空间直角坐标系及应用学案

1.3.1空间直角坐标系导学案【学习目标】1.了解空间直角坐标系的建立过程2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定3.掌握空间向量的坐标表示【自主学习】知识点一空间直角坐标系知识点二空间向量的坐标表示【合作探究】探究一 求空间点的坐标【例1】如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解] (1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)． (2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)， 则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎫0，4，52.归纳总结：坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点【练习1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1E，⎪⎭⎫⎝⎛1,21,21F探究二求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．归纳总结：求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：2.111222⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.【练习2】点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1,2,1)的对称点是________．【答案】(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3)[点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是(－3，－2，－1)，关于z 轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P (－3,2，－1)关于M (1,2,1)的对称点为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x －32＝1y ＋22＝2z －12＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2z ＝3.故点P (－3,2，－1)关于点M (1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]探究三 空间向量的坐标表示【例3】如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解] 法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C ­xyz ，如图所示．⊥BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，⊥BN →的坐标为(1，－1,1)，而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ⊥BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又⊥A 1B →＝－BA 1→，⊥A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)，⊥BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．归纳总结：【练习3】已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由题图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0，0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．课后作业A组基础题一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0)【答案】C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)【答案】B3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对【答案】C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c 与e 的和为( )A ．7B ．－7C ．－1D ．1 【答案】 D解析 ∵点P (－4，－2,3)关于xOy 平面及y 轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c ＝－3，e ＝4，则c ＋e ＝1.5．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线 C ．垂直于y 轴的一个平面 D ．平行于y 轴的一个平面 【答案】 A解析 点P (1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P (1，y,2)的集合为垂直于xOz 平面的一条直线，故选A.6．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，13【答案】 D解析 连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上， ∵|BP |＝13|BD ′|，∴P x ＝P y ＝23，P z ＝13，故P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 二、填空题7．在空间直角坐标系中，自点P (－4，－2,3)引x 轴的垂线，则垂足的坐标为________． 【答案】 (－4,0,0)解析 过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a 为点P 在x 轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4,0,0)．8．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)，对角线的交点是E (4，－1,7)，则C ，D 的坐标分别为________． 【答案】 (6,1,19)，(9，－5,12)解析 由题意知，E 为AC 与BD 的中点，利用中点坐标公式，可得C (6,1,19)，D (9，－5,12)． 9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，则线段AA 3的中点M 的坐标为________． 【答案】 (－4,0,0)解析 由题意知A 1(4，－2，－3)，则A 1关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3)，则A 2关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)．由中点坐标公式，得M (－4,0,0)． 10．如图所示的是棱长为3a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′，点M 在B ′C ′上，且|C ′M |＝2|MB ′|，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M 的坐标为________．【答案】 (2a,3a,3a ) 解析 ∵|C ′M |＝2|MB ′|，∴|C ′M |＝23|B ′C ′|＝2a ，∴点M 的坐标为(2a,3a,3a )． 三、解答题11.已知P A ⊥正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且AB ＝AP ＝1，分别以DA →，AB →，AP →为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．[解] 设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3，则DC →＝AB →＝e 2， MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3，⊥MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC →＝(0,1,0)． 12.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．解 (1)由题意知，A (0,0,0)．由于点B 在x 轴的正半轴上，且AB ＝4， 所以B (4,0,0)．同理可得D (0,3,0)，A 1(0,0,5)．由于点C 在坐标平面xOy 内，且BC ⊥AB ，CD ⊥AD ， 所以C (4,3,0)．同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5)．与点C 的坐标相比，点C 1的坐标只有竖坐标与点C 不同，且CC 1＝AA 1＝5，所以C 1(4,3,5)． (2)由(1)知，C (4,3,0)，C 1(4,3,5)， 则CC 1的中点N 的坐标为(4,3，52)．13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AD |＝|AA 1|＝2，|AB |＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求点E 的坐标．解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)．在坐标平面xDy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，∵DE ⊥AC ，∴直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0)．B 组 能力提升一、选择题1．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为( )A ．(0，12，12)B ．(12，0，12)C ．(12，12，0)D ．(12，12，12)【答案】 B解析 由题图得A (0,0,0)，B 1(1,0,1)， 所以对角线的交点即为AB 1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(12，0，12)．2．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( ) A ．1 B ．12 C ．13 D ．16【答案】D[根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD ­A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1­BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A ­A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]二、填空题3．如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．【答案】 (a 3，b 3，c3)解析 由题知A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为(a 3，b 3，c3)．4．三棱锥P ­ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛21-021，，[MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-021，，.] 5．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________． 【答案】(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3)[(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，⊥P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，⊥OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，⊥P (4,3，－3)．] 三、解答题6．如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是⊙O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB ，OF ，OE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，E ，F 各个点的坐标分别为A (0，－32，0)，B (32，0,0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，8)，E (0,0,8)，F (0,32，0)．7.如图，在正四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)⊥BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，⊥BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．⊥A (0,0,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1，⊥c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝⎛⎭⎫12，12，1， ⊥BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝⎛⎭⎫12，12，1＝⎝⎛⎭⎫－14，34，12.。

四川省岳池县第一中学高中数学必修二学案: 4-3 空间直角坐标系导学案1、学习目标:2、通过具体情境, 使学生感受建立空间直角坐标系的必要性。

3、了解空间直角坐标系, 会用空间直角坐标系刻画点的位置。

4、感受类比思想在探究新知识过程中的作用。

学习重点:本节教学重点是建立空间直角坐标系, 用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。

一、学习过程:二、概念的引入主要概念:空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz, 这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz,点O叫做坐标原点, x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。

坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。

右手直角坐标系----在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y 轴的正方向, 若中指指向z轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系。

空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点M, 作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影, 若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z, 则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标, 记作M(x, y, z), 其中x叫做点M的横坐标, y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标。

例1: 在空间直角坐标系中, 作出点P(5, 4, 6)。

总结: 对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目, 要引起足够的重视, 它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识, 而且有利于进一步培养空间想象能力。

例2、如图, 在长方体ABCD—A' B' C' D'中, AB=12, AD=8, A A'=5以这个长方体的顶点A 为坐标原点, 射线AB, AD, A A'分别为x轴, y轴和z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系, 求长方体各个顶点的坐标。

1.3.1 空间直角坐标系素养目标·定方向必备知识·探新知知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： ．它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 ．(2)相关概念： 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 思考1：空间直角坐标系有什么作用？知识点2 空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标单位向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k ．在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的 叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A 的横坐标， 叫做点A 的纵坐标， 叫做点A 的竖坐标．思考2：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？知识点3 空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．思考3：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？关键能力·攻重难题型探究题型一 空间中点的坐标表示典例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝3，AB ＝5，AA 1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．[规律方法] 建系确定点的坐标的原则 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另两个轴上的射影，确定点的坐标．【对点训练】❶ 如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．题型二 空间向量的坐标表示典例2 在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求DO →，A 1B →的坐标．[规律方法] 用坐标表示空间向量的步骤如下：【对点训练】❷ 如图，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量BC →，CD →，MN →的坐标．题型三 空间向量坐标的应用 角度1 对称问题典例3 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)． (1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于Oxy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．角度2 距离问题典例4 如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．[规律方法] 1．空间对称问题的特点空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 2．利用向量法求空间两点距离的方法 (1)建系，确定两点坐标． (2)求出以向量OA →，OB →的坐标． (3)求AB →的坐标．(4)根据公式求出AB →的模，即AB 的距离．【对点训练】❸ 已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________． 易错警示建立空间直角坐标系的常见失误典例5 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1→，AB 1→，AC 1→的坐标．【参考答案】必备知识·探新知知识点1 空间直角坐标系 1．(1) x 轴、y 轴、z 轴空间直角坐标系Oxyz (2) O每两个坐标轴OxyOyzOzx2．x 轴 y 轴z 轴思考1：提示：可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 知识点2 空间一点的坐标 有序实数组(x ，y ，z ) A (x ，y ，z )xyz思考2：提示：x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )． 知识点3 空间向量的坐标 思考3：提示：点A 在空间直角坐标系中的坐标为(x ，y ，z )，那么向量OA →的坐标也为(x ，y ，z )．关键能力·攻重难题型探究题型一 空间中点的坐标表示 典例1[解] 如图，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．所以D (0,0,0)．因为长方体的棱长AD ＝3，DC ＝AB ＝5，DD 1＝AA 1＝4，因为点A 在x 轴上，且AD ＝3，所以OA →＝3i ＋0j ＋0k ，所以A (3，0,0)． 同理：C (0,5,0)，D 1(0,0,4)．点B 在x 轴，y 轴，z 轴射影分别为A ，C ，O ，它们在坐标轴上的坐标分别为3,5,0， 所以点B 的坐标为(3,5,0)．同理得A 1(3,0,4)，C 1(0,5,4)． 由B 1在Oxy 平面内的射影为B (3,5,0)， 所以B 1的横坐标为3，纵坐标为5， 因为B 1在z 轴上的射影为D 1(0,0,4)，所以B 1的竖坐标为4，所以点B 1的坐标为(3,5,4)． 【对点训练】❶[解] 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，E 点在Dxy 平面中，且|EA |＝12．所以DE →＝i ＋12j ＋0k ，所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0． 同理B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)， 又因为F 是BB 1的中点，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12． 同理可得G 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，12． 题型二 空间向量的坐标表示 典例2[解] 由已知AO ⊥OB ，O 1O ⊥OA ，O 1O ⊥OB ，从而建立以OA →，OB →，OO 1→方向上的单位向量i ，j ，k 为正交基底的空间直角坐标系Oxyz ，如图，则OA →＝4i ，OB →＝2j ，OO 1→＝4k ，DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →) ＝－⎣⎡⎦⎤OO 1→＋12(OA →＋OB →)＝－OO 1→－12OA →－12OB →＝－2i －j －4k ，故DO →的坐标为(－2，－1，－4)．A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→＝－4i ＋2j －4k ， 故A 1B →的坐标为(－4,2，－4)．即DO →＝(－2，－1，－4)，A 1B →＝(－4,2，－4)． 【对点训练】❷[解] 因为P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 以AD ，AB ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．因为BC →＝AD →＝0i ＋1j ＋0k ＝(0,1,0)，CD →＝－AB →＝－i ＋0j ＋0k ＝(－1,0,0)， MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AD →＋12AP →＝12j ＋12k ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12． 题型三 空间向量坐标的应用 角度1 对称问题 典例3[解] (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于Oxy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为(－2，1，－4)．(3)设对称点为P 1(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 1的中点， 由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 1(6，－3，－12)． 角度2 距离问题典例4[解] 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，因为|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，所以C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， 因为N 为CD 1的中点，所以N ⎝⎛⎭⎫32，3，1．M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，所以M (1,1,2)． 所以AM →＝(1,1,2)＝i ＋j ＋2k ，AN →＝⎝⎛⎭⎫32，3，1＝32i ＋3j ＋k ， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫32i ＋3j ＋k －(i ＋j ＋2k )＝12i ＋2j －k ， 所以|MN →|＝⎝⎛⎭⎫12i 2＋(2j )2＋(－k )2＝212，即|MN |＝212． 【对点训练】❸ [答案] (2，－3,1)[解析] 点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3，1)． 易错警示建立空间直角坐标系的常见失误 典例5[错解] 以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,0,2)，C 1(0,1,2)，A 1(0,0,2)， ∴AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝(1,0,2)，AC 1→＝(0,1,2)．[辨析] 在建系时应该注意三条坐标轴所在的直线应当两两垂直，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系环境．[正解] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，32，2，B 1⎝⎛⎭⎫－12，0，2，C 1⎝⎛⎭⎫12，0，2， 所以AA 1→＝(0,0,2)，AB 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，2，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，2．。

