2017-2018学年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷(理科)(1) Word版含解析

河南省新乡市2017-2018届高考第三次模拟测试数学（理）试题含答案新乡市高三第三次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}6,5,5,4,3,8122==-≤∈=B C A x x Z x U u ，则B A =（）A ．{}6,5B ．{}4,3C ．{}3,2D ．{}6,5,42.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=+221z z z （） A ．i 22+ B ．i 22- C ．i +-2 D ．i --23.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0 x 时，)1(log )(2x x f -=，则=))1((f f （）A ．-1B ．-2C ．1D ．24.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A ．12B ．15 C.20 D ．215.已知等差数列{}n a 中，2017,320171010==S a ，则=2018S （）A ．2018B ．-2018 C.-4036 D ．40366.已知实数y x ,满足??≥+-≤-+≥++02074024y x y x y x ，则y x z +-=3的最大值与最小值之和为（）A ．-7B ．-2 C. -1 D ．67.将函数21sin )(2-=x x f 的图像向右平移6π个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g y =的图像，则=??65πgA ．21-B ．21 C.23- D ．23 8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出S 的值为（）A ．31B ．33 C.35 D ．399.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A ．23224++B ．434+ C.23422++ D ．428+10.已知三棱锥ABC P -中，侧面⊥PAC 底面ABC ，2,10,4,90=====∠PC PA AC AB BAC ，则三棱锥ABC P -外接球的体积为（） A ．π28 B ．π36 C.π48D ．π7211.已知双曲线()0,01:2222 b a b y a x C =-的离心率332=e ，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，OAF OAF AOF ?∠=∠,的面积为33，则双曲线C 的方程为（）A ．1123622=-y xB ．1322=-y x C.13922=-y x D ．141222=-y x 12.设实数0 m ，若对任意的e x ≥，不等式0ln 2≥-x m x x 恒成立，则m 的最大值是（）A ．e 1B ．3e C.e 2 D ．e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量)3,1(),0,(-==b t a ，若b a 2+与a 的夹角等于ba 2+与b 的夹角，则=t ． 14.73)2(xx -的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9863=S S ，则=--+11n n n a a a （,2≥n 且N n ∈）． 16.已知抛物线)0(2:2 p py x C =的焦点为O F ,为坐标原点，点)2,1(),2,4(p N p M ---，射线NO MO ,分别交抛物线C 于异于点O 的点B A ,，若F BA ,,三点共线，则p 的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ?中，c b a 、、分别是内角C B A 、、的对边，已知C c a B b A a sin )(sin sin -=-.（1）求B 的大小；（2）若6,31cos ==a A ，求ABC ?的面积S . 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过4个直道与弯道的交接口)4,3,2,1(=k A k .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为43，摔倒的概率均为41.假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；（2）求X 的分布列及数学期望)(X E .19.在如图所示的几何体中，⊥AC AC DE ,∥平面60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD.（1）证明：⊥BD 平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值.20.已知椭圆()01:2222 b a by a x E =+的焦距为c 2，且c b 3=，圆)0(:222 r r y x O =+与x 轴交于点P N M ,,为椭圆E 上的动点，PMN a PN PM ?=+,2面积最大值为3.（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A ,，求AB 的取值范围.21.已知函数)(ln 21)(2R a x ax x x f ∈+-=. （1）若)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设n m ee a ,,1+ 分别是)(xf 的极大值和极小值，且n m S -=，求S 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为+==t y t x 552552（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为N M ,，求MN .23. 选修4-5：不等式选讲已知函数35)(+--=x x x f .（1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为m ，若m ab b a e e e b a -=?24,0,0 ，求ab 的最小值.新乡市高三第三次模拟测试数学参考答案（理科）一、选择题1-5:BACAD 6-10:CBDAB 11、12：CD二、填空题13.4或-4 14.-449 15.21-16.2 三、解答题17.解：（1）因为C c a B b A a sin )(sin sin -=-.所以222c ac b a -=-，即ac b c a =-+222. 又212cos 222=-+=ac b c a B ，所以3π=B .（2）因为()π,0,31cos ∈=A A ，所以322sin =A . 由B b A a sin sin =，可得469322236sin sin =?==A B a b . 又6322233121322)sin(sin +=?+?=+=B A C . 所以82273366322469621sin 21+=+==C ab S . 18.解：（1）由题意可知：2562741433==P . （2）X 的所有可能只为0,1,2,3,4. 则)4,3,2,1(43)(==k A P k ，且4321,,,A A A A 相互独立. 故41)()0(1===A P X P ， 1634143)()1(21=?=?==A A P X P ，。

{})1∴sin a =则cos a == ∵π(,0)2a ∈-，∴cos a =． 243sin 22sin cos ,cos212sin 55a a a a a ==-=-=．∴1()sin 222f a a a ==． 18．解:（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得:1211428(2)5a d a d a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， 解得1103a d =-⎧⎨=⎩或12535a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故103(1)313n a n n =-++=-或233(1)1555n a n n =-+-=-， 即数列{}n a 的通项公式为:313n a n =-或315n a n =-； 证明:（2）∵1a 为整数,∴110a =-，3d =∴310n a n =- ∴2(10313)323222n n n n n S -+-==-， 则22233n S n n += 即证2221111+133233333n n n +++>⨯⨯⨯+… ． ∵211(1)n n n >+ ，即21111n n n >-+， ∴2111111111(1)(1)32231313(1)n n n n n n >-+-+-=-=+++…， 即1122333ni i n s i n =>++∑． 19．解:∵1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=， ∴1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C +=， 即1sin sin sin 3A B C =， （1）∵2c b =，∴sin sin C B =， 则2sin 3A =， ∴18sin 23ABC S bc A ==△，∵2AC =，53ABC S =△ ，ABCS CDAC S =△BCD△，∴54CD =．…（2）由cos B ，得sin B =，∵()C A B π=-+，∴3sin )A A B +，则sin cos A A =，得tan 1A =，∴4A π=，则c b +=221264,sin sin A C =13,且sin sin B C =13,∴,c b ==, ∴a a a +-=222913265105,解得:a =∴b c ==6,∴ABC △的最短边的边长20.解:（1）点G 为靠近D 的三等分点,…在线段CD 取一点H ,使得CH =2,连结,AH CH ,==ABC BCD ︒∠∠90,∴AB CD ∥．又AB CH =,∴四边形ABCH 为平行四边形,∴AH BC ∥,∵点G 为靠近D 的三等分点,∴:::FG GD CH HD ==21∴GH CF ∥,∵AH GH H =,∴平面AGH ∥平面BCF ,而AG AGH ⊂平面,∴AG BCF ∥平面（2）取AE 的中点K ,连接FK ,∵AE EF =,∴FK AE ⊥,又平面AEF ⊥平面ABCDE ,∴FK ⊥平面ABCDE如图,建立空间直角坐标系-B xyz ,则,(,,),C(,,)(,,),(,,,D D F 1533030013022 . 设()EM m m =<<02,则(,,)M m +130∵翻折后,D 与F 重合,∴,DM FM FM KM FK ==+222又, 故()()()m m m -=+++⇒=222111322225,从而(,,)BM =8303(,,)BE =130,(,BF =1522, 设(,,)n x y z =为平面BEF 的一个法向量,则x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩3015022, 取x =3,则(,,n =-31设直线BM 与平面BEF 所成角为α,则sin α==⨯95175, 故直线BM 与平面BEF21．解:（1）∵()f x x ax a '=-+232,∴()f a '=-13,∴()f a =+11,∴曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程为:()()()y a a x -+=--131,即()a x x y -=--232,令x =2,则y =4,故曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线过定点(,)24.（2）解:()()[()]g x x x a '=---1323,令()g x '=0,得a x x -==230或3, ∵()g 1是()g x 在区间(,]03上的极大值,∴a ->2313,解得:a >3, 令()g x '>0,得a x x -<>231或3,()g x 递增 令()g x '<0,得a x -<<2313,()g x 递减. ∵()g 1不是()g x 在区间(,]03上的最大值,∴()g x 在区间(,]03上的最大值为()g a =-3182．∴()()g a g a =->=-3182122,∴a <5,又a >3,∴a <<35．（3）证明: ()()()[()]g x f x a x x a ''=+-=---31323.∵(,)a ∈+∞3,∴a ->2313, 令()g x '>0,得a x x -<>231或3,()g x 递增 令()g x '<0,得a x -<<2313,()g x 递减.; ∵(,)a ∈+∞3,∴a a -<<23133, 若()g x 在,()a a b +33为单调函数,则a b a +-23≤33,即a b +≥3, 故对任意给定的正数n ,总存在(,)a b ∈++∞3（其中b +>33）,使得()g x 在,()a a b +33为单调函数. 22．解:（1）(),()e ,x ax f x a F x a x x x-''=-==+>110 ∵,()(,)a f x '<+∞0在0上恒成立,即()f x 在（0,+∞）上单调递减, 当a -<1≤0时,()F x '>0 ,即()F x 在(,)+∞0上单调递增,不合题意当a <-1时,由()F x '>0,得ln()x a >-,由()F x '<0,得ln()x a <<-0,∴()F x 的单调减区间为(,ln())a -0,单调增区间为(ln(),)a -+∞∵()f x 和()F x 在区间(,ln )03上具有相同的单调性,∴ln()ln a -≥3,解得a -≤3,综上,a 的取值范围是(,]-∞-3（2）()()()ax ax ax g x e axe a ax e x x ---'=+--=+-111111， 由e ax x --=110得到ln x a x -=1，设ln ln (),()x x p x p x x x --'==212, 当e x >2时,()p x '>0;当e x <<20时,()p x '<0,从而()p x 在(,e )20上递减,在(e ,)+∞2上递增, ∴2min 21()(e )e p x p ==-当a e-21≤时,ln x a x -1≤,即e ax x --11≤0, 在(,)a-10上,ax +>10,()g x '≤0,()g x 递减; 在(,)a-+∞1上,ax +<10,()g x '≥0,()g x 递增, ∴min ()()()g x g a aϕ==1,设,(,e ],()()ln (e )()e e t t a h t t t h t a tϕ'=∈==-+<<=-2222111010≤0，()h t 在(,e ]20上递减, ∴()(e )h t h =2≥0, ∴()a ϕ的最小值为0河南省新乡一中2017届高三（上）第二次月考数学（理科）试卷解 析1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数求模公式和复数的乘法运算化简复数()6|34|i i i -+-，求出复数()6|34|i i i -+-的实部和虚部，则答案可求． 【解答】解：∵()261616|34|555i i i i i -+--==---，∴复数()6|34|i i i -+-的实部为：15-，虚部为：65-，差为：1．故选：B ．2．【考点】交集及其运算． 【分析】求解一元二次不等式化简M ，再由交集运算得答案．【解答】解：∵{}{}2=8707{2,3,4,5,6},=3x M x x x x x N x ⎧⎫∈|-+<=∈|1<<=|∉⎨⎬⎩⎭N N N ， ∴{}2,3,4,5,6{2,4,5}3x MN x ⎧⎫=|∉=⎨⎬⎩⎭N ，故选：C ．3．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据已知条件得到tan 1α=，由向量加法的三角形法则求得AC 即可．【解答】解：sin 1sin cos 2ααα=+，2sin sin cos ααα=+，即sin cos αα=，所以tan 1α=，因为向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=， 则(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α=+==，故选：D ．4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当1x >时1(,1)y x =∈-∞，1xy =，11sin cos sin 222x θθθ==≤． 【解答】解：当1x >时，1(,1)y x =∈-∞，1xy =，故A 错，C 正确；因为11sin cos sin 222x θθθ==≤，故B ，D 均错误． 故选：C ．5．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵5442S S a =-，∴542a a =-，解得公比2q =． ∴5554441213312115S q S q ---===---． 故选：A ．6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意求出三棱柱ABE -DCF 的侧面积增加的部分与原来矩形ABCD 的面积之比可得答案．【解答】解：将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE ，可得三棱柱ABE -DCF ，（如图）侧面积增加的部分为ABCD ，∵EB BC ⊥，ABC △是直角三角形，∴AB BC ⊥．同理可证ABCD 是矩形．∵1AE DF ==．3AB =，AD =，∴2BE =∴AB =故得侧面积增加的部分为5S ==． 侧面积比原矩形ABCD2.236753===%故选D ．7．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据新定义在R 上的函数()f x 当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()f x 为类偶函数．对各选项进行判断即可．【解答】解：对于:A ()4cos f x x =，根据新定义，当自变量0x ≠时，存在多个非零自变量x 使得()()f x f x -=，∴不对．对于:B 2()23f x x x =-+，由2()23()f x x x f x -=++≠，∴不对． 对于:C ()21x f x =+，由()21()x f x f x --=+≠，∴不对．对于:D 3()3f x x x =-，由3()3f x x x -=-+，即3()()20f x f x x x --=-6=，可得22(3)0x x -=，当自变量0x ≠时，存在两个非零自变量1x =2x =()()f x f x -=，∴对． 故选D ．8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，即可求其体积．【解答】解：该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，故其体积为211168(24)24222323⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=． 故选D ．9．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的最大值求出A ，由特殊点的坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数sin()y k k πϕ=+()2k πϕ>ο,<的最大值为k ，∴26k k -+=，∴2k =． 把点(,0)12π代入2sin(2)y πϕ=+可得sin()06πϕ+=，∴6πϕ=-，∴入2sin(2)6y x π=-．则函数5()sin()cos()2sin(2)2cos(22sin(22sin(2)666412f x kx kx x x x x πππππϕϕ=-+-=+++=+++． 令52122x k πππ+=+，求得224k x ππ=+，k ∈Z ，故()f x 的图象的对称轴的方程为得224k x ππ=+，k ∈Z ， 当3k =时，3724x π=， 故选：B ．10．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合题意求出m ，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵平面区域Ω夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m ， 则|3218|255m ⨯-==． 令125z mx y x y =-=-，则125y x z =-， 由图可知，当直线125y x z =-过(2,3)B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：249355-=． 故选：A ．11．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．【分析】构造函数()()F x xexf x =，则F ()[(1)()()]0x ex x f x xf x ''=++≥对[0,)x ∈+∞恒成立，得出函数()()F x xexf x =在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、【解答】解：构造函数F （x ）=xexf （x ），则F′（x ）=ex[（x+1）f （x ）+xf′（x ）]≥0对x ∈[0，+∞）恒成立， ∴函数F （x ）=xexf （x ）在[0,)+∞上单调递增，∴(1)(2)F F <，∴(1)2(2)f ef <，故选A ．12．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ，过F 作FG 垂直于PO 交于G ，根据相识三角形成比例关系可求解．【解答】解：由题意：P ABCD -是正四棱锥，O 为正方形ABCD 的中心,则OP ⊥平面ABCD ， ()24PE EO λλ=≤≤,即E 是PO 上的点，在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ,()PF f λ= ，过F 作FG 垂直于PO 交于G ， 可得：2PF FG PG GE PG GE PD OD PO EO PO EO λλ+=====++． 故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先根据平行求出x 的值，再根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵(,2)a x =，(2,1)b =，//a b ，∴2x =⨯2=4，∴(3,4)c =，∴||5c =，(4,2)(3,4)12820a c ==+=，∴向量a 在向量c 方向上的投影为2045||a c c ==， 故答案为：4．14．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的表面积．【解答】解：设三棱锥的四个面积分别为：1S ，2S ，3S ，4S ，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴12341111133333V S r S r S r S r S r =⨯+⨯+⨯+⨯=⨯ ∴内切球半径32V r S==， ∴该三棱锥内切球的表面积是42216ππ=． 故答案为16π．15．【考点】数列的应用．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故=1514n a n -．由=15142016n a n -≤得135n ≤，故此数列的项数为135． 故答案为：135．16．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设g （x ）=x ﹣lnx ﹣1，求出导数，求得单调区间和最值，可得f （1）=0，再由lnx ﹣2≥0，即可得到所求定义域．【解答】解：设()ln 1g x x x =--，导数1g ()x x x-'=． 令g ()0x '>，得1x >，g()x 递增；令g ()0x '<，得01x <<，g()x 递减．则g()x 的最小值为g(1)0=，即ln 10x x --≥． 当1x =时，(1)0f =；当0x >，且1x ≠时，ln 20x -≥，解得2x e ≥．则()f x 的定义域为：{}2[,)1e +∞． 故答案为：{}2[,)1e +∞．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）根据(,0]6x π∈-，求出()sin(2)3f x x π=+的范围，利用基本不等式求解．（2）利用(,0),()223a a f ππ∈-+=，求先解出sin a 和cos a ，在求解sin2a 和cos2a ，可得()f a 的值 18． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列的通项公式来求数列{an}的首项和公差；（2）根据等差数列的前n 项和公式求得232322n n n S =-，则22233n S n n +=．即证2221111+133233333n n n +++>⨯⨯⨯+… 即可．19．【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得1sin sin sin 3A B C =，结合已知可求sin A ，利用三角形面积公式可求ABC 的面积，进而可求CD 的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求sin B ，结合已知可求A ，利用正弦定理，余弦定理可求三边长，即可得解．20．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）点G 为靠近D 的三等分点，证明平面AGH ∥平面BCF ，而AG ⊂平面AGH ，可得AG ∥平面BCF ；（2）建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，利用向量方法求直线BM 与平面BEF 所成角的正弦值．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算(1)f ，(1)f ' ，求出切线方程，从而求出切线过定点；（2）求出g()x 的导数，根据g(1)是g()x 在区间(0,3]上的极大值以及g(1)不是g()x 在区间(0,3]上的最大值，得到关于a 的不等式，解出即可；（3）求出g()x 的导数，若g()x 在(,)a a b +33为单调函数，则a b a +-23≤33，即a b +≥3，从而证出结论． 22．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g()x 的导数，根据函数的单调性求出g()x 的最小值，从而求出()a ϕ的最小值．。

