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第三章 多元回归

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第三章 多元线性回归模型

第三章 多元线性回归模型

即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i

多元线性回归

多元线性回归



Y
X
i
Y
1i i




X ki
XX 1i ki
XX 2i ki
X 2 ki


bˆk



X
k
Y
ii

正规方程
矩阵形式
n

X
X


X 1i

X 1i
X2 1i
X 2i
X X 2i 1i
2
ee ~ (n k 1)
ˆ
t
i
i ~ t(n k 1)
c ee ii n k 1
H ： 0成立下，t
0
i
ˆ i
c ee ii n k 1
若 |t | t临
拒绝 H 0
认为 与0有显著的差异 i
或者根据t 查t分布表的概率p, 若
p
E[((X X )1 X ( XB N ) B)((X X )1 X ( XB N ) B)]
E[(X X )1 X NN X ( X X )1]
( X X )1 X E(NN ) X ( X X )1
E(NN )(X X )1 X X ( X X )1
最小的）
线性
Bˆ ( X X )1 X Y
无偏性
E(Bˆ) E[(X X )1 X Y ] E[(X X )1 X ( XB N )] E[(X X )1 X XB ( X X )1 X N ] B ( X X )1 E( X N ) B
i
i
ESS
2

第三章 多元线性回归模型 知识点

第三章 多元线性回归模型 知识点

第三章 多元线性回归模型一、知识点列表二、关键词1、多元线性回归模型的代数和矩阵表示形式 关键词： 多元线性总体回归模型多元线性总体回归模型是指被解释变量y 与多个解释变量12,,,n x x x 之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数。

可以表达为：01122(1,2,3,,)i i i k ki iy x x x i n ββββμ=++++=多元线性回归模型相对于一元线性回归模型来说，其解释变量较多，因而计算公式比较复杂。

必要时需要借助计算机来进行。

2、多元线性回归模型的基本假设 关键词： 线性于参数总体回归模型是关于参数是线性的，因此称其为线性于参数。

关键词：完全共线性在样本中，没有一个自变量是常数，自变量之间也不存在严格（完全）的线性关系。

如果方程中有一个自变量是其他自变量的线性组合，那么我们说这个模型遇到了完全共线性问题。

关键词：零条件数学期望给定解释变量的任何值，误差的期望值为零，即：12(|,,,)0n E u x x x =。

关键词：内生解释变量和外生解释变量如果解释变量满足零条件数学期望，则称该自编为内生解释变量；反之，则为外生解释变量。

关键词：同方差对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差，即：22()(),(1,2,3,,)i i Var u E u i n δ===关键词：无序列相关性随机误差项两两不相关。

即(,)(,)0,(,,1,2,3,,)i i i i Cov u u E u u i j i j n ==≠=关键词：最优线性无偏估计量满足以下假设条件的OLS 估计量称为最优线性无偏估计量：（1）线性与参数；（2）X 固定；（3）X 有变异；（4）不存在完全共线性；（5）零条件数学期望；（6）同方差；（7）无序列相关性。

关键词：经典正态线性回归模型如果回归模型的OLS 估计量为最优线性无偏估计量，并且随机误差项u 服从均值为零，方差为2δ的正态分布，则称该线性回归模型为经典正态线性回归模型。

3第三章多元线性回归模型分析

3第三章多元线性回归模型分析
通常，一定要假设在模型中有常数项，即尽量让模 型包含常数项，以中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
i= 1 ,2 ,… ,n
因为Yi 是相互独立的，所以Y 的所有样本观测值的联合概率，
也即或然函数(likelihood function)为：
L(ˆ0,ˆ1,2) P(Y1,Y2,,Yn)
1
e1 22
(Yi
ˆ0ˆ1Xi
)2
n
(2)2
n
将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大 或然估计量。
由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极 大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：
1 212 (yi (ˆ0ˆ1x1i ˆ2x2i ˆkxki))2
e n
2
n
(2)
1
n
(2 )2
e212 (YXˆ )(YXˆ )
n
▪ 对数似然函数为
L*Ln(L)
nLn( 2)212(YX )'(YX )
▪ 参数的极大似然估计
(XX)1XY
▪ 结果与参数的普通最小二乘估计相同
附录：矩估计(Moment Method,MM)
为偏回归系数（partial regression coefficients）。
▪偏回归系数的含义如下： 1度量着在X2,X3,…,Xk保持不变的情况下，X1
每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化，或者说 1给出X1的单位变化对Y均值的“直接”或“净” （不含其他变量）影响。

