宁波市2020年初中学业水平考试汐卷数学试题参考答案及评分标准

浙江省宁波市（潮汐组合.甬真卷）2020年初中学业⽔平模拟考试科学试卷浙江省宁波市（潮汐组合 .甬真卷） 2020年初中学业⽔平模拟考试科学试卷⼀、选择题（本题共15⼩题，第1~10⼩题，每⼩题 4分，第 11~15⼩题，每⼩题 3 分，共 55分。

请选出每⼩题中⼀个符合题意的选项，不选、错选均不给分）（共 15题；共55 分）1.《我们⾛在⼤路上》⼤型⽂献专题⽚，其中⼀集主题是 “绿⽔青⼭就是⾦⼭银⼭ ”，下列说法不符合这⼀主题的是（）2.7 ⽉初，宁波市东部新城⽣态⾛廊的向⽇葵盛开，吸引了不少市民前来观赏。

下列说法错误的是B. 向⽇葵的花盘向着太阳，这是向⽇葵对阳光的刺激作出的反应C. 向⽇葵花可能由于缺乏含钾的⽆机盐造成茎秆软弱，容易倒伏D. 向⽇葵的花盘会向着太阳是由于⽣长素浓度分布不均匀C. 倾倒液体D 称. 量 15g 固体4. B 分. 类回收垃圾D 废. ⽓直接排放A. 地磁南极和地理北极是完全重合的B. 磁场和磁感线都是看不见的，不存在的A. 开发氢燃料客车C. 使⽤太阳能路灯A. 花盘上的葵花籽由胚珠发育⽽来3.科学是⼀门以实验为基础的学科，5.近期，猪⾁价格的⼤幅度上涨成为全社会关注的焦点，其根本原因是“⾮洲猪瘟”，这是⼀种由病毒引起的急性传染病，患病猪的死亡率⾼达100%。

下列说法错误的是（）A. 侵⼊猪体内的病毒可以称为抗原B. 杀死患瘟疫的猪属于控制传染源C. 给猪饲喂抗⽣素⽆法治疗“⾮洲猪瘟”D.“ ⾮洲猪瘟”病毒有细胞结构，但没有细胞核6.2019 年3⽉10 ⽇，在西昌卫星发射中⼼，我国长征三号⼄⽕箭成功将“中星6C”卫星送⼊太空。

这是长征系列运载⽕箭的第300 次发射。

它的动⼒主要由⾼氯酸铵（NH4ClO4）发⽣反应提供，其反应的化学⽅程式为：2NH4ClO4 ⾼温N2↑+C2l↑+2O2↑+4X。

下列说法错误的是（）C. ⾼氯酸铵不属于盐D. 反应后氮元素的化合价升⾼7.2019 年8⽉8 ⽇，中国台湾省宜兰海域发⽣ 6.4 级地震。

2020年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．（4分）在，，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（）A． B．C．0 D．﹣22．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．（2a）2=4a C．a2•a3=a5D．（a2）3=a53．（4分）2020年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（）A．0.45×106吨B．4.5×105吨C．45×104吨D．4.5×104吨4．（4分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥35．（4分）如图所示的几何体的俯视图为（）A．B．C．D．6．（4分）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°8．（4分）若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．5 D．79．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）A．B．C．π D．2π10．（4分）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（4分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB 上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N 分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3 B．C．D．412．（4分）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）实数﹣8的立方根是．14．（4分）分式方程=的解是．15．（4分）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有个黑色棋子．16．（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．（4分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，则m的值为．18．（4分）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为．三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．20．（8分）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．21．（8分）大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．22．（10分）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．23．（10分）2020年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？24．（10分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．25．（12分）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y 轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．（14分）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．2020年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．（4分）（2020•宁波）在，，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（）A． B．C．0 D．﹣2【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：，0，﹣2是有理数，是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（4分）（2020•宁波）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．（2a）2=4a C．a2•a3=a5D．（a2）3=a5【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C符合题意；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．（4分）（2020•宁波）2020年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（）A．0.45×106吨B．4.5×105吨C．45×104吨D．4.5×104吨【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将45万用科学记数法表示为：4.5×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2020•宁波）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故选：D．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（4分）（2020•宁波）如图所示的几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看外边是正六边形，里面是圆，故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．6．（4分）（2020•宁波）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【解答】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．故选：C．【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．7．（4分）（2020•宁波）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．（4分）（2020•宁波）若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．【解答】解：∵数据2，3，x，5，7的众数为7，∴x=7，则这组数据为2、3、5、7、7，∴中位数为5，故选：C．【点评】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．9．（4分）（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）A．B．C．π D．2π【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O 是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．【解答】解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45°，∵BC=2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴==故选（B）【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型．10．（4分）（2020•宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），∴顶点坐标为：（1，m2+1），∵1＞0，m2+1＞0，∴顶点在第一象限．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．11．（4分）（2020•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3 B．C．D．4【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMF≌△CMD，则EM=CM，利用勾股定理得：BD==6，EC==2，可得△EBG是等腰直角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．【解答】解：连接FM、EM、CM，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD，∵EF∥BC，∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC，∴EF=BC=DC，∵∠BDC=∠ADC=45°，∴△GFD是等腰直角三角形，∵M是DG的中点，∴FM=DM=MG，FM⊥DG，∴∠GFM=∠CDM=45°，∴△EMF≌△CMD，∴EM=CM，过M作MH⊥CD于H，由勾股定理得：BD==6，EC==2，∵∠EBG=45°，∴△EBG是等腰直角三角形，∴EG=BE=4，∴BG=4，∴DM=∴MH=DH=1，∴CH=6﹣1=5，∴CM=EM==，∵CE2=EM2+CM2，∴∠EMC=90°，∵N是EC的中点，∴MN=EC=；故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明△EMC是直角三角形．12．（4分）（2020•宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a=b+x，y﹣a+x+a=y+x，故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，故n的最小值是3．故选：A．【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）（2020•宁波）实数﹣8的立方根是﹣2 ．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案﹣2．【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．14．（4分）（2020•宁波）分式方程=的解是x=1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4x+2=9﹣3x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为：x=1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．15．（4分）（2020•宁波）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有19 个黑色棋子．【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案．【解答】解：第一个图需棋子1，第二个图需棋子1+3，第三个图需棋子1+3×2，第四个图需棋子1+3×3，…第n个图需棋子1+3（n﹣1）=3n﹣2枚．所以第⑦个图形有19颗黑色棋子．故答案为：19；【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．16．（4分）（2020•宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280 米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．17．（4分）（2020•宁波）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，则m的值为4或．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数y=的图象上，二是AC边的中点在反比例函数y=的图象上，进而算出m的值．【解答】解：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C （﹣3，﹣3），∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣2）．∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，∴﹣1+m=3或﹣2×（﹣2+m）=3．∴m=4或m=（舍去）．故答案为4或．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．18．（4分）（2020•宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G 分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为．【分析】作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF 中利用勾股定理得（2﹣x）2+（）2=x2，解得x=，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．【解答】解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，∵E点为CD的中点，∴CE=DE=1，BE⊥CD，在Rt△BCE中，BE=CE=，∵AB∥CD，∴BE⊥AB，设AF=x，∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G 分别在边AB，AD上，∴EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，在Rt△BEF中，（2﹣x）2+（）2=x2，解得x=，在Rt△DEH中，DH=DE=，HE=DH=，在Rt△AEH中，AE==，∴AO=，在Rt△AOF中，OF==，∴cos∠AFO==．故答案为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）（2020•宁波）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，当x=时，原式=6﹣1=5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）（2020•宁波）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可；（2）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．（8分）（2020•宁波）大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．【分析】（1）求出“宁港”品种鱼苗的百分比，乘以300即可得到结果；（2）求出“甬岱”品种鱼苗的成活数，补全条形统计图即可；（3）求出三种鱼苗成活率，比较即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：300×（1﹣30%﹣25%﹣25%）=60（尾），则实验中“宁港”品种鱼尾有60尾；（2）根据题意得：300×30%×80%=72（尾），则实验中“甬岱”品种鱼苗有72尾成活，补全条形统计图：（3）“宁港”品种鱼苗的成活率为×100%=85%；“御龙”品种鱼苗的成活率为×100%=74.6%；“象山港”品种鱼苗的成活率为×100%=80%，则“宁港”品种鱼苗的成活率最高，应选“宁港”品种进行推广．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．22．（10分）（2020•宁波）如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AO，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACD面积，即可求出k的值；（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，∵AC=AO，∴CD=DO，∴S△ADO=S△ACD=6，∴k=﹣12；（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键．23．（10分）（2020•宁波）2020年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有，解得．答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；（2）设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．答：至少销售甲种商品2万件．【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．24．（10分）（2020•宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．【分析】（1）由矩形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，证出AH=CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，∵BF=DH，∴AH=CF，在Rt△AEH中，EH=，在Rt△CFG中，FG=，∵AE=CG，∴EH=FG，同理：EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∴BE=BF，∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，∴AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，∴AH=2AE，∴2+x=2x，解得：x=2，∴AE=2．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．25．（12分）（2020•宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．【解答】解：（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9++c，解得c=﹣3，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，令y=0可得x2+x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把A、C坐标代入可得，解得，∴直线AC的函数表达式为y=x+3；（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==，在RtAOD中，tan∠OAD==，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=，∴cos∠EAM=cos∠OAD=，∴=，∴AM=AE=，∵△APM∽△AON，∴=，即=，∴AN=．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）①中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）②中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．26．（14分）（2020•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．【分析】（1）根据题意得出∠B=∠D，∠C=∠A，代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可；（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE=∠BOE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，求出∠EFC=180°﹣2α，∠AOC=180°﹣2α，即可得出等答案；（3）过点O作OM⊥BC于M，求出∠ABC+∠ACB=120°，求出∠OBC=∠OCB=30°，根据直角三角形的性质得出BC=2BM=BO=BD，求出△DBG∽△CBA，根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB=∠BAC=60°，∵∠DBG=∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴=（）2=，∵DH=BG，BG=2HG，∴DG=3HG，∴=，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．。

数学试卷 第 1 页（共 8 页）数学试卷 第 2 页（共 8 页）毕业学校绝密★启用前2020 年浙江省宁波市初中学业水平考试数 学考生须知：1.全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷。

试题卷共 8 页，有三个大题，24 个小题. 满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。

4. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是 （ ）（第 4 题图）A .B .C .D .5. 一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意 摸 出 一 个 球 是 红 球 的 概 率 为 （ ） 2. 请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置。

3. 答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用 2B 铅笔涂黑、涂1 1 A .B .43C .1 D . 223满。

将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答6. 二次根式 x - 2 中 字 母 x 的 取 值 范 围 是 （ ） 题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效。

A . x ＞2B . x ≠ 2C . x ≥2D . x ≤24.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。

