高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用

空间直角坐标系及其应用在我们探索数学和物理学的广阔领域时，空间直角坐标系是一个极其重要的工具。

它就像是一把神奇的钥匙，为我们打开了理解和描述三维空间中物体位置和运动的大门。

那么，什么是空间直角坐标系？它又是如何在各种领域中发挥作用的呢？空间直角坐标系，简单来说，是在三维空间中确定点的位置的一种数学方法。

它由三条互相垂直的数轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。

这三条轴的交点被称为原点，通常标记为 O。

x 轴、y 轴和 z 轴上的单位长度通常是相等的，这样我们就可以通过三个数值（x，y，z）来精确地确定空间中任意一点的位置。

想象一下，我们身处一个巨大的三维空间中，空间直角坐标系就像是一个无形的网格，将这个空间划分成了无数个小格子。

每个点都对应着一组唯一的坐标值，就好像是这个点在这个网格中的“地址”。

在实际应用中，空间直角坐标系的用途非常广泛。

在物理学中，它是研究物体运动的有力工具。

比如，当我们要描述一个抛体的运动轨迹时，通过建立空间直角坐标系，我们可以准确地记录下抛体在不同时刻的位置坐标（x，y，z），从而分析它的速度、加速度等运动参数。

在工程领域，空间直角坐标系也发挥着重要作用。

例如，在建筑设计中，设计师需要精确地确定建筑物各个部分在三维空间中的位置和尺寸。

通过使用空间直角坐标系，他们可以将复杂的建筑结构转化为具体的坐标数据，方便施工人员进行施工。

再比如，在航空航天领域，卫星的轨道计算、飞行器的姿态控制等都离不开空间直角坐标系。

科学家们可以通过测量卫星在空间直角坐标系中的位置和速度，来预测它的未来轨迹，确保其正常运行。

在计算机图形学中，空间直角坐标系更是基础中的基础。

无论是创建三维模型、渲染图像，还是进行虚拟现实和增强现实的开发，都需要依赖空间直角坐标系来确定物体的位置和形状。

在数学领域，空间直角坐标系为解决几何问题提供了便利。

比如，计算空间中两点之间的距离、判断直线与平面的位置关系等，都可以通过空间直角坐标系中的坐标运算来实现。

高考数学中的空间立体几何问题解析在高考数学中，空间立体几何是考试中出现频率比较高的一类题型。

空间立体几何的基础是空间坐标系和三维图形的构造，主要包括点、线、面、体及其相互关系的研究，其中点之间的位置关系是空间立体几何的核心。

在考场上要想熟练地解决这些问题，需要掌握一定的思维方法和解题技巧。

一、空间立体几何的基础1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是立体坐标系的一种，它把三维空间分成了三个相互垂直的坐标轴：x轴、y轴和z轴。