2017-2018学年 数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|,2,1,0,1,2A x y B ⎧⎪===--⎨⎪⎩，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2.已知复数1534iz i=+，则z 的虚部为（ ） A ．95i - B ．95i C ．95- D ．953.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为（ ）A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.34.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．12πD ．8π5.函数()ln 21f x x x =+-的零点必落在区间（ ） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,26.已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b =（ ）A ．25B ．16C ．8D ．47.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．[]2,0-C ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.执行下面的程序框图，则输出结果s =（ ）A ．2116 B ．8564 C ．6332 D ．127649.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()4,1-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞11.已知双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>，过双曲线Γ的右焦点，且倾斜角为2π的直线l 与双曲线Γ交地,A B 两点，O 是坐标原点，若AOB OAB ∠=∠，则双曲线Γ的离心率为（ ） AB12.已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ） A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,m =，若,m n 间的夹角为3π，则23m n -=____________．14.经过抛物线28y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________． 15.已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．16.由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 18.（本小题满分12分）如图①所示，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，且01,135,3AD BC a BAD AE BC ==∠=⊥于点,E F 为BE 的中点．将ABE ∆沿着AE 折起至AB E '∆的位置，得到如图②所示的四棱锥B ADCE '-.（1）求证：//AF 平面B CD '；（2）若平面AB E '⊥平面AECD ，求二面角B CD E '--的余弦值． 19.（本小题满分12分）甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为34，乙每关通过的概率为12，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设X 表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 20.（本小题满分12分）设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()22ln ,f x x ax g x f x ax x =-=+-．（1）求函数()f x 的极值； （2）设120x x >>，比较()()121221212g x g x x x x x x --+-与1的大小关系，并说明理由． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知四边形ABDC 是圆O 的内接四边形，,B D 是圆O 上的动点，AD 与BC 交于F ，圆O 的切线()CE C 为切点与线段AB 的延长线交于,E BCD CBD∠=∠．（1）证明：CD 是BCE ∠的平分线；（2）若AD 过圆心，,2BC BE AE ==，求AB 的长． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=，点P 的极坐标为74π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ∆的面积．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()7f x >的解集；（2）若实数,0m n >，且()f x 的最小值为m n +，求22m n +的最小值，并指出此时,m n的值．参考答案一、选择题二、填空题1283π 16. 42三、解答题17.解：（1）原式化为22222222a cb bc a cabc abc a+-+-+=，解得1a=．．．．．．．．．．．．．．．．．6分18.解：（1）取B C'的中点G，连接,FG DG．∵F为B E'的中点，∴//FG EC，且12FG EC=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵图①中四边形ABCD为等腰梯形，//AD BC，且1,,1353AD BC a AE BC BAD==⊥∠=，∴12,//,2EC a AD EC AD EC==，∴//,AD FG AD FG=，∴四边形ADGF 为平行四边形，∴//AF DG ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵AF ⊄平面,B CD DG '⊂平面B CD '，∴//AF 平面B CD '．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）易证,,EA EB EC '两两垂直，故以点E 为原点，EB '为x 轴，EC 为y 轴，EA 为z 轴，建立空间直角坐标系，∴()()(),0,0,0,,,0,2,0B a D a a C a '，所以()(),2,0,0,,B C a a CD a a '=-=-，设平面B CD '的法向量为(),,n x y z =．则()()()(),2,0,,200,,,,0B C n a a x y z ax ay CD n a a x y z ay az ⎧'=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩令1z =，得()2,1,1n =，．．．．．．．．．．．10分显然(),0,0EB a '=为平面AECD 的一个法向量，所以cos ,EB n '==，．．．．．．．．．．．．．．．．11分 由图知平面B CD '与平面AECD 所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错． 故其概率为：31111114424248P =⨯⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）根据题意，0,2000,4000,6000X =，()1110428P X ==⨯=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ()120008P X ==；()21231131111540004424424128P X C ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ()321333118160004442128P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 随机变量X 的分布列为所以()158102000400060004515.62588128128E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（写成361258也对）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又e =，∴c =1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k ∆=-⨯+>，∴3,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．9分1212221612,1414k x x x x k k-+==++， 根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k =+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴22k -<<，综上得32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）依题意()()21122,0,ax f x ax x x x-'=-=∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ①若0a ≤，则()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 无极值；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②若0a >，则()f x '=，此时10,0x +>>，令()0f x '>，解得0x <<，令()0f x '<，解得x > 故函数()f x的单调增区间为⎛ ⎝，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎭， 故函数()f x 的极大值为()11ln 2122f a ==-+，无极小值. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 有极大值()1ln 212a -+，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）依题意，()()()121112222212121212ln ln ln ,1g x g x x x x x g x x x x x x x x x x x --=---=-+-+-， 要比较()()121221212g x g x x x x x x --+-与1的大小 ，即比较12212x x x +与1212ln ln x x x x --的大小． ∵120x x ->，∴可比较()1122212x x x x x -+与12ln ln x x -的大小 ．．．．．．．．．．．6分 令()121x t t x =>，即比较2211t t -+与ln t 的大小．设()221ln 1t G t t t -=-+， 则()()()()()3222221121111t t t t t G t tt t t --++-'=-=++， 因为1t >，所以()0G t '<，所以函数()G t 在()1,+∞上单调递减，故()()10G t G <=，所以()0G t <对任意1t >恒成立，所以()112122212ln ln x x x x x x x -<-+， 所以()()1212212121g x g x x x x x x --<+-………………………………12分 22.解：（1）因为CE 是圆的切线，所以ECD CBD ∠=∠，又BCD CBD ∠=∠， 所以ECD BCD ∠=∠，故CD 是BCE ∠的平分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为AD 为圆心，易得,,BD AB AC CD AC AB ⊥⊥=，因为BC BE =，所以BEC BCE EAC ∠=∠=∠，所以AC EC AB ==， 由切割线定理得2=EC AE BE ，即()2AB AE AE AB =-，即2240AB AB +-=，解得1AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）根据题意，直线l 的普通方程为2y x =+，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）l '的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为4πθ=，所以ρ=，故AB =，因为OP l '⊥，所以点P 到直线l '的距离为，所以162PAB S ∆=⨯=．．．．．．．．10分 24.解：（1）原不等式等价于212121737127x x x x x ⎧>-≤≤<-⎧⎧⎨⎨⎨->>->⎩⎩⎩或或，解得34x x <->或，综上所述，不等式()7f x >的解集为()(),34,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）依题意，可知3m n +=，()()22222222222m n m n mn m n m n m n +=++≤+++=+，故2292m n +≥，当且仅当32m n ==时等号成立…………………………10分。

河南省新乡市2017-2018学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（AUB）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．﹣C．D．或﹣5．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．6．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，所得函数图象对应的解析式为（）A．y=2sin2x B．y=2cos2x C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=﹣cos2x7．已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为M，若|PF|=4，则△PFM的面积为（）A．3B．4C．6 D．88．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50409．已知p：“∀x∈R，e x＞0”，q：“∂x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）A．p∨q是假B．p∧q是真C．p∧（￢q）是真D．p∨（￢q）是假10．在△ABC中，AB=3，AC=2，=+，则直线AD通过△ABC的（）A．垂心B．外心C．内心D．重心11．正三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的2个三角形全等的概率为（）A．0 B．C．D．112．已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上）13．等差数列{a n}的前n项和为s n，且S3=6，a1=4，则公差d等于．14．的展开式中，常数项为．（用数字作答）15．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．16．已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本题满分60分17．在△ABC中，cosB=，sin（﹣C）=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面积．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．20．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g（x）=f（x）﹣x2﹣ax﹣1在区间[0，3]的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

河南省八市重点高中联考2017-2018学年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣13．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．94．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列为真的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[﹣1，]D．[﹣，]11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3）B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为__________．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为__________．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为__________．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为__________．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x 成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：先化简A，注意运用指数函数的单调性解不等式，再根据集合的包含关系，求出a，b的范围，运用不等式的性质，求出a﹣b的取值范围．解答：解：集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2，4]，∵A⊆B，B=[a，b]，∴a≤2，b≥4，∴a﹣b≤2﹣4=﹣2，即a﹣b的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：A．点评：本题考查集合的包含关系及应用，考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性，同时必须掌握不等式的性质是解题的关键．2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．解答：解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i 为正实数，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故选B．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据给出的已知条件，得到a5+a4＞0，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出的范围，确定的符号，求出cosθ，利用二倍角公式求出的值．解答：解：因为，所以cosθ=﹣，，，所以=﹣=﹣；故选D．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的确定，三角函数的值的符号的确定，考查计算能力．6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上考点：向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得出⊥，即得出点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．解答：解：根据题意，得有•=•，∴（﹣）•=0；•=0，∴⊥；∴点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的运算法则，寻求解答问题的途径，从而解答问题，是基础题．7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列为真的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）考点：全称；特称．专题：简易逻辑．分析：求出两个函数的值域，然后判断选项即可．解答：解：函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2=（x﹣a）2+a2﹣2≥a2﹣2＞﹣2，g（x）=﹣e x﹣=﹣（e x+）≤﹣2，显然∀x∈R，都有f（x）＞g（x），故选：B．点评：本题考查函数的值域的真假的判断，基本知识的考查．8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||•||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答：解：非零向量，满足2•=，|即有2||•||•cosθ=||2•||2，即2cosθ=||•||，由||+||=2，则||•||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[﹣1，]D．[﹣，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将直线进行整理，得到直线过定点（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域，根据条件得到A．B应该在直线l的两侧或在直线l上，即可得到结论．解答：解：∵直线l：（m+2）x+（m+1）y+1=0等价为m（x+y）+（2x+y+1）=0，即，解得，∴直线过定点P（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域（阴影部分ABC），要使直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则必有点A（1，2），B（1，﹣1）在l的两侧或在l上．得[（m+2）×1+（m+1）×2+1]•[（m+2）×1+（m+1）×（﹣1）+1]≤0，即2（3m+5）≤0，解得．故m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出直线过定点，以及利用不等式组作出平面区域是解决本题的关键．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3）B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）考点：函数的值域；并集及其运算．专题：函数思想；函数的性质及应用．分析：先求不等式的解集，再构造函数求出所有函数的值域再求值域的并集就可以了．解答：解：（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）=0的两根为x1=1，，又n2+4﹣lnn＞1，∴，设f（n）=n2+4﹣lnn，n∈（1，3），则，在n∈（1，3）时f′（n）＞0，∴f（n）在区间（1，3）上单调递增，即f（n）＜f（3）=13﹣ln3，所以集合A n的并集为（1，13﹣ln3）．故选：A．点评：本题利用构造函数，求函数的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本题对初学者来讲有一定的难度，属于中档题．二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为54=121+123+125+127+129．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，解答：解：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，设行数为n，用a n1表示每行的第一个数，则a n1=（n+1）3﹣n，因此第4行的第一个数为：（4+1）3﹣4=121，则第4个等式为54=121+123+125+127+129，故答案为：54=121+123+125+127+129．点评：本题解答的关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的方法，进一步解决问题即可．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为[﹣，）．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得a的取值范围．解答：解：圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0的圆心坐标为（a，﹣a），半径r=，若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得：a∈[﹣，），故答案为：[﹣，）点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般式方程，解答时易忽略1﹣2a＞0，而造成错解．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，得到函数=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积：﹣+=﹣cosx+cosx=+1=．故答案为：．点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年2015届高考必考内容．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得n=4k，k∈N*时，a n=sin+；n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+．由此能求出数列{a n}中最小项的值．解答：解：∵a n=sin（+）+（n∈N*），∴n=4k，k∈N*时，a n=sin+=，n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+=．∴数列{a n}中最小项的值为．故答案为：．点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x 成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数最值的应用．专题：综合题．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答：解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．考点：正弦定理；解三角形．专题：解三角形．分析：（1）在△BCD中，由正弦定理得到：，计算得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（2）由于△BCD面积为，得到，得到BD，再由余弦定理得到，再由DA=DC，即可得到边AB的长．解答：解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，变形，利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题意b n=na n=，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，化为，变形，∴{a n﹣2}是以a1﹣2=1为首项，公比为的等比数列，∴，∴a n=2+．（Ⅱ）由题意b n=na n=，设数列的前n项和为T n，则T n=1++…+，=+…，=1++…+﹣=﹣=2﹣，即T n=，∴S n=T n+n2+n=+n2+n．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得A1O⊥面ABC，从而A1O⊥BC，由等腰三角形性质得BC⊥AO，从而EO⊥BC，又OE⊥B1C，由此能证明OE⊥面BB1C1C．（2）由勾股定理得AO=4，，分别以OC、OA、OA 1为x、y、z轴建立空间坐标系，求出面A1B1C的法向量和面C1B1C的法向量，由此能求出平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值．解答：解：（1）证明：∵点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，∴A1O⊥面ABC，而BC⊂面ABC，∴A1O⊥BC，…又∵AC=AB=5，线段BC的中点O，∴BC⊥AO，∵A1O∩AO=O，…∴BC⊥面A1OA，EO⊂面A1OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B1C，B1C∩BC=C，B1C⊂面BB1C1C，BC⊂面BB1C1C，∴OE⊥面BB1C1C．…（2）解：由（1）知，在△AOB中，AO2+BO2=AB2，则AO=4，在△A 1AO中，，则分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，C（3，0，0），A1（0，0，4），A（0，4，0），B（﹣3，0，0），∵，∴B1（﹣3，﹣4，4），∵，∴C1（3，﹣4，4），=（﹣3，0，4），=（﹣6，﹣4，4），=（0，﹣4，4），设面A1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（1，﹣，），…设面C1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（0，，1），…cos＜，＞==﹣，…所以平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值为．…点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故（**）…又点M与点P在椭圆上，故，，…代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求出t的取值范围；（2）化简=为x02﹣x0=，再令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，再求得g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t （t﹣1）﹣（t﹣1）2=，从而分t＞4或﹣2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4讨论，从而证明并解得．解答：解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，由f′（x）＞0解得，x＞1或x＜0，由f′（x）＜0解得，0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（2）证明：∵，又∵=，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，①当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，④当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，解得x=3或﹣2（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想的应用，属于难题．。