试题卷Ⅰ一、选择题（（每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. -3 的 相 反 数 为 （ ）7. 如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， CD 为中线，延长CB 至点 E ，使 BE ＝BC ，连结 DE ， F 为 DE 中点，连结 BF .若 AC = 8 ， BC = 6 ，则 BF 的长为 （ ）A . -3B . -1C . 133D .3（第 7 题图）A .2B .2.5C .3D .42. 下 列 计 算 正 确 的 是 （ ）3.2019 年宁波舟ft 港货物吞吐量为 1 120 000 000 吨，比上年增长 3.3%，连续 11 年蝉联8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺 ， 绳 子 长 y 尺 ， 那 么 可 列 方 程 组 为 （ ） 世 界 首 位 . 数 1 120 000 000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ） ⎧ y = x + 4.5⎧ y = x + 4.5A .1.12 ⨯108B .1.12 ⨯109 A . ⎨⎩0.5y = x -1B . ⎨⎩ y = 2x -1 C .1.12 ⨯1010D . 0.112 ⨯1010⎧ y = x - 4.5 ⎧ y = x - 4.5C . ⎨D . ⎨⎩0.5y = x +1⎩ y = 2x -1在此卷上答题无姓名考生号A . a 3 ⋅ a 2＝a 6B . (a 3 )2＝a 5 C . a 6 ÷ a 3＝a 3D . a 2 + a 3＝a 5数学试卷 第 3 页（共 8 页）数学试卷 第 4 页（共 8 页）9. 如图，二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ＞0) 的图象与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线 x = -1 .则下列选项中正确的是 （ ）（ 第 9 题 图 ）A . abc ＜0B . 4ac - b 2＞0C . c - a ＞0D . 当 x = -n 2 - 2 （ n 为 实 数 ） 时 ， y ≥c10. △ BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内.若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道 （ ）（第 10 题图）明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是.14. 如图，折扇的骨柄长为27 cm ，折扇张开的角度为120︒ ，图中 AB 的长为cm（结果保留π ）.（第 14 题图）15. 如图， O 的半径OA = 2 ， B 是O 上的动点（不与点 A 重合），过点 B 作O 的切线 B C ，BC = OA ，连结OC ，AC .当△OAC 是直角三角形时，其斜边长为.（第 15 题图）a A . △ABC 的周长 B . △AFH 的周长 16. 如图，经过原点O 的直线与反比例函数 y =(a ＞0) 的图象交于 A ， D 两点（点 AxC .四边形FBGH 的周长 D .四边形ADEC 的周长 试题卷Ⅱ二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）在第一象限），点 B ， C ， E 在反比例函数 y =b (b ＜0) 的图象上， AB ∥y 轴，xAE ∥ CD ∥ x 轴，五边形 ABCDE 的面积为 56，四边形 ABCD 的面积为 32，则a - b b11.实数 8 的立方根是 .12.分解因式： 2a 2 -18=.13. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产量的平均数 x22的值为， a 的值为.（第 16 题图）甲 乙丙x454542 S 21.82.31.8数学试卷 第 5 页（共 8 页）数学试卷 第 6 页（共 8 页）三、解答题（本大题有 8 小题，共 80 分）17.（本题 8 分）（1）计算： (a + 1)2+ a (2 - a ) .（2）解不等式： 3x - 5＜2(2 + 3x ) .18.（本题 8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 3 个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1） 使得 4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.（2） 使得 4 个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.（请将两个小题依次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形）图 1图 2（第 18 题图）19.（本题 8 分）图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图 1 的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图 2 是其示意图，经测量，钢条 AB = AC = 50 cm ， ∠ABC = 47︒ .（1） 求车位锁的底盒长 BC .（2） 若一辆汽车的底盘高度为30 cm ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据： sin 47︒ ≈ 0.73 ， cos 47︒ ≈ 0.68 ， tan 47︒ ≈ 1.07 ）图 1图 220.（本题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + 4x - 3 图象的顶点是A ，与 x 轴交于B ，C 两点，与 y 轴交于点D .点 B 的坐标是(1,0) .（1） 求 A ， C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y ＞0 时 x 的取值范围. （2） 平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.（第 20 题图）21.（本题 10 分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校 1 500 名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（ 60≤x ＜70 ），合格 （ 70≤x ＜80 ），良好（ 80≤x ＜90 ），优秀（ 90≤x ≤100 ），制作了如图统计图（部分信息未给出）.所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图（第 21 题图）由图中给出的信息解答下列问题：（1） 求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图. （2） 求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.（3） 这次测试成绩的中位数是什么等第？（4） 如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？在此卷答题无效毕业学校姓名考生号数学试卷 第 7 页（共 8 页）数学试卷 第 8 页（共 8 页）122.（本题 10 分） A ， B 两地相距 200 千米.早上8：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往 B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 B 地联系. B 地收到消息后立即派货 车乙从 B 地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 B 地.两辆货车离开各自出发地的路程 y （千米）与时间 x （小时）的函数关系如图所示.（通话等其他时间忽略不计）（1） 求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式. （2） 因实际需要，要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B地的时间最多晚 1 个小时，问货车乙返回 B 地的速度至少为每小时多少千米？24. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1） 如图 1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A = α ，请用含α 的代数式表示∠E . （2）如图 2，四边形ABCD 内接于O ， AD = B D ，四边形 ABCD 的外角平分线DF 交O 于点 F ，连结 BF 并延长交CD 的延长线于点 E .求证： ∠BEC 是 △ABC 中∠BAC 的遥望角.（3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE ， AF ，若 AC 是O 的直径.①求∠AED 的度数；②若 AB = 8 ， CD = 5 ，求△DEF 的面积.23.（本题 12 分）【基础巩固】（第 22 题图）图 1 图 2 图 3（1） 如图 1，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，∠ACD = ∠B .求证： AC 2 = AD ⋅ AB .【尝试应用】（2） 如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE = ∠A .若 BF = 4 ， BE = 3 ，求 AD 的长. 【拓展提高】（3） 如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC = 2EF ， ∠EDF = ∠BAD ， AE = 2 ， DF = 5 ，求菱形 ABCD 的边长.2图 1图 2 图 3（第 23 题图）2020 年浙江省宁波市初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可.解：-3 的相反数是3.故选：D.【提示】解题关键在于掌握相反数的概念.【考点】求一个数的相反数2.【答案】C【解析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得.解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、(a3)2 =a6，故此选项错误；C、a6÷a3=a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C.【提示】解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则.【考点】整式的运算3.【答案】B【解析】科学记数法表示形式为a ⨯10n 的形式，其中1≤a ＜10 ，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.1120 000 000 =1.12 ⨯109，故选：B. 【提示】表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.【考点】科学记数法的表示方法4.【答案】B【解析】根据主视图的意义和画法可以得出答案.解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B 符合题意，故选：B.【提示】主视图就是从正面看物体所得到的图形.【考点】简单几何体的三视图的画法5.【答案】D【解析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可.解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=4=2.故选：D.4 + 2 3⎩【提示】属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键. 【考点】简单的概率计算6. 【答案】C【解析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可. 【详解】由题意得， x - 2≥0 ，解得 x ≥2 .故选：C .【提示】二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义. 【分析】二次根式有意义的条件7. 【答案】B【解析】利用勾股定理求得 AB =10 ；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结合题意知线段 BF 是△CDE 的中位线，则 BF = 1CD .2解： 在 Rt △ABC 中，∠ACB = 90︒ ， AC = 8 ， BC = 6 ， ∴ AB = AC 2 + BC 2 = 82 + 62 =10 .又 CD 为中线，∴CD = 1AB = 5 .2为 DE 中点， BE = BC ，即点 B 是 EC 的中点， ∴BF 是△CDE 的中位线，则 BF = 1CD = 2.5 .2故选：B .【提示】此题的突破口是推知线段CD 的长度和线段 BF 是△CDE 的中位线. 【考点】勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线8. 【答案】A【解析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺”可知：绳子= 木条+4.5 ，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺”可知： 1绳子= 木条-1，据此列出方程组即可.2 解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，⎧ y = x + 4.5那么可列方程组为： ⎨0.5y = x -1，故选：A .【提示】解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组. 【考点】二元一次方程组的实际应用9. 【答案】DF【解析】由图象开口向上，可知a ＞0 ，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知c ＞0 ，根据对称轴方程得到b ＞0 ， 于是得到abc ＞0 ，故 A 错误；根据一次函数 y = ax 2 + b x + c (a ＞0) 的图象与 x 轴的交点，得到b 2 - 4ac ＞0 ， 求得4ac - b 2＜0 ，故 B 错误；根据对称轴方程得到b = 2a ，当x = -1时，y = a - b + c ＜0 ，于是得到c - a ＜0 ，故 C错 误 ； 当x = -n 2 - 2 （ n 为 实 数 ） 时 ， 代 入 解 析 式 得 到y = ax 2 + bx + c = a (-n 2 - 2) + b (-n 2 - 2) = an 2(n 2+ 2) + c ，于是得到 y = an 2(n 2+ 2) + c ≥c ，故 D 正确.解：由图象开口向上，可知 a ＞0 ，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知c ＞0 ， 又对称轴方程为 x = -1，所以-∴abc ＞0 ，故A 错误；b＜0 ，所以b ＞0 ，2a∴一次函数 y = ax 2 + bx + c (a ＞0) 的图象与 x 轴交于A ，B 两点，∴b 2 - 4ac ＞0 ，∴4ac - b 2＜0 ，故B 错误；- b= -1， 2a∴b = 2a ，当 x = -1时， y = a - b + c ＜0 ，∴a - 2a + c ＜0 ， ∴c - a ＜0 ，故C 错误；当 x = -n 2 - 2 （n 为实数）时， y = ax 2 + bx + c = a (-n 2 - 2) + b (-n 2 - 2) = an 2 (n 2 + 2)+ c ， ∵ a ＞0 ， n 2≥0 ， n 2 + 2＞0 ，∴ y = an （2n 2 + 2）+ c ≥c ，故D 正确，故选：D .【提示】熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键. 【考点】二次函数的图象和性质10. 【答案】A【解析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH = GH ，∠ACB = ∠A = 60︒，∠AHF = ∠HGC ，进而可根据AAS 证明，△AFH ≌△CHG 可得AF =C H ，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF 的周长=AB +BC ，从而可得结论.解：∵△GFH 为等边三角形，∴FH =GH，∠FHG = 60︒，∴∠AHF +∠GHC = 120︒，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC，∠ACB =∠A = 60︒，∴∠GHC +∠HGC = 120︒，∴∠AHF =∠HGC ，∴△AFH ≌△CHG (AAS )，∴AF =CH .∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE =FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE +CE +CH +FH +DF=BD +CE +AF +BE +DF=（BD +DF +AF）+（CE +BE），=AB +BC .∴只需知道△ABC 的周长即可.故选：A.【提示】熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键.【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形的周长问题二、11.【答案】2.【解析】根据立方根的定义解答.23 = 8，∴8 的立方根是2.故答案为2.【提示】熟记定义是解题的关键.【考点】立方根的定义12.【答案】2(a + 3)(a - 3)【解析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 2a2 -18=2(a2 -9)=2(a+3)(a-3).故答案为2(a + 3)(a - 3).【提示】一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.【考点】提公因式法与公式法进行因式分解13.【答案】甲【解析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定.解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲【提示】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.也考查了平均数.【考点】方差，平均数14.【答案】18π【解析】根据弧长公式即可得到结论.解：折扇的骨柄长为27 cm ，折扇张开的角度为120︒，的长=120 π⨯ 27= 18π(cm) ，180故答案为：18π.【提示】熟练掌握弧长公式是解题的关键. ∴AB2 OA 2 + OC 2 22 + (2 2)23 BC = OA ， 【考点】弧长的计算15.【答案】2【解析】先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC 是等腰直角三角形，当 AOC = 90︒ ， 连接OB ，根据勾股定理可得斜边 AC 的长，当 OAC = 90︒ ， A 与 B 重合，不符合题意. 解：连接OB ，是 O 的切线， ∴∠OBC = 90︒ ，∴OB = BC = 2 ，∴△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠BCO = 45︒ ， ∴∠ACO ≤ 45︒ ，当∠AOC = 90︒ ， △OAC 是直角三角形时， ∴OC = 2OB = 2 ，∴AC = = = 2 ；当∠OAC = 90︒ ， A 与 B 重合，不符合题意，故排除此种情况； ∴其斜边长为2 3 ，故答案为： 2 3 .【提示】解题的关键是综合运用所学的知识求出OC .【考点】切斜的性质，等腰直角三角形的判定及其性质，勾股定理 16.【答案】（1）241 （2） - 3【解析】如图，连接 AC ， OE ， OC ，OB ，延长 AB 交 DC 的延长线于T ，设 AB 交 x 轴于 K .求出证明 四边形 ACDE 是 平 行 四 边 形 ， 推 出 SADE = SADC = S 五边形ABCDE - S 四边形ABCD = 56 - 32 = 24 ，推出3BCAE ∥CD ，S AOC = S AOB =12 ，S AOE = S DEO =12，可得 1 a - 1 b = 12 ，推出 a - b = 24 . 再证明 BC ∥AD ，证明 AD = 3BC ，推出 2 2AT = 3BT ，再证明 AK = 3BK 即可解决问题.如图，连接 AC ， OE ， OC ， OB ，延长 AB 交 DC 的延长线于T ，设 AB 交 x 轴于 K . 由题意 A ， D 关于原点对称，∴ A ， D 的纵坐标的绝对值相等，∴E ， C 的纵坐标的绝对值相等，E ， C 在反比例函数 y = b 的图象上，x∴E ， C 关于原点对称，∴E ， O ， C 共线，OE = OC ， OA = OD ，∴四边形 ACDE 是平行四边形，∴S ADE = S ADC = S 五边形ABCDE - S 四边形ABCD = 56 - 32 = 24 ，∴S AOE = S DEO =12 ，∴ 1 a - 1 b = 12 ，2 2∴a - b = 24 ，∴BC ∥AD ，∴ BC= TB，AD TA 32 - 24 = 8 ，∴S ADC : S ABC = 24 :8 =1: 3 ，∴BC : AD =1: 3 ，∴TB :TA =1: 3，设 BT = a ，则 AT = 3a ， AK = TK =1.5k ，BK = 0.5k ， S ACB =∴AK : BK = 3:1 ，1a ∴S△AOK = 2 =1 ，S△BKO∴a=-1.-1b 32b 3故答案为24，-1 .3【提示】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理三、17.【答案】（1）解：(a+1)2+a(2-a)=a2+ 2a +1+2a -a24a +1（2）解：3 x - 5＜2(2 + 3 x)去括号得：3x -5＜4 +6x ，移项得：3x -6x＜4 +5 ，合并同类项：-3x＜9 ，系数化 1 得：x＞- 3 .【解析】（1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可；具体解题过程参照答案.（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1 即可.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元一次不等式的步骤.【考点】整式的混合运算，解一元一次不等式18.【答案】（1）轴对称图形如图所示.（或其他合理答案）（2）中心对称图形如图所示.（或其他合理答案）【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可.具体解题过程参照答案. （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.【考点】利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案19.【答案】（1）解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，AB =AC ，∴BH =HC ，在Rt△ABH 中，∠B = 47︒，AB = 50 ，∴BH =AB cos B = 50cos47︒≈ 50⨯ 0.68 = 34 ，∴BC = 2BH = 68 cm .（2）解：在Rt△ABH 中，∴AH =AB sin B = 50sin 47︒≈ 50⨯ 0.73 = 36.5 ，∴36.5＞30 ，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.【解析】（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.具体解题过程参照答案. （2）根据锐角三角函数的定义求出AH 的长度即可判断.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型.【考点】解直角三角形20.【答案】解：把B (1,0)代入y =ax2+ 4x - 3 ，得0 =a + 4 - 3，解得：a =-1，∴y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴A(2,1)，抛物线的对称轴是直线x = 2 ，B、C 两点关于直线x = 2 对称，∴C (3,0)，∴当y＞0 时，1＜x＜3 ；（2）解：D(0, -3) ，A(2,1) ，∴点D 平移到点A ，抛物线应向右平移2 个单位，再向上平移4 个单位，∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-4）2+5.【解析】（1）把点B 坐标代入抛物线的解析式即可求出a 的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A 的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C 的坐标，二次函数的图象在x 轴上方的部分对应的x 的范围即为当y＞0 时x 的取值范围；具体解题过程参照答案.（2）先由点D 和点A 的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.具体解题过程参照答案.【提示】属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键.【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系21.【答案】（1）解：30÷15%=200（人），200-30-80-40=50（人），直方图如图所示：所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图（2）解：“良好”所对应的扇形圆心角的度数= 360︒⨯80200= 144︒；（3）解：这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80 分-90 分之间，∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）解：1500 ⨯ 40200= 300 （人），答：估计该校获得优秀的学生有300 人.【解析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题；具体解题过程参照答案. （2）根据圆心角= 360︒⨯百分比计算即可；具体解题过程参照答案.（3）根据中位数的定义判断即可；具体解题过程参照答案.（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可.具体解题过程参照答案.【考点】频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数⎨ ⎨ 22. 【答案】解：（1）设函数表达式为y = kx + b (k ≠ 0) ，把(1.6,0) ， (2.6,80) 代入 y = kx + b ，得⎧k = 80 ⎧0 = 1.6k + b ， ⎩80 = 2.6k + b 解得： ， ⎩b = -128∴ y 关于 x 的函数表达式为 y = 80x -128(1.6≤x ≤3.1) ；（2）解：根据图象可知：货车甲的速度是80 ÷1.6 = 50(km/h ) ，∴货车甲正常到达B 地的时间为200 ÷ 50 = 4 （小时），18 ÷ 60 = 0.3 （小时）， 4 +1 = 5 （小时），当 y = 200 - 80 =120 时，120 = 80x -128 ，解得 x = 3.1，5 - 3.1- 0.3 =1.6 （小时），设货车乙返回 B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v ≥120 ，解得v ≥75 .答：货车乙返回 B 地的车速至少为 75 千米/小时.【解析】（1）先设出函数关系式 y = kx + b (k ≠ 0) ，观察图象，经过两点(1.6,0) ， (2.6,80) ，代入求解即可得到函数关系式；具体解题过程参照答案.（2）先求出货车甲正常到达 B 地的时间，再求出货车乙出发回 B 地时距离货车甲比正常到达 B 地晚 1 个小时的时间以及故障地点距 B 地的距离，然后设货车乙返回 B 地的车速为v 千米/小时，最后列出不等式并求解即可.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式.【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用23. 【答案】（1）解：证明： ∴△ADC ∽△ACB ，∴ AD = AC ， AC AB∴ AC 2 = AD • AB ；∠ACD = ∠B ， ∠A = ∠A ，AC ∥EF ，（2） 解： 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD = BC ， ∠A = ∠C ，又 ∠BFE =∠A ， ∴∠BFE = ∠C ，又 ∠FBE = ∠CBF ，∴△BFE ∽△BCF ，∴ BF = BE ， BC BF∴BF 2 = B E BC ，BF 242 16 ∴ B C = = = ， BE 3 3 ∴ AD = 16 ；3（3） 解：如图，分别延长 EF ， DC 相交于点G ，四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ∥DC ， ∠BAC = 1 ∠BAD ， 2∴四边形 AEGC 为平行四边形，∴ AC = EG ， CG = AE ， ∠EAC = ∠G ，∠EDF = 1 ∠BAD ， 2∴∠EDF = ∠BAC ，∴∠EDF = ∠G ，又 ∠DEF = ∠GED ，∴△EDF ∽△EGD ，∴ ED = EF ， EG DE∴DE 2 = EF • EG ，又 EG = AC = 2EF ，∴DE 2 = 2EF 2 ，∴DE = 2EF ，又DG = DE ， DF EF ∴DG = 2DF = 5 2 ，∴DC = DG - CG = 5 2 - 2 .【解析】（1）根据题意证明△ADC ∽△ACB ，即可得到结论；具体解题过程参照答案.（2） 根据现有条件推出△BFE ∽△BCF ，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；具体解题过程参照答案.（3） 如图，分别延长 EF ，DC 相交于点G ，先证明四边形 AEGC 为平行四边形，再证△EDF ∽△EGD ，可得 ED = EF EG DE，根据 EG = AC = 2EF ，可得 DE = 2EF ，再根据 DG = DE DF EF， 可 推 出 DG = 2DF = 5 ，即可求出答案.具体解题过程参照答案.【提示】证明三角形相似是解题关键.【考点】相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明24. 【答案】解：（1） BE 平分∠ABC ， CE 平分∠ACD ， ∴∠E = ∠ECD - ∠EBD = 1 ∠ACD - ∠ABC ）= 1∠A = 1 α ， （2 2 2（2） 解：如图，延长 BC 到点T ，四边形 FBCD 内接于 O ，∴∠FDC + ∠FBC =180︒ ，又 ∠FDE + ∠FDC =180︒ ，∴∠FDE = ∠FBC ，平分∠ADE ，∴∠ADF = ∠FDE ，∠ADF = ∠ABF ，2 DF∴∠ABF =∠FBC ，∴BE 是∠ABC 的平分线，AD =BD ，∴∠ACD =∠BFD ，∠BFD +∠BCD =180︒，∠DCT +∠BCD =180︒，∴∠DCT =∠BFD ，∴∠ACD =∠DCT ，∴CE 是△ABC 的外角平分线，∴∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角.（3）①解：如图，连接CF ，∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角，∴∠BAC = 2∠BEC ，∠BFC =∠BAC ，∴∠BFC = 2∠BEC∠BFC =∠BEC +∠FCE ，∴∠BEC =∠FCE ，∠FCE =∠FAD ，∴∠BEC =∠FAD ，又∠FDE =∠FDA ，FD =FD ，∴△FDE≌△FDA(AAS )，∴DE =DA ，∴∠AED =∠DAE ，AC 是O 的直径，∴∠ADC = 90︒，∴∠AED +∠DAE = 90︒，∴∠AED = ∠DAE = 45︒ ，②如图，过点 A 作 AG ⊥ BE 于点G ，过点 F 作 FM ⊥ CE 于点 M ，AC 是 O 的直径，∴∠ABC = 90︒ ，BE 平分∠ABC ，∴∠FAC = ∠EBC = 1 ∠ABC = 45︒ ， 2∠AED= 45︒ ，∴∠AED = ∠FAC ，∠FED = ∠FAD ，∴∠AED -∠FED = ∠FAC -∠FAD ，∴∠AEG = ∠CAD ，∠EGA = ∠ADC = 90︒ ，∴ AE = AG ， AC CD 在 Rt ABG 中， AG =2AB = 4 2 ， 2Rt △ADE 中， AE = 2AD ，AD4 ， AC5在 Rt △ADC 中， AD 2 + DC 2 = AC 2 ，∴设 AD = 4x ， AC = 5x ，则有(4x )2 + 52 = (5x )2 ，∴ x = 5 ，3∴ ED = AD = 20，3 ∴CE = CD + DE = 35 ，3∴ EGA ∽ ADC ，∠BEC =∠FCE ，∴FC =FE ，FM ⊥CE ，∴EM =1CE =35，2 6∴DM =DE -EM =5 ，6 = 45︒，∴FM =DM =5 ，6∴SDEF =1DE • FM =25.2 9【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；具体解题过程参照答案.（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC +∠FBC =180︒，得出∠FDE =∠FBC ，证得∠ABF =∠FBC ，证出∠ACD =∠DCT ，则CE 是△ABC 的外角平分线，可得出结论；具体解题过程参照答案.（3 ）①连接CF ，由条件得出∠BFC =∠BAC ，则∠BFC = 2∠BEC ，得出∠BEC =∠FAD ，证明FDE≌FDA(AAS )，由全等三角形的性质得出DE =DA ，则∠AED =∠DAE ，得出∠ADC = 90︒，则可求出答案；具体解题过程参照答案.②过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，证得△EGA∽△ADC ，得出AE=AG，求AC CD出ADAC4，设5AD=4x，AC=5x，则有(4x)2 +52 =(5x)2 ，解得x =5 ，求出ED，CE 的长，求出DM ，3由等腰直角三角形的性质求出FM ，根据三角形的面积公式可得出答案.具体解题过程参照答案.【提示】熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.【考点】角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质∠FDM。