空间直角坐标系》教案(人教A版必修)一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义。

2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置。

3. 掌握空间直角坐标系中线段和距离的计算方法。

4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题。

二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 在空间直角坐标系中确定点的位置。

3. 空间直角坐标系中线段和距离的计算方法。

三、教学难点1. 空间直角坐标系的建立和理解。

2. 在空间直角坐标系中进行距离计算。

四、教学准备1. 教学课件或黑板。

2. 空间直角坐标系的模型或图示。

3. 练习题和答案。

五、教学过程1. 引入：通过实际例子，如确定一个物体的位置，引出空间直角坐标系的概念。

2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍坐标轴和坐标点。

3. 演示：通过模型或图示，展示空间直角坐标系的建立和应用。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系的知识。

5. 总结：总结本节课的重点内容，强调空间直角坐标系在实际问题中的应用。

6. 布置作业：布置一些有关空间直角坐标系的练习题，让学生课后巩固。

六、教学内容：点与坐标的关系1. 教学目标：学生能够理解点的坐标与其在空间直角坐标系中的位置的关系。

学生能够通过坐标来识别和描述空间中的点。

2. 教学重点：点的坐标与空间位置的对应关系。

3. 教学难点：理解和计算点在不同象限中的坐标特征。

4. 教学准备：坐标系图示和模型。

相关练习题和答案。

5. 教学过程：引入：通过实际例子，如确定房间中家具的位置，引导学生思考坐标的作用。

讲解：讲解点的坐标是如何反映其在坐标系中的位置，区分各象限内点的坐标特征。

演示：通过图示和模型，展示不同象限内点的坐标表示。

练习：让学生通过练习题，运用坐标描述空间中的点。

总结：总结点与坐标的关系，强调坐标在描述空间位置中的应用。

布置作业：布置一些有关点与坐标关系的练习题，让学生课后巩固。

七、教学内容：直线与坐标系1. 教学目标：学生能够理解直线在空间直角坐标系中的表示方法。

空间直角坐标系（一） 日期：学习目标：理解空间直角坐标系的建立方法，掌握空间直角坐标系中点的坐标表示方法； 重点难点：空间直角坐标系中点的坐标表示；坐标表示的推导；学习过程：一、自学课本，解决课后练习，复习平面直角坐标系中点的坐标的确定、平面上的点与二元有序数组间的对应关系；二、交流探究：1、空间直角坐标系是如何建立的？即右手螺旋法则的运用。

2、空间直角坐标系中点的位置如何该画？对点的坐标有何规定？3、给定空间直角坐标系中的任意一个点P ，如何确定点P 的坐标？4、在空间直角坐标系中，给定点的坐标，如何确定点的位置？5、空间直角坐标系中的点与三元有序数组间有何对应关系？如何体现这种对应关系？6、空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 的中点(,,)P x y z 的坐标公式为 ；三、学以致用：1、关于空间直角坐标系，下列叙述正确的是A 、(,,)P x y z 中x ，y ，z 的位置可以互换B 、空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一一对应关系C 、空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分成八个部分D 、某一个点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2、点A （－3，1，4）关于原点的对称点的坐标为A 、（1，－3，－4）B 、（－4，1，－3）C 、（3，－1，－4）D 、（4，－1， 3）3、对空间直角坐标系中的点(,,)M a b c 下列叙述正确的个数为①点M 关于x 轴对称的点的坐标是(,,)a b c -；②点M 关于y 轴对称的点的坐标是(,,)a b c -； ③点M 关于yoz 平面对称的点的坐标是(,,)a b c --④点M 关于原点对称的点的坐标是(,,)a b c ---A 、1B 、2C 、3D 、04、在空间直角坐标系中，已知点P ，过点P 作平面yoz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为A 、B 、C 、D 、5、已知A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 的中点，则点C 坐标为A 、715(,,)222-B 、（3，2，1）C 、（3，－2，2）D 、573(,,)222-6、设x ，y 为任意实数，则所有点(,,3)P x y 的集合为A 、z 轴上的两个点B 、过z 轴上的点（0，0，3）且与z 轴垂直的直线C 、过z 轴上的点（0，0，3）且与z 轴垂直的平面D 、以上都有可能7、在空间直角坐标系中，(2,4,P -在坐标平面xoz 上的射影为点P '，则点P '关于原点对称的点的坐标为四、概括升华：五、温故知新：习题2-3A 组1，2。

1第九讲 空间直角坐标系时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。

2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。

考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。

例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。

【规范解答】E FBC DHGX YZ2,,//,,,,,,,.ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC ABBC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则(1)(0,0,1),(0,0,1),////HF HFGE HF HF ∴==∴⊂⊄∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3)1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121cos ,,2||||2,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=即二面角B-DE-C 为60。