第三章 多元线性回归模型

第三章 多元线性回归模型

i = 1,2, L , n
回归剩余（残差）： 回归剩余（残差）：
ˆ ei = Yi - Yi
21
二、多元线性回归模型的矩阵表示
k 1个解释变量的多元线性回归模型的 n (通常大
于k)个观测 样本， 样本，可表示为
Y1 = β1 + β2 X21 + β3 X31 + ... + βk Xk1 + u1
如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等） （如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素对汽车销量影响的性质怎样？ 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。下面 多元线性回归模型。 介绍——多元线性回归模型。 介绍
11
怎样分析多种因素的影响？ 怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 分析中国汽车行业未来的趋势 应具体分析这样一些问题： 应具体分析这样一些问题 中国汽车市场发展的状况如何？ 用销售量观测） 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？ 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
假定4：随机扰动项与解释变量不相关 假定4
12
计量经济学

第三章(1) 多元线性回归模型课件

第三章(1) 多元线性回归模型课件

分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969

第三章多元线性回归模型的参数估计

第三章多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计是指通过给定的数据样本，使用其中一种方法来计算出回归模型的参数值。

在多元线性回归模型中，我们有多个自变量与一个因变量之间的关系，因此需要估计出每个自变量的系数。

参数估计是回归模型的核心内容之一，它能够通过对样本数据的分析和处理，得到模型中的参数值，从而建立起模型与实际数据之间的映射关系。

常用的多元线性回归模型的参数估计方法有最小二乘法和最大似然估计法。

最小二乘法是一种最常用的参数估计方法。

它的基本思想是通过最小化因变量的观测值与模型预测值之间的平方误差，来确定模型参数的最佳估计值。

最小二乘法的优点是数学上简单且易于计算，但对于异常值的敏感性较强。

最大似然估计法是另一种常用的参数估计方法。

它的基本思想是找到最能使观测数据发生的概率最大的模型参数，从而得到最优的参数估计值。

最大似然估计法具有较好的统计性质，但它的计算复杂度较高，需要对似然函数进行极大化求解。

在实际应用中，我们需要根据实际情况选择合适的参数估计方法。

通常情况下，最小二乘法是首选的方法，因为它具有简单和直观的优点，适用于大多数情况。

但当样本数据存在异常值或者数据分布不符合正态分布假设时，最大似然估计法可能是更好的选择。

无论是最小二乘法还是最大似然估计法，其核心问题都是通过最优化方法找到使得模型和观测数据之间的误差最小的参数值。

这一过程需要使用数学工具和计算方法进行求解，可以使用迭代算法，如牛顿法或梯度下降法，来逐步逼近最优解。

参数估计的结果可以告诉我们每个自变量对因变量的贡献程度。

因此，一个良好的参数估计能够帮助我们更好地理解数据，预测因变量，以及识别自变量之间是否存在相互影响。

总而言之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小化模型与观测数据之间的误差，找到最佳的模型参数值的过程。

合理选择参数估计方法，并进行有效的数学计算，能够为我们提供有关数据和模型之间的重要信息，并为进一步的分析和应用提供基础。

第三章多元线性回归模型

第三章 多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2R 的关系为2211(1)1n R R n k -=----。

3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。

4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β''=。

5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。

二、单项选择题1、C ：F 统计量的意义2、A ：F 统计量的定义3、B ：随机误差项方差的估计值1ˆ22--=∑k n e iσ4、A ：书上P92和P93公式5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、D ：AB 不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD ：概念性3、BCD ：总体显著，则至少一个参数不为04、BC ：参考可决系数和F 统计量的公式5、AD ：考虑极端情况，ESS=0，可发现CE 错四、判断题、 1、√2、√3、×4、×：调整的可决系数5、√五、简答题 1、 答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。

高级心理统计3-多元回归分析


5 多元回归分析中自变量的重要性 5.4 半偏相关系数
• 半偏相关（semi-partial correlation）又称部分相关（part correlation）
5 多元回归分析中自变量的重要性
5 多元回归分析中自变量的重要性 5.5 标准化回归系数
zy 1z1 2 z2 k zk
4.1 标准多元回归（standard multiple regression）
• 又称为同时回归（simultaneous regression） • 所有自变量同时进入回归方程 • 仅度量了每个自变量进入方程后增加的预测因变量的贡献 • 标准多元回归在计算单个自变量的贡献时，该自变量与其它所有自变
7 多元回归分析中的一些值得注意的问题
7.4 残差分析
• 多元回归分析假设残差具有正态性，线性和方差同质性，同时假设误差 具有独立性。
• 残差的正态性假设指的是残差在每个因变量的预测分数下都呈正态分布。 • 线性假设指的是残差与预测分数呈直线关系。 • 方差同质性假设在所有预测分数下残差的方差相同。 • 误差的独立性假设意味着每次观测的结果都不应受其它观测的影响。
• 如果将虚无编码中对参考类别的编码换为-1而不是0，形成的编码方式称为效应编 码（effect coding）。
• 另一种常用的编码方式称为对照编码（contrast coding），对照编码的一个优点在 于编码后生成的新变量相互正交。
7 多元回归分析中的一些值得注意的问题 7.5 分类自变量的虚拟编码
• 当样本量非常大时，几乎所有回归系数都将显著地不等于0，即使不能很 好预测因变量的自变量也是如此。
7 多元回归分析中的一些值得注意的问题
7.2 异常值
• 模式异常的个案可以对回归系数的估计精度产生巨大影响。