新乡市高三第三次模拟测试数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}6,5,5,4,3,8122==-≤∈=B C A x x Z x U u ，则B A =（ ） A ．{}6,5 B ．{}4,3 C ．{}3,2 D ．{}6,5,4 2.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=+221z z z （ ） A ．i 22+ B ．i 22- C ．i +-2 D ．i --23.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0 x 时，)1(log )(2x x f -=，则=))1((f f （ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．24.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15 C.20 D ．215.已知等差数列{}n a 中，2017,320171010==S a ，则=2018S （ ） A ．2018 B ．-2018 C.-4036 D ．40366.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++02074024y x y x y x ，则y x z +-=3的最大值与最小值之和为（ ）A ．-7B ．-2 C. -1 D ．6 7.将函数21sin )(2-=x x f 的图像向右平移6π个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g y =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛65πgA ．21-B ．21C.23- D ．238.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．31B ．33 C.35 D ．399.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．23224++B ．434+ C.23422++ D ．428+10.已知三棱锥ABC P -中，侧面⊥PAC 底面ABC ，2,10,4,90=====∠PC PA AC AB BAC，则三棱锥ABC P -外接球的体积为（ ）A ．π28B ．π36 C.π48 D ．π7211.已知双曲线()0,01:2222 b a by a x C =-的离心率332=e ，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，OAF OAF AOF ∆∠=∠,的面积为33，则双曲线C 的方程为（ ）A ．1123622=-y x B ．1322=-y x C.13922=-y x D ．141222=-y x12.设实数0 m ，若对任意的e x ≥，不等式0ln 2≥-xm me x x 恒成立，则m 的最大值是（ ） A ．e 1 B ．3eC.e 2 D ．e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量)3,1(),0,(-==b t a，若b a 2+与a 的夹角等于b a 2+与b 的夹角，则=t ．14.73)2(xx -的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是 ． 15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9863=S S ，则=--+11n n n a a a （,2≥n 且N n ∈）． 16.已知抛物线)0(2:2p py x C =的焦点为O F ,为坐标原点，点)2,1(),2,4(pN p M ---，射线NO MO ,分别交抛物线C 于异于点O 的点B A ,，若F B A ,,三点共线，则p 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，c b a 、、分别是内角C B A 、、的对边，已知C c a B b A a sin )(sin sin -=-. （1）求B 的大小； （2）若6,31cos ==a A ，求ABC ∆的面积S . 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过4个直道与弯道的交接口)4,3,2,1(=k A k .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为43，摔倒的概率均为41.假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望)(X E .19.在如图所示的几何体中，⊥AC AC DE ,∥平面60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD .（1）证明：⊥BD 平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值.20.已知椭圆()01:2222 b a b y a x E =+的焦距为c 2，且c b 3=，圆)0(:222 r r y x O =+与x 轴交于点P N M ,,为椭圆E 上的动点，PMN a PN PM ∆=+,2面积最大值为3.（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A ,，求AB 的取值范围. 21.已知函数)(ln 21)(2R a x ax x x f ∈+-=. （1）若)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设n m ee a ,,1+ 分别是)(xf 的极大值和极小值，且n m S -=，求S 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=. （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为N M ,，求MN . 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数35)(+--=x x x f . （1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为m ，若m ab bae ee b a -=⋅24,0,0 ，求ab 的最小值.新乡市高三第三次模拟测试 数学参考答案（理科）一、选择题1-5:BACAD 6-10:CBDAB 11、12：CD 二、填空题13.4或-4 14.-449 15.21- 16.2 三、解答题17.解：（1）因为C c a B b A a sin )(sin sin -=-. 所以222c ac b a -=-，即ac b c a =-+222.又212cos 222=-+=ac b c a B ， 所以3π=B .（2）因为()π,0,31cos ∈=A A ， 所以322sin =A . 由B b A a sin sin =，可得469322236sin sin =⨯==A B a b . 又6322233121322)sin(sin +=⨯+⨯=+=B A C . 所以82273366322469621sin 21+=+⨯⨯⨯==C ab S . 18.解：（1）由题意可知：2562741433=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=P .（2）X 的所有可能只为0,1,2,3,4.则)4,3,2,1(43)(==k A P k ，且4321,,,A A A A 相互独立. 故41)()0(1===A P X P ，1634143)()1(21=⨯=⋅==A A P X P ，6494143)()2(2321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅==A A A P X P ， 256274143)()3(34321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅==A A A A P X P ， 2568143)()4(44321=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅⋅⋅==A A A A P X P . 从而X 的分布列为所以2562564256364216140)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19.解：（1）在BCD ∆中，360cos 2121222=⨯⨯-+= BD . 所以222DC BD BC +=，所以BCD ∆为直角三角形，CD BD ⊥. 又因为⊥AC 平面BCD ，所以BD AC ⊥. 而C CD AC = ，所以⊥BD 平面ACDE .（2）（方法一）如图延长AE ，CD 相交于G ，连接BG ， 则平面 AEB 平面BG BCD =.二面角C BG A --就是平面BCD 与平面BAE 所成二面角. 因为DE AC AC DE 2,=∥，所以DE 是AGC ∆的中位线.1==DC GD ，这样BGC BCD BC GC ∆=⊥==,60,2 是等边三角形.取BG 的中点为H ，连接CH AH ,，因为⊥AC 平面BCD . 所以AHC ∠就是二面角C BG A --的平面角. 在3,4,==∆CH AC AHC Rt ，所以19194194sin ==∠AHC .（方法二）建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，可得)4,1,0(),2,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(A E C B D .)2,1,0(),4,1,3(=-=EA BA .设),,(z y x n = 是平面BAE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=++-=⋅02043z y n z y x BA n令3=z 得)3,32,2(-=n.取平面BCD 的法向量为)1,0,0(=m.设平面BCD 与平面BAE 所成二面角的平面角为θ，则193cos =⋅=m n m n θ，从而19194sin =θ.20.解：（1）因为c b 3=，所以c a 2=.①因为a PN PM 2=+，所以点N M ,为椭圆的焦点，所以22241a c r ==. 设),(00y x P ，则b y b ≤≤-0，所以0021y a y r S PMN =⋅=∆. 当b y =0时，()321max ==∆ab S PMN ，② 由①，②解得2=a ，所以3=b ，1=c .所以圆O 的方程为122=+y x ，椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1=x ，解得3),23,1(),23,1(=-AB B A . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为),(),,(,2211m kx x B m kx x A m kx y +++=. 因为直线l 与圆相切，所以112=+k m ，即221k m +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，消去y 可得01248)34(222=-+++m kmx x k ，34124,348,0)23(48)34(482221221222+-=+-=++=-+=∆k m x x k km x x k m k . ()3434134412222212212+-+⋅+⋅=-+⋅+=k m k k x x x x k AB =()()3441433414333423134222222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=+++k k k k k k =3431214311613222++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅k k . 令4312+=k t ，则4343102≤+=k t ，所以AB =340,32116132≤++-⋅t t t ， 所以AB =4)4(16132+--⋅t ，所以3643≤AB . 综上，AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡364,3. 21.解：由已知),0(1)(R a x a xx x f ∈-+=' ， （1）①若)(x f 在定义域上单调递增，则0)(≥'x f ，即xx a 1+≤在（0，+∞）上恒成立， 而[)+∞∈+,21xx ，所以2≤a ； ②若)(x f 在定义域上单调递减，则0)(≤'x f ，即xx a 1+≥在（0，+∞）上恒成立， 而[)+∞∈+,21xx ，所以∅∈a . 因为)(x f 在定义域上不单调，所以2 a ，即()+∞∈,2a .（2）由（1）知，欲使)(x f 在（0，+∞）有极大值和极小值，必须2 a . 又e e a 1+，所以ee a 12+ . 令011)(2=+-=-+='xax x a x x x f 的两根分别为21,x x ， 即012=+-ax x 的两根分别为21,x x ，于是⎩⎨⎧==+12121x x ax x .不妨设2110x x ，则)(x f 在()1,0x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增， 所以)(),(21x f n x f m ==，所以)ln 21()ln 21()()(2222112121x ax x x ax x x f x f x m S ++-++=-=-=)ln (ln )()(2121212221x x x x a x x -+---=21122121212221212221ln 21ln 21ln )(21x x x x x x x x x x x x x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=+-⨯-=+--= 令)1,0(21∈=x x t ，于是t tt S ln )1(21+--=. )1,2(22)(12222121221212221e e a x x x x x x x x x x t t +∈-=-+=+=+， 由2211e e tt ++ ，得112 t e . 因为0)11(211)11(2122 --=++-='tt t S ，所以t t t S ln )1(21+--=在⎪⎭⎫⎝⎛1,12e 上为减函数. 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∈224214,0e e e S . 22.解：（1）因为θθρsin 8cos 2=所以θρθρsin 8cos 22=， 即y x 82=，所以曲线C 表示焦点坐标为（0,2），对称轴为y 轴的抛物线.（2）直线l 过抛物线焦点坐标（0,2），且参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数）， 代入曲线C 的直角坐标方程，得020522=--t t ， 所以20,522121-==+t t t t . 所以()1042122121=-+=-=t t t t t t MN .23.解：（1）当3-≤x 时，由135+≥++-x x x ，得7≤x ， 所以3-≤x ；当53 x -时，由135+≥---x x x ，得31≤x ， 所以313≤-x ； 当5≥x 时，由135+≥---x x x ，得9-≤x ，无解. 综上可知，31≤x ，即不等式1)(+≥x x f 的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,.（2）因为83535=---≤+--x x x x ， 所以函数)(x f 的最大值8=m .应为844-=⋅ab b a e e e ，所以844+=+ab b a . 又0,0 b a ，所以ab ab b a 4424=≥+，所以0484≥--ab ab ，即02≥--ab ab . 所以有.()0)2(1≥-+ab ab .又0 ab ，所以2≥ab ，4≥ab ，即ab 的最小值为4.。