引入新课
问题1．平面直角坐标系中的许多公
式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距
离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
问题3．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？
空间中两点)(1111z y x P ，，，
)(2222z y x P ，，的线段2
1P P 的中点坐标又是什么?
例题剖析
例1 求空间两点)523(1 - ，，
P ,)106(2- ，，P 间的距离2
1P P ．
例2 平面上到坐标原点的距离为1
巩固练习
1．已知空间中两点)32(1 ，，
x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．
2．试解释方程36
)5()3()
12(222=-+++-z y x 的几何意义．
3．已知点)652(- ，，A ，
在y 轴上求一点P ,使7=PA ．
4．已知平行四边形ABCD 的顶点)314( ，，A ，)152( - ，，B ,)573(- ，，C ． 求顶点D 的坐标．
课堂小结
课后训练。

空间直角坐标系教案教案：空间直角坐标系一、教学目标：1.掌握空间直角坐标系的基本概念和表示方法；2.理解空间直角坐标系在数学和物理中的应用；3.能够熟练使用空间直角坐标系解决相关问题。

二、教学重点：1.空间直角坐标系的概念和表示方法；2.空间直角坐标系的应用。

三、教学难点：1.理解三维空间直角坐标系的三个坐标轴及其方向；2.掌握使用空间直角坐标系表示空间点的方法。

四、教学过程：1.导入：通过实际例子引入空间直角坐标系的概念和应用。

（教师示范：例如，让学生想象一个立方体盒子，盒子内有一只蚂蚁，蚂蚁的位置如何描述？）2.空间直角坐标系的概念及表示方法：（教师介绍）（教师在黑板上画出空间直角坐标系）请注意，这里x、y、z轴是相互垂直的，并且z轴通常是向上的，但在一些特殊的实际问题中，z轴可能指向下方。

（教师示范）例如，假设有一个点P，它在x轴上的坐标是3，y轴上的坐标是-2，z轴上的坐标是5、我们可以用P(3,-2,5)来表示点P在空间直角坐标系中的位置。

3.空间直角坐标系的应用：（教师例举实际例子）4.课堂练习：（教师出题）请同学们根据以下信息，用空间直角坐标系表示出对应的点。

1)点A位于x轴上，其坐标为4；2)点B的y轴坐标为-3，z轴坐标为2；3)点C位于z轴上，其坐标为-6（学生练习）请同学们完成上述题目，并在纸上标出相关坐标。

（教师核对）请同学们将答案说出来，并进行核对。

五、课堂总结：通过本节课的学习，我们了解了空间直角坐标系的基本概念和表示方法，掌握了用坐标轴表示空间点的方法，并了解了空间直角坐标系在数学和物理中的应用。

六、作业布置：1.继续练习在空间直角坐标系中表示点的方法，并举一些实际例子；2.阅读相关教材，进一步了解空间直角坐标系在数学和物理中的应用。

七、教学反思：通过本节课的教学，学生对空间直角坐标系有了初步的了解，并能够熟练使用空间直角坐标系表示点的方法。

但是，部分学生在练习过程中存在困惑，需要进一步梳理和讲解。

“空间直角坐标系”教案（人教A版必修）一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义，掌握空间直角坐标系的构成和基本概念。

2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。

3. 掌握空间直角坐标系中的距离和向量的概念，学会计算点之间的距离和向量的坐标表示。

4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 点在空间直角坐标系中的坐标表示。

3. 空间直角坐标系中点之间的距离计算。

4. 向量的坐标表示和运算。

三、教学难点1. 空间直角坐标系中点的位置确定。

2. 空间直角坐标系中距离的计算。

3. 向量的坐标表示和运算。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究和思考来理解和掌握空间直角坐标系的知识。

2. 利用多媒体辅助教学，通过动画和图像来形象地展示空间直角坐标系的概念和运算。

3. 结合实际例子，让学生通过解决实际问题来运用空间直角坐标系的知识。

五、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 空间直角坐标系的构成和基本概念。

3. 在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。

4. 空间直角坐标系中的距离和向量的概念。

5. 计算点之间的距离和向量的坐标表示。

教学过程：1. 引入：通过实际例子，引导学生思考如何在空间中确定点的位置。

2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍空间直角坐标系的构成和基本概念。

3. 演示：利用多媒体动画，展示空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示的知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握空间直角坐标系的基本概念和运算方法，并能够在实际问题中运用空间直角坐标系的知识。

教师应该根据学生的实际情况，适当调整教学方法和节奏，确保学生能够顺利地掌握空间直角坐标系的知识。

空间直角坐标系（学案）课前预习学案一、预习目标1.用类比的数学思想方式探讨空间直角坐标系的成立方式．2.明白得空间直角坐标系与点的坐标的意义，把握由空间直角坐标系内的点确信其坐标或由坐标确信其在空间直角坐标系内的点，熟悉空间直角坐标系中的点与坐标的关系．二、预习内容1. 如何确信一个点在一条直线上的位置？。

2. 如何确信一个点在一个平面内的位置？。

，点O叫作，x轴、y轴、z轴叫作，这三条坐标轴中每两条确信一个坐标平面，别离称为 , , .4.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，假设中指指向z轴的正方向那么称那个坐标系为。