计量经济学 詹姆斯斯托克 第3章 多元线性回归模型


i 2 i
10 21500 21500 53650000
1 X Y X1
1 X2
Y1 1 Y2 Yi 15674 X n X iYi 39468400 Yn
i i
638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
ˆ 1
x y x
2 i
5769300 0.777 7425000
ˆ Y ˆ X 1567 0.777 2150 103 .172 0 0
因此，由该样本估计的回归方程（样本回归函数） 为：
i 1
n
2
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ))2 Q (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i 1
n
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X ki Yi X ki
习惯上：把常数项看成为一个虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k +1）。
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为 总体回归函数 的 随机表达形式 。它的 非随机表达式为:
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9
最小二乘估计的结果:BLUE
• βhat= (x'x)-1 x'y= (x'x)-1 x'(xβ + μ ) = β + (x'x)-1 x' μ 高斯－马尔可夫定理的证明： 1,线性， βhat既是y又是μ 的线性组合 2, 无偏性，E(βhat）＝E(β + (x'x)-1 x' μ ) = β + (x'x)-1 x' E(μ ) = β
11
• • • • • • • • • • • •
例题1，消费函数模型，数据如下： 消费 收入 70 80 65 100 90 120 95 140 110 160 115 180 120 200 140 220 155 240 150 260
12
• 10 • x'x= 1700
1700 322000
27
3,RSS/ σ2 ---------服从于具有n-3个自由度的 卡方分布 4， σ2 hat=RSS/n-3 5, β0hat- β0 /SE(β0 hat), β1hat- β1 /SE(β1 hat), β2hat-β2 /SE(β2hat) 服从于具有n-3个自由度的t分布。
28
例题
• 估计一个生产函数模型，已知 • y=log output,x1=log labor input • x2=log capital input n=23, x1 bar=10 , x2 bar =5 , y bar= 12 S11=12, S12=8 ,S22=12 S1y=10, S2y=8 ,Syy=10
x'y=
1110 205500
13
• • (x'x)-1= •
0.005152 0.0000303
14
• 0.97576 -0.005152 • βhat= • -0.005152 0.0000303 • • 24.4545 • = • 0.5079
1110
205500
15
• • • • •
残差平方和＝582.055， 方差的估计值为582.055/8＝72.7569 ESS=131517.95-123210=8307.945 TSS=132100-123210=8890 R2=8307.945/8890=0.934527
16
• 例题2 1956－1970美国人均消费支出和可支配 收入（1958年美元) • 消费 可支配收入 时间 • 1956 1673 1839 1(1956) • 1957 1688 1844 2 • 1958 1666 1831 3 • 1959 1735 1881 4 • 1960 1749 1883 5 • 1961 1756 1910 6 • 1962 1815 1969 7 • 1963 1867 2016 8 • 1964 1948 2126 9 • 1965 2048 2239 10
第三章
多元回归分析
1
第一节 定义及假设前提
• 多元回归的定义 • 多元回归模型研究地是被解释变量y和一 系列解释变量x1 x2 ……xk之间的关系。一 般模型写作 • yi= β 0+β 1x1i +β 2x2i +… +β kxki +μ i
2
多元回归的假设前提
• 关于误差项的假设前提与简单回归相同。但是 增加了一项即：假设所有的x之间不存在线性 关系。如果解释变量中存在线性关系，估计的 模型就会发生变化。 • 例如，y= β 0+β 1x1i +β 2x2i +μ i • 如果x1、x2之间存在线性关系， 假设： 2x1 + x2 =4,即x2= 4-2x1, 带入上述模型，变成 • Y= β 0+β 1x1i +β 2 ( 4-2x1) +μ i
24
• 150 • x'y= 812 y'y=4772 • 1552 • -23.75 • βhat= -0.25 • 5.5
25
• • • •
残差平方和=4772-4770.5=1.5 方差的估计值为1.5/2=0.75 估计值的方差分别是30.62875,0.46875 及0.75.