在立体坐标系中，一个点的位置用三个有序实数来表示，这三个实数分别代表这个点到三条坐标轴的距离。

2. 点、线、面、体：点是空间最基本的要素，它是一个没有大小的点。

线是两个点间最短距离的轨迹，其长度可以用两点间的距离表示。

面是三个或三个以上不共线的点所决定的平面。

体是由若干个平面围成的空间几何图形，常见的体有球、立方体、棱锥等。

3. 空间几何图形的构造：空间几何图形的构造是解决空间立体几何问题的第一步，这需要我们根据题目所描述的条件，构造出相应的点、线、面、体。

二、重要的空间直线和平面1. 方向余弦：空间直线的方向可以用方向余弦来表示。

方向余弦是指由一条直线的方向向量在坐标轴上的投影所组成的数列。

如一条直线的方向向量为(a,b,c)，则它在x轴、y轴、z轴上的方向余弦分别为a、b、c。

2. 平面的解析式：平面方程的解析式就是由平面上的一点和该平面的法向量所组成的方程。

常见的平面方程包括一般式、点法式、两点式和截距式。

3. 空间直线的位置关系：空间直线有共面、平行和相交等三种位置关系。

两条直线共面的条件是它们的方向向量能够表示出一个平面。

三、空间几何图形的计算1. 空间几何图形的面积和体积：空间几何图形的面积和体积是解决空间立体几何问题的关键。

求一些固定图形的面积和体积可以用公式解决，如正方体的面积和体积、正三角形的面积、球体的表面积和体积等等。

2. 点到线段的距离：点到线段的距离是解决空间立体几何问题的常见问题，它可以用勾股定理和向量相乘来求解。

空间直角坐标系的应用空间直角坐标系是在平面坐标系的根底上，通过类比推广建立的，从而可以将“坐标法〞推广到空间去解决空间几何体问题.利用空间直角坐标系解题时，依据几何体的特点建立适当的坐标系是解决问题的根底，合理、准确地求出相关点的坐标是解决问题的关键.与此同时，还要掌握空间直角坐标系中一些特殊点的坐标特点，主要有：〔1〕点P 在Ox 轴上时，其坐标为(00)x ，，；点P 在Oy 轴上时，其坐标为(00)y ，，；点P 在Oz 轴上时，其坐标为(00)z ，，． 〔2〕点P 分别在xOy 坐标平面，yOz 坐标平面或xOz 坐标平面时，其坐标分别为(0)(0)P x y P y z ，，，，，或(0)P x z ，，．〔3〕点()P x y z ，，关于x 轴对称的点为1()Q x y z --，，；关于y 轴对称的点为2()Q x y z --，，；关于z 对称的点3()Q x y z --，，．关于xOy 平面对称的点为4()Q x y z -，，；关于yOz 平面对称的点为5()Q x y z -，，；关于xOz 平面对称的点为6()Q x y z -，，．下面举例说明其应用．例1 (234)A -，，，在y 轴上求一点B ，使7AB =，那么点B 的坐标为 ． 解析：由题意，设点B 的坐标为(00)y ，，7，解得3y =±故点B的坐标为(03B ，或(03B ，．例2 点3(331)(105)124A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，． 〔1〕求线段AB 中点D 的坐标；〔2〕证明：AC BC =；〔3〕求到A B ，两点距离相等的点()P x y z ，，的坐标x y z ，，所满足的条件． 解析：〔1〕设线段AB 中点D 的坐标为()x y z ，，， 那么312302152x y z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，即3232D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 〔2〕由空间两点间的距离公式，得AC =BC =AC BC ∴=． 〔3〕点()P x y z ，，到A B ，的距离相等， 那么222222(3)(3)(1)(1)(0)(5)x y z x y z -+-+-=-+-+-， 化简，得46870x y z +-+=，即到A B ，距离相等的点P 满足的条件是46870x y z +-+=．例3(1211)(423)(614)A B C --，，，，，，，，，求证：ABC △是直角三角形． 证明：222(14)(22)(113)89AB =-+--+-=， 222(16)(21)(114)75AC =-+-++-=， 222(46)(21)(34)14BC =-+++-=， 222AC BC AB ∴+=．ABC ∴△为直角三角形．例 4 如图1，直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BAC ∠=，棱12AA M N =，，分别是111A B A A ，的中点．求BN 的长．解析：如图1，以C 为坐标原点O ，分别以1CACB CC ，，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，那么(010)B ，，，(101)N ，，． 222(10)(01)(10)3BN ∴=-+-+-=．例5 如图2，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，假设(02)CM BN a a ==<<．（1） 求MN 的长；（2） 当a 为何值时，MN 的长最小．解析：〔1〕如图2，以点B 为原点，BA BE BC ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．可求得2222010M a a N a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，． 22222222010212222MN a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．〔2〕由〔1〕知MN =∴当a =时，MN =，即M N ，分别移动到AC BF ，的中点时，MN ．。

