r2
2
'(x1) 0
' x1
r22r2 2
0
'(x1) 0
x1
r2
2
有： max
同理：对 (x2 )
P0
x0 x1
xx21
x211
事实上，若
S
max max，记
S
max
，则
0
max
由 (x1 ) 的性质，x1、x1，x1 x10而 x1 x10，使得：
(x1) (x1) 。同样根据的性质知，当 x1<x1<x1时
(x1 )
。此时： (x2 )
S
( x1 )
max ( x1 )
争来实现，方再程次组利（用3.统31计）筹反算映律了，在得没到有：
dd人与xt1 工捕入捕食获者2的之x1x自间2 然的环相境互中制食约饵关
综合以上分系组析。。，下建面立我P们-P来模分型析（该Vo方lte程rra方程）的方程组：
x&1 x&2
x1(r1 x2 (r2
1
x2 )
2 x1
)
（3.31）
和
x1(t) 0
x2
(t)
x2
(0)er2t
当x1(0)、x2(0)均不为零时，t 0 ，应有x1(t)>0且x2(t)>0，
相应的相轨线应保持在第一象限中。
求（3.31）的相轨线
将两方程相除消去时间t，得： dx1 x1(r1 1x2 ) dx2 x2 (r2 2 x1)
分离变量并两边积分得轨线方程：
max
故 (x1) (x2 ) S 无解。
得证。
确定闭曲线的走向
用直线
l1
:
x1
r2
2
将第一象限划分成四个子区域
l2
:
x2
r1
1
在每一子区域，x&1与 x&2不变号，据此确定轨线的走向（图3-22）
将Volterra方程中的第二个改写成： 平衡点P的两个坐标恰为
x x 将等其式在左xx&l一端n22r22x个为1(xt1Tr周零10(2t0期，t)Tt00 2)长故Tx1x1度可(tr)为2得TdtT：的2同区tt00理间T x：上1(t积)rd11t分xxxx&&&&食 周，T11122 期用得t0000t00中鱼T的x与2平2(食t)均d肉t值鱼。在xx&&xx&&12图12一300-0个0221
证明只当个有具需解一x有1<证，解周x明当，1<期：而xx11a解=m时存在x。(，在xx111或)<方两xx程点11或=（xxx1113及>时.图3x，2x时31）1-方2，，0有程x(方a1两)<恰x1xm20
x2
( x1
)
程无解。
0 x10
r2
x11
x1
0 0
x20 x1 r1
2
1
图3-21 图3-20 (b)
max
由 (x2 ) 的性质，x2、x2，使 (x1) (x2 ) S成立。
当x1= x1或
x1时， (x1)
，
(
x2
)
S (x1
)
max ( x1 )
max
仅当x2 x20时才能成立。
而当x1<x1或 x1>
x时1 ，由于
(x1 )
， (x2 )
S ( x1 )
max ( x1 )
x2
r1
1
有： max
(x1 )与 (x2 ) 的图形见图3-20
易知仅当 S max max时（3.32）才有解
记：x0 r2 , x0 r1
1
2
2
1
讨论平衡点 (x10 , x20 ) 的性态。
当S max max时，轨线退化为平衡点。
当 S max max时，轨线为一封闭曲线（图3-21），即周期解。
解释D’Ancona发现的现象
引入捕捞能力系数ε，（0<ε<1），ε表示单位时间 内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：
x&1 x&2
r1x1 r2
x2
1
x1x2 x1 食 (用r1 鱼的)x数1 量1反x1x而2 2 x1x2 因x2 捕 捞(r它2 而增)x2加，2
2、模型分析
Po(0,0)是平凡平衡点且明 显是不稳定，没必要研究
方程组（3.31）是非线性的，不易直接求解。容易看 出，该方程组共有两个平衡点，即：
P0
0, 0
和
P1
r2
2
,
r1
1
所以x1、x2轴是方程组的 两条相轨线。
方程组还有两组平凡解：
x1(t) x2 (t)
x1 0
(0)er1t
1、模型建立
Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量 记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建 立双房室系统模型。
对于食饵（Prey）系统 ：
大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生 存将按增长率为r1的指数律增长（Mal景：
意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关 系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界 大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分 比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼 、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理 想的鱼类占总渔获量的百分比。在 1914~1923年期间，意大 利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：