26
第三节多元回归模型的统计推 断：区间估计和假设检验
29
估计的结果如下：
• β 0hat＝4、β1hat＝0.7、β2hat＝0.2 • R2=(0.7*10+0.2*8)/10=0.86 • 经过校正的R2=1-(1-0.86)*(23-1)/23-2-1 =0.846 RSS= Syy(1- R2)=10*(1-0.86)=1.4 σ2 hat=RSS/n-3=1.4/20=0.07
300.28625 0.74198 8.04356
22
残差平方和＝1976.85574 方差的估计值为1976.85574/12=164.73797 得到协方差－方差矩阵：
6133.650 -3.70794 220.20634 -3.70794 0.00226 -0.13705 220.20634 -0.13705 8.90155
y= 4.0 + 0.7x1 + 0.2x2 ,,R2=0.86 (0.78) (0.102) (0.102) 经过校正的R2=0.846
31
有了上面的结果，我们就可以进行相应 参数的区间估计和相关的假设检验了
关于估计参数的区间估计，根据前面的论得出: β0hat + SE(β0 hat) t, 4.0 + 2.086*0.78 (2.37, 5.63) β1hat + SE(β1 hat) t, 0.7 + 2.086*0.102 (0.49, 0.91) β2hat + SE(β2hat) t, 0.2 + 2.086*0.102 (-0.01, 0.41) 分别是参数β0、β1、β2的置信区间
33
第四节 方差分析，多元回归总体显著 型检验，联合检验
一，简单回归的方差分析表 变化来源 平方和 自由度 来自回归 ESS 1 来自参差 RSS n-2 总体 TSS n-1 ESS/1 F= ———— RSS/ n-2
34
均方和 ESS/1 RSS/ n-2
二元回归的方差分析表： 变化来源 平方和 自由度 来自回归 ESS 2 来自参差 RSS n-3
一，几个结论： 1，β0hat、β1hat、β2hat分别是β0、β1、β2的偏估计 值。 2，Var(β0hat)=σ2/n +x1bar2Var(β1hat)+2x1bar x2barcov(β1hat β2hat)+x2bar2var(β2hat) Var(β1hat)= σ2 /S11(1-r122) Var(β2hat)= σ2 /S22(1-r122) Cov(β1hat, β2hat)= -σ2 r122 /S11(1-r122) r122 =S122/S11S22
5
• 二，使用最小二乘法，但是将多元回归 模型表示成矩阵的形式。下面我们来进 行推导。 假设模型为： yi= β 1x1i +β 2x2i +… +β kxki +μ i 为简单起见，先省略常数项。可以把上述 模型写成矩阵形式： Y =Xβ + μ
6
其中，Y是n×1矩阵， X是 n×k矩阵 β 是k×1矩阵 μ 是n×1矩阵 假设： • μ i服从于正态分布，期望是0，方差是σ 2，x 为非随机的，与干扰项不相关。 • x之间不存在线性关系， x'x秩与x的秩相等， 均为k,这表明x'x的逆矩阵存在。该假设事实上 要求k<n，相当于要求样本容量足够大。因为 如果样本容量过小，，误差方差的估计值就会 偏大，因为n-k-1(包括常数项）过小， β 就 不容易通过显著性检验， β 的置信区间、总 体y0和平均y0的置信区间过大，失去预测的意7 义。
30
r122 =S122/S11S22=82/12*12=64/144 S11(1-r122)=12*5/9=20/3 S22(1-r122)=12*5/9=20/3 Var(β1hat)= σ2 /S11(1-r122)= σ2 /20/3=3/20 σ2 Var(β2hat)= σ2 /S22(1-r122)= σ2 /20/3=3/20 σ2 Var(β0hat)=8.7935σ2 将σ2hat＝0.07代入上面，计算出 SE(β1 hat)＝ SE(β2 hat)＝0.102 SE(β0 hat)＝0.78
17
• • • • • •
续前表 1966 1967 1968 1969 1970
2128 2165 2257 2316 2324
2336 2404 2487 2535 2595
11 12 13 14 15
18
计算结果如下：
15 x'x= 31895 120 272144 1240
19
31895 68922.513 120 272144
3
• 这样我们的回归模型变成 • Y= (β 0+ 4β 2 )+(β 1 -2β 2 )x1i +μ • 所以y对x1回归估计的是β 0+ 4β 2 和β -2β 2 • 而不是初始模型中的参数了。
1
4
第二节多元回归模型的估计方 法－最小二乘法
• 一，以双变量的模型为例 • 使用和简单回归模型中相同的参数估计 方法－ 最小二乘法，即使残差平方和最 小，然后利用求极值的方法求出所估计 的参数。在二元回归模型中，要估计的 参数有三个。常数项和两个解释变量前 的系数。详细推导见板书。
x'y=
29135 62905821 247934
20
• 37.232491 -0.0225082 1.336707 (x'x)-1= -0.0225082 0.0000137 -0.0008319 1.336707 -0.0008319 0.054034