2020年浙江省宁波市初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可.解：3-的相反数是3.故选：D .【提示】解题关键在于掌握相反数的概念.【考点】求一个数的相反数2.【答案】C【解析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得.解：A 、325•a a a =，故此选项错误；B 、()236a a =，故此选项错误；C 、633a a a ÷=，正确；D 、23a a +，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C .【提示】解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则.【考点】整式的运算3.【答案】B【解析】科学记数法表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.91120000000 1.1210=⨯，故选：B .【提示】表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.【考点】科学记数法的表示方法4.【答案】B【解析】根据主视图的意义和画法可以得出答案.解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B 符合题意，故选：B .【提示】主视图就是从正面看物体所得到的图形.【考点】简单几何体的三视图的画法5.【答案】D【解析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可.解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率42423==+. 故选：D .【提示】属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键. 的【考点】简单的概率计算6.【答案】C【解析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可.【详解】由题意得，20x -≥，解得2x ≥.故选：C .【提示】二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.【分析】二次根式有意义的条件7.【答案】B【解析】利用勾股定理求得10AB =；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结合题意知线段BF 是CDE △的中位线，则12BF CD =. 解：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，A B ∴=.又CD 为中线，152CD AB ∴==. F 为DE 中点，BE BC =，即点B 是EC 的中点， BF ∴是CDE △的中位线，则1 2.52CD BF ==. 故选：B .【提示】此题的突破口是推知线段CD 的长度和线段BF 是CDE △的中位线.【考点】勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线8.【答案】A【解析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条 4.5+，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：12绳子=木条1-，据此列出方程组即可. 解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩， 故选：A .【提示】解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组.【考点】二元一次方程组的实际应用9.【答案】D【解析】由图象开口向上，可知0a ＞，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知0c ＞，根据对称轴方程得到0b ＞，于是得到0abc ＞，故A 错误；根据一次函数()20y ax bx c a =++＞的图象与x 轴的交点，得到240b ac -＞，求得240ac b -＜，故B 错误；根据对称轴方程得到2b a =，当1x =-时，0y a b c =-+＜，于是得到0c a -＜，故C 错误；当22x n =--（n 为实数）时，代入解析式得到()()()22222222y ax bx c a n b n an n c =++=--+--=++，于是得到()222y an n c c =++≥，故D 正确. 解：由图象开口向上，可知0a ＞，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知0c ＞，又对称轴方程为1x =-，所以02b a-＜，所以0b ＞， 0abc ∴＞，故A 错误；∴一次函数()20y ax bx c a =++＞的图象与x 轴交于A ，B 两点，240b ac ∴-＞，240ac b ∴-＜，故B 错误；12b a-=-， 2b a ∴=，当1x =-时，0y a b c =-+＜，20a a c ∴-+＜，0c a ∴-＜，故C 错误；当22x n =--（n 为实数）时，()()()22222222y ax bx c a n b n an n c =++=--+--=++， ∵0a ＞，20n ≥，220n +＞，∴222y an n c c =++（）≥，故D 正确， 故选：D .【提示】熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键.【考点】二次函数的图象和性质10.【答案】A【解析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：60FH GH ACB A AHF HGC =∠=∠=︒∠=∠，，，进而可根据AAS 证明，AFH CHG ≌△△可得AF CH =，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF 的周长AB BC =+，从而可得结论.解：∵GFH △为等边三角形，∴60，，=∠=︒FH GH FHG∴120∠+∠=︒，AHF GHC∵ABC△为等边三角形，∴60==∠=∠=︒，，AB BC AC ACB A∴120∠+∠=︒，GHC HGC∴AHF HGC∠=∠，∴()△△，≌AFH CHG AAS∴AF CH=.∵BDE△是两个全等的等边三角形，△和FGH∴BE FH=，∴五边形DECHF的周长DE CE CH FH DF=++++=++++BD CE AF BE DF（）（），=++++BD DF AF CE BE=+.AB BC∴只需知道ABC△的周长即可.故选：A.【提示】熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键. 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形的周长问题二、11.【答案】2.【解析】根据立方根的定义解答.3∴的立方根是2.故答案为2.=，828【提示】熟记定义是解题的关键.【考点】立方根的定义12.【答案】()()233a a +-【解析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.()()()2221829233a a a a -=-=+-. 故答案为()()233a a +-.【提示】一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.【考点】提公因式法与公式法进行因式分解13.【答案】甲【解析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定.解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲【提示】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.也考查了平均数.【考点】方差，平均数14.【答案】18π【解析】根据弧长公式即可得到结论. 解：折扇的骨柄长为27cm ，折扇张开的角度为120︒，AB ∴的长1202718(cm)180ππ⨯==， 故答案为：18π.【提示】熟练掌握弧长公式是解题的关键. 【考点】弧长的计算15.【答案】【解析】先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得OBC △是等腰直角三角形，当90AOC =︒，连接OB ，根据勾股定理可得斜边AC 的长，当90OAC =︒，A 与B 重合，不符合题意. 解：连接OB ，BC 是O 的切线，90OBC ∴∠=︒，BC OA =，2OB BC ∴==，OBC ∴△是等腰直角三角形，45BCO ∴∠=︒，45ACO ∴∠≤︒，当90AOC ∠=︒，OAC △是直角三角形时，OC ∴=，AC ∴===当90OAC =︒∠，A 与B 重合，不符合题意，故排除此种情况；∴其斜边长为故答案为：【提示】解题的关键是综合运用所学的知识求出OC .【考点】切斜的性质，等腰直角三角形的判定及其性质，勾股定理16.【答案】（1）24（2）13-【解析】如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K .求出证明四边形ACDE 是平行四边形，推出563224ADE ADC ABCDE ABCD S S S S ==-=-=五边形四边形，推出12AOE DEO S S ==，可得111222b a =-，推出24a b -=.再证明BC AD ∥，证明3AD BC =，推出3AT BT =，再证明3AK BK =即可解决问题.如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K .由题意A ，D 关于原点对称，A ∴，D 的纵坐标的绝对值相等，AE CD ∥，E ∴，C 的纵坐标的绝对值相等， E ，C 在反比例函数y b x=的图象上， E ∴，C 关于原点对称，E ∴，O ，C 共线，OE OC =，OA OD =，∴四边形ACDE 是平行四边形，563224ADE ADC ABCDE ABCD SS S S ∴==-=-=五边形四边形， 12AOE DEOS S ∴==， 121122a b ∴-=， 24a b ∴-=，12AOC AOB S S ==，BC AD ∴∥，BC TB AD TA∴=， 32248ACB S=-=， :24:81:3ADC ABC S S ∴==，:1:3BC AD ∴=，:1:3TB TA ∴=，设BT a =，则3AT a =， 1.5AK TK k ==，0.5BK k =，:3:1AK BK ∴=，112132AOK BKO a S S b ∴==-△△， 13a b ∴=-.故答案为24，13-.【提示】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理 三、17.【答案】（1）解：()()212a a a ++- 2221+2a a a a +=+-41a +（2）解：3 52(2 3 )x x -+＜去括号得：3546x x -+＜，移项得：3645x x -+＜，合并同类项：39x -＜， 系数化1得：3x -＞.【解析】（1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可；具体解题过程参照答案.（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元一次不等式的步骤.【考点】整式的混合运算，解一元一次不等式18.【答案】（1）轴对称图形如图所示.（或其他合理答案）（2）中心对称图形如图所示.（或其他合理答案）【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可.具体解题过程参照答案. （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.【考点】利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案19.【答案】（1）解：过点A 作AH BC ⊥于点H ，AB AC =，BH HC ∴=，在Rt ABH △中，47B ∠=︒，50AB =，cos 50cos47500.6834BH AB B ∴==︒≈⨯=，268cm BC BH ∴==.（2）解：在Rt ABH △中，sin 50sin47500.7336.5AH AB B ∴==︒≈⨯=，36.530∴＞，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.【解析】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.具体解题过程参照答案. （2）根据锐角三角函数的定义求出AH 的长度即可判断.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型.【考点】解直角三角形20.【答案】解：把()1,0B 代入243y ax x =+-，得043a =+-，解得：1a =-，224321y x x x ∴=-+-=--+（），()2,1A ∴，抛物线的对称轴是直线2x =，B C 、两点关于直线2x =对称，()3,0C ∴，∴当0y ＞时，13x ＜＜；（2）解：(0,3)D -，(2,1)A ，∴点D 平移到点A ，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，∴平移后抛物线的解析式为245y x =--+（）.【解析】（1）把点B 坐标代入抛物线的解析式即可求出a 的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A 的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C 的坐标，二次函数的图象在x 轴上方的部分对应的x 的范围即为当0y ＞时x 的取值范围；具体解题过程参照答案.（2）先由点D 和点A 的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.具体解题过程参照答案.【提示】属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键.【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系21.【答案】（1）解：3015%200÷=（人），20030804050---=（人）， 直方图如图所示：所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图（2）解：“良好”所对应的扇形圆心角的度数80360144200=⨯=︒︒； （3）解：这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间，∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）解：401500300200⨯=（人）， 答：估计该校获得优秀的学生有300人.【解析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题；具体解题过程参照答案. （2）根据圆心角360=︒⨯百分比计算即可；具体解题过程参照答案.（3）根据中位数的定义判断即可；具体解题过程参照答案.（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可.具体解题过程参照答案.【考点】频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数22.【答案】解：（1）设函数表达式为()0y kx b k =+≠，把(1.6,0)，(2.6,80)代入y kx b =+，得 0 1.680 2.6k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得：80128k b =⎧⎨=-⎩， y ∴关于x 的函数表达式为()801281.6 3.1y x x =-≤≤；（2）解：根据图象可知：货车甲的速度是()80 1.650km/h ÷=，∴货车甲正常到达B 地的时间为200504÷=（小时），18600.3÷=（小时），415+=（小时）， 当20080120y =-=时，12080128x =-，解得 3.1x =，5 3.10.3 1.6--=（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，1.6120v ∴≥，解得75v ≥.答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时.【解析】（1）先设出函数关系式()0y kx b k =+≠，观察图象，经过两点(1.6,0)，(2.6,80)，代入求解即可得到函数关系式；具体解题过程参照答案.（2）先求出货车甲正常到达B 地的时间，再求出货车乙出发回B 地时距离货车甲比正常到达B 地晚1个小时的时间以及故障地点距B 地的距离，然后设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，最后列出不等式并求解即可.具体解题过程参照答案.【提示】解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式.【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用23.【答案】（1）解：证明：ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，ADC ACB ∴△∽△，AD AC AC AB∴=， 2•AC AD AB ∴=；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=， A C ∠=∠，又BFE A ∠=∠，BFE C ∴∠=∠，又FBE CBF ∠=∠，BFE BCF ∴△∽△，BF BE BC BF∴=， 2BF B BC E ∴=，2241633BF BC BE ∴===， 163AD ∴=； （3）解：如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，四边形ABCD 是菱形，AB DC ∴∥，12BAC BAD ∠=∠， AC EF ∥，∴四边形AEGC 为平行四边形，AC EG ∴=，CG AE =，EAC G ∠=∠，12EDF BAD ∠=∠， EDF BAC ∴∠=∠，EDF G ∴∠=∠，又DEF GED ∠=∠，EDF EGD ∴△∽△，ED EF EG DE∴=， 2•DE EF EG ∴=，又2EG AC EF ==，222DE EF ∴=，DE ∴=， 又DG DE DF EF=，DG ∴==2DC DG CG ∴=-=.【解析】（1）根据题意证明ADC ACB △∽△，即可得到结论；具体解题过程参照答案.（2）根据现有条件推出BFE BCF △∽△，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；具体解题过程参照答案.（3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，先证明四边形AEGC 为平行四边形，再证EDF EGD △∽△，可得ED EF EG DE =，根据2EG AC EF ==，可得DE =，再根据DG DE DF EF=，可推出DG ==.具体解题过程参照答案.【提示】证明三角形相似是解题关键.【考点】相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明24.【答案】解：（1）BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，111222E ECD EBD ACD ABC A α∴∠=∠-∠=∠-∠==（）∠， （2）解：如图，延长BC 到点T ，四边形FBCD 内接于O ，180FDC FBC ∴∠+∠=︒，又180FDE FDC ∠+∠=︒，FDE FBC ∴∠=∠， DF 平分ADE ∠，ADF FDE ∴∠=∠，ADF ABF ∠=∠，ABF FBC ∴∠=∠，BE ∴是ABC ∠的平分线，AD BD =，ACD BFD ∴∠=∠，180BFD BCD ∠+∠=︒，180DCT BCD ∠+∠=︒，DCT BFD ∴∠=∠，ACD DCT ∴∠=∠，CE ∴是ABC △的外角平分线，BEC ∴∠是ABC △中BAC ∠的遥望角.（3）①解：如图，连接CF ，BEC ∠是ABC △中BAC ∠的遥望角，2BAC BEC ∴∠=∠，BFC BAC ∠=∠，2BFC BEC ∴∠=∠BFC BEC FCE ∠=∠+∠，BEC FCE ∴∠=∠，FCE FAD ∠=∠，BEC FAD ∴∠=∠，又FDE FDA ∠=∠，FD FD =，()FDE FDA AAS ∴△≌△，DE DA ∴=，AED DAE ∴∠=∠， AC 是O 的直径，90ADC ∴∠=︒，90AED DAE ∴∠+∠=︒，45AED DAE ∴∠=∠=︒，②如图，过点A 作AG BE ⊥于点G ，过点F 作FM CE ⊥于点M ，AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒， BE 平分ABC ∠，1452FAC EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒， 45AED ∠=︒，AED FAC ∴∠=∠，FED FAD ∠=∠，AED FED FAC FAD ∴∠-∠=∠-∠，AEG CAD ∴∠=∠，90EGA ADC ∠=∠=︒，EGA ADC ∴∽，AE AG AC CD∴=，在Rt ABG 中，AB 2AG ==Rt ADE △中，AE =， 45ADAC ， 在Rt ADC △中，222AD DC AC +=，∴设4AD x =，5AC x =，则有222(4)5(5)x x +=， 53x ∴=， 203ED AD ∴==， 353CE CD DE ∴=+=， BEC FCE ∠=∠，FC FE ∴=， FM CE ⊥，13526EM CE ∴==， 56DM DE EM ∴=-=， 45FDM ∠=︒，56FM DM ∴==， 125•29DEF S DE FM ∴==.【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；具体解题过程参照答案.（2）由圆内接四边形的性质得出180FDC FBC ∠+∠=︒，得出FDE FBC ∠=∠，证得ABF FBC ∠=∠，证出ACD DCT ∠=∠，则CE 是ABC △的外角平分线，可得出结论；具体解题过程参照答案.（3）①连接CF ，由条件得出BFC BAC ∠=∠，则2BFC BEC ∠=∠，得出BEC FAD ∠=∠，证明()FDE FDA AAS ≌，由全等三角形的性质得出DE DA =，则AED DAE ∠=∠，得出90ADC ∠=︒，则可求出答案；具体解题过程参照答案.②过点A 作AG BE ⊥于点G ，过点F 作FM CE ⊥于点M ，证得EGA ADC △∽△，得出AE AG AC CD =，求出45ADAC ，设4AD x =，5AC x =，则有()()222455x x +=，解得53x =，求出ED ， CE 的长，求出DM ，由等腰直角三角形的性质求出FM ，根据三角形的面积公式可得出答案.具体解题过程参照答案.【提示】熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.【考点】角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质。