5.空间任意点A的坐标能够用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点A在此，记作。

其中x 叫做点A的，y叫做点A的，z叫做点A的。

三、提出疑惑1、；2、；3、。

课内探讨学案一、学习目标1.让学生用类比的数学思想方式探讨空间直角坐标系的成立方式，进一步体会数学概念、方式产生和进展的进程．2.明白得空间直角坐标系与点的坐标的意义，把握由空间直角坐标系内的点确信其坐标或由坐标确信其在空间直角坐标系内的点，熟悉空间直角坐标系中的点与坐标的关系．学习重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

学习难点：空间直角坐标系的明白得。

二、学习进程试探1：如何确信一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确信电灯位置？试探2：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？试探3：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标概念，第一步从原点动身沿x 轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习： 已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的边长AB ＝12，AD ＝8，AA ′＝5，以那个长方体的极点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′别离为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，成立空间直角坐标系，求那个长方体各个极点的坐标．讨论：假设以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向别离为x ，y ，z 轴的正半轴，成立空间直角坐标系，那么各极点的坐标又是如何的呢？例二、结晶体的大体单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示用意（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，成立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全数钠原子所在位置的坐标。

4.3.1空间直角坐标系课标要求1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．掌握空间中任意一点的表示方法．3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标.核心扫描1．空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)2．空间想象能力的培养及类比思想的应用．(难点)新知探究新知导学1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：叫做坐标原点，叫做坐标轴．通过的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向的正方向，如果中指指向的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．温馨提示画空间直角坐标系时，要注意以下三点：(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，x轴的单位长度等于y轴单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用来表示，叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作．其中叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标．温馨提示在给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．互动探究探究点1 如图(1)(2)所示的空间直角坐标中，哪一个是右手系，哪一个是左手系？探究点2 已知空间直角坐标系中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)试写出线段P1P2中点P 的坐标．题型探究类型一确定空间中点的坐标例1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．[规律方法](1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．活学活用1 (1)在空间直角坐标系中画出下列各点(不写画法，保留图痕迹)：A(0,1,1)，B(1,0,2)，C(1,2,3)．(2)已知正四棱锥P ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出PB中点的坐标．类型二 空间中点坐标公式的应用例2 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标．[规律方法] (1)求线段中点的坐标，一般先写出端点的坐标，然后用中点坐标公式求中点的坐标．(2)利用空间中线段的中点坐标公式可解决空间中的点关于点对称问题． 活学活用2 写出点M (－1，－4,3)关于点P ⎝⎛⎭⎫12，0，32的对称点的坐标．类型三 对称点的坐标问题例3 已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，求点P 3的坐标．活学活用3 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标．易错辨析 因立体感不强所致的建系错误示例 已知三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[错解] 如图所示，分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．显然A (0,0,0)，又∵各棱长均为1，且B ，C ，A 1均在坐标轴上， ∴B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，又∵B 1，C 1分别在xOz 平面和yOz 平面内，∴B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)， ∴各点坐标为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)． [错因分析] 把三棱柱底面的正三角形错误地认为了是直角三角形．[正解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0， 点A 1与C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1，点B 1在xOy 平面内射影为B ，且BB 1＝1.∴B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1， ∴各点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 感悟提升课堂达标1．点P (2,0，－3)位于( ) A ．y 轴上 B ．x 轴上 C ．xOz 平面内D ．zOy 平面内2．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)3．点P (3,4，－2)关于z 轴对称的点的坐标为________． 4．点M (3，－2,1)关于面yOz 对称的点的坐标是________．5．如图，在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，|P A |＝|PB |＝2，|PC |＝1，E 为AB 的中点．试建立空间直角坐标系并写出点P ，A ，B ，C ，E 的坐标．课堂小结1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x 轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y 轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z 轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”.参考答案新知探究新知导学1． (1)①x 轴、y 轴、z 轴②点O x 轴、y 轴、z 轴 每两个坐标轴 xOy yOz zOx (2) x 轴 y 轴 z 轴2．有序实数组(x ，y ，z ) 有序实数组(x ，y ，z ) M (x ，y ，z ) x y z 互动探究探究点1 提示 (1)是右手系；(2)是左手系． 探究点2 提示 P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22题型探究类型一 确定空间中点的坐标例1 【解】以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为y 轴，以射线OA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO ＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,3)，B 1(0,1,3)，C 1(0，－1，3)． 活学活用1 【解】(1)如图所示，(2)因为正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，可求得正四棱锥的高为223. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B 、P 的坐标分别为B (2,2,0)，P (0，0,223)．故PB 的中点坐标为(1,1，23)． 类型二 空间中点坐标公式的应用例2 【解】法一 如图所示，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，∵点E 在xOy 面上的投影为B ，B (1，0,0)，∴点E 竖坐标为12，∴E ⎝⎛⎭⎫1，0，12. F 在xOy 面上的投影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴F ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 法二 如法一所建空间直角坐标系，∵B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)，B (1,0,0)， E 为BB 1的中点，F 为B 1D 1的中点， ∴E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋12，0＋02，1＋02＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. F 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋02，0＋12，1＋12＝⎝⎛⎭⎫12，12，1.活学活用 2 【解】设M 关于点P 的对称点坐标为(x 0，y 0，z 0)，根据中点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧12＝－1＋x 02，0＝－4＋y 02，32＝3＋z 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝4，z 0＝0，即所求点的坐标为(2,4,0)．类型三 对称点的坐标问题例3 【解】点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)． [规律方法] 在空间直角坐标系内，已知点P (x ，y ，z )，则有：(1)点P 关于坐标平面xOy 、平面yOz 、平面xOz 的对称点P 1，P 2，P 3的坐标分别为(x ，y ，－z )，(－x ，y ，z )，(x ，－y ，z )；(2)点P 关于x 轴的对称点为P 1(x ，－y ，－z )，关于y 轴的对称点为P 2(－x ，y ，－z )，关于z 轴的对称点为P 3(－x ，－y ，z )． 活学活用3 【解】如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2,1)．∴点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2,1)．感悟提升课堂达标1．C【解析】由于点P的纵坐标是0，因此点P在xOz平面内．2．D【解析】由题意知Q的横、纵坐标分别为1，2，竖坐标为0，即Q(1，2，0)．3．(－3，－4，－2)【解析】由题意知竖坐标不变，横、纵坐标与P点的横、纵坐标分别互为相反数，∴所求坐标为(－3，－4，－2)．4．(－3，－2,1)【解析】由题意知，纵、竖坐标不变、横坐标为相反数，故所求的对称点坐标为(－3，－2,1)．5．【解】以P点为原点，P A，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，E(1,1,0)．。