2017-2018学年数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知x,y ∈R ，i 是虚数单位，若2+xi 与iyi++13互为共轭复数，则=+2)(yi x （ ） A ．3i B ．3+2i C ．-2i D ．2i2.已知数列{}n a 满足)(21*+∈=N n a a n n 且12=a ，则=20152log a （ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．20153.设)(log ,)31(,)21(32131e c b a π===，则（ ）A ．c<a<bB ．c<b<aC ．a<b<cD ．b<a<c4.如图，阴影区域是由函数y=cosx 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．2πD ．π5.设a,b 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若βαβα∥∥，∥,b a ，则b a ∥ B ．若b a b a ∥∥，∥,βα，则βα∥C ．若a,b 是异面直线，αββα⊂⊂b a b a ,,∥，∥，则βα∥D ．若a,b 是异面直线，αββα⊄⊄b a b a ,,∥，∥，则βα∥6.已知函数)3(log )(231a ax x x f +-=在),1[+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,(-∞B ．),2[+∞C ．]2,21[-D ．]2,21(- 7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是1615，则整数N=（ ）A ．16B ．15C ．14D ．138.已知椭圆)1(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，点)23,(n P 是椭圆C 上一点，F 为椭圆C 的左焦点，若25=PF ，则点Q(2n,0)到双曲线1322=-y x 的一条渐近线的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49.已知O 为坐标原点，点A(1,0)，若点M(x,y)为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+2,1,2y x y x内的一个动点，则+ ）A ．3B ．5C ．223 D ．2 10.已知等差数列{}n a 中，2,1421-==d a ，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{}n b ，则此新数列的前n 项和n S 取得最大值时n 的值是（ ） A ．23 B ．24 C ．25 D ．2611.定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如图所示，以))(,()),1(,1()),0(,0(x f x C f B f A 为顶点的△ABC 的面积记为函数)(x S ，则函数)(x S 的导函数)(x S '的大致图象为（ ）12.在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．π16 B ．π12 C ．π8 D ．π4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设n 为正整数，经计算得：27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>>f f f f f ，观察上述结果，由此可推出第n 个式子为______.14.如图1是一个几何体的主视图和左视图（上面是边长为4的正三角形，下面是矩形），图2是它的俯视图（圆内切于边长为4的正方形），则该几何体的体积为______.15.已知点P 在抛物线x y 42=上，且点P 到y 轴的距离与其奥焦点的距离之比为21，则点P 到x 轴的距离为______.16.如果函数)(x f y =满足：在区间[a,b]上存在)(,2121b x x a x x <<<，使得ab a f b f x f x f --='=')()()()(21，则称函数)(x f y =在区间[a,b]上是一个双中值函数.已知函数a x x x f +-=2331)(是区间[0,a]上的双中值函数，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，其中c 为最长边. （1）若1sin sin 22=+B A ，试判断△ABC 的形状；（2）若b c a 222=-，且C A B sin cos 4sin =，求b 的值.18.（本小题满分12分）在北方某城市随机取了一年内100天的空气污染指数（API ）的监测数据，统计结果如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气污染指数API （记为ω）的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤≤=300,2000300100,40041000,0ωωωωS ，试估计在本年内随机抽取一天，该天的经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？注：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=,))()()(()(22.19.（本小题满分12分）如图，矩形''1221A A A A 满足B 、C 在21A A 上，1B 、1C 在''21A A 上，且'1111A A CC BB ∥∥，,22,221===BC CA B A )0(11>='λλA A ，沿1BB 、1CC 将矩形''1221A A A A 折起成为一个直三棱柱（如图所示），使1A 与2A ，'1A 与'2A 重合后分别记为D 、1D ，在直三棱柱111C B D DBC -中，点M 、N 分别为B D 1和11C B 的中点.（1）证明：MN ∥平面C C DD 11；（2）若二面角C MN D --1为直二面角，求λ的值.20.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心位于x 轴的正半轴上，圆C 与直线3x-4y+7=0相切，且被y 轴截得的弦长为32，圆C 的面积小于13.（1）求圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，过点M(0,3)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，是否存在直线l 使得直线OD 与MC 平行？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知函数R b a e xb ax x f x∈+=,,)(，且a>0. （1）若函数f(x)在x=-1处取得极值e1，试求函数f(x)的解析式及单调区间；（2）设),()1()(x f e x a x g x--=)(x g '为g(x)的导函数.若存在),1(0+∞∈x ，使0)()(00='+x g x g 成立，求ab的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD. （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，求证：点P 平分线段DE.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程文帝]2,0[,sin 4πθθρ∈=.（1）先把半圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程； （2）已知直线633:+-=x y l ，点P 在半圆C 上，且点P 到直线l 的距离为半圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，根据（1）中得到的参数方程，确定点P 的坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知实数m,n 满足：关于x 的不等式96322--≤++x x n mx x 的解集为R.（1）求m ，n 的值；（2）若+∈R c b a ,,，且a+b+c=m-n ，求证：3≤++c b a .参考答案1.D2)3()3()1)(1()1)(3(13iy y i i i yi i yi -++=-+-+=++,故由共轭复数的概念可得⎪⎩⎪⎨⎧-=--+,23,223x y y 解得⎩⎨⎧==,1,1y x 则i i yi x 2)1()(22=+=+.2.B 因为)(21*+∈=N n a a n n ，所以21=+nn a a ，所以数列{}n a 是等比数列， 因为12=a ，所以221-⨯=n n a ，所以2013220152015221=⨯=-a ，所以20132log log 2013220152==a .3.B 设21)21(=d ，由指数函数x x f )21()(=与x x g )31()(=的单调性知，a>d ，31>b ，再由幂函数21)(x x h =的单调性知，d>b ，所以31>>b a ，又e >π，所以31<c . 4.B 根据余弦函数的对称性可得，曲线从2π-=x 到2π=x 与x 轴围成的图形的面积与曲线从2π=x 到23π=x 与x 轴围成的图形的面积相等，所以阴影区域的面积222sin cos 22=-==⎰-ππππx xdx S .5.C 通过举反例易排除A ，B ，D ，过直线a 和直线b 上一点A 作平面γ，设a '=γα ，由α∥a ，得a a '∥，又a,b 是异面直线，所以A b a =' ，易知β∥a '，又β∥b ，所以βα∥，故C 正确.6.D 令a ax x x g t 3)(2+-==，易知t t f 31log )(=在其定义域上单调递减，要使)3(log )(231a ax x x f +-=在),1[+∞上单调递减，则a ax x x g t 3)(2+-==在),1[+∞上单调递增，且03)(2>+-==a ax x x g t ，即⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0)1(12g a ，所以⎪⎩⎪⎨⎧->≤212a a ，即221≤<-a .7.B 由程序框图可知，输出的111)1(1321211+-=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=N N N S ， 令1615111=+-N ，解得N=15.8.A 因为椭圆C 的离心率为21=a c ，则c b c a 3,2==，故椭圆C 的方程为1342222=+c y c x ， 依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+42549)(13342222c n c c n ，解得n=1，c=1，所以Q(2,0)，又双曲线1322=-y x 的渐近线为03=±y x ， 则点Q(2,0)到双曲线1322=-y x 的一条渐近线的距离为1)3(1222=+. 9.C 作出平面区域如图中阴影部分所示，22)1(y x ++=表示点B(-1,0)到点M(x,y)的距离.由图可知，所求最小值即是点B 到直线x+y-2=0的距离223221=--=d . 10.B ∵等差数列{}n a 中，2,1421-==d a ，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{}n b ，∴新的数列{}n b 是以1421=a 为首项，6314-==-d a a 为公差的等差数列，∴n n b n 6148)6()1(142-=-⨯-+=.令06148≥-n ，解得3224374+=≤n ，∴数列{}n b 的前24项都为正数，从第25项开始为负数，∴n S 取得最大值时n 的值是24. 11.D 如图，连接AB 交函数f(x)的图象于另一点N ，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H.则CH AB S ABC ⨯=∆21，其中AB 为定值.当点C 由A 移动到M 的过程中，CH 逐渐变大，故ABC S ∆逐渐变大，即)(x S '>0；当点C 由M 移动到N 的过程中，CH 逐渐变小，故ABC S ∆逐渐变小，即)(x S '<0；当点C 由N 移动到P 的过程中，CH 逐渐变大，故ABC S ∆逐渐变大，即)(x S '>0；当点C 由P 移动到B 的过程中，CH 逐渐变小，故ABC S ∆逐渐变小，即)(x S '<0；当点P 与点N 重合时，构不成三角形，排除C ，故选D. 12.A ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴3=AC . ∵⊥1AA 底面ABC ，∴三棱柱111C B A ABC -的体积331211=⋅⨯⨯=CC V ，得321=CC ，∴三棱柱111C B A ABC -的外接球半径2)32()3(12122=++=r ，∴ππ16242=⨯=表S .13.22)2(+>n f n27225)2()32(,3224)2()16(,223)2()8(,222)2()4(,23)2(5432>+>=>+>=+>=+>=>f f f f f f f f f 由此推出22)2(+>n f n.15.2 设点P 的坐标为),(P P y x ，抛物线x y 42=的准线方程为x=-1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故21)1(=--P P x x ，解得1=P x ，∴42=P y ，∴2=P y .16.)3,23( 由题意可知，在区间[0，a]上存在)0(,2121a x x x x <<<，使得a a a a ab f b f x f x f -=-=--='='2232131310)0()()()(，∵a x x x f +-=2331)(，x x x f 2)(2-='，∴方程a a x x -=-22312在区间(0,a)上有两个不同的解， 令)0(312)(22a x a a x x x g <<+--=。

2017高考押题1理科数学试题参考答案及评分标准13. 6 14. -7115. 3016. (2,1)317. 【解析](I) V O, =1,色=%+加一1,二⑦=22 , ^3=52 —1,由。

3=52 —1 = 9,得 2 = 2, ........................................ 3 分 于是a n = a n _x + 2兀一 1,即a n -a n _x =2n-\,a n _x 一a n _2 = 2n-3,— Q“_3 = — 5, a, — & = 3.以上各式累加得G ”=] +(Z)(% + 2)»2 . .......................................... §分“ 2(II) 由(I)得乞=(一 1)"・(勺 + n) = (一 1)" • 71(/7+ 1)，故= —Ix2 + 2x3 —3x4 + 4x5 —5x6+ 6x7 — ••• —(2M —1)・2M + 2AZ ・(2M + 1)二2(—1 + 3) + 4(—3 + 5) + 6(—5 + 7) + ・・・ + 2川(一2〃 + 1 + 271 + 1) 9 分=2(2 + 4 + 6 + …+2力=2 • *；+ 乃=2斥 + 2斤 ............................. 12 分18. 【解析】(I)该技术指标值的平均数为4.5x —+ 5.5x —+ 6.5x —+ 7.5X —= 6.3.……3分30 30 30 30 (II)该条生产线生产的产品为合格品的概率是吐鱼二电.……6分 30 5(III) 随机变量X 的所有可能取值为160,70,-20.44 16 4 1 8 1 1 1P(X=160) = -x- = —； P(X=70) = C* x-x- = —； P(X=-20) = -x- = — .......................... ............ 9 分5 5 25 - 5 5 25 5 5 25所以随机变量X 的分布列为：=++=12 分19.【解析】（I ）菱形ABCD 中，ZABC = 60°,则AABC 和△ACQ 都是正三角形，取BC 中点M,连接EM, AM ,因为M 为BC 的中点，所以在ZVIBC 中，BC 丄AM , .............................. 2分因为EB = EC ,所以BC 丄ME, ................................ 3分又因为MEHAM=M ,所以BC 丄平面MAE, ............................ 4分 又AEu 平面MAE,所以BC 丄EA.同理DC 丄E4,又因为BCACD=C,所以E4丄平面ABCD. ................................ 6分（II ）以0为原点，以0A,08所在直线分别为兀轴，y 轴，以过点0且平行于E4的直线为Z 轴建立空间直角坐标系.则 0（0,0,0）, B （0,7i,0）,D （0,-VJ,O ）,F （-1,0,3）.设比=心＞0）,则 E （l,0,a ）, ........... 7 分 ・•.丽=（一1,0,3）,丽=（0,2巧,0）,而=（一1"，一a ）,即°,令 z = ],得 〃 = (_d,0,l),\-x+ \l3y-az = 0•••直线F0与平面BED 所成角的大小为45。

2018年河南省高考理科数学押题卷与答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题。

2. 试卷满分150分，考试时间120分钟。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（ ）A ．5 C ．． 2. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设实数x ，y 满足约束条件，则当z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最小值2时，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．26. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2+．16+C ．8+D ．87. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()sin 22g x x ϕ=+的图象（ ）A.可由()f x 的图象向左平移6π个单位而得到 B.可由()f x 的图象向右平移6π个单位而得到 C.可由()f x 的图象向左平移3π个单位而得到D.可由()f x 的图象向右平移3π个单位而得到8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳 县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示 程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个 实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ） A.1021- B.102 C. 1031- D. 1039. 一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ）A.45B.60C.90D.与点P 的位置有关10．已知变量,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．-144B ．-120C ．-80D ．-6011.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）A ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知函数()1,()ln ,x f x e ax g x x ax a =--=-+若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为( )A ．21(ln 2,)2e -B ．(ln 2,1)e -C ．[)1,1e -D ． 211,2e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分）13. 已知正实数x ,y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y的最小值为_________。