宁波市2020年初中学业水平考试数学试题（满分为150分，考试时间为120分钟）试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．﹣3的相反数为（）A．﹣3 B．﹣C．D．32．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a53．2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×10104．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．5．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．6．二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．48．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长试题卷Ⅱ二、填空题（每小题5分，共30分）11．实数8的立方根是．12．分解因式：2a2﹣18＝．13．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙45 45 42S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．15．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B 作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．16．如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（本题8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18．（本题8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19．（本题8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21．（本题10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22．（本题10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？23．（本题12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．24．（本题14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．答案与解析试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．﹣3的相反数为（）A．﹣3 B．﹣C．D．3【知识考点】相反数．【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．【解题过程】解：﹣3的相反数是3．故选：D．【总结归纳】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【解题过程】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×1010【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解题过程】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．【解题过程】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．【总结归纳】考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】概率公式．【思路分析】根据概率公式计算．【解题过程】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．故选：D．【总结归纳】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．6．二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤2【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解题过程】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．【总结归纳】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【知识考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理．【思路分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解题过程】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解题过程】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【知识考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【解题过程】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误∵；∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．【总结归纳】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【思路分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【解题过程】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．试题卷Ⅱ二、填空题（每小题5分，共30分）11．实数8的立方根是．【知识考点】立方根．【思路分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．【解题过程】解：实数8的立方根是：＝2．故答案为：2．【总结归纳】此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．12．分解因式：2a2﹣18＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解题过程】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．【总结归纳】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．13．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙45 45 42S2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．【知识考点】算术平均数；方差．【思路分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．【解题过程】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．【总结归纳】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．【知识考点】弧长的计算．【思路分析】根据弧长公式即可得到结论．【解题过程】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝＝18π（cm），故答案为：18π．【总结归纳】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．15．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC ＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．【知识考点】勾股定理；切线的性质．【思路分析】当∠AOC＝90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2．【解题过程】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝∠OAC＝90°，∵BC＝OA＝OB，∴△OBC是等腰直角三角形，∴，故答案为：2或2．【总结归纳】本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16．如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．【解题过程】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x 轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，∴AK：BK＝3：1，∴＝＝3，∴＝﹣3．故答案为24，﹣3．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（本题8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．【知识考点】单项式乘多项式；完全平方公式；解一元一次不等式．【思路分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．【解题过程】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）＝a2+2a+1+2a﹣a2＝4a+1；（2）3x﹣5＜2（2+3x）3x﹣5＜4+6x，移项得：3x﹣6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．【总结归纳】此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（本题8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【知识考点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案．【思路分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．【解题过程】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．【总结归纳】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（本题8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【知识考点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．【解题过程】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【总结归纳】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【知识考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【思路分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【解题过程】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴x＝1，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．【总结归纳】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（本题10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．【思路分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．（3）根据中位数的定义判断即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解题过程】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°．（3）这次测试成绩的中位数是良好．（4）1500×＝300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．【总结归纳】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（本题10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【知识考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式；（2）根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案．【解题过程】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）当y＝200﹣80＝120时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，由图可甲的速度为＝50（千米/小时），货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．23．（本题12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE•BC，求出BC，则可求出AD．（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DE＝EF，可求出DG，则答案可求出．【解题过程】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．【总结归纳】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．24．（本题14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC ＝90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x＝，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．。