dx1 dt
r1x1
由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速 率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：
dx1 dt
出
1x1x2
λ1反映了捕食者掠取食饵的能力
对于捕食者（Predator）系统 ：
捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：
dx2 dt
出
r2
x2
但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞
( x er2 2x1 1
)(
x r1 2
e
1x2
)
S
（3.32）
令
(
x1
)
(
x r2 1
e2 x1
)
( x2
)
(
x r1 2
e 1 x2
)
用微积分知识容易证明：
两者应具有类似的性质
(0) () 0
x1
r2
2
'(x1) 0
' x1
r22r2 2
0
'(x1) 0
x1
r2
2
有： max
同理：对 (x2 )
P0
x0 x1
xx21
x211
事实上，若
S
max max，记
S
max
，则
0
max
由 (x1 ) 的性质，x1、x1，x1 x10而 x1 x10，使得：
(x1) (x1) 。同样根据的性质知，当 x1<x1<x1时
(x1 )
。此时： (x2 )
S
( x1 )
max ( x1 )
争来实现，方再程次组利（用3.统31计）筹反算映律了，在得没到有：
dd人与xt1 工捕入捕食获者2的之x1x自间2 然的环相境互中制食约饵关
综合以上分系组析。。，下建面立我P们-P来模分型析（该Vo方lte程rra方程）的方程组：
x&1 x&2
x1(r1 x2 (r2
1
x2 )
2 x1
)
（3.31）
和
x1(t) 0
x2
(t)
x2
(0)er2t
当x1(0)、x2(0)均不为零时，t 0 ，应有x1(t)>0且x2(t)>0，
相应的相轨线应保持在第一象限中。
求（3.31）的相轨线
将两方程相除消去时间t，得： dx1 x1(r1 1x2 ) dx2 x2 (r2 2 x1)
分离变量并两边积分得轨线方程：
max
故 (x1) (x2 ) S 无解。
得证。
确定闭曲线的走向
用直线
l1
:
x1
r2
2
将第一象限划分成四个子区域
l2
:
x2
r1
1
在每一子区域，x&1与 x&2不变号，据此确定轨线的走向（图3-22）
将Volterra方程中的第二个改写成： 平衡点P的两个坐标恰为
x x 将等其式在左xx&l一端n22r22x个为1(xt1Tr周零10(2t0期，t)Tt00 2)长故Tx1x1度可(tr)为2得TdtT：的2同区tt00理间T x：上1(t积)rd11t分xxxx&&&&食 周，T11122 期用得t0000t00中鱼T的x与2平2(食t)均d肉t值鱼。在xx&&xx&&12图12一300-0个0221
证明只当个有具需解一x有1<证，解周x明当，1<期：而xx11a解=m时存在x。(，在xx111或)<方两xx程点11或=（xxx1113及>时.图3x，2x时31）1-方2，，0有程x(方a1两)<恰x1xm20
x2
( x1
)
程无解。
0 x10
r2
x11
x1
0 0
x20 x1 r1
2
1
图3-21 图3-20 (b)
max
由 (x2 ) 的性质，x2、x2，使 (x1) (x2 ) S成立。
当x1= x1或
x1时， (x1)
，
(
x2
)
S (x1
)
max ( x1 )
max
仅当x2 x20时才能成立。
而当x1<x1或 x1>
x时1 ，由于
(x1 )
， (x2 )
S ( x1 )
max ( x1 )
x2
r1
1
有： max
(x1 )与 (x2 ) 的图形见图3-20
易知仅当 S max max时（3.32）才有解
记：x0 r2 , x0 r1
1
2
2
1
讨论平衡点 (x10 , x20 ) 的性态。
当S max max时，轨线退化为平衡点。
当 S max max时，轨线为一封闭曲线（图3-21），即周期解。
解释D’Ancona发现的现象
引入捕捞能力系数ε，（0<ε<1），ε表示单位时间 内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：
x&1 x&2
r1x1 r2
x2
1
x1x2 x1 食 (用r1 鱼的)x数1 量1反x1x而2 2 x1x2 因x2 捕 捞(r它2 而增)x2加，2