2017-2018学年数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}1-<=x x A ，{}0≥=x x B ，则集合=)(B A C U （ ） A ．),1[+∞- B ．)0,(-∞ C ．]0,1(- D ．)0,1[- 2.已知i 是虚数单位，若i zi-=+13，则z 的共轭复数为（ ） A ．1-2i B ．2-4i C ．1+2i D ．2+4i3.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生.（1）该抽样一定不是系统抽样；（2）该抽样可能是随机抽样；（3）该抽样不可能是分层抽样；（4）男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.其中说法正确的为（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（1）（4）4.已知点P 是△ABC 内一点，且6=+，则=∆∆ACPABPS S （ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 5.已知函数xa x f =)(，则“410≤<a ”是“对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.在等比数列{}n a 中，153,a a 是方程0862=+-x x 的根，则9171a a a 的值为（ ） A ．22 B ．4 C ．-22或22 D ．-4或4 7.执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．548.设函数)2)(2cos()2sin(3)(πϕϕϕ<+++=x x x f 的图象关于直线x=0对称，则（ ）A ．y=f(x)的最小正周期为π，且在)2,0(π上为增函数 B ．y=f(x)的最小正周期为π，且在)2,0(π上为减函数C ．y=f(x)的最小正周期为2π，且在)4,0(π上为增函数 D ．y=f(x)的最小正周期为2π，且在)4,0(π上为减函数9.若关于x 的不等式0232≤++b ax x 在区间[-1,0]上恒成立，则122-+b a 的取值范围是（ ） A ．),49[+∞ B ．]49,1(- C ．),54[+∞ D ．]54,1(-10.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有（ ） A ．150种 B ．300种 C ．600种 D ．900种11.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为)0,(2c F ，设A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，22F B AF 、的中点分别为M 、N ，已知以MN 为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为773，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．5 C ．2 D ．2212.设函数)0(2)(,)(2>-+=+-=k c kx x g c x b x x f ，函数)()()(x g x f x h -=，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2，则当函数h(x)的零点个数为2时，k 的取值范围为（ ） A ．),22(+∞ B ．),224(+∞- C ．),4(+∞ D ．),224(+∞+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.14.设甲，乙两个圆柱的底面积分别为21,S S ，体积分别为21,V V ，若它们的侧面积相等且2321=V V ，则21S S的值是______. 15.在RT △ABC 中，AB=AC=1，如果椭圆经过A ，B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为______.16.在等差数列{}n a 中，21,562==a a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为nS ，若1512mS S n n ≤-+对任意的*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中，已知32,22,26==+=DC AD AC ，AD ∥BC. （1）求∠DAC 的值；（2）当ABC BAC ∠+∠sin sin 取得极大值时，求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ，并判断该线性回归方程是否可靠（若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的）.参考公式：∑∑==∧--=ni ini ii xn xy x n yx b 1221.19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BA ⊥CA ，60=∠ACB ，AC=1，231=AA ，点D ，1D 分别是11,C B BC 的中点.（1）求证：1DC ∥平面1ABD ；（2）求二面角D AB D --1的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 于y 轴的正半轴相交于点M ，点21,F F 为椭圆的焦点，且21F MF ∆是边长为2的等边三角形，若直线32:+=kx y l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B.（1）直线MA ，MB 的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求△ABM 面积的最大值. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )1()(2≠-+-=m nx x m x m x f 在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行. （1）求实数m 的值；（2）若存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB=2AC. （1）求证：BE=2AD ；（2）当AC=1，EC=2时，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的极坐标为)4,2(π，直线l 过点P ，且倾斜角为32π，方程1163622=+y x 所对应的曲线经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 21,31后的图形为曲线C. （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PB PA ⋅的值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数)0(1)(>-++=a a x ax x f .（1）讨论函数f(x)的单调性，并写出)(x f 的最小值)(a g ；（2）证明：若对任意]2,0(∈a ，存在实数0x ，使得m x f ≤)(0，求实数m 的取值范围.参考答案1.D 因为{}01≥-<=x x x B A 或 ，所以{}01)(<≤-=x x B A C U . 2.A 由i z i -=+13可得，i ii i i i i i z 21242)1)(1()1)(3(13+=+=+-++=-+=，所以i z 21-=. 3.B 该抽样可能是系统抽样、随机抽样，但一定不是分层抽样，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，抽到男生的概率等于抽到女生的概率，（4）错误，故说法正确的为（2）（3）. 4.C 设点D 为AC 的中点，在△ABC 中，BD BC BA 2=+，即BP BD 62=，所以BP BD 3=，0<a<1，显然“410≤<a ”是“对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立”的充分不必要条件.6.A ∵153,a a 是方程0862=+-x x 的根，∴6,8153153=+=a a a a ，因而153,a a 均为正，由等比数列的性质知，815329171===a a a a a ，∴229=a ，9171a a a =22. 7.D 由程序框图知，51=a ，满足210≤≤a ，所以第一次循环211,52512=+==⨯=i a ； 第二次循环312,54522=+==⨯=i a ；第三次循环413,531542=+==-⨯=i a ；第四次循环514,511532=+==-⨯=i a .故输出数值的周期为4，当i=2015时，退出循环体，共循环2014次，所以输出的a 的值为54.8.B )62sin(2)2cos()2sin(3)(πϕϕϕ++=+++=x x x x f ，∵函数f(x)的图象关于直线x=0对称，∴函数f(x)为偶函数，∴3πϕ=，∴f(x)=2cos2x ，∴ππ==22T ，当20π<<x 时，0<2x<π，∴函数f(x)在)2,0(π上为减函数.9.C 由0232≤++b ax x 在区间[-1,0]上恒成立，得⎩⎨⎧≤≤+-0,023b b a ，把(a,b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据122-+b a 的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3-2a+b=0的距离的平方减1，即54.10.C 分两步.第一步，先选4名教师，分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有1025=C 种选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有1546=C 种选法.所以不容的选法有10+15=25种.第二步，4名教师去4个边远地区支教，有2444=A 种不同方法.最后，两步方法数相乘，得不同的选派方案共有25×24=600种.11.C 由已知，直线AB 的方程为y=773x ，不妨设点A 在左支上，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1,7732222b y a x x y 得 ),973,977(),973,977(22222222ab ab ab ab B ab ab ab ab A ------由已知可得22BF AF ⊥，因而022=⋅F F ，整理得01632724=+-e e ， 又e>1，解得e=2.12.B 当0≤x 时，c bx x x f ++=2)(，因为f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，所以⎩⎨⎧-=+-⨯+-=+-⨯+-,2)2()2(,)4()4(22c b c c b 解得⎩⎨⎧==,2,4c b 所以kx x g x x x f =+-=)(,24)(2，又k>0， 函数h(x)的零点个数为2，所以g(x)=kx 与24)(2+-=x x x f 的右支恰有两个交点，当与左支相切时，有3个公共点，与左支相切时，由kx x x =++242变形得02)4(2=+-+x k x ，由0=∆得224±=k ，又与左支相切，所以224-=k ，结合图象，得k 的取值范围为224->k . 13.24 由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱的一部分，如图中111C B A ABC -所示，其中 90=∠BAC ，侧面11A ACC 是矩形，其余两个侧面试直角梯形，连接C B AB 11,，由于AC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，所以几何体的体积为244533124321311111=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=--A ACC B ABC B V V V .14.49设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为21,r r ，高分别为21,h h ，则有221122h r h r ππ=，即2211h r h r =，又22212121h r h r V V ππ=，∴2121r r V V =，∴2321=r r ，则49)(22121==r r S S .15.36- 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，建立如图所示的平面直角坐标系，则RT △ABC 的周长为4a ，即222114+=++=a ，则422+=a . 记AB 上的另一个焦点为D ，则222=-=AC a AD ，在RT △ACD 中，22,1,90===∠AD AC A ，则262112=+==CD c ，则46=c ，则椭圆的离心率3642246-=+==a c e . 16.5 在等差数列{}n a 中，21,562==a a ，所以公差42626=--=a a d ， 所以数列{}n a 的通项公式为34)2(45-=-+=n n a n ，所以3411-=n a n . 因为322213232122113212111)111()111()()(++++++++++++--=+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=---n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a S S S S0)981281()581281(981581141>+-+++-+=+-+-+=n n n n n n n ， 所以数列{}n n S S -+12)(*∈N n 是递减数列，所以数列{}n n S S -+12)(*∈N n 的最大项为4514915113=+=-S S ，所以只需154514m ≤，变形可得314≥m ，又m 为正整数，所以m 的最小值为5.17.解：（1）由已知条件和余弦定理，得21)26(222)32()26()22(cos 222=+⨯⨯-++=∠DAC ，所以3π=∠DAC .（2）因为AD ∥BC ，所以3π=∠ACB ，故)320(32ππ<∠<∠-=∠BAC BAC ABC ，于是 =∠+∠=∠-+∠=∠+∠BAC BAC BAC BAC ABC BAC cos 23sin 23)32sin(sin sin sin π)6sin(3π+∠BAC ，所以当26ππ=+∠BAC ，即3π=∠=∠ABC BAC 时，ABC BAC ∠+∠sin sin 取得最大值，此时33626(4332622212+=++⨯+⨯⨯=））（四边形πsin S ABCD .18.解：（1）设选取的2组数据不相邻为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以531041)(=-=A P . （2）由题中所给数据，求得123121311=++=x ，273263025=++=y ，由参考公式，求得3,25-=-==∧∧∧x b y a b .所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y .当x=10时，22322,2231025<-=-⨯=∧y ；同理当x=8时，21617,173825<-=-⨯=∧y .所以该农科所得到的线性回归方程是可靠的.19.（1）证明：∵11C B BC ∥，11C B BC =，D ，1D 分别是11,C B BC 的中点， ∴11D C BD ∥，11D C BD =，所以四边形11D C BD 为平行四边形，∴11BD C D ∥. 又⊄1C D 平面1ABD ，⊂1BD 平面1ABD ，∴∥1C D 平面1ABD . （2）如图，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接11,DD E D .由题意知⊥D D 1平面ABC ，∴⊥D D 1AB.又D DE D D = 1，∴AB ⊥平面DE D 1，AB E D ⊥1， ∴ED D 1∠是二面角D AB D --1的平面角.在RT △ABC 中，∵60=∠ACB ，AC=1，∴AD=BD=1， ∴E 是AB 的中点，2121==AC DE . 在DE D RT 1∆中，32123tan 11===∠DEDD DE D ，∴601=∠DE D ，即二面角D AB D --1的大小为60°.20.解：（1）因为21F MF ∆是边长为2的等边三角形，所以2,3,22===a c b c ，所以3,2==b a ，所以椭圆134:22=+y x E ，点)3,0(M . 将直线32:+=kx y l 代入椭圆E 的方程，整理得036316)43(22=+++kx x k （※）. 设),(),,(2211y x B y x A ，则由（※）式可得0)94(4836)43(4)316(222>-=⨯+-=∆k k k ，所以),23()23,(+∞--∞∈ k ，2212214336,43316kx x k k x x +=+-=+. 所以直线MA ，MB 的斜率之积21212212122113)(3)3)(3(33x x x x k k x x kx kx x y x y k k MB MA +++=++=-⋅-=⋅ 413636943363)43316(322222=-+=+++-⋅+=k k k k kk k ，所以直线MA ，MB 的斜率之积是定值41.（2）记直线32:+=kx y l 与y 轴的交点为)32,0(N ， 则1221x x MN S S S BNM ANM ABM -⋅=-=∆∆∆ 2394129464394643364)43316(234)(23222222221221≤-+-=+-=+⋅-+-=-+=k k k k k k x x x x ，当且仅当12942=-k ，即),23()23,(221+∞--∞∈±= k 时等等号成立， 所以△ABM 的面积的最大值为23. 21.解：（1）函数f(x)的定义域为),0(+∞，n mx xmx f -+-='1)(，依题意知01)1(=-+-='n m m f ，解得n=1.（2）由（1）知)1)(1(11)(---=-+-='x m mx x m mx x m x f ， 令0)(='x f ，解得1,121=-=x m mx . ①若m<0，则011<-=m mx ，故当1≥x 时，0)(≤'x f ，因此f(x)在),1[+∞上单调递减， m m f x f 1112)1()(-<-=≤恒成立，即存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立，从而m<0符合题意； ②若210<<m ，则111>-=m m x ，故当)1,1(m m x -∈时，0)(<'x f ；当),1(+∞-∈mmx 时，0)(>'x f ， 即f(x)在)1,1(m m -上单调递减，在),1(+∞-mm 上单调递增， 所以mm m m m m m m m f x f 11112)1(1ln )1()1()(2min->-+-+--=-=，因此当210<<m 时，不存在),1[0+∞∈x ，使得m x f 11)(0-<成立； ③若21≥m ，则111≤-=mmx ，故当1≥x 时，0)(≥'x f ，因此f(x)在),1[+∞上单调递增，故12)1()(min -==m f x f ，所以存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立的充要条件为mm 1112-<-， 解得2222+<<-m ，所以当21≥m 时，存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立的实数m 的取值范围是2222+<<-m .综上所述，实数m 的取值范围是)22,22(),(+--∞ .22.解：（1）连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA. 又∠DBE=∠CBA ，所以△DBE~△CBA ，即有CADEBA BE =， 又AB=2AC ，所以BE=2DE.又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD=DE ，从而BE=2AD. （2）由条件得AB=2AC=2，设AD=t ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅，即)2(2)(EC AD AD BA AD AB +⋅=⋅-. 所以)22(22)2(+=⨯-t t t ，即02322=-+t t ， 解得21=t 或t=-2（舍去），即21=AD . 23.解：（1）点P 的直角坐标为(1,1)，∵直线l 过点P ，且倾斜角为32π，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231211（t 为参数）.∵伸缩变换为⎪⎩⎪⎨⎧='=',21,31y y x x ∴⎩⎨⎧'='=,2,3y y x x 代入1163622=+y x ，可得116)2(36)3(22='+'y x ， 即422='+'y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为422=+y x .（2）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231211（t 为参数），代入曲线C 可得02)13(2=--+t t ，设方程的根为21,t t ，则2,312121-=-=+t t t t ，∴221==⋅t t PB PA . 24.解：（1）将原函数化为分段函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-++≤<-++--≤-++-=,,1)1(,1,1)1(,1,1)1()(a x a x a a x a a x a a x a x a x f①当0<a<1时，f(x)在],(a -∞上是减函数，在),(+∞a 上是增函数，则1)()(2min +==a a f x f ；②当a=1时，f(x)在]1,(--∞上是减函数，在]1,1(-上是常数函数，在),1(+∞上是增函数，则2)(min =x f ；③当a>1时，f(x)在]1,(a --∞上是减函数，在),1(+∞-a上是增函数，则aa a f x f 1)1()(min +=-=,因此⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+==)1(1)10(1)()(2mina a a a a a g x f . （2）对任意]2,0(∈a ，存在实数0x ，使得m x f ≤)(0等价于min )(x f m ≥对任意]2,0(∈a 恒成立，即25)(])([max max min ==≥a g x f m ，故实数m 的取值范围是),25[+∞.。

绝密★启封前2017高考押题金卷（全国卷Ⅰ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分.考试时间为120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.若集合2{|0},{|(0,1)},xM x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是 A ．M N M =I B ．M N R =U C ．R M C N ϕ=I D ．R C M N R =U 2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P （A|B ）是（ ）A. B. C. D.4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x)d x D ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x)d x5.按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为 A ．10000立方尺 B ．1 1000立方尺 C ．12000立方尺D ．13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于A.91B.103 C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且02=++OC OB OA ，那么（A ） AO OD =u u u r u u u r （B ） 2AO OD =u u u r u u u r （C ） 3AO OD =u u u r u u u r D 2AO OD =u u u r u u u r把a 的右数第i 位数字赋给t是 否输入6?i >1i i =+输出b0b =1i =12i b b t -=+⋅9.已知点P （x,y)满足41x y y xx +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A ．2B ．26C ．25D ．410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30o ，则双曲线C 的离心率是A.2B.2C.3D. 311数列{a n }的通项公式为an=11(1)n n++，关于{a n }有如下命题：P1：{a n }为先减后增数列；P2：{a n }为递减数列； P3：*,n n N a e ∀∈>P4：*,n n N a e ∃∈<其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（）AB.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (4y x的展开式中33x y 的系数为。

新乡市2018届高三年级第一次模拟测试数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x｜－x≤0}，B＝{x｜a－1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a＝A．0 B．1 C．2 D．1或22．设复数z满足iz＝｜2＋i｜＋2i，则｜z｜＝A．3 B． C． 9 D．103．点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为A．—2B．—C．—D．—4．“a＞1”是“（a∈R）的展开式中的常数项大于1”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为A． B． C． D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，则该几何体的体积为A．8－2π B．8－πC．8－π D．8＋2π7．若＝＝＝1，则a，b，c的大小关系是A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为A．20B．25C．30D．759．设k∈R，函数f（x）＝sin（kx＋）＋k的图象为下面两个图中的一个，则函数f（x）的图象的对称轴方程为A．x＝＋（k∈Z） B．x＝kx＋（k∈Z）C．x＝－（k∈Z） D．x＝kπ－（k∈Z）10．抛物线M：＝4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2．24）A． B． C． D．11．在三棱锥D—ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB＝CD＝AE＝2，三棱锥D—ABC与三棱锥E—ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为A．π B．6π C．π D．π12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝a cosA—c cosB＋，且b＝2，则a的最小值为A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．已知向量a，b满足｜b｜＝2｜a｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a－2b｜＝_____________．14．若2tanα＝tan420°，则tan（α＋）＝_____________．15．在一次53．5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若用简单随机抽样方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为_______________．16．若函数f（x）＝恰有3个零点，则f（a）的取值范围为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知为等差数列{}的前n项和，且a17＝33，S7＝49．（1）证明：a1，a5，a41成等比数列；（2）求数列{·}的前n项和．18．（12分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的检测程序，第一道检测、第二道检测、第三道检测通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦检测不通过就停止检测，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求检测过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入检测，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥E—ABCD中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE垂直，AB∥CD，F，G，M分别为线段BE，BC，AD的中点，AE＝CD＝1，AD＝2，AB＝3，且AE⊥AB．（1）证明：MF∥平面CDE；（2）求EG与平面CDE所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过（0，），且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，OP⊥OQ，且l与圆心为O的定圆W相切．直线：y＝－x＋n （n≠0）与圆W交于M，N两点，G（3，－3）．求△GMN的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝（x－1）（＋2）＋2（＋x＋2）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线经过曲线y＝4cos（x－1）的一个最高点；（2）证明：∈（0，1），f（x）＞x（kx＋2）＋k对x∈R恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ（0≤θ≤）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C；（2）若直线（t为参数）与曲线C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲] （10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜．（1）求不等式f（x）＋f（2x）＜f(12)的解集；（2）若x1＝3x3－x2，｜x3－2｜＞4，证明：f（x1）＋f（x2）＞12．。