2020年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣3的相反数为（）A．﹣3B．﹣C．D．32．（4分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a53．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×1010D．0.112×10104．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2B．x≠2C．x≥2D．x≤27．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F 为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．48．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）实数8的立方根是．12．（5分）分解因式：2a2﹣18＝．13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．15．（5分）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．16．（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C 两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE ＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．2020年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣3的相反数为（）A．﹣3B．﹣C．D．3【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a5【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．3．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×1010D．0.112×1010【解答】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．4．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．故选：D．6．（4分）二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2B．x≠2C．x≥2D．x≤2【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F 为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：A．9．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．10．（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）实数8的立方根是2．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：2．12．（5分）分解因式：2a2﹣18＝2（a+3）（a﹣3）．【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为18πcm（结果保留π）．【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝＝18π（cm），故答案为：18π．15．（5分）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为2或2．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝∠OAC＝90°，∵BC＝OA＝OB，∴△OBC是等腰直角三角形，∴，故答案为：2或2．16．（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为24，的值为﹣．【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE ＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE ＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC ＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC ：S△ABC＝24：8＝3：1，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，∴AK：BK＝3：1，∴＝＝3，∴＝﹣3，即＝﹣，解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，﹣），C（﹣，﹣），由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m+）（+）×＝32，化简可得，＝﹣．故答案为24，﹣．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．【解答】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）＝a2+2a+1+2a﹣a2＝4a+1；（2）3x﹣5＜2（2+3x）3x﹣5＜4+6x，移项得：3x﹣6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50cm，∴BH＝AB cos B＝50cos47°≈50×0.68＝34cm，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin47°≈50×0.73＝36.5cm，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C 两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°．（3）这次测试成绩的中位数是80﹣90．这次测试成绩的中位数的等级是良好．（4）1500×＝300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．22．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128；由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），∴x的取值范围是1.6≤x＜3.1．∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x ＜3.1）；（2）当y＝200﹣80＝120时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，由图可知，甲的速度为＝50（千米/小时），货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE ＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，＝DE•FM＝．∴S△DEF。

2024年浙江省初中学业水平考试猜题卷数学试题一、单选题1．12024-的相反数是（ ）A ．12024-B ．12024C ．2024D ．－20242．下列运算正确的是（ ） A ．()a a b b --=- B ．235a b ab +=C ．248·a a a =D ．()248a a =3．卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．50.1710⨯B ．51.710⨯C ．41710⨯D ．61.710⨯4．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．15．某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两名运动员10次射击成绩（单位：环）如图所示．甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为x 甲，x 乙，射击成绩的方差依次记为2S 甲，2S 乙，则下列关系中完全正确的是（ ）A ．x x =甲乙，22S S >甲乙B ．x x =甲乙，22S S <甲乙C ．x x >甲乙，22S S >甲乙 D ．x x <甲乙，22S S <甲乙7．已知a b <，下列变形正确的是（ ） A ．22a b ->-B ．22a b >C ．22a b ->-D ．22a b >8．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14m ≤C ．14m <D ．14m >9．已知1y 与2y 均是关于x 的二次函数，21y ax bx c =++，22(0,)y cx bx a ac a b =++≠≠．经过研究，甲认为：若函数1y 的图象与x 轴的一个交点为(,0)m ，则函数2y 的图象一定过点1,0m ⎛⎫⎪⎝⎭；乙认为：若函数1y 的图象与函数2y 的图象都经过点P ，则点P 的横坐标为1．下列选项正确的是（ ）A ．甲说法正确，乙说法不正确B ．甲说法不正确，乙说法正确C ．甲、乙说法都正确D ．甲、乙说法都不正确10．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AB 为边向三角形外作正方形ABDE ，作E F B C ⊥于点F ，交对角线AD 于点G ，连接BG ．要求BFG V 的周长，只需要知道（ ）A ．线段BF 的长度B ．线段AC 的长度 C ．线段FG 的长度D ．线段BC 的长度二、填空题11．因式分解：222x -=． 12．若代数式13x -有意义，则实数x 的取值范围为 ． 13．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若124∠=︒，则2∠的度数为．14．如图，AB 为半圆直径，2AB =，点C 为半圆上一点，点D 和点B 关于直线AC 对称，连接AD 交»AC 于点E ，连接CE ．设BC x AE y ==，，则y 关于x 的函数关系式为．15．如图，矩形ABCD ，点P 是边AD 上一点，连接CP ，将CPD △沿CP 折叠得CPN △，连接DN 并延长交AB 于点M ，若3AM BM =，3AM =，2PD =，则MN 的长为．16．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为．三、解答题17．计算：112-（）＋2tan60°＋（π-3）018．解不等式组： ()23952214x x x x ⎧-+>⎪⎨+≥-⎪⎩①② 19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD 为315m ，航母前端点E 到水平甲板BD 的距离DE 为6m ，舰岛顶端A 到BD 的距离是AC ，经测量，∠BAC ＝71.6°，∠EAC ＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）请计算舰岛AC 的高度（结果精确到1m ）．20．如图，在平行四边形ABCD 中，点,E F 分别在,BC AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO CO =．(1)求证：AOF COE V V ≌；(2)连接,AE CF ．请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形．（不需要说明理由）21．萧红中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：(1)本次调查的学生总数为人，被调查学生的课外阅读时间的众数是小时； (2)请直接补全条形统计图；(3)若九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人? 22．一次函数(y kx b k =+，b 为常数，且0)k ≠的图象和反比例函数(my m x=为常数，0)m ≠的图象交于点(1,)A n 和点(2,2)B --．(1)求n 的值及一次函数的表达式．(2)点C 为反比例函数图象上一点，点C 关于y 轴的对称点再向下平移4个单位得到点D ，点D 恰好落在反比例函数图象上，求点C 的坐标．23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y （单位：cm ），乒乓球运行的水平距离记为x （单位：cm ）．测得如下数据：(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm ； ②求满足条件的抛物线解析式：(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度OA ，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB 为274cm ，球网CD 高15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA 的值约为48cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时，击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．24．如图，AB 是O e 的直径，D 是O e 上一点，过点D 作O e 的切线交AB 的延长线于点C ，DA DC ．(1)求C ∠的度数；(2)如图2，P 是线段BC 上的动点，过点P 作AD 的平行线，交O e 于点E ，()F PF PE ≥，连接BE ，BF ，10AB =． ①当tan 1FBA ∠=时，求BE 的长； ②当BP 为何值时BE EFEF BF=．。

2020年浙江省宁波市中考数学试卷原卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）A ．15B ．25C ．625 D ．1925 2．一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是（ ） A ．π5 B ．π8 C ．π5或π8 D ．π10或π163．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A ．等腰三角形 B ．平行四边形 C ．等边三角形 D ．矩形 4．下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ）A ．直角三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．等腰三角形5．若2212m nn x y--与13218m m x y --是同类项，则2m n +值为（ ）A ． -4B ． 163-C ．-2D ．103-6．下列扑克牌中,以牌的对角线交点为旋转中心,旋转180O 后能与原图形重合的有（ ）A ．4张B ．3张C ．2张7．下列说法中正确的个数有（ ） ①全等i 角形对应角所对的边是对应边，对应边所夹的角是对应角②全等三角形对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角 ③全等三角形中的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角 ④两个全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角是对应角 A ．1个 B 2个C ．3个D ．4个8．800 m 跑道上有两人在练长跑，甲的速度为320 m ／min ，乙的速度为280 m ／min ，两人同时同地同向出发t （min ）后，甲、乙两人第一次相遇，则t 等于（ ）A ．10 minB ．15 minC ．20 minD ．30 min9．计算 18÷6÷2 时，下列各式中错误的是（ ）A ．111862⨯⨯B ． 18÷ （6÷2）C ．18÷（6×2）D ．（l8÷6）÷2二、填空题10．已知等腰直角三角形的外接圆半径为 5，则其内切圆的半径为 ．11．如图，梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB=2CD ，E 、F 分别是 AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点 M. 若 DB=9，则BM= ．解答题12．x 与 2 的和不大于 4，用不等式表示为 ，它的解集为 ． 13．若某数的一个平方根是54，则这个数的另一个平方根是 ． 14．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=41°，则∠B= ．15．如图，当∠1 与∠3满足 时，1l ∥3l ；当2l ∥3l 时，∠2 与∠3 满足的关系式为 ．16．一个搬运小组有 x 名工人，平均每名工人每小时搬运货物 1 吨、要在 14 小时内将y 吨货搬完．如果增加 2 名工人，恰好提前 2 小时完成任务；如果减少 4名工人，就要推迟10 小时完成. 则x= ,y= ．17．下列方程组中，其中是二元一次方程组的有 (填序号). ①235571x y x y +=⎧⎨--=⎩,②123x y y x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，③32027x y y z -=⎧⎨+=⎩，④304x y -=⎧⎨=⎩18．“红星”商场对商品进行清仓处理，全场商品一律八折，小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元，他购买该鞋实际用 元．19．某教室要换新桌椅，教室中共有(1n +)行桌椅，其中每行 7 人的有n 行，另有一行有 8 人，共需 套新桌椅；当6n =时，共需 套新桌椅. 20．比较大小：(1)13- 0；(2) 0.05 -1； (3)23- -0.6.三、解答题21．一个二次函数，其图象由抛物线212y x =向右平移 1 个单位，再向上平移k (k>0)个单位得到，平移后图象过点(2，1),求k 的值.22．如图，1l 反映了某个体服装老板的销售收入与销售量之间的关系，2l 反映了该老板的销售成本与销售量的关系，根据图象回答下列问题：(1)分别求出1l 、2l 对应的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)当销售量为30件时，销售收入为 元，销售成本为 元； (3)当销售量为60件时，销售收入为 元，销售成本为 元； (4)当销售量为 件时，销售收入等于销售成本；(5)当销售量 件时，该老板赢利．当销售量 件时．该老板亏本．23．某礼堂共有30排座位，第1排共有20个座位，后面每一排比前一排多2个座位，则 (1)第5排、第10排分别有几个座位? (2)若某一排有54个座位，则应是第几排?(3)写出每排的座位数m 与这排的排数n 之间的关系式，并指出这个问题中的常量和变量．24．如图，AB ∥CD ，∠ABE=135°，∠EDC=30°，求∠BED 的度数.25．“5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有 4条成衣生产线和 5条童装生产线，工厂决定转产，计划用了天时间赶制 1000顶帐篷支援灾区，若启用 1条成衣生产线和 2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用 2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？26．为加快西都大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程. 如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成. 现在甲、乙两队先共同施工 4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成. 问原来规定修好这条公路需多长时间？27．轮船在静水中每小时航行 a(m)，水流速度是每小时 b(km)，则该轮船在顺水中航行s(km)需要多少时间？sa b28．如图所示，两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，请找出每个匿形的对称轴，并说说它们的对称轴有什么共同的特点．29．仿照1111123434==-⨯的方法计算：1111111112612203042567290++++++++．91030．据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取2≈1.41)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．C3．D4．D5．A6．C7．D8．C9．B二、填空题10．511．312．x+2≤4，x ≤213．54-14． 49°15．∠l+∠3=180°,∠2+∠3=180°16．10，14417．①③18．6419．78n +,50 20．<,>,<三、解答题 21．∵抛物线12y x =向右平移 1 个单位，再向上平移k 个单位，, ∴2(1)y x k =--+,又∵过点(2，1)，∴21(21)12k -+=,解得12k =22．(1)1l ：100t x =，2l ：751000t x =+； (2)3000，3250； (3)6000，5500； (4)40；(5)大于40，小于4023．(1)28个，38个；(2)18排；(3)m=20+2(n-1)(1≤n ≤30且n 为正整数)；常量为20，2，1；变量为m ，n24．75°25．(1)凌每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷分别为x 顶、y 顶.210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组4132x y =⎧⎨=⎩，经检验，这个解是原方程组的解，且符合题意. 答：每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷分别为 41顶、32顶.(2)由 3×(4×41+5×32)=972<1000，可知即使工厂满负荷全面转产也不可能如期完成任务. 作为厂长可以安排加班生产、改进技术等，进一步挖掘自已厂的生产潜力，或动员其他厂家支援，想办法尽早完成生产任务，为灾区人民多作贡献.26．12 个月27．sa b+28． 对称轴均为过两圆圆心的直线29．91030． 解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得： 30%a （1＋x ）2=60%a ，即（1＋x ）2=2∴x 1≈0.41，x 2≈－2.41(不合题意舍去)，∴x ≈0.41 即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41% ．。