空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且 |OA |＝32×2＝3， 以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1⇔a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE平面ABC ，AE平面ABC ，∴ FE⊥BE，FE⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17.课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF 平面A1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63. 3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3.(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG. 又D1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可)6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535. (2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx，y ＝0.故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小．【答案】设AC与BD交与点G。

高考数学如何有效利用坐标系解决几何题高考数学中的几何题一直是考生们的一个难点，尤其是在利用坐标系解决几何题方面更是令人头疼。

然而，如果我们能够熟练地运用坐标系，就能够在解决几何题时事半功倍。

本文将探讨如何有效地利用坐标系解决高考数学中的几何题。

1. 直角坐标系的应用直角坐标系是解决几何问题时最常用的一个工具。

我们可以将平面上的点与坐标系中的点一一对应，通过坐标运算来求解。

举个例子，假设有一个点A(x1, y1)和一个点B(x2, y2)，我们可以通过计算两点间的距离来判断它们的位置关系。

如果AB的距离等于0，那么A和B 就是同一个点；如果距离大于0，那么A和B就是不同的点。

除了计算距离，直角坐标系还可以帮助我们解决平面几何中的直线和曲线问题。

例如，我们可以通过计算两点间的斜率来确定直线的斜率、直线的方程等等。

此外，坐标系还可以帮助我们判断直线的相交情况，以及曲线的图形特征等。

2. 极坐标系的应用在解决某些几何问题时，使用极坐标系比直角坐标系更加方便。

极坐标系中，我们将一个点的位置通过极径和极角来表示。

极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴（通常为x轴）的夹角。

通过极坐标系，我们可以更加方便地描述圆、椭圆、双曲线等图形。

例如，对于一个圆来说，我们只需要知道它的圆心和半径即可完全确定它的位置和形状。

在利用极坐标系解决几何问题时，我们可以通过计算两点之间的极径和极角之差来确定它们的位置关系。

同时，我们还可以通过计算极坐标方程的导数来求解曲线的斜率，以及曲率等相关问题。

3. 三维坐标系的应用在高考数学中，我们不仅会遇到平面几何问题，还会涉及到空间几何问题。

针对空间几何问题，我们需要运用三维坐标系进行求解。

三维坐标系由x轴、y轴和z轴组成，用于表示空间中的点的位置。

类似于二维坐标系，我们可以通过计算两点之间的距离来确定它们的位置关系。

此外，三维坐标系还可以帮助我们解决直线、平面的方程问题，判断直线与平面的相交情况，以及与坐标轴的夹角等问题。

高中数学复习空间解析几何高中数学复习：空间解析几何空间解析几何是高中数学中的一个重要部分，涉及到点、直线、平面在空间中的位置关系和运动规律。

通过研究空间解析几何，我们可以更好地理解和应用代数几何中的相关知识，为高考和数学学科的深入学习奠定基础。

本文将系统地介绍空间解析几何的相关内容和重要概念，并提供题目进行巩固练习。

一、空间直角坐标系在空间解析几何中，我们通常使用三维直角坐标系来描述点和几何对象的位置。

三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别表示$x$轴、$y$轴和$z$轴。

点的位置可以用有序三元组$(x, y, z)$来表示，其中$x$、$y$、$z$分别表示点在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的坐标。

在三维直角坐标系中，我们可以轻松确定点之间的距离及其他几何对象之间的位置关系。

二、空间向量空间向量是空间解析几何中的重要概念。

在三维直角坐标系中，我们可以用有向线段来表示空间向量。

空间向量具有模和方向两个重要的属性。

两个向量相等，当且仅当它们的模相等，且方向相同。

对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，它们的和向量$\mathbf{a} +\mathbf{b}$等于将$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的对应分量相加得到的向量，差向量$\mathbf{a} - \mathbf{b}$等于将$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的对应分量相减得到的向量。

