第二章控制系统数学模型

U 0 ( s) L[u0 (t )],U i ( s) L[ui (t )]
可得s的代数方程为
( LCs 2 RCs 1)U 0 (s ) U i (s )
22
控制系统的复数域数学模型
由传递函数定义，网络传递函数为：
U 0 ( s) 1 G( s ) Ui (s) LGs 2 RCs 1
称为传递系数或增益或放大系数
三、传递函数极点和零点对输出的影响
du0 (t ) L sU 0 (s) u0 (0) dt d 2u0 (t ) 2 ' L s U ( s ) su (0) u 0 0 0 (0) 2 dt du (t ) 1 1 ' u0 (0) 0 i(t ) i(0) dt t 0 C C t 0

，或写成
20
2-2 控制系统的复域数学模型
一、传递函数的定义与性质
线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件
下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为 该系统的传递函数
由n阶线性微分方程推出传递函数的方法：
d n d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt d b0 m dt
m
F2阻尼器的阻力
2
dx(t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) Kx(t )
d x(t ) m F (t ) F1 (t ) F2 (t ) 2 dt dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力 F2（t）是弹簧反力
例1: 图示RLC无源网络，列出以 ui (t ) 为输入量，以 uo (t ) 为输出量的网络微分方程。
解： di (t )
1 L i (t )dt Ri (t ) u i (t ) dt C
1 uo (t ) i (t )dt C
消去中间变量得：
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
二、传递函数的零点与极点
传递函数经因式分解后
0
j
z2
m m 1
z1

bm 1 s bm C ( s) b0 s b1 s G( s) R( s) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n b0 ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) K* a 0 ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
*
(s p j )
j 1
i 1 n
(s z i )
m
b0 称为传递系数或根轨迹系数 K a0
传递函数写成因子连乘积的形式
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G(s) R( s ) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n
分析法*
建模方法
实验法

表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性 线性系统
拉氏 变换 傅氏 变换
传递函数
微分方程
频率特性
2-1 控制系统的时域数学模型
2.1.1线性元件微分方程的建立
目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之
间的函数关系。
方法与步骤: （1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节 列出元件微分方程。 （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分 方程。 （4）整理，输入量项=输出量项。
m
d r (t ) b1 m1 dt
m 1
r (t ) bm1
d r (t ) bm r (t ) dt
在零初始条件下，由传递函数的定义得
C ( s) M ( s) G( s) n n 1 R(s) a 0 s a1 s a n 1 s a n N (s)
2.1.2 控制系统微分方程的建立
举例1：
速度控制系统的微分方程
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、 运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、 测速发电机 R2 u1 K1 (u g u f ) K1u e , K1 运放1 R1 du1 R2 运放2 u 2 K 2 ( u1 ) , R1C , K 2 dt R1 u a K 3u 2 功放 d m 直流电动机 Tm m K mua KC M C dt 减速器（齿轮系） 1 测速发电机
2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，
但不能太简单，结果合理 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方 程。性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数 方程。放大倍数 解析方法适用于简单、 典型、常见的系统， 而实验方法适用于复 杂、非常见的系统。 实际上常常是把这两 种方法结合起来建立 数学模型更为有效。
故将微分方程的算符d/dt用复数s置换便得 到传递函数；反之，将传递函数多项式中 的变量s用算符d/dt置换便得微分方程。
控制系统的复数域数学模型
性质 1）传递函数是复变量s的有理真分式函数； 2）传递函数仅与系统自身的结构和参数有关， 与系统输入量形式无关； R(s)
G(s)
C(s)
3）传递函数与微分方程有相通性，可相互转换； 4）传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 5）传递函数与系统的输入输出的位置有关；
df |x0 x k x ， 简记为 y=kx。 可得 y dx 若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），
则在平衡点处可展成（忽略高次项）
f f z |( x0 , y0 ) x |( x0 , y0 ) y xv y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关 系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强 非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线 性系统，可采用叠加原理来分析系统。
2 2 bm ( 1 s 1)( 2 s 2 2 2 s 1) ( i s 1)
a n (T1 s 1)(T22 s 2 2 2 T2 s 1) (T j s 1)
m
bm K K* an
( z i ) ( p j )
j 1 i n
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只 在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函 数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非 线性），即小偏差线性化。
例2：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量
m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：输入F(t)，输出x(t)理论依 据:牛顿第二定律,物体所受 的合外力等于物体质量与加 速度的乘积.
F ma
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
m
F2阻尼器的阻力
F(t)外力
F1(弹簧 的拉力)
例1，在上面RLC电路中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且
电容上初始电压 u0 (0) 0.1V ，初始电流i（0）＝0.1A， 电源电压 ui (t ) 1V ，试求电路突然接通电源时，电容电压
u0 (t ) 的变化规律。
解：在上第二例中已求得网络微分方程为
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt Ui (s) L[ui (t )] ，且 U0 (s) L[U0 (t )] 令，
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt
m
d 2 x(t ) dt
2
dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt
相似系统：
揭示了不同物理现象之间的相似关系。 便于用简单系统去研究相似的复杂系统。
ut K t
i
m
得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）
du g d MC Tm K K g ug KC g dt dt
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2.1.3 线性系统的性质：
具有可叠加性、均匀性（齐次性）
2.1.4 线性定常微分方程求解方法
直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应） 变换域求解法： Laplace 变换方法
b0 s m b1 s m1 bm1 s bm
控制系统的复数域数学模型
例 试求RLC无源网络的传递函数 U 0 ( s) / U i ( s) 。 解 RLC网络的微分方程用式表示为
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt 在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，并令
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求取非线性方程系统的步骤：
1、求稳态工作点（平衡点）：（X0，Y0） 2、求稳态方程 3、对非线性项线性化 4、带入到原方程 5、减去稳态方程
5、运动的模态
运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自 由运动的振型函数。从数学上讲，即是n阶齐 次微分方程的通解所包含的振型函数。 （1）如果n阶微分方程的特征根无重根，为 1 , 2 , n ， 则有运动的模态为： e1t , e2t , , ent 等函数；