浙江省宁波市2023年初中学业水平模拟考试数学试题一、单选题1．下列各数中，属于负数的是（ ）A．8B．5.6C．−23D．122．−[a−(b+c)]去括号后应为（ ）A．−a−b+c B．−a+b−c C．−a−b−c D．−a+b+c3．第四届世界茉莉花大会、2022年中国（横州）茉莉花文化节于9月19日、20日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约125000亩.数据125000用科学记数法可表示为（ ）A．0.125×106B．1.25×105C．12.5×104D．125×1034．如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）A．B．C．D．5．为庆祝2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动.经过几轮筛选，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：甲乙丙丁平均数97969898方差 1.60.30.3 1.8如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁6．分式1x−3有意义，则x的取值范围是（ ）A．x>3B．x<3C．x≠3D．x≠−37．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE=3，DF=1，则边BC的长为（ ）A．7B．8C．9D．108．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）A．{x−y=34y+3y=435B．{y−x=3 4x+5y=435C．{x=3−y4x+5y=435D．{x−y=3 4x+5y=4359．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A(1，2)，B(m，−1).则关于x的不等式ax+b>kx的解集是（ ）A．x<−2或0<x<1B．x<−1或0<x<2C．−2<x<0或x>1D．−1<x<0或x>210．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S3二、填空题11．π−4 的绝对值是 　．12．因式分解：x 2+3x +1=　　.13．国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共 1000个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.3，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 　个．14．如图AB 、AC 、BD 是圆O 的切线，切点分别为P 、C 、D ，若AB =5，BD =2，则AC 的长是 .15．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，A 点坐标为(−5，0)，对角线AC和OB 相交于点D 且AC ⋅OB =40.若反比例函数y =kx(x <0)的图象经过点D ，并与BC 的延长线交于点E ，则S △OCE =　　.16．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =12，AD =4，按以下步骤操作：第一步，在边AB 上取一点M ，且满足BM =2BC ，现折叠纸片，使点C 与点M 重合，点B 的对应点为点B ′，则得到的第一条折痕EF 的长为　　.第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF 垂直，点D 的对应点为D ′，则点B ′和点D ′之间的最小距离为　　.三、解答题17．计算：（1）−2+3−(−5)+7；×2−38.（2）−12021+|−7|−9+5÷1218．作图题（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为 .（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）.①在图1中，画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直.②在图2中，画▱ABCD，使∠A=45°，且面积为6.19．已知抛物线y=a x2+bx+5经过点(1，0)，(−1，12).（1）求该二次函数的解析式；（2）用配方法将（1）中的解析式化为顶点式y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出顶点坐标20．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写39个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，组别正确字数x人数A0≤x<810B8≤x<1615C16≤x<2425D24≤x<32mE32≤x<40n（1）在统计表中，m=▲，n=▲，并补全直方图；（2）在扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ；（3）若该校共有2000名学生，如果听写正确的个数不少于32个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数.21．我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米的器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆AB的简意图如图2，OM是垂直水平地面的支柱，AB=8米，OA：OB=1：3．当点A位于最低点时，∠AOM=60∘；当点A位于最高点A′时，∠A′OM=108.2∘．过点O作直线EF垂直于OM，分别过点B，B′作BC⊥EF，B′D⊥EF，垂足分别为C，D．（1）求∠BOD和∠B′OD的度数；（2）求点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离（即求BC+B′D的长）．（参考数据：sin18.2∘≈0.31，cos18.2∘≈0.95，tan18.2∘≈0.33）22．小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动.如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系.根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求小王的骑车速度，点C 的横坐标；（2）求线段AB 对应的函数表达式；（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？23．如图（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 和对角线AC 上的点，∠EDF =45°.①求证：△DBE ∼△DCF ；②BECF= ▲ ；（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，E 、F 分别是边AB 和对角线AC 上的点，tan∠EDF =43，BE =5，求CF 的长；（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD 中，BC =5，对角线AC =6，BH ⊥AD 交DA 的延长线于点H ，E 、F 分别是线段HB 和AC 上的点，tan∠EDF =34，HE =85，求CF 的长.24．如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点C 为AB 的中点，点D 在BC 上，连接BD 、CD 、BC 、AD 、BC 与AD 相交于点E .（1）求证：∠C +∠CBD =∠CBA ；（2）如图2，过点C 作CD 的垂线，分别与AD ，AB ，⊙O 相交于点F 、G 、H ，求证：AF =BD ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF ，若BF =BC ，△CEF 的面积等于3，求FG 的长.答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】4-π12．【答案】(x +3−52)(x +3+52)13．【答案】30014．【答案】315．【答案】216．【答案】25；45517．【答案】（1）解：−2+3−(−5)+7=1+5+7=13（2）解：−12021+|−7|−9+5÷12×2−38=−1+7−3+5×2×2−2=3+20−2=21.18．【答案】（1）13（2）解：①如图，四边形MNPQ 即为所求的菱形，由网格知，MP 和NQ 互相平分，∴四边形MNPQ 是平行四边形，∵MP ⊥NQ ，∴四边形MNPQ 是菱形，∵MP =42+42=42，NQ =1222+22=2，∴菱形MNPQ 的面积是12MP ×NQ =12×42×2=4，故菱形MNPQ 满足题意；②如图2，▱ABCD 满足题意，由图可知， AB ∥CD ，AB =CD =3，∴四边形ABCD 是平行四边形，则▱ABCD 的面积=AB·DH =3×2=6，∵∠BAD =45°，∴▱ABCD 满足题意.19．【答案】（1）解：由抛物线y =a x 2+bx +5经过点(1，0)，(−1，12)可得：{a +b +5=0a−b +5=12，解得：{a =1b =−6，∴二次函数的解析式为y =x 2−6x +5（2）解：由（1）可知：y =x 2−6x +5=(x−3)2−4，∴顶点坐标为(3，−4).20．【答案】（1）解：30；20；补全直方图如图.（2）90°（3）解：听写正确的个数不少于32个，即大于或等于32个的为优秀，此次抽查中大于或等于32个的人数是20人，与总人数的比是20100=15，∴该校共有2000名学生中优秀人数约是2000×15=400（人）.故听写“优秀”的学生人数约为400人.21．【答案】（1）解： ∵∠EOM =90∘，∠AOM =60∘，∴∠BOD =∠EOA =90∘−60∘=30∘，∵∠A ′OM =108.2∘，∴∠B ′OD =∠A ′OE =108.2∘−90∘=18.2∘（2）解：∵AB =8米，OA ：OB =1：3，∴OB =34AB =34×8=6（米），∴在Rt △BOC 中，BC =OB ⋅sin30∘=3中，（米），在Rt △B ′OD 中，B ′D =OB ′⋅sin18.2∘=6×0.31≈1.86（米），∴点B 从最高点到最低点B ′之间的垂直距离为4.86米．22．【答案】（1）解：由图可得，小王的骑车速度是：(27−9)÷(2−1)=18(千米/小时)，点C 的横坐标为：1−9÷18=0.5（2）解：设线段AB 对应的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，∵A(0.5，9)，B(2.5，27)，∴{0.5k +b =92.5k +b =27，解得：{k=9b=4.5，∴线段AB对应的函数表达式为y=9x+4.5(0.5≤x≤2.5)；（3）解：当x=2时，y=18+4.5=22.5，∴此时小李距离乙地的距离为：27−22.5=4.5（千米），答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米. 23．【答案】（1）解：①证明：∵∠EDF=45°，∴∠EDB+∠BDF=45°，∵∠CDF+∠BDF=45°，∴∠EDB=∠CDF，∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，∴∠EBD=∠FCD=45°，∴△DBE∼△DCF②2（2）解：连接BD交AC于点O，∵AB=6，BC=8，∴AC=BD=62+82=10，∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠ODC，∴∠ABD=∠OCD，∵tan∠BDC=BCCD=43，tan∠EDF=43，∴∠EDF=∠BDC，∵∠EDF=∠EDB＋∠BDF，∠BDC=∠BDF＋∠FDC，∴∠EDB=∠FDC，∴△DBE ∽△DCF ，∴BE CF =BD DC =53，∵BE =5，∴CF =3；（3）解：连接BD 交AC 于O 点，∵在菱形ABCD 中，BC =AB =DC =AD =5，AC =6，AC ⊥BD ，∴OC =12AC =3，BD =2OD ，在Rt △ODC 中，OD =DC 2−OC 2=4，∴BD =2OD =8，tan ∠ODC =OC OD =34，∵BD 为菱形对角线，∴∠HDB =∠ODC ，∵BH ⊥HD ，AC ⊥BD ，∴∠DHB =∠DOC =90°，∴△DHB ∽△DOC ，∴BH CO =DB DC ，即BH 3=85，∴BH =245，∵HE =85，∴BE =BH －HE =165，∵tan ∠EDF =34，∴∠EDF =∠ODC ，∴∠EDB =∠CDF ，∵BH ⊥AD ，∴∠HBD +∠HDB =90°，∵∠HDB=∠ODC，∠ODC+∠OCD=90°，∴∠HBD=∠OCD，∴△DBE∽△DCF，∴BECF=BDDC=85，∴CF=5BE8=5×1658=2.24．【答案】（1）证明：连接AC，如图所示：在⊙O中，∵C为AB的中点，∴AC=BC∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，∵由CD=CD，BD=BD，∴∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA.（2）证明：连接AC，如图所示：∵AB是直径，∴∠ACB=90°=∠ACF+∠FCB，∵CD⊥CH，∴∠DCH=90°=∠FCB+∠DCB，∴∠ACF=∠DCB，∵AC=BC，∴AC =BC ，∵在△ACF 和△BCD 中{∠ACF =∠DCB AC =BC ∠CAF =∠CBD，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF =BD .（3）解：作BM ⊥CH 于M ，AK ⊥CH 于K ，如图所示：∴∠ACK +∠CAK =90°，∠AKC =∠BMC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACK +∠KCB =90°，∴∠CAK =∠KCB ，∵AC =BC ，∴△ACK≌△CBM ，∴AK =CM ，∵CB =BF ，BM ⊥CF ，∴CM =FM =AK ，∵△ACF≌△BCD ，∴CF =CD ，∵∠FCD =90°，∴∠CFD =∠CDF =45°=∠AFK ，∴△AFK 是等腰直角三角形，∴AK =FK =FM =CM ，在Rt △AKC 中，tan∠CAK =CK AK=3，作EN ⊥CH 于N ，在Rt △NCE 中，∵∠HCB =∠CAK ，∴tan∠NCE =EN CN =3，设CN =m ，EN =3m =NF ，∴S △CEF =12CF ⋅EN =12×(m +3m)×3m =3，∴m =22，∴CF =4m =22，∴CM =FM =FK =AK =2，∴AF =2，∵DB =DB ，∴∠DCB =∠DAB =∠ACK ，过G 作GQ ⊥AF 于Q ，在Rt △AQG 中，tan ∠FAB =QG AQ =13，设QG =x ，AQ =3x ，FQ =x ，∴4x =2，∴x =12，∴FG =2QG =22.。

2020年浙江省宁波市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（每小题4分，共40分）1．﹣3的相反数为（）A．﹣3 B．﹣C．D．32．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a53．2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×10104．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．5．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A．B．C．D．6．二次根式中字母x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．x≤27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．48．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长二、填空题（每小题5分，共30分）11．实数8的立方根是．12．分解因式：2a2﹣18＝．13．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙45 45 42S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为cm（结果保留π）．15．如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．16．如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC ＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．参考答案与试题解析1．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：D．2．【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．3．【解答】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．4．【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．5．【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．故选：D．6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．7．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．8．【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．故选：A．9．【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误∵；∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．10．【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．11．【解答】解：实数8的立方根是：＝2．故答案为：2．12．【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．13．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝＝18π（cm），故答案为：18π．15．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；故答案为：2．16．【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，∴BC：AD＝1：3，∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，∴AK：BK＝3：1，∴＝＝，∴＝﹣．故答案为24，﹣．17．【解答】解：（1）（a+1）2+a（2﹣a）＝a2+2a+1+2a﹣a2＝4a+1；（2）3x﹣5＜2（2+3x）3x﹣5＜4+6x，移项得：3x﹣6x＜4+5，合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．18．【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．19．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．20．【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴x＝1，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．21．【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°．（3）这次测试成绩的中位数是良好．（4）1500×＝300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．22．【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）当y＝200﹣80＝120时，120＝80x﹣128，解得x＝3.1，货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，∴1.6v≥120，解得v≥75．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．23．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．24．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝。