空间直角坐标系》教案(人教A版必修)一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义。

2. 学会在空间直角坐标系中确定点的坐标。

3. 掌握空间直角坐标系中线段、距离和角的计算方法。

二、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和建立。

2. 点的坐标及其表示方法。

3. 线段的坐标表示和计算。

4. 距离的计算。

5. 角的计算。

三、教学重点与难点1. 空间直角坐标系的建立和点的坐标表示。

2. 空间直角坐标系中线段、距离和角的计算。

四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间直角坐标系的相关概念和性质。

2. 利用多媒体课件，直观展示空间直角坐标系及其相关几何图形。

3. 运用实例分析，让学生在实际问题中体验空间直角坐标系的应用价值。

五、教学过程1. 导入新课：通过简单的实例，引导学生思考如何在空间中确定一个点的位置。

2. 讲解空间直角坐标系的定义和建立，让学生理解坐标系的意义。

3. 教授点的坐标表示方法，让学生学会如何在坐标系中表示一个点。

4. 利用多媒体课件，展示线段在空间直角坐标系中的表示和计算方法。

5. 讲解距离和角的计算方法，让学生掌握空间直角坐标系中距离和角的计算。

6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

8. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固空间直角坐标系的相关知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对空间直角坐标系的掌握情况。

2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其对知识的运用能力。

3. 课后作业：批改作业，检查学生对课堂内容的掌握情况。

七、教学反思1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，确保学生能够较好地掌握空间直角坐标系的知识。

2. 关注学生在课堂上的参与度，提高课堂教学效果。

3. 结合课后作业的完成情况，了解学生对重点知识的掌握，为后续教学提供参考。

八、教学拓展1. 空间直角坐标系在现实生活中的应用：如建筑设计、航空航天等领域。

4.3.1空间直角坐标系（学案）学案设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学习时间：2011年 月 日 学生姓名 一．学习目标1．知识与技能① 理解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程 ② 感受类比思想在探究新知识过程中的作用 2．过程与方法① 结合具体问题引入，诱导学生探究； ② 类比学习，循序渐进 3．情感态度与价值观通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法.通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间.二．学习重、难点重点：空间直角坐标系的理解难点：建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标四．学习过程 （一）创设情境【问题1】如何表示数轴上一个点的坐标？ 【问题2】如何表示平面上一个点的坐标？【问题3】如果将某房间内悬挂的电灯泡近似地看做一个点，利用那些数据确定其在空间的具体位置？（二）概念建立1.空间直角坐标系的概念（学习层次：理解、掌握）（如图4.3-1）OABC D A B C ''''-是单位正方体．以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD '的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD '的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．也就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，其中点O 叫做坐标原点， 叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.【深化理解】（Ⅰ）.空间直角坐标系的构成的元素．．．．．：点（ ）、线（x 、y 、z 轴）、面（ 平面、 平面、 平面）；（Ⅱ）.三个坐标平面的位置关系是： （Ⅲ）.在平面上如何画空间直角坐标系？2. 右手直角坐标系 （学习层次：了解）3．空间直角坐标系中的点的坐标 （学习层次：理解、掌握、应用） 定义：教材P 134；结论：空间直角坐标系中的点M 与有序数组(),,x y z 一一对应。