河南省新乡一中2017届高三（上）第一次月考数学（理科）试卷答案2AC BD=0，连接是正方形，所以O是，BP BC λ=，0≤)-，1，(FP λ-2的法向量=n （1，0，0的法向量=n x y （，，()m FD z m FP λ⎧=--=⎪⎨=--⎪⎩20222∵二面角--B FD P π|m n =+2y k x -+=-20123又∵x y +=2200(k --=-1243∴过圆O ：x 2=14242． kk k k +-+2343≤23133431)(k k k k k k +-+⇔-+⇔22231≥334313433≥03,,...,n 12,各式相加，得(()k k =∑<----2121313131t a =-2122()t t +-2124河南省新乡一中2017届高三（上）第一次月考数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算。

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集，根据A与B的交集为空集，分两种情况考虑：B为空集与B不为空集，求出满足题意a的范围即可。

【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤4，即A=（﹣1，4]，由B中不等式解得：2a＜x＜a2+1，即B=（2a，a2+1），∵A∩B=∅，∴分两种情况考虑：当B=∅时，2a=a2+1，即a=1；当B≠∅时，则有2a≥4或a2+1≤﹣1，即a≥2，综上，实数a的范围为{1}∪[2，+∞）。

故选：C．2．【考点】任意角的三角函数的定义。

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值。

【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．3．【考点】平面向量坐标表示的应用。

【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ，使=λ+μ成立。

2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|≤0}，B={y|y=}，则A∩（C R B）等于（）A．[﹣3，5] B．（﹣3，1）C．（﹣3，1] D．（﹣3，+∞）2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．C．D．3．已知命题p：不等式ax2+ax+1＞0的解集为全体实数，则实数a∈（0，4）；命题q：“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（）A．p∧q B．p∧（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）4．函数y=log a（x﹣3）+2过定点P，且角α的终边过点P，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．C．4 D．55．已知数列{a n}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．2015 C．2016 D．20136．若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为m，n，且ma+nb=1（a＞0，b＞0），则+的最小值为（）A．6+2B．4C．9D．207．已知﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，则函数y=lg（x2+2ax+b）的定义域为全体实数R的概率为（）A．B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（）A． B． C． D．9．已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，则向量2+3在向量2+方向上的投影为（）A．B．C．D．10．设函数y=x3+x2+x+1在点M（1，4）处的切线为l，双曲线﹣=1的两条渐近线与l围成的封闭图形的区域为P（包括边界），点A为区域P内的任一点，已知B（4，5），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．B．3 C．2 D．11．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．412．已知椭圆的方程为+y2=1（a＞1），上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则△PAB的最大值为+1．若已知M（﹣，0），N（，0），点Q为椭圆上任意一点，则+的最小值为（）A．2 B．C．3 D．3+2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某村有2500人，其中青少年1000人，中年人900人，老年人600人，为了调查本村居民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取36人，从青年人和老年人中抽取的个体数分别为a，b，则直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为．14．运行如图所示的程序框图，输出的A的值为．15．已知X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=，则在（+）n的展开式中，有理项共有项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=3，S n+1=4S n﹣3S n﹣1（n≥2），若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，b为常数）的一段图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在y轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{a n}，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项为a1，试求数列{}的前n项和S n．18．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试确定受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中选3人在主会场服务，记3人中成绩在90分以上的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F2到直线x+y+5=0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与椭圆C交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过椭圆C的左焦点F1时，求以A1A2为直径的圆的标准方程．21．已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（1）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+5x﹣5=0，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，若x0是函数f（x）的零点，且x0∈（n，n+1），n∈N*，求n的值；（3）当a=1时，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且x0=，求证：f'（x）＞0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，BP与⊙O交于C点，AP的中点为D．（1）求证：四点O，A，D，C共圆；（2）求证：AC•AP=PC•AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线 C与曲线C'的极坐标的方程；（2）若过点A（2，）（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，试求|AM|•|AN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≥2的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，a，b均为正实数，a+b=m，求a2+b2的最小值．2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|≤0}，B={y|y=}，则A∩（C R B）等于（）A．[﹣3，5] B．（﹣3，1）C．（﹣3，1] D．（﹣3，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出y的值域确定B，求出B的补集，即可求出答案．【解答】解：由≤0即为（x﹣5）（x+3）≤0，且x+3≠0，解得﹣3＜x≤5，∴A=（﹣3，5]，∵y=，∴y＞1，∴B=（1，+∞），∴C R B=（﹣∞，1]，∴A∩（C R B）=（﹣3，1]，故选：C2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解共轭复数的虚部．【解答】解：复数z===，复数z的共轭复数，它的虚部为：．故选：D．3．已知命题p：不等式ax2+ax+1＞0的解集为全体实数，则实数a∈（0，4）；命题q：“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（）A．p∧q B．p∧（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：a=0时，不等式ax2+ax+1＞0化为1＞0，满足条件．a≠0时，不等式ax2+ax+1＞0的解集为全体实数，可得，解得a范围，进而判断出结论．定义命题q：由x2﹣3x＞0解得x＞3或x＜0，即可判断出关系．【解答】解：命题p：a=0时，不等式ax2+ax+1＞0化为1＞0，满足条件．a≠0时，不等式ax2+ax+1＞0的解集为全体实数，∴，解得0＜a＜4．则实数a∈[0，4），因此是假命题．命题q：由x2﹣3x＞0解得x＞3或x＜0．∴“x2﹣3x＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，是真命题．由以上可得：（￢p）∧q是真命题．故选：C．4．函数y=log a（x﹣3）+2过定点P，且角α的终边过点P，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．C．4 D．5【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα==，cosα==，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．5．已知数列{a n}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．2015 C．2016 D．2013【考点】数列的求和．【分析】利用向量共线定理可得：a3+a2013=1，再利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出．【解答】解：∵=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，∴a3+a2013=1，∴a1+a2015=a3+a2013=1，∴S2015==．故选：A．6．若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为m，n，且ma+nb=1（a＞0，b＞0），则+的最小值为（）A．6+2B．4C．9D．20【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】分别求出m，n的值，得到5m+5n=1，根据级别不等式的性质求出+的最小值即可．【解答】解：数据2，4，6，8的中位数是5，方差是（9+1+1+9）=5，∴m=5，n=5，∴ma+nb=5a+5b=1（a＞0，b＞0），∴（+）（5a+5b）=5（2++）≥20，故选：D．7．已知﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，则函数y=lg（x2+2ax+b）的定义域为全体实数R的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题是几何概型的概率，由于有两个变量，利用变量对应的区域面积比求概率即可．【解答】解：由题意，a，b满足的区域为边长是2的正方形，面积为4，而满足函数y=lg （x2+2ax+b）的定义域为全体实数R的a，b范围是使x2+2ax+b取得所有正数，所以△=4a2﹣4b≥0即b≤a2，在正方形内满足此范围的图形如图，面积为=，所以由几何概型的公式得到所求概率为；故选A．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，进而可得体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，∵侧视图的面积S==8，棱柱的高为5，切去的两个棱锥高均为1，故组合体的体积V=5×8﹣2××8×1=，故选：C．9．已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，则向量2+3在向量2+方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用求模运算得到|2+3|，向量|2+|进而得到向量向量2+3与向量2+的夹角余弦，根据投影定义可得答案．【解答】解：向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，所以|2+3|2=42+12•+92=16+12||||cos120°+81=61，|2+3|=．又|2+|2=4+4+=16+4×3×2cos120°+9=13，所以|2+|=，则cos＜2+3，2+＞===，所以向量2+3在向量2+方向上的投影为|2+3|cos＜2+3，2+＞==，故选：A．10．设函数y=x3+x2+x+1在点M（1，4）处的切线为l，双曲线﹣=1的两条渐近线与l围成的封闭图形的区域为P（包括边界），点A为区域P内的任一点，已知B（4，5），O 为坐标原点，则•的最大值为（）A．B．3 C．2 D．【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用导数的几何意义求出切线方程和双曲线的渐近线，作出对应的封闭区域，利用向量数量积的定义求出向量数量积的表达式，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2+2x+1，则函数在点M（1，4）处的切线向量为k=f′（1）=3+2+1=6，则对应的切线方程为y﹣4=6（x﹣1），即y=6x﹣2，双曲线的渐近线方程为y=±x，则对应的封闭区域为，设A（x，y），则•=4x+5y，设z=4x+5y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点A时，直线y=截距最大，此时z最大．由得，即A（，），此时z=4x+5y=4×+5×=，故选：D11．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．4【考点】正弦定理．【分析】设CA=b，则BC=b，利用余弦定理可求得cos2A=+﹣1，再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=2bsinA，继而可求S△ABC2=48﹣（b2﹣16）2，从而可得△ABC面积的最大值．【解答】解：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．∵S△ABC=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∴S2△ABC=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴S max=4．故选：D．12．已知椭圆的方程为+y2=1（a＞1），上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则△PAB的最大值为+1．若已知M（﹣，0），N（，0），点Q为椭圆上任意一点，则+的最小值为（）A．2 B．C．3 D．3+2【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用直线与椭圆相切的性质，可得b，再利用点到直线的距离公式、三角形面积计算公式可得a，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：依题意，k AB=，∴设切线为．∴，化为2x2+2abx+a2b2﹣a2=0，∵△=0，∴4a2b2﹣8（a2b2﹣a2）=0，解得b2=2．∴b=﹣，∵y=x+1，y=x﹣，∴d==，∵|AB|=，S=•d•|AB|=+1，∴a=2，∴|QM|+|QN|=2a=4．∴=（）•（|QM|+|QN|）=1++，根据基本不等式，原式≥1+=，当且仅当|QM|=2|QN|取等．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某村有2500人，其中青少年1000人，中年人900人，老年人600人，为了调查本村居民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取36人，从青年人和老年人中抽取的个体数分别为a，b，则直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离．【解答】解：由题意，，∴a=40，b=24，∴直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0上的点到原点的最短距离为=．故答案为：．14．运行如图所示的程序框图，输出的A的值为 2 ．【考点】程序框图．【分析】读懂程序框图的功能，依次写出i≤7成立时，A，i的值，当i=8，i≤7不成立，输出A的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A=，i=1，满足条件i≤7，执行循环体，A=2，i=2，满足条件i≤7，执行循环体，A=﹣1，i=3，满足条件i≤7，执行循环体，A=，i=4，满足条件i≤7，执行循环体，A=2，i=5，满足条件i≤7，执行循环体，A=﹣1，i=6，满足条件i≤7，执行循环体，A=，i=7，满足条件i≤7，执行循环体，A=2，i=8，不满足条件i≤7，退出循环，输出A的值为2．故答案为：2．15．已知X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=，则在（+）n的展开式中，有理项共有 5 项．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=，可得np=6，np（1﹣p）=，解得n=24．则在的展开式中，利用其通项公式即可得出结论．【解答】解：∵X～B（n，p），且E（X）=6，D（X）=，∴np=6，np（1﹣p）=，解得n=24．则在的展开式中，通项公式T r+1==，r=0，1，2， (24)当且仅当r=0，6，12，18，24时，T r+1为有理项．因此有理项共有5项，故答案为：5．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=3，S n+1=4S n﹣3S n﹣1（n≥2），若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【考点】数列递推式．【分析】a1=1，a2=3，S n+1=4S n﹣3S n﹣1（n≥2），可得S n+1﹣S n=3（S n﹣S n﹣1），因此a n+1=3a n，n=1时也成立．利用等比数列的通项公式可得a n=3n﹣1， =，因此数列是等比数列．利用等比数列的求和公式可得：2（++…+）．由对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，可得3≤x2+tx+1，即x2+tx﹣2≥0，令f（t）=xt+x2﹣2，利用一次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a1=1，a2=3，S n+1=4S n﹣3S n﹣1（n≥2），∴a1=1，a2=3，S n+1﹣S n=3（S n﹣S n﹣1），∴a n+1=3a n，n=1时也成立．∴数列{a n}是公比为3的等比数列，首项为1．∴a n=3n﹣1．∴=，因此数列是首项为1，公比为的等比数列．2（++…+）=2×=3﹣．∵对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式2（++…+）＜x2+tx+1恒成立，∴3≤x2+tx+1，化为x2+tx﹣2≥0，令f（t）=xt+x2﹣2，则，解得x≥2或x≤﹣2，∴实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，b为常数）的一段图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在y轴右侧的极小值点的横坐标组成数列{a n}，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项为a1，试求数列{}的前n项和S n．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；数列的求和；正弦函数的图象．【分析】（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ，b的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出函数的最小值即函数的极小值，求出数列{a n}的通项公式，利用裂项法进行求解即可．【解答】解：（1）由图象知函数的最大值为5，最小值为﹣1，即，得A=3，b=2，==，则函数的周期T=π，即得ω=2，即f（x）=3sin（2x+φ）+2，∵f（）=3sin（2×+φ）+2=5，即sin（+φ）=1，则+φ=+2kπ，得φ=2kπ+，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=，则f（x）=3sin（2x+）+2；（2）由3sin（2x+）+2=﹣1，得sin（2x+）=﹣1，即2x+=+2kπ，即x=+kπ，即函数f（x）的极小值点为x=+kπ，则右侧的第一个极小值为a1=，a2=+π，则数列{a n}是一个公差d=π的等差数列，则a n=+nπ=，则=（﹣）•，则数列{}的前n项和S n=•（﹣+﹣+…+﹣）=•（﹣）=•（﹣）．18．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试确定受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中选3人在主会场服务，记3人中成绩在90分以上的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出受奖励分数线在80～90之间，设受奖励分数线为x，则（90﹣x）×0.02+0.012×10=0.20，由此能求出受奖励分数线．（2）受奖励的20人中，分数在86～90的人数为8，分数在90～100的人数为12，从受奖励的20人中选3人在主会场服务，3人中成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在90～100分的人数为0.012×10×100=12，竞赛成绩在80～90的人数为0.02×10×100=20，故受奖励分数线在80～90之间，设受奖励分数线为x，则（90﹣x）×0.02+0.012×10=0.20，解得x=86，故受奖励分数线为86…（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在86～90的人数为8，分数在90～100的人数为12，故从受奖励的20人中选3人在主会场服务，3人中成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，…故，故ξ的分布列为ξ0 1 2 3P……19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过K作KM⊥BD，交BD于M，则AF⊥平面ABCD，从而AF⊥BD，四边形FAMK为平行四边形，进而AM∥平面BEF，由此求出M为BD的一个三等分点（靠近点B）．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】解：（1）取BE的三等分点K（靠近点B），则有，过K作KM⊥BD，交BD于M，∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∴AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，∴FA∥KM，且FA=KM，∴四边形FAMK为平行四边形，∴AM∥FK，∵AM⊄平面BEF，FK⊂平面BEF，∴AM∥平面BEF，∵，∴M为BD的一个三等分点（靠近点B）．…（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（3，3，0），E（0，0，6），C（0，3，0），=（3，3，﹣6），=（0，3，0），=（﹣3，3，0），设平面AEB的法向量为=（x1，y1，z1），由，得，取z1=1，得=（2，0，1）…平面BCE的法向量为=（x2，y2，z2），由，即，得=（1，1，1），设二面角A﹣BE﹣C的平面角为θ，二面角A﹣BE﹣C为钝二面角，∴cosθ=﹣=﹣=﹣．∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为﹣．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F2到直线x+y+5=0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与椭圆C交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过椭圆C的左焦点F1时，求以A1A2为直径的圆的标准方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，计算可得c=1，a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（2）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），不满足条件；当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|的长，可得所求圆的半径，运用中点坐标公式可得圆心，进而得到所求圆的方程．【解答】解：（1）由题意可得e==，右焦点F2（c，0）到直线x+y+5=0的距离为3，可得=3，解得c=1，即有a=2，b==，可得椭圆的方程为+=1；（2）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），此时•≠0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件；当直线l不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1），由，即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以•=0，又F1（﹣1，0），所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0，代入韦达定理，解得k2=，由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则x3+x4==2+，x3x4=1，所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=，即有|A1A2|=，A1A2的中点为（1+，），即为（，±），可得以A1A2为直径的圆的标准方程为（x﹣）2+（y+）2=，或（x﹣）2+（y﹣）2=．21．已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（1）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+5x﹣5=0，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，若x0是函数f（x）的零点，且x0∈（n，n+1），n∈N*，求n的值；（3）当a=1时，函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），且x0=，求证：f'（x）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，计算函数值，求出n的值即可；（3）将a=1代入f（x），通过作差法和换元法结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（1），所以，∴函数f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x﹣6lnx（x＞0）；…（2），因为函数f（x）的定义域为x＞0，令，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，且函数f（x）至少有1个零点，而f（1）=0，不符合要求，，∴x0∈（3，4），故n=3…（3）当a=1时，函数f（x）=x2+bx﹣lnx，，两式相减可得：…，因为，所以，设，∴，所以h（t）在（1，+∞）上为增函数，且h（1）=0，∴h（t）＞0，又，所以f'（x0）＞0…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，BP与⊙O交于C点，AP的中点为D．（1）求证：四点O，A，D，C共圆；（2）求证：AC•AP=PC•AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OC，OD，证明∠BAD+∠OCD=180°，可得四点O，A，D，C共圆；（2）利用△ABP～△CBA及切割线的定理可证明：AC•AP=PC•AB．【解答】证明：（1）连接OC，OD，∵AB为⊙O的直径，可得∠BCA=90°，在△ACP中，，∴∠DCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，可知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DCA=90°，即∠BAD+∠OCD=180°，∴四点O，A，D，C是共圆的…（2）∵△ABP～△CBA，∴，又因为PA为圆O的切线，由切割线的定理可知AP2=PC•PB，即，代入可得…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线 C与曲线C'的极坐标的方程；（2）若过点A（2，）（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，试求|AM|•|AN|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得普通方程．由坐标变换得到，代入上述方程可得曲线C′．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得：曲线 C与曲线C'的极坐标的方程．（2）点A（2，）化为直角坐标为（2，2），直线l的参数方程为，代入椭圆方程得到关于t的一元二次方程，利用|AM|•|AN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1可得普通方程： +=1．由坐标变换得到，代入上述方程可得曲线C′：（x′）2+（y′）2=1．曲线C与曲线C'的极坐标的方程分别为：．（2）点A（2，）的直角坐标为（2，2），直线l的参数方程为，代入，可得，∴．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≥2的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，a，b均为正实数，a+b=m，求a2+b2的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）先去掉绝对值，化简函数的解析式，分类讨论求得f（x）≥2的解集．（2）根据函数的解析式求得函数f（x）的最小值，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，由；由；由，∴不等式f（x）≥2的解集为．（2）由函数f（x）的定义域为R，根据函数的解析式可知，当时，函数f（x）的最小值为，故有，可得，当且仅当a=b时，取等号，所以a2+b2的最小值为．。