2020年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）﹣3的相反数为（ ） A ．﹣3B ．−13C ．13D ．32．（4分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6B ．（a 3）2＝a 5C ．a 6÷a 3＝a 3D ．a 2+a 3＝a 53．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（ ） A ．1.12×108B ．1.12×109C ．1.12×109D ．0.112×10104．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．236．（4分）二次根式√x −2中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2B ．x ≠2C ．x ≥2D ．x ≤27．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF ．若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．48．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ） A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −19．（4分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．4ac ﹣b 2＞0C ．c ﹣a ＞0D ．当x ＝﹣n 2﹣2（n 为实数）时，y ≥c10．（4分）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道（ ）A ．△ABC 的周长B ．△AFH 的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）实数8的立方根是．12．（5分）分解因式：2a2﹣18＝．13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙x454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB̂的长为cm （结果保留π）．15．（5分）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O 的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为．16．（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为，ba的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）计算：（a+1）2+a（2﹣a）．（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22．（10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD̂=BD̂，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．2020年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）﹣3的相反数为（）A．﹣3B．−13C．13D．3【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．a6÷a3＝a3D．a2+a3＝a5【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．3．（4分）2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（）A．1.12×108B．1.12×109C．1.12×109D．0.112×1010【解答】解：1120000000＝1.12×109，故选：B．4．（4分）如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C ．D ．【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B 符合题意， 故选：B ．5．（4分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=44+2=23． 故选：D ．6．（4分）二次根式√x −2中字母x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2B ．x ≠2C ．x ≥2D ．x ≤2【解答】解：由题意得，x ﹣2≥0， 解得x ≥2． 故选：C ．7．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF ．若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．4【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10． 又∵CD 为中线， ∴CD =12AB ＝5．∵F 为DE 中点，BE ＝BC 即点B 是EC 的中点， ∴BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD ＝2.5． 故选：B ．8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ） A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【解答】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．9．（4分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）A ．abc ＜0B ．4ac ﹣b 2＞0C ．c ﹣a ＞0D ．当x ＝﹣n 2﹣2（n 为实数）时，y ≥c 【解答】解：由图象开口向上，可知a ＞0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又对称轴方程为x ＝﹣1，所以−b2a ＜0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误∵；∴一次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵−b2a=−1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．10．（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）实数8的立方根是2．【解答】解：实数8的立方根是：3=2．√8故答案为：2．12．（5分）分解因式：2a2﹣18＝2（a+3）（a﹣3）．【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．13．（5分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙x454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．̂的长为18π14．（5分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中ABcm（结果保留π）．【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm ，折扇张开的角度为120°， ∴AB̂的长=120⋅π×27180=18π（cm ）， 故答案为：18π．15．（5分）如图，⊙O 的半径OA ＝2，B 是⊙O 上的动点（不与点A 重合），过点B 作⊙O 的切线BC ，BC ＝OA ，连结OC ，AC ．当△OAC 是直角三角形时，其斜边长为 2√3 ．【解答】解：∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC ＝90°， ∵BC ＝OA ， ∴OB ＝BC ＝2，∴△OBC 是等腰直角三角形， ∴∠BCO ＝45°， ∴∠ACO ≤45°，∵当△OAC 是直角三角形时，①∠AOC ＝90°，连接OB ， ∴OC =√2OB ＝2√2，∴AC =√OA 2+OC 2=√22+(2√2)2=2√3；②当△OAC 是直角三角形时，①∠OAC ＝90°，此时，点A ，B 重合（不合题意舍去）， 故答案为：2√3．16．（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为24，b a 的值为−13．【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x 轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24， ∴S △AOE ＝S △DEO ＝12， ∴12a −12b ＝12，∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12， ∴BC ∥AD ， ∴BC AD=TB TA，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝1：3， ∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝a ，则AT ＝3a ，AK ＝TK ＝1.5k ，BK ＝0.5k ， ∴AK ：BK ＝3：1， ∴S △AOK S △BKO =12a −12b =13，∴a b=−13． 故答案为24，−13．三、解答题（本大题有8小题，共80分） 17．（8分）（1）计算：（a +1）2+a （2﹣a ）． （2）解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x ）． 【解答】解：（1）（a +1）2+a （2﹣a ） ＝a 2+2a +1+2a ﹣a 2 ＝4a +1；（2）3x ﹣5＜2（2+3x ） 3x ﹣5＜4+6x ， 移项得：3x ﹣6x ＜4+5，合并同类项，系数化1得：x ＞﹣3．18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．19．（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝AB cos B＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴x＝1，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．21．（10分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）．由图中给出的信息解答下列问题：（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），200﹣30﹣80﹣40＝50（人），直方图如图所示：（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×80200=144°．（3）这次测试成绩的中位数是良好．（4）1500×40200=300（人），答：估计该校获得优秀的学生有300人．22．（10分）A ，B 两地相距200千米．早上8：00货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B 地的速度至少为每小时多少千米？【解答】解：（1）设函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx +b ，得{0=1.6k +b 80=2.6k +b ，解得：{k =80b =−128，∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x ≤3.1）； （2）当y ＝200﹣80＝120时， 120＝80x ﹣128， 解得x ＝3.1，货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时）， 设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时， ∴1.6v ≥120，解得v ≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时． 23．（12分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．【解答】解：（1）证明：∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC=AC AB，∴AC 2＝AD •AB ．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ， 又∵∠BFE ＝∠A ， ∴∠BFE ＝∠C ， 又∵∠FBE ＝∠CBF ， ∴△BFE ∽△BCF ， ∴BF BC=BE BF，∴BF 2＝BE •BC ，∴BC =BF 2BE =423=163，∴AD =163． （3）如图，分别延长EF ，DC 相交于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∠BAC =12∠BAD ，∵AC ∥EF ，∴四边形AEGC 为平行四边形，∴AC ＝EG ，CG ＝AE ，∠EAC ＝∠G ，∵∠EDF =12∠BAD ，∴∠EDF ＝∠BAC ，∴∠EDF ＝∠G ，又∵∠DEF ＝∠GED ，∴△EDF ∽△EGD ，∴ED EG =EF DE ，∴DE 2＝EF •EG ，又∵EG ＝AC ＝2EF ，∴DE 2＝2EF 2，∴DE =√2EF ，又∵DG DF =DE EF ，∴DG =√2DF =5√2，∴DC ＝DG ﹣CG ＝5√2−2．24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD̂=BD̂，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，̂=BD̂，∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED +∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°，②如图3，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠F AC ，∵∠FED ＝∠F AD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE AC =AG CD ，∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，∴AD AC =45， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∴x =53，∴ED ＝AD =203，∴CE＝CD+DE=35 3，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM＝DE﹣EM=5 6，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=5 6，∴S△DEF=12DE•FM=259．。

2020年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. −3的相反数是( )A. −3B. −13 C. 13D. 32. 下列计算正确的是( )A. a 3⋅a 2=a 6B. (a 3)2=a 5C. a 6÷a 3=a 3D. a 2+a 3=a 53. 2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为( )A. 1.12×108B. 1.12×109C. 1.12×109D. 0.112×10104. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是( )A.B.C.5. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 236. 在二次根式√x −2中，字母x 的取值范围是( )A. x >2B. x <2C. x ≥2D. x ≤2 7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE =BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF.若AC =8，BC =6，则BF 的长为( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 48. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为( )A. {y =x +4.50.5y =x −1B. {y =x +4.5y =2x −1C. {y =x −4.50.5y =x +1D. {y =x −4.5y =2x −19. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c(a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x =−1.则下列选项中正确的是( )A. abc <0B. 4ac −b 2>0C. c −a >0D. 当x =−n 2−2(n 为实数)时，y ≥c10. △BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道( )A. △ABC的周长B. △AFH的周长C. 四边形FBGH的周长D. 四边形ADEC的周长二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.实数8的立方根是______．12.分解因式：2a2−18=______．13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x−(22甲乙丙x−454542S2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是______．14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB⏜的长为______cm(结果保留π)．15.如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为______．(a>0)16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax的图象交于A，D两点(点A在第一象限)，点B，C，(b<0)的图象上，AB//y轴，E在反比例函数y=bxAE//CD//x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a−b的值为______，b的值为a______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计)(1)求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）18.(1)计算：(a+1)2+a(2−a)．(2)解不等式：3x−5<2(2+3x)．19.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)20.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm，∠ABC=47°．(1)求车位锁的底盒长BC．(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+4x−3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围．(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等第：基本合格(60≤x<70)，合格(70≤x<80)，良好(80≤x<90)，优秀(90≤x≤100)，制作了如图统计图(部分信息未给出)．由图中给出的信息解答下列问题：(1)求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．(3)这次测试成绩的中位数是什么等第？(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？23.【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长．【拓展提高】(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=1∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长．224.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=α，请用含α的代数式表示∠E．(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD⏜=BD⏜，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．(3)如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：−3的相反数是3．故选：D．根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、a3⋅a2=a5，故此选项错误；B、(a3)2=a6，故此选项错误；C、a6÷a3=a3，正确；D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；故选：C．直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：1120000000=1.12×109，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，故选：B．根据主视图的意义和画法可以得出答案．考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．5.【答案】D【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=44+2=23．故选：D．根据概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．6.【答案】C【解析】解：由题意得，x−2≥0，解得x≥2．故选：C．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7.【答案】B【解析】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10． 又∵CD 为中线， ∴CD =12AB =5．∵F 为DE 中点，BE =BC 即点B 是EC 的中点， ∴BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD =2.5．故选：B ．利用勾股定理求得AB =10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结合题意知线段BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD ．本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD 的长度和线段BF 是△CDE 的中位线．8.【答案】A【解析】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．直接利用“绳长=木条+4.5；12绳子=木条−1”分别得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．9.【答案】D【解析】解：由图象开口向上，可知a >0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c >0，又对称轴方程为x =−1，所以−b 2a <0，所以b >0，∴abc >0，故A 错误∵；∴一次函数y =ax 2+bx +c(a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴b 2−4ac >0，∴4ac −b 2<0，故B 错误； ∵−b2a =−1，∴b =2a ，∵当x =−1时，y =a −b +c <0， ∴a −2a +c <0，∴c −a <0，故C 错误； 当x =−n 2−2(n 为实数)时，y =ax 2+bx +c =a(−n 2−2)+b(−n 2−2)=an 2(n 2+2)+c，∵a>0，n2≥0，n2+2>0，∴y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确，故选：D．由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，根据对称轴方程得到b>0，于是得到abc>0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点，得到b2−4ac>0，求得4ac−b2<0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=−1时，y=a−b+c<0，于是得到c−a<0，故C错误；当x=−n2−2(n为实数)时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a(−n2−2)+b(−n2−2)=an2(n2+2)+c，于是得到y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确．本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=∠A=60°，∴∠GHC+∠HGC=120°，∴∠AHF=∠HGC，∴△AFH≌△CHG(AAS)，∴AF=CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE=FH，∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．证明△AFH≌△CHG(AAS)，得出AF=CH.由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF 的周长=AB+BC，则可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：实数8的立方根是：3=2．√8故答案为：2．根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．12.【答案】2(a+3)(a−3)【解析】解：2a2−18=2(a2−9)=2(a+3)(a−3)．故答案为：2(a+3)(a−3)．首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．13.【答案】甲【解析】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．14.【答案】18π【解析】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，=18π(cm)，∴AB⏜的长=120⋅π×27180故答案为：18π．根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．15.【答案】2√2或2√3【解析】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∵BC=OA，∴OB=BC=2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°，∴∠ACO≤45°，∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC=90°，连接OB，∴OC=√2OB=2√2，∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3；②当∠OAC=90°时，点A与B重合，∴OC=2√2，综上所述，其斜边长为2√2或2√3，故答案为：2√2或2√3．当∠AOC=90°时，连接OB，根据切线的性质得到∠OBC=90°，根据勾股定理得到AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3；当∠OAC=90°时，点A与B重合，求得OC=2√2．本题考查了切线的性质．勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】24 −13【解析】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，∵AE//CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE=OC，OA=OD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE=S△ADC=S五边形ABCDE −S四边形ABCD=56−32=24，∴S△AOE=S△DEO=12，∴12a−12b=12，∴a−b=24，∵S△AOC=S△AOB=12，∴BC//AD，∴BCAD =TBTA，∵S△ACB=32−24=8，∴S△ADC：S△ABC=24：8=1：3，∴BC：AD=1：3，∴TB：TA=1：3，设BT=a，则AT=3a，AK=TK=1.5k，BK=0.5k，∴AK：BK=3：1，∴S△AOKS△BKP =12a−12b=13，∴ab =−13．故答案为24，−13．如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K.求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE=S△ADC=S五边形ABCDE−S四边形ABCD=56−32=24，推出S△AOE=S△DEO=12，可得12a−12b=12，推出a−b=24.再证明BC//AD ，证明AD =3BC ，推出AT =3BT ，再证明AK =3BK 即可解决问题．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：(1)设函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，把(1.6,0)，(2.6,80)代入y =kx +b ，得{0=1.6k +b 80=2.6k +b， 解得：{k =80b =−128， ∴y 关于x 的函数表达式为y =80x −128(1.6≤x ≤3.1)；(2)当y =200−80=120时，120=80x −128，解得x =3.1，货车甲正常到达B 地的时间为200÷50=4(小时)，18÷60=0.3(小时)，4+1=5(小时)，5−3.1−0.3=1.6(小时)，设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v ≥120，解得v ≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．【解析】(1)由待定系数法可求出函数解析式；(2)根据图中的信息求出乙返回B 地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v ≥120，解不等式即可得出答案．本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)(a +1)2+a(2−a)=a 2+2a +1+2a −a 2=4a +1；(2)3x −5<2(2+3x)3x −5<4+6x ，移项得：3x −6x <4+5，合并同类项，系数化1得：x >−3．【解析】(1)直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；(2)直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．此题主要考查了一元一次不等式的解法以及单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．19.【答案】解：(1)轴对称图形如图1所示．(2)中心对称图形如图2所示．【解析】(1)根据轴对称图形的定义画出图形即可(答案不唯一)．(2)根据中心对称图形的定义画出图形即可(答案不唯一)．本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴BH=HC，在Rt△ABH中，∠B=47°，AB=50，∴BH=ABcosB=50cos47°≈50×0.68=34，∴BC=2BH=68cm．(2)在Rt△ABH中，∴AH=ABsinB=50sin47°≈50×0.73=36.5，∴36.5>30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【解析】(1)过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．(2)根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．21.【答案】解：(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x−3，得0=a+4−3，解得a=−1，∴y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，∴A(2,1)，∵对称轴x=1，B，C关于x=2对称，∴C(3,0)，∴当y>0时，1<x<3．(2)∵D(0,−3)，∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y=−(x−4)2+5．【解析】(1)利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．(2)由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)30÷15%=200(人)，200−30−80−40=50(人)，直方图如图所示：(2)“良好”所对应的扇形圆心角的度数=360°×80200=144°．(3)这次测试成绩的中位数是良好．(4)1500×40200=300(人)，答：估计该校获得优秀的学生有300人．【解析】(1)根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题．(2)根据圆心角=360°×百分比计算即可．(3)根据中位数的定义判断即可．(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可．本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC =ACAB，∴AC2=AD⋅AB．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BFBC =BEBF，∴BF2=BE⋅BC，∴BC=BF2BE =423=163，∴AD=163．(3)如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB//DC，∠BAC=12∠BAD，∵AC//EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，∵∠EDF=12∠BAD，∴∠EDF=∠BAC，∴∠EDF=∠G，又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFDE，∴DE2=EF⋅EG，又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF2，∴DE=√2EF，又∵DGDF =DEEF，∴DG=√2DF=5√2，∴DC=DG−CG=5√2−2．【解析】(1)证明△ADC∽△ACB，得出ADAC =ACAB，则可得出结论；(2)证明△BFE∽△BCF，得出比例线段BFBC =BEBF，则BF2=BE⋅BC，求出BC，则可求出AD．(3)分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段EDEG =EFDE，则DE=√2EF，可求出DG，则答案可求出．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．24.【答案】解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E=∠ECD−∠EBD=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=12α，(2)如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC=180°，又∵∠FDE+∠FDC=180°，∴∠FDE=∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE，∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD⏜=BD⏜，∴∠ACD=∠BFD，∵∠BFD+∠BCD=180°，∠DCT+∠BCD=180°，∴∠DCT=∠BFD，∴∠ACD=∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．(3)①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC，∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，∴∠BEC=∠FCE，∵∠FCE=∠FAD，∴∠BEC=∠FAD，又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，∴△FDE≌△FDA(AAS)，∴DE=DA，∴∠AED=∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，∴∠AED=∠DAE=45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC=∠EBC=12∠ABC=45°，∵∠AED=45°，∴∠AED=∠FAC，∵∠FED=∠FAD，∴∠AED−∠FED=∠FAC−∠FAD，∴∠AEG=∠CAD，∵∠EGA=∠ADC=90°，∴△EGA∽△ADC，∴AEAC =AGCD，∵在Rt△ABG中，AG=√22AB=4√2，在Rt△ADE中，AE=√2AD，∴ADAC =45，在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，∴设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，∴x=53，∴ED=AD=203，∴CE=CD+DE=353，∵∠BEC=∠FCE，∴FC=FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM=DE−EM=56，∵∠FDM=45°，∴FM=DM=56，∴S△DEF=12DE⋅FM=259．【解析】(1)由角平分线的定义可得出结论；(2)由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=90°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；(3)①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA(AAS)，由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出AEAC=AG CD ，求出ADAC=45，设AD=4x，AC=5x，则有(4x)2+52=(5x)2，解得x=53，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