2．3 空间直角坐标系2．3.1 空间直角坐标系及其应用或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，其生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能被打败”．这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么，怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多远呢？1．如图，OABCD′A′B′C′是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点；x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．如图，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．有序实数组(x，y，z)叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M 的竖坐标，原点O的坐标为(0，0，0)．3．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A、B两点的中点坐标为⎛⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．,一、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz .点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面．(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出点M 在三条坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，其相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，则把有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．(4)xOy 平面(通过x 轴和y 轴的平面)是坐标形如(x ，y ，0)的点构成的点集，其中x ，y 为任意的实数；xOz 平面(通过x 轴和z 轴的平面)是坐标形如(x ，0，z )的点构成的点集，其中x ，z 为任意的实数；yOz 平面(通过y 轴和z 轴的平面)是坐标形如(0，y ，z )的点构成的点集，其中y ，z 为任意的实数．(5)x 轴是坐标形如(x ，0，0)的点构成的点集，其中x 为任意实数；y 轴是坐标形如(0，y ，0)的点构成的点集，其中y 为任意实数； z 轴是坐标形如(0，0，z )的点构成的点集，其中z 为任意实数．二、空间直角坐标系中与平面直角坐标中重要结论对照表[设P 为(x ，y ，z )或(x ，y )]基础巩固知识点一空间中点的位置的确定1．点A(0，－2，3)在空间直角坐标系的位置是在________平面上．解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④3．如右图所示，空间直角坐标系中OABCD ′A ′B ′C ′是棱长为2的正方体．其中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BB ′，C ′D ′，AA ′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，∴点在平面yOz 上，竖坐标为2.∴点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D ′C ′的中点G .答案：G 点知识点二 空间中点的坐标的确定4．已知ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：连接AC 、BD 交于点P ，则P 为AC 与BD 的中点，由点A 、C 坐标求得中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B (2，－5，1)求得点D 的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)5．点M (－1，2，1)在x 轴上的射影为M ′，则M ′关于原点的对称点是________． 解析：M (－1，2，1)在x 轴上的射影M ′的坐标为(－1，0，0)，则M ′关于原点的对称点为(1，0，0)．答案：(1，0，0)6．若x 轴上一点A 到z 轴上一点B 的距离为4，并且AB 的中点到平面xOy 的距离为1，则点A 的坐标为________．解析：设A (a ，0，0)、B (0，0，c )，则AB 中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，c2，∴|c |2＝1. ∴|c |＝2.又a 2＋c 2＝16. ∴a 2＝12，a ＝±2 3. 答案：(±23，0，0)知识点三 空间中点的对称7．点(1，1，1)关于z 轴的对称点为________． 解析：由对称知点(x ，y ，z )关于z 轴的对称点为 (－x ，－y ，z )． 答案：(－1，－1，1)8．点P (3，4，5)关于yOz 平面的对称点的坐标为________． 解析：点(a ，b ，c )关于yOz 平面的对称点为(－a ，b ，c )． 答案：(－3，4，5)9．点M (2，－3，1)关于点P (1，1，1)的对称点是________．解析：点M (a ，b ，c )关于点P (1，1，1)的对称点是(2－a ，2－b ，2－c )． 答案：(0，5，1)能力升级综合点一 求空间中点的坐标10．如右图，三棱锥OABC 为一个正方体截下的一角，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，建立如图所示的坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．解析：∵A (a ，0，0)、B (0，0，b )、C (0，c ，0)，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b311．已知矩形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝10，将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面BCD ⊥平面ABD .以D 为原点，射线DB 为y 轴的正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．解析：如下图，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，由面BCD ⊥面ABD ，得CF ⊥面ABD ，AE ⊥面BCD .又在Rt △BCD 中，BD ＝（15）2＋（10）2＝5， ∴DF ＝CD 2BD ＝3，CF ＝CD ·BC BD＝ 6. 同理可得AE ＝6，DE ＝2，故A (6，2，0)、C (0，3，6)．综合点二 空间中的对称问题12．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )，给出下面命题： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )； ②点P 关于平面yOz 的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )； ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，z )； ④点P 关于原点的对称点的坐标是(－x ，－y ，－z )． 其中正确命题的序号是________．解析：点P 关于x 轴、平面yOz 、y 轴、原点的对称点的坐标分别是(x ，－y ，－z )、(－x ，y ，z )、(－x ，y ，－z )、(－x ，－y ，－z )，故只有命题①④正确．答案：①④13．如图，已知一长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，顶点A 的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解析：∵A (－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B (－2，3，－1)、C (2，3，－1)、D (2，－3，－1)．A 1、B 1、C 1、D 1与A 、B 、C 、D 分别关于平面xOy 对称，可得到A 1(－2，－3，1)、B 1(－2，3，1)、C 1(2，3，1)、D 1(2，－3，1)．。

空间直角坐标系及在立体几何中的应用学案课时一: 空间直角坐标系学习目标1．了解空间直角坐标系的建系方式． 2．掌握空间中任意一点的表示方法． 3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标． 4．掌握空间两点间的距离公式 【先学自研】 一、知识梳理1.如图，OABC —D′A′B′C′是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴.这时我们说建立了一个__________O —xyz ，其中点O 叫做__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________.通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为________，如无特别说明，本书建立的坐标系都是_______.3.空间一点M 的坐标可以用_____________来表示，_________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中__________叫做点M 的横坐标，__________叫做点M 的纵坐标，__________叫做点M 的竖坐标.4.在空间直角坐标系中，怎样确定空间一点P 的坐标？确定P 点坐标(如下图)需要分三步完成： (1)过点P 作面xOy 的垂线，垂足为Q ；(2)在面xOy 内过点Q 分别作x 轴，y 轴的垂线确定点P 的横、纵坐标； (3)过点P 作平行于OQ 的直线确定点P 的竖坐标.5．特殊位置点的坐标的特征．x 轴上的点的坐标为 ，其中x 为任意实数；y 轴上的点的坐标为 ，其中y 为任意实数； z 轴上的点的坐标为 ，其中z 为任意实数；xOy 平面上的点的坐标为 ，其中x ，y 为任意实数；xOz 平面上的点的坐标为 ，其中x ，z 为任意实数；yOz 平面上的点的坐标为 ，其中y ，z 为任意实数． 6.空间中两点P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离|P 1P 2|=____________.7.空间中点坐标公式连接空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 的线段12PP 的中点M 的坐标为 二、基础练习1．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标可记为( )A ．(0，b,0)B ．(a,0,0)C ．(0,0，c )D ．(0，b ，c ) 2．点(0,2,3)位于( )A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内 3．空间直角坐标系中，点(1,2,3)P 关于x 轴对称的点的坐标是 （ ）()A (1,2,3)- ()B (1,2,3)-- ()C (1,2,3)-- ()D (1,2,3)-- 4．空间直角坐标系中，(3,5,1),(3,5,1)P Q ---两点的位置关系是 （ ） ()A 关于x 轴对称 ()B 关于yOz 平面对称 ()C 关于坐标原点对称 ()D 以上都不对 5．动点(,,)P x y z 的坐标始终满足3y =，则动点P 的轨迹为 （ ）()A y 轴上一点 ()B 坐标平面xOz ()C 与坐标平面xOz 平行的一个平面 ()D 平行于y 轴的一条直线 6．空间中过点(2,1,3)A -，且与xOy 坐标平面垂直的直线上点的坐标满足 （ ） ()A 2x =- ()B 1y = ()C 2x =-或 1y = ()D 2x =-且 1y = 7．点(2,3,6)-在x 轴、y 轴上的射影的坐标分别是 、 ．【点拨讲解】例1、（1）画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.（1）求各顶点的坐标；（2）求棱C1C中点的坐标；（3）求面AA1B1B对角线交点的坐标.（2）已知在棱长全为2a的四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心．建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出该四棱锥P－ABCD各顶点的坐标； (2)写出棱PB的中点M的坐标．（3）如图所示，点A(0,0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．求D，C，E，F这四点的坐标．例2、如图正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a （0＜a＜2）.（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小.【训练内化】1.下列叙述：①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)；②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c)；③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定可写成(0,0,c)；其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.空间直角坐标系O —xyz 中，已知点A(2,3,-1),B(4,1,-1),C(4,3,-3)，则△ABC 的形状是…( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形3.已知A(2,5，-6)，B 为y 轴上一点，且|AB|=7，则点B 的坐标为_________________.4.点P(1,2，3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为___________________.5.点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标为___________________.6.在四面体P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离为课时二: 空间向量法解决立体几何问题（一）、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。