2017-2018学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°2．复数z=的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．144．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．5．设集合M={x|x＜2016}，N={x|y=lg（x﹣x2）}，则下列关系中正确的是（）A．N∈M B．M∪N=R C．M∩N={x|0＜x＜1}D．M∩N=∅6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个：①②③④其中，真是（）A．①④B．②③C．①③D．②④10．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．11．已知，则二项式的展开式中x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．80 D．﹣8012．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（9，25） B．（13，49）C．（3，7）D．（9，49）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=．14．已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是．三、解答题（本大题共5小题，70分）17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱BC，AD的中点．（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．（Ⅱ）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条（Ⅰ）求1、2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】直线的倾斜角．【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．【解答】解：由题意，直线的斜率为：k=，即直线倾斜角的正切值是，又倾斜角α∈[0°，180°），且tan60，故直线的倾斜角为：60°，故选：B．2．复数z=的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则即可得到结论．【解答】解：z===，则复数z=的共轭复数是﹣1﹣i，故选：A3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理可求得sinA ，结合题意可求得角A ．【解答】解：∵在△ABC 中，2asinB=b ，∴由正弦定理==2R 得：2sinAsinB=sinB ，∴sinA=，又△ABC 为锐角三角形，∴A=．故选D ．5．设集合M={x |x ＜2016}，N={x |y=lg （x ﹣x 2）}，则下列关系中正确的是（ ） A ．N ∈M B ．M ∪N=R C ．M ∩N={x |0＜x ＜1} D ．M ∩N=∅ 【考点】交集及其运算．【分析】求出N 中x 的范围确定出N ，求出M 与N 的交集、并集，即可作出判断． 【解答】解：由N 中y=lg （x ﹣x 2），得到x ﹣x 2＞0，即x 2﹣x ＜0， 分解因式得：x （x ﹣1）＜0，解得：0＜x ＜1，即N={x |0＜x ＜1}， ∵M={x |x ＜2016}，∴M ∩N={x |0＜x ＜1}，M ∪N={x |x ＜2016}， 故选：C ．6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵向量，满足，与的夹角为60°，∴=1， •=1当m=1时， ==﹣•=0故当时，﹣m •=1﹣m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要条件故选C7．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率【解答】解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又，即sin φ＜0，0＜φ＜2π当k=1时，此时φ=，满足条件故选C ．9．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个：①②③④其中，真是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③D ．②④【考点】的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可． 【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确 对于②面BD ⊥面D 1C ，A 1B 1∥面BD ，此时A 1B 1∥面D 1C ，不正确 对应③∵m ∥β∴β内有一直线与m 平行，而m ⊥α， 根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确 对应④m 有可能在平面α内，故不正确， 故选C10．已知sin （α+）+sin α=﹣，﹣＜α＜0，则cos （α+）等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．11．已知，则二项式的展开式中x的系数为（）A．10 B．﹣10 C．80 D．﹣80【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】利用定积分的意义可求得a，再利用二项展开式的通项公式即可求得二项式的展开式中x的系数．【解答】解：∵a=2（cos（x+））dx=2sin（x+）=2（﹣﹣）=﹣2，∴=，设其二项展开式的通项公式T r+1=（﹣2）r••（x2）5﹣r•x﹣r=（﹣2）r••x10﹣3r，令10﹣3r=1得：r=3．∴T r+1=（﹣2）3×x=﹣8×10x=﹣80x，∴二项式的展开式中x的系数为﹣80．故选D．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（9，25） B．（13，49）C．（3，7）D．（9，49）【考点】函数恒成立问题．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，即可求．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则d=表示区域内的点和原点的距离．由图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}的公比，前n项和为S n，则=15．【考点】等比数列的性质．【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．【解答】解：对于，∴14．已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为6．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，利用平面区域的面积为4求出a=2．然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+y中，求出2x+y的最大值【解答】解：满足约束条件的平面区域如图所以平面区域的面积S=•a•2a=4⇒a=2，此时A（2，2），B（2，﹣2）由图得当z=2x+y过点A（2，2）时，z=2x+y取最大值6．故答案为6．15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，]．【考点】程序框图．【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由程序框图可知：f（x）=，∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，0＜2x≤；当x＞0时，﹣2≤log2x≤．解得x≤﹣1或≤x≤．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，]．16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是π．【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM==，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的体积V=π×23=π，故答案为：π．三、解答题（本大题共5小题，70分）17．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，数列{a n}的前n项和S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；（Ⅱ）b n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n==n2+2n．（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+==．18．为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M1，“B申请甲套住房”为事件M2．由事件A和B 是独立事件，能求出A，B两人都申请甲套住房的概率．（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．（Ⅲ）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．法二：依题意得，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M1，“B申请甲套住房”为事件M2那么A，B两人都申请甲套住房的概率所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为…（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，所以A，B两人不选择同一套住房的概率是…（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，那么；；；；ξ0 1 2 3所以…（方法二）依题意得所以ξ的分布列为，k=0，1，2，3．0 1 2 3…所以…19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F 分别为棱BC，AD的中点．（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．（Ⅱ）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出线段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的a的值，再求出四棱锥的体积．【解答】证明：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形∴DF∥BE且DF=BE∴DFBE为平行四边形∴DE∥BF∴∠PBF是PB与DE的所成角△PBF中，BF=，PF=，，PB=3，∴cos∠PBF=，∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为；解：（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，可得如下点的坐标：P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）则有：=（1，0，﹣a），=（1，2，0）因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）设平面PFB的一个法向量为=（x，y，z），则可得，令x=1，得z=，y=﹣，所以=（1，﹣，）由已知，二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，所以得=，解得a=2．因为PD是四棱锥P﹣ABCD的高，=×2×4=．所以其体积为V P﹣ABCD20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条（Ⅰ）求1、2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x，设C1：，把点（﹣2，0）（）代入得：，由此能够求出C1方程．（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l 的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x设C1：，把点（﹣2，0）（）代入得：解得∴C1方程为（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）由消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，于是，①y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]即②由，即，得x1x2+y1y2=0（*），将①、②代入（*）式，得，解得k=±2；所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（2）根据（1）中函数的单调性k＞0时，讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣kx，x∈R，得f'（x）=e x﹣k，①当k≤0时，则f'（x）=e x﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；②当k＞0时，由f'（x）=e x﹣k＞0，得到x＞lnk，由f'（x）=e x﹣k＜0，得到x＜lnk，所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）；综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．（2）当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk），当k＞0时，令f'（x）=e x﹣k=0，得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk 时取得极小值，即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，则，解得k∈（e，]；（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，则f（4）＜0或，解得k∈（，+∞）或k=e；（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，解得k∈（0，e）．综上所述，当k∈（e，]时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当k∈（，+∞）∪（﹣∞，0）或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC，∴BE平分∠ABC；…（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中点，∴AE=EC=6，又∠EBC=∠CAD=∠ADC，∴ED=BD=8…∵A、B、C、E四点共圆，∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴，∴EF==…[选修4-4:坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消参数得到C1的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C2的普通方程；（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，求出圆心距，即可求出公共弦长．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程围为（x﹣1）2+y2=4，曲线C2的直角坐标方程x2+y2﹣4y=0，（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，且点C1（1，0）到直线2x﹣4y+3=0的距离为=，所以公共弦的长度为2=．[选修4-5：不等式选讲]24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…2016年8月9日。