、选择题1.-3的相反数为（2.F列计算正确的是A . a3? a2= a63.4.6.7.2020年宁波市数学中考试题(a3) 2= a5 C . a6* a3= a3a2+a3= a5 2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长界首位.数1120000000用科学记数法表示为（A . 1.12 X108B . 1.12 X109如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的,主视方向4个红球和5.摸出一个球是红球的概率为1.12X 1093.3%,它的主视图是（D.连续11年蝉联世0.112X 10102个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意二次根式■・「中字母x的取值范围是（A. x>2如图，在Rt△ ABC 中，/ ACB = 90°,CD为中线，延长CB至点E，使BE = BC,连结DE, F为DE中点，连结BF .若AC = 8, BC = 6,则BF的长为（A . △ ABC 的周长B . △ AFH 的周长&我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩2.5 余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺,绳子长y 尺，那么可列方程组为（ry-ji+4. 5 1.0. 5y=x^l ry-- 4. 5 ]0.j y =?£+4. 5 |.y=2x-ly-K-4・ 59. 如图，二次函数 y = ax 2+bx+c （a > 0）的图象与x 轴交于A , B 两点，与y 轴正半轴交于点C ,它的对称轴为直线x =- 1.则下列选项中正确的是（ ）\un1 i乂A. abcv 0B. 4ac- b 2> 0 C. c - a >0D .当x =- n 2- 2（n 为实数）时，y 》c1O.A BDE 和厶FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内.若求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（ ）、填空题（每小题 5分，共30 分）11•实数8的立方根是 __________ . 12•分解因式：2a 2- 18= ___________ .13.今年某果园随机从甲、 乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数，（单位：千克）及方差S 2 （单位：千克2）如表所示：甲 乙 丙X45 45 42 S 21.82.31.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种 是 _______ .14.如图，折扇的骨柄长为27cm ,折扇张开的角度为120° ,图中F '・的长为 ____________ cm （结果保留n .15.如图，OO 的半径0A = 2, B 是O O 上的动点（不与点 A 重合），过点 B 作O O 的切线BC , BC = 0A ，连结0C , AC -当厶OAC 是直角三角形时，其斜边长为 _______________ .16.如图，经过原点 0的直线与反比例函数 y =丄（a >0）的图象交于 A , D 两点（点A 在第一象限），点 B , C , E 在反比例函数 『=：（bv 0）的图象上，AB // y 轴，AE //CD // x 轴，五边形ABCDE 的面积为56,四边形ABCD 的面积为32,则a - b 的值 为 ，色的值为_________ .C .四边形FBGH 的周长D .四边形ADEC 的周长*17.( 1)计算：(a+1) 2+a ( 2- a )(2)解不等式：3x - 5V 2 (2+3x )18•图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中， 分别按下列要求选取一个涂上阴影：(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.(请将两个小题依次作答在图1,图2中，均只需画出符合条件的一种情形)19•图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成•当位于顶端的小 挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车 位锁上锁后，钢条按图 1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进 入车位.图2是其示意图，经测量，钢条 AB = AC = 50cm ，/ ABC = 47 °.(1)求车位锁的底盒长 BC . (2)若一辆汽车的底盘高度为30cm ,当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?(参考数据：sin47°~ 0.73, cos47°~ 0.68, tan47 °~ 1.07)20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2+4x - 3图象的顶点是 A ，与x 轴交于B,80分)C两点，与y轴交于点D .点B的坐标是(1, 0).(1 )求A, C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.(2 )平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.21•某学校开展了防疫知识的宣传教育活动•为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等第：基本合格( 60W xv 70)，合格(70W xv 80)，良好(80< x v 90),优秀(90W XW 100),制作了如图统计图(部分信息未给出).斷禅取睨学宦财请臭述皈里的戏找山方團酯眩取的学生却視別认脈绩时R舷锻计图(1 )求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图.(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.(3 )这次测试成绩的中位数是什么等第？(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？22.A, B两地相距200千米•早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系.B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资. 货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地•两辆货车离开各自出发地的路程y (千米)与时间x (小时)的函数关系如图所示•(通话等其他时间忽略不计)(1)求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式.(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的23.【基础巩固】(1)如图1，在△ ABC 中，D 为AB 上一点，/ ACD =Z B .求证：AC2= AD? AB .【尝试应用】(2)如图2,在？ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，/ BFE =Z A.若BF = 4, BE =3,求AD 的长.【拓展提高】(3)如图3,在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是厶ABC内一点，EF // AC , AC = 2EF，/ EDF=yZ BAD , AE = 2, DF = 5,求菱形ABCD 的边长.24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1，/ E是厶ABC中/ A的遥望角，若/ A =a,请用含a的代数式表示/ E .(2)如图2，四边形ABCD内接于O0,「一.口，四边形ABCD的外角平分线DF交OO于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：/ BEC是厶ABC中/ BAC 的遥望角.(3)如图3，在(2)的条件下，连结AE , AF，若AC是O O的直径.①求/ AED的度数；②若AB = 8, CD = 5,求厶DEF的面积.图2 图3参考答案一、选择题(每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.D.2.C.3.B.4.B.5.D.6.C.7.B.8.A.9.D.10.A.二、填空题(每小题5分，共30分)11.2.12.2 (a+3)( a - 3).13.甲.14.18n.15.2':■或2'：.116.24,-反.三、解答题(本大题有8小题，共80分)17.解：(1)( a+1) 2+a (2 - a)2 2=a +2a+1+2a- a=4a+1;(2) 3x - 5v2 (2+3x)3x — 5v 4+6x,移项得：3x - 6x v 4+5,合并同类项，系数化1得：X>- 3.18.解：（1）轴对称图形如图1所示.19 .解：(1)过点A作AH丄BC于点H ,•/ AB = AC,••• BH = HC,在Rt△ ABH 中，/ B = 47°, AB = 50,•BH = ABcosB = 50cos47°~ 50X 0.68= 34,•. BC = 2BH = 68cm .(2 )在Rt △ ABH 中，••• AH = ABsinB= 50sin47°~ 50X 0.73 = 36.5,•- 36.5> 30,•当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.20.解：(1)把B (1, 0)代入y= ax2+4x- 3,得0 = a+4 - 3,解得a =- 1,••• y=- x2+4x- 3=-( x- 2) 2+1,•- A (2, 1),•.•对称轴x= 1, B, C关于x= 2对称，• C (3, 0),•••当y> 0 时，1 v xv 3.(2)T D (0,- 3),•••点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y =-（x - 4）2+5.21 .解：（1）30- 15% = 200 （人），200 - 30 - 80 - 40= 50 （人），直方图如图所示：（3）这次测试成绩的中位数是良好.答：估计该校获得优秀的学生有300人.22 .解：（1）设函数表达式为y= kx+b （kz0）,把（1.6, 0）,（2.6, 80）代入y= kx + b，得二y关于x的函数表达式为y= 80x - 128 （1.6W x< 3.1）;（2）当y = 200 - 80= 120 时,120 = 80x- 128,解得x= 3.1 ,货车甲正常到达B地的时间为200十50= 4 （小时），18-60= 0.3 （小时），4+1 = 5 （小时），5- 3.1 - 0.3= 1.6 （小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，••• 1.6v》120,（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数=360°80200=144 1500 X 亠300（人）解得:lb=-128S二1. 6k+bL80=2.6k解得v > 75.答：货车乙返回 B 地的车速至少为 75千米/小时.23•解：(1)证明：•••/ ACD = Z B,Z A = Z A ,ADC ACB ,亍，••• AC 2= AD? AB .(2)•••四边形 ABCD 是平行四边形， ••• AD = BC,Z A =Z C,又BFE =Z A,•••/ BFE =Z C,又FBE =Z CBF ,• △ BFE BCF ,•， • BF 2= BE? BC ,*2 2 - ”... BC =『=「 I-(3)如图，分别延长 EF , DC 相交于点G ,BE16• AD= • AB // DC , / BAC•/ AC // EF ,•四边形AEGC 为平行四边形,• AC = EG , CG = AE , / EAC = / G , • •四边形ABCD 是菱形,BAD ,•••/ EDF BAD ,•••/ EDF =Z BAC ,•••/ EDF =Z G,又•••/ DEF =Z GED ,:,△ EDF s\ EGD ,•匹__•— V，••• DE2=EF? EG ,又••• EG = AC = 2EF ,••• DE2= 2EF2,•DE= ；-EF,又••二一二DF EF?DG = . j -:.;,•- DC = DG - CG = - 2.24 .解：(1)v BE 平分/ ABC , CE 平分/ ACD ,•••/ E =Z ECD -Z EBD =丄(/ ACD —/ ABC )=出乙点A a,2 2 2•Z FDC + Z FBC = 180° : 又•••/ FDE +Z FDC = 180•Z FDE =Z FBC ,•/ DF 平分Z ADE ,•Z ADF =Z FDE ,vZ ADF =Z ABF , • Z ABF =Z FBC ,••• BE是/ ABC的平分线，•••/ ACD = Z BFD ,•••/ BFD + / BCD = 180 °，/ DCT + / BCD = 180°,•••/ DCT = Z BFD ,•••/ ACD = Z DCT ,• CE是厶ABC的外角平分线，•••/ BEC是厶ABC中/ BAC的遥望角.(3)①如图2,连接CF ,•••/ BEC是厶ABC中/ BAC的遥望角,•••/ BAC = 2/ BEC ,•••/ BFC = Z BAC ,•••/ BFC = 2/ BEC ,•••/ BFC = Z BEC+ / FCE ,•••/ BEC = Z FCE ,•••/ FCE = Z FAD ,•••/ BEC = Z FAD ,又•••/ FDE =Z FDA , FD = FD ,•••△ FDE BA FDA (AAS),•DE = DA,•/ AED = Z DAE ,•/ AC是O O的直径，•/ ADC = 90° ,•••/ AED = Z DAE = 45②如图3,过点A作AG丄BE于点G,过点F作FM丄CE于点M ,8-■—C03•/ AC是O O的直径, •••/ ABC = 90°,•/ BE 平分/ ABC ,•••/ FAC = Z EBC = —Z ABC = 45°,•••/ AED = 45°,•Z AED = Z FAC ,vZ FED =Z FAD ,•Z AED -Z FED =Z FAC -Z FAD ,•Z AEG = Z CAD ,vZ EGA = Z ADC = 90°,•战邓v 在Rt △ ABG 中，AG = 厂］.'1 ,在Rt △ ADE 中，AE = _ ?AD ,AD 4在Rt△ ADC 中，AD2+DC2= AC2, •••设AD = 4x , AC = 5x ,则有(4x) 2+52=( 5x) 2,••• CE = CD + DE =—, •••/ BEC = Z FCE ,• FC= FE,•/ FM 丄CE,5• DM = DE - EM =三6•••/ FDM = 45°,• FM = DM• S^DEF =--DE? FM =丄.。