引入新课问题1．在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么怎样用坐标来表示空间任意一点的位置呢？1．空间直角坐标系：2．右手直角坐标系：3．空间直角坐标系中点的坐标：问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题3．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？练习：（1）在空间直角坐标系中，作出点)654( ，，P ．（2）求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例题剖析:例1：如图：在长方体////D C B A ABCD -中，12=AB ，8=AD ，5/=AA ，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，/AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标． 思考：（1）在空间直角坐标系中，x 轴上的点，xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？（2）平行于xOy 平面的平面上的点具有什么特点？（3）平行于xOz 平面的平面上的点具有什么特点？例2：求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点的对称点．例3：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ． 在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例4：已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求：（1）线段AB 的中点和线段AB 长度； （2）到A ，B 两点距离相等的点)(z y x P ，，的坐标满足什么条件．巩固练习1．在空间直角坐标系中，yOz 平面上的点的坐标形式可以写成（ ） A ．)(c b ， B ．)00( ，，a C ．)(c b a ，， D ．)0( ，，b a 2．（1）在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标可写成 ； （2）在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标可写成 ； （3）在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可写成 ； （4）在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标可写成 ．3．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．课堂小结空间直角坐标系；空间中的点的表示．空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式课后训练班级：高二（ ）班 姓名：____________一 基础题1．点)432( ，，P 在坐标平面xOz 内的射影的坐标是 ． 2．在空间直角坐标系中，点)534(- ，，M 到坐标平面xOy ，xOz ，yOz 的距离 分别为 ．3．若)133( ，，A ，)501( ，，B ，)010( ，，C ，则AB 的中点M 到点C 的距离是 ． 4．点)011( ，，A 与点)121( -，，B 之间的距离是 ． 5．点)521( - ，，P 关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为 ； 点)312( -，，M 关于坐标原点的对称点的坐标为 ； 6．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．则点p 。

空间直角坐标系教案一、引言空间直角坐标系是几何学中最基础的概念之一，也是学习空间解析几何的起点。

本教案将详细介绍空间直角坐标系的定义、性质和应用，并设计相关教学活动，帮助学生深入理解和掌握空间直角坐标系的知识。

二、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三条两两相交的坐标轴构成的，分别为x轴、y轴和z轴。

这三条坐标轴两两垂直，且它们的交点称为坐标原点O。

在空间直角坐标系中，任意一点的位置可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别代表该点在x轴、y轴和z轴上的坐标。

三、空间直角坐标系的性质1. 坐标轴的方向和正负- x轴的正方向是从原点O指向正半轴，负方向则相反。

- y轴的正方向是从原点O指向正半轴，负方向则相反。

- z轴的正方向是垂直于xoz平面向上的方向，负方向则相反。

2. 坐标轴间的关系- x轴与y轴的交点称为平面直角坐标系的原点Oxy，它们确定了一个平面，称为水平面。

- x轴与z轴的交点称为平面直角坐标系的原点Oxz，它们确定了一个平面，称为前方垂直面。

- y轴与z轴的交点称为平面直角坐标系的原点Oyz，它们确定了一个平面，称为侧方垂直面。

3. 距离和中点公式- 已知空间直角坐标系中任意两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则点A和点B之间的距离d可以通过距离公式计算：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。

- 已知空间直角坐标系中任意两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则点A和点B之间的中点M可以通过中点公式计算：M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2, (z1+z2)/2)。

四、空间直角坐标系的应用1. 几何图形的表示- 在空间直角坐标系中，点、直线、平面等几何图形可以通过坐标方程来表示。

- 点：P(x, y, z)，其中x、y、z分别为点P在x轴、y轴和z轴上的坐标。