2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={0，1，2}，若P∩（∁z Q）=∅，则集合Q可以为（）A．{x|x=2a，a∈P}B．{x|x=2a，a∈P}C．{x|x=a﹣1，a∈N} D．{x|x=a2，a∈N}2．已知i为虚数单位，是z的共轭复数，若（+i）（1﹣i）=1+3i，则|z|=（）A．2 B．C．1 D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=，=21，则a8=（）A．32 B．32或﹣32 C．64 D．64或﹣644．将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（）A．B．C．D．5．已知点P是椭圆+y2=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=|PF|，则满足条件的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．06．若tan2α=﹣，α∈（﹣，），则sinα+cosα等于（）A．﹣ B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出的结果是（）□A．9 B．8 C．7 D．68．已知函数f（x）=2cos（ωx+ω）+1在（0，）上是减函数，则ω的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．69．设A为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点M，点M关于原点的对称点为N，若双曲线的离心率为，则∠M A N=（）A．120°B．135°C．150°D．105°10．已知点P（x，y）为平面区域内的一个动点，z=|x+y|，若对满足条件的任意点P都有z≤3，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]C．[0，3]D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）11．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．π C．6πD．π12．已知函数f（x）=，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣1，0] D．[﹣1，0）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx+的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为_______．14．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是_______．15．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx=_______．16．已知S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，a1=0，a2=2，2S n+1=•，若T n=，则b n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=．（1）若b=2，△ABC的面积为3，求a的值；（2）若2c2﹣2a2=b2，求证：2sin（C﹣）=sinB．18．某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对这一商品20天的销量情况进行了统计，结果如下表所示：售价（单位：元）23 21 20日销量（单位：个）10 15 20频数 4 14 2已知此商品的进价为每个15元．（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人，请计算该大学生能否被评为创业先进个人？19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=．平面ASD⊥平面SDC．（1）求证：SD⊥AC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的余弦值．20．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作圆C：x2+y2﹣8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y﹣11=0．（1）求实数a的值；（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（1）求实数b的值；（2）当x＞0时，有+f（e x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1题，共10分）22．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过A 点的圆的切线交C E的延长线于P，若PE=CF=1，P A=2．（1）求A E的长；（2）求证：点F是BD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x），其中a≥0．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x0，使得f（x0）=1，求实数a的取值范围．2016年河南省新乡市名校学术联盟高考数学押题卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P={0，1，2}，若P∩（∁z Q）=∅，则集合Q可以为（）A．{x|x=2a，a∈P}B．{x|x=2a，a∈P}C．{x|x=a﹣1，a∈N} D．{x|x=a2，a∈N}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先根据P={0，1，2}，分别求出A，B，C，D中的集合的元素，根据P∩（∁z Q）=∅，可判断答案．【解答】解：选项A={0，2，4}，选项B={1，2，4}，选项C={﹣1，0，1，2，…}，选项D={0，1，4，9，…}，因为P∩（∁z Q）=∅，所以P⊊Q，故集合Q可以为C，故选：C．2．已知i为虚数单位，是z的共轭复数，若（+i）（1﹣i）=1+3i，则|z|=（）A．2 B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知等式变形，得到，然后代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：由（+i）（1﹣i）=1+3i，得，∴．故选：B．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=，=21，则a8=（）A．32 B．32或﹣32 C．64 D．64或﹣64【考点】等比数列的前n项和．【分析】对公比q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：当q=1时，，显然不成立；当q≠1时，由，得，解得q2=4或q2=﹣5（舍去），∴．故选：A．4．将4名同学随机分成两组参加数学、英语竞赛，每组2人，则甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设其他两名同学为丙和丁，4人分组参赛分组的情况共有6种，甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的情况占2种，由此能求出甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率．【解答】解：设其他两名同学为丙和丁，4人分组参赛的所有情况如下表：竞赛 1 2 3 4 5 6数学甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁英语丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙分组的情况共有6种，甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的情况占2种，所以甲参加数学竞赛且乙参加英语竞赛的概率是．故选：A．5．已知点P是椭圆+y2=1上任一点，F为椭圆的右焦点，Q（3，0），且|PQ|=|PF|，则满足条件的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x，y），又F（2，0），由，得2（x﹣2）2+2y2=（x﹣3）2+y2，化简与椭圆方程联立解出即可判断出结论．【解答】解：设P（x，y），又F（2，0），由，得2（x﹣2）2+2y2=（x﹣3）2+y2，即x2+y2﹣2x﹣1=0，由，化为：2x2﹣5x=0，解得x=0，x=（舍去）．∴，或，交点为（0，±1）．因此满足条件的点P的个数为2．故选：C．6．若tan2α=﹣，α∈（﹣，），则sinα+cosα等于（）A．﹣B．C．D．【考点】半角的三角函数．【分析】根据二倍角公式与同角的三角函数关系式，结合题意即可求出结果．【解答】解：∵，∴，即，∴；又由题意知，且，∴，∴；∴，结合得，．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出的结果是（）□A．9 B．8 C．7 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S，i的值，当n=36，S=64时不满足判断框内的条件S≤n，退出循环，输出i的结果为7．【解答】解：模拟执行程序，可得：第一次循环：n=4，S=2，i=2；第二次循环：n=4，S=4，i=3；第三次循环：n=16，S=8，i=4；第四次循环：n=16，S=16，i=5；第五次循环：n=36，S=32，i=6；第六次循环：n=36，S=64，i=7．此时不满足判断框内的条件S≤n，退出循环，则输出i的结果为7．故选：C．8．已知函数f（x）=2cos（ωx+ω）+1在（0，）上是减函数，则ω的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】余弦函数的图象．【分析】求出f（x）的减区间I，令（0，）⊂I，解得ω的范围，由ω得范围非空求出k的最大值，代入ω得范围得出ω的最大值．【解答】解：令2kπ≤ωx+ω≤2kπ+π，解得﹣≤x≤+﹣，令（0，）⊂[﹣， +﹣]，得﹣≤0且+﹣≥，解得8k≤ω≤．∴8k≤，解得k≤1．∴当k=1时，8≤ω≤8．即ω=8．故选C．9．设A为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，直线x=a与双曲线的一条渐近线交于点M，点M关于原点的对称点为N，若双曲线的离心率为，则∠M A N=（）A．120°B．135°C．150°D．105°【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立方程求出交点M的坐标，结合双曲线的离心率建立方程进行求解即可．【解答】解：不妨设直线x=a与渐近线交于点M，将x=a代入渐近线得M（a，b），则N（﹣a，﹣b）．由得3c2=7a2，由c2=a2+b2得3b2=4a2，又∵A（﹣a，0），∴，∴∠M A N=120°．故选：A10．已知点P（x，y）为平面区域内的一个动点，z=|x+y|，若对满足条件的任意点P都有z≤3，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]C．[0，3]D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域令u=x+y，分别讨论k的取值范围，结合目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：令u=x+y，则y=﹣x+u．当﹣1≤k＜2时（如图1），将y=2x与y=kx+1的交点，代入y=﹣x+u得，即k≤1，所以﹣1≤k≤1；当k＜﹣1时（如图2），z max=u max=1，满足题意；当k≥2时（如图3），区域为不封闭区域，不存在最大值．故k的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B11．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．π C．6πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，求出球的半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：取A B，CD的中点分别为E，O，连接EO，AO，BO，由题意知AO=BO=．又，所以AO⊥BO，EO=，易知三棱锥外接球的球心G在线段EO上，有R2=AE2+GE2，R2=CO2+GO2，∴R2=（）2+GE2，R2=12+（﹣GE）2，求得，所以其表面积为．故选：D．12．已知函数f（x）=，若函数f（x）在定义域上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．[0，+∞）C．[﹣1，0] D．[﹣1，0）【考点】函数零点的判定定理；函数的图象．【分析】问题转化为y=﹣t2﹣4t和的交点问题，结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：令x+1=t，则，在同一坐标系内作出y=﹣t2﹣4t和的图象，如图示：，显然若函数f（x）在定义域上有三个零点，有a+1∈[0，1），即a∈[﹣1，0），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=lnx+的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），令x=2，求出f′（2），得出f（x），求出f（1），斜率f'（1），利用点斜式方程求出切线方程．【解答】解：，所以，所以，即．f′（x）=﹣，又f（1）=1，斜率为f'（1）=0，所以切线方程为y=1．故答案为：y=1．14．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为1的正方形，俯视图由两个边长为1的正方形组成，则此几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体的前边挨着一个横放的三棱柱（如图），故几何体的体积为：．故答案为：．15．若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx=．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由二项式系数的性质求得m，代入（x2﹣2x）dx，写出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．【解答】解：由=．令12﹣3r=0，得r=4．∴m==3．则（x2﹣2x）dx===．故答案为：．16．已知S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，a1=0，a2=2，2S n+1=•，若T n=，则b n=2n﹣1．【考点】数列递推式．=，由【分析】解法一：当n=1时，b1=T1=；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1，代入值n=1，2，3，猜想即可得出．解法二：由和得，代入可得：，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：解法一：当n=1时，；=，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1由，代入值n=1，2，3，…，得出S3=6，a3=4；S4=12，a4=6；S5=20，a5=8．猜想S n=n（n﹣1），a n=2n﹣2，从而b n=2n﹣1．解法二：由和得，即，代入得：，即，由a1=0，a2=2得T1=1，T2=4，∴是以1为首项，1为公差的等差数列．即，，∴{b n}为等差数列，易解得b n=2n﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=．（1）若b=2，△ABC的面积为3，求a的值；（2）若2c2﹣2a2=b2，求证：2sin（C﹣）=sinB．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据面积公式计算c，再利用余弦定理计算a．（2）利用正弦定理将边化角，使用和差化积公式化简即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵S△ABC=bcsinA==3，∴c=6．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+36﹣12=28．∴a==2．（2）∵2c2﹣2a2=b2，∴2（c+a）（c﹣a）=b2，∴2（sinC+sinA）（sinC﹣sinA）=sin2B．∴2×2sin cos×2cos sin=sin2B．即2sin（A+C）sin（C﹣A）=sin2B．∵sin（A+C）=sinB≠0，∴2sin（C﹣A）=sinB，即2sin（C﹣）=sinB．18．某大学生利用自己课余时间开了一间网店，为了了解店里某商品的盈利情况，该学生对这一商品20天的销量情况进行了统计，结果如下表所示：售价（单位：元）23 21 20日销量（单位：个）10 15 20频数 4 14 2已知此商品的进价为每个15元．（1）根据上表数据，求这20天的日平均利润；（2）若ξ表示销售该商品两天的利润和（单位：元），求ξ的分布列；（3）若销售该商品两天的利润和的期望值不低于178元，则可被评为创业先进个人，请计算该大学生能否被评为创业先进个人？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知这20天的日平均利润为=89；（2）由题意知，ξ的取值有160，170，180，190，200；从而分别求概率即可；（3）求数学期望E（ξ）=160×+170×+180×+190×+200×=178即可．【解答】解：（1）由题意知，这20天的日平均利润为=89；故这20天的日平均利润为89元；（2）由题意知，ξ的取值有160，170，180，190，200；P（ξ=160）==，P（ξ=170）=，P（ξ=180）=，P（ξ=190）=，P（ξ=200）=，故ξ的分布列为：ξ160 170 180 190 200P（3）E（ξ）=160×+170×+180×+190×+200×=178；故该大学生可以被评为创业先进个人．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=．平面ASD⊥平面SDC．（1）求证：SD⊥AC；（2）求二面角S﹣AB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取SD的中点O，连接OA，OC，证明SD⊥平面OAC，即可证明SD⊥AC；（2）求出S△ASB==1，S△ABD==，即可求二面角S﹣AB﹣D的余弦值【解答】（1）证明：取SD的中点O，连接OA，OC，则∵SC=DC=AS=AD=，∴AO⊥SD，CO⊥SD，∵AO∩CO=O，∴SD⊥平面OAC，∵AC⊂平面OAC，∴SD⊥AC；（2）解：连接BD，与AC交于E，连接SE，则∵SD=2，SC=DC=AS=AD=，∴AO=OC=1，∵AO⊥SD，平面ASD⊥平面SDC，平面ASD∩平面SDC=SD，∴AO⊥面SDC，∵CO⊂面SDC，∴AO⊥CO，∴AC=，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴cos∠DES==，∴SB==2，∴SA⊥SB，∴S△ASB==1，∵S△ABD==．∴二面角S﹣AB﹣D的余弦值为=．20．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作圆C：x2+y2﹣8y+15=0的切线，切点分别为M、N，已知直线MN：3y﹣11=0．（1）求实数a的值；（2）直线l经过点F，且与抛物线交于点A、B，若以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，圆C的圆心与半径，利用射影定理，建立方程，即可求实数a的值；（2）根据对称性，结合以AB为直径的圆与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F（0，），圆C：x2+y2﹣8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，C到直线MN：3y﹣11=0的距离为，∴由射影定理可，12=，∴a=；（2）抛物线的标准方程为x2=4y，焦点F（0，1），y=1时，x=±2，∵圆C：x2+y2﹣8y+15=0的圆心（0，4），半径为1，∴以（0，1）为圆心，2为半径的圆与圆C相切，∴直线l的方程为y=1．21．已知函数f（x）=的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（1）求实数b的值；（2）当x＞0时，有+f（e x）≥a+1成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到x（x+2b）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所求出b=0即可；（2）求出函数的导数，问题转化为（1+ax）（1﹣e﹣x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵，∴，所以的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），即x（x+2b）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以b=0．（2）由（1）知，又，则，由x＞0时，1﹣e﹣x＞0，故a≥0．所以，即（1+ax）（1﹣e﹣x）≤x，设h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x，（x＞0）则h'（x）=e﹣x（1+ax﹣a）+a﹣1=e﹣x[1+ax﹣a+（a﹣1）e x]（x＞0）．设g（x）=1+ax﹣a+（a﹣1）e x，（x＞0）则g'（x）=a+（a﹣1）e x，g'（0）=2a﹣1当2a﹣1≤0时，即时，g''（x）=（a﹣1）e x＜0，所以g'（x）=a+（a﹣1）e x单调递减，g'（x）=a+（a﹣1）e x＜g'（0）≤0，故g（x）单调递减，g（x）＜g（0）=0，所以h'（x）＜0恒成立，h（x）=（1+ax）（1﹣e﹣x）﹣x在（0，+∞）上单调递减，h（x）＜h（0）=0符合题意．当2a﹣1＞0时，即时，存在x0＞0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上单调递增，h（x）＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾．所以实数a的取值范围是．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]（共1题，共10分）22．如图，A、B、C、D、E在圆周上，且A B∥C E，A E∥BD，BD交C E于点F，过A 点的圆的切线交C E的延长线于P，若PE=CF=1，P A=2．（1）求A E的长；（2）求证：点F是BD的中点．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）利用△PAE∽△EB A，及切割线定理求AE的长；（2）利用相交弦定理证明BF=FD，即可证明点F是BD的中点．【解答】（1）解：∵PA2=PC•P E，PA=2，PE=1，∴PC=4，又∵P E=CF=1，∴EF=2，∵∠PA E=∠EB A，∠PE A=∠EA B，∴△PAE∽△EB A，∴，∴AE2=P E•A B=2，∴．（2）证明：∵，EF=2，而EF•FC=BF•FD，∴，∴BF=FD，∴点F是BD的中点．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），利用cos2α+sin2α=1化为直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ=0，可得极坐标方程（）．直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），消去参数t可得直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化公式即可化为极坐标方程．（2）将ρ=4sinθ（）代入ρcosθ﹣ρsinθ+a=0可得：，令，如图作出（）和y=2﹣a的图象，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），化为直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ（），直线l的参数方程为（t为参数，a为常数），消去参数t可得：y=a+x，化为极坐标方程：ρcosθ﹣ρsinθ+a=0．（2）将ρ=4sinθ（）代入ρcosθ﹣ρsinθ+a=0得：4sinθcosθ﹣4sinθsinθ+a=0，即，令，∵，则．如图作出（）和y=2﹣a的图象，由直线l与曲线C有且只有一个公共点，得或﹣2≤2﹣a＜2，即或0＜a≤4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x），其中a≥0．（1）若a=0，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x0，使得f（x0）=1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，即可求f（x）的最小值；（2）求出f（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，当且仅当1≤x≤3时f（x）取得最小值2．（2）设g（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，h（x）=a（x2﹣2x），则h（x）=a（x﹣1）2﹣a，即当x=1时，h（x）取得最小值﹣a，由（1）知当1≤x≤3时，g（x）取最小值2，所以f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+a（x2﹣2x）≥2﹣a（当x=1时取等号），所以1≥2﹣a，解得a≥1．2016年9月8日。