三、空间中的点和直线在空间解析几何中，我们可以用向量表示点和直线。

对于点$A$，我们可以通过向量$\overrightarrow{OA}$来表示，其中$O$是空间直角坐标系的原点。

对于直线$l$，我们可以通过一个点$P$和一个平行于$l$的向量$\mathbf{v}$来表示，即$l: \overrightarrow{r} =\overrightarrow{OP} + t\mathbf{v}$，其中$t$为参数。

直角坐标系的应用直角坐标系是一种常用的数学工具，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、地理学等。

它以两个互相垂直的轴为基准，用来表示平面上的点，从而方便进行数值分析和问题求解。

本文将介绍直角坐标系的基本概念和应用，并探讨它在现实生活中的实际运用。

一、直角坐标系的基本概念直角坐标系由水平的x轴和垂直的y轴构成，它们相交于原点O。

在坐标系中，每个点都可以用一对有序数（x，y）来表示，其中x为该点在x轴上的投影长度，y为该点在y轴上的投影长度。

不同点的位置可以通过它们在坐标系中的相对位置来判断，距离可以通过勾股定理计算。

二、直角坐标系在几何学中的应用1. 平面几何直角坐标系可以用来描述平面上的线段、角度、图形等。

通过坐标系，我们可以计算线段的长度、两点之间的距离、角的大小等。

例如，在平面直角坐标系中，AB和CD两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则两点之间的距离可以由勾股定理计算得出。

2. 曲线图形直角坐标系还常用于绘制曲线图形，如折线图、柱状图、散点图等。

图形的横轴通常表示自变量，纵轴表示因变量，通过观察图形的形状、趋势和关联程度，我们可以进行数据分析和推断。

例如，通过绘制柱状图可以直观地比较不同类别的数据大小，帮助做出决策。

三、直角坐标系在物理学中的应用1. 运动分析直角坐标系在物理学中经常被用来分析物体的运动。

通过对物体在不同时间的位置坐标进行测量，我们可以计算出物体的速度、加速度等运动参数。

例如，给定物体在直角坐标系中的位置函数，我们可以求解物体的速度函数、加速度函数，并推导出物体的运动轨迹。

2. 力学问题在解决力学问题时，直角坐标系可以帮助我们建立物体受力情况的数学模型。

通过将受力分解为沿x轴和y轴的分力，我们可以在坐标系中进行力的合成和分解，便于计算物体的平衡条件、加速度等。

例如，通过对一个斜面上物体的受力分析，我们可以求解物体的滑动条件和受力大小。

四、直角坐标系在经济学中的应用1. 曲线图分析经济学中经常使用直角坐标系绘制需求曲线、供给曲线等图形，从而分析经济现象和规律。

第6节空间直角坐标系【选题明细表】知识点、方法题号空间中点的坐标1,3,12空间中点的对称问题2,5,8,14空间两点间距离公式及应用4,6,7,9,10,11,13,15,161.下列叙述中,正确的个数是( C )①在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,0);②在空间直角坐标系中,在yOz平面上点的坐标一定可写成(0,b,c);③在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c);④在空间直角坐标系中,在xOz平面上点的坐标可写成(a,0,c).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①在Ox轴上的点坐标一定是(a,0,0),故错误,②③④正确.2.(2016合肥一中月考)已知空间一点A(-3,1,4),则点A关于原点对称的点的坐标为( C )(A)(1,-3,-4) (B)(-4,1,-3)(C)(3,-1,-4) (D)(4,-1,3)解析:关于原点对称的点的坐标的特点是x、y、z坐标全部变为原来的相反数.3.点B是A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|等于( B )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)2错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

解析:由已知得B(0,2,3),所以|OB|=错误!未找到引用源。

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.4.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:BC的中点D（错误!未找到引用源。

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）, 即D(2,1,4).所以BC边上的中线长为|AD|=错误!未找到引用源。

=3.5.点A(3,3,1)关于平面xOy的对称点为A1,点B(-2,-2,1)关于平面xOy的对称点为B1,则|A1B1|等于( C )(A)25 (B)5 (C)5错误!未找到引用源。