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湘教版九年级数学上册课件第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

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初中数学湘教版九上2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件

初中数学湘教版九上2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件

3.利用配方 构成非负式 的和的形式
对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的 值，可考虑配方成多个完全平方式的和为0，再根 据非负式的和为0，各式均为0，进而求解. 如：a2 ＋b2－4b＋4=0，即 a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2.
例5.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
二次项系数化为 1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
即
x
3 4
2
x2
1. 16
3 2
x
3 4
2
1 2
2
3 4
2
2 ，
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1，
化为 1 这两个步骤
44
∴ x1
1，x2
1. 2
能不能交换呢?
(2) 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4， 为什么方程两
3 2
2
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 2
10
.
练一练 1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，
则 m 的值为（ C ）
A. 1
B.1
∴ x 2，y 3，z 2 .
∴ xyz 232 62 36.
4.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建
同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要
使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？

湘教版九年级数学上册第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

湘教版九年级数学上册第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
新课探究
由于方程25x2+50x - 11 =0 的二次项系数不为1
，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两
边同除以25，将二次项系数化为1，得
配方，得 因此
x2 2x 11 0. 25
x2 2x 12 12 11 0， 25
x 1 2 36 . 25
由此得 解得
x 1 6 或x 1 6，
配方，得
x2 + 2 x-1 0
3
x2
+
2 3
x
1 3
2
1 3
2
-1
0
因此
x+
1 3
2
10 9
由此得
x+ 1 10 或x+ 1 10
33
33
解得
x1
10 3
-1
，x2
10 1 3
(3) 4x2-x -9=0;
解：将二次项系数化为1，得
配方，得
x2- 1 x- 9 0
44
x2
=0.4 x2 2x 2.5 0.4 x2 2x 12 12 2.5
0.4 x 12 1.4
【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以 二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方 根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
(1) 2x2=3x - 1;
解：将二次项系数化为1，得
配方，得
x2 3 x+ 1 0

湘教版数学九年级上册课件：第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

湘教版数学九年级上册课件：第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
配方，得
x2+2x+12-12-11 =0，
25
因此
（x+1）2= 36 .
25
由此得
x+1= 6 或 x+1= 6，
5
5
解得
x1=0.2，x2=-2.2.
说一说
对于实际问题中的方程 25x2 +50x-11=0而言，x2=-2.2 是否符合题意？
答：x2=-2.2不合题意，因为年平均增长率不可能为 负数，应当舍去 . 而x1=0.2符合题意，因此年平均增长 率为20%.
解：将二次项系数化为1，得
x2 + 2 x-1=0. 3
配方，得
x+
1 3
2
=
10 9
.
解得x1 =
10 3
-
1 3
，x
2
=-
10 - 1 . 33
2. 2x2 + x-6 = 0；
解：将二次项系数化为1，得
x2 + 1 x-3=0. 2
配方，得
x+
1 2
2
=
49 16
.
解得x1
=
3 4
2
2
议一议
解方程：-2x2+4x-8=0.
将上述方程的二次项系数化为1，得x2-2x+4=0. 将其配方，得x2-2x+12-12+4=0，即（x-1）2=-3.
因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负 数.因此，（x-1）2=-3不成立，即原方程无实数根.
本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：

九年级数学上册2.2.1配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程作业课件湘教版

九年级数学上册2.2.1配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程作业课件湘教版
C．方程两边都加上196 D．方程两边都除以 2
3．(易错题)用配方法解方程 2x2－43 x－2＝0，应把它先变形为( D )
A．(x－23 )2＝89
B．(x－23 )2＝0
C．(x－13 )2＝89
D．(x－13 )2＝190
4．用配方法解方程 3x2－6＝－9x，正确的解法是( A )
A．(x＋32
13．(1)用配方法证明：无论 x 取何实数，代数式 2x2－8x＋18 的值 不小于 10； 证明：2x2－8x＋18＝2(x2－4x＋9)＝2[(x－2)2＋5]＝2(x－2)2＋10≥10， 所以 2x2－8x＋18 的值不小于 10
(2)设A＝2x2－4x－1，B＝x2－2x－4，试比较A与B的大小. 解：A－B＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴A>B
(2)2x2－7x＋6＝0； 解：x1＝2，x2＝32
(3)3x2＋8x－3＝0； 解：x1＝13 ，x2＝－3
2 (4)3
x2＋13
x－2＝0；
解：x1＝32 ，x2＝－2
(5)0.4y2＋0.8y－1＝0；
解：y1＝
14－2 2
－ ，y2＝
14－2 2
(6)3x2－4 3 x＋4＝0.
解：x1＝x2＝2 3 3
)2＝147
，x＝－32
±
17 2
B．(x－32
)2＝147
，x＝32
±
17 2
C．(x＋32 )2＝－147 ，原方程无解
D．(x＋32
)2＝343
，x＝－32
±
33 2
5．把方程 2x2－4x－1＝0 化为(x＋m)2＝32 的形
式，则 m 的值是( B ) A．2 B．－1 C．1

2.第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件数学湘教版九年级上册

2.第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件数学湘教版九年级上册
因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1，
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
例4 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 a 2 6a + b 2 8b + c 5 + 25 = 0.
试判断△ABC 的形状.
解：将原式配方，得 a 3
2
b 4
2
c 5
0，
由非负式的性质可知
a 3
2
0， b 4
D .(x﹣2)2=9
2.[广西中考] 一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是
(
B
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
)
3.[怀化中考] 已知一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数
根,则k的值为
A.4
( C )
B.-4
C.±4
D.±2
4.[永州中考] 若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,
把上面式子写成(x + n)2 +d 的情势，
其中n等于一次项系数的一半，
然后在求两个一元一次方程的解.
.

+



−


+
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋” 中的方程②呢？
25x2+ 50x - 11 = 0.
这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为1， 那就好办了.我们可以
直接将左边化为(x + n)2的情势.
(2)当a 取满足条件的最小整数值时,求方程的解.
解：(1)根据题意得Δ=(-4)2-4(3-a)>0,

湘教版九上数学教学课件 第2章一元二次方程 配方法 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

湘教版九上数学教学课件 第2章一元二次方程 配方法 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

随堂练习
3.用配方法解下列方程:3x2-1=2x.
解 移项，得
3x2-2x=1.
二次项系数化为1，得
x2-
2 3
x=
1 3
.
配方，得
x2-
2 3
x+（
1 3
）2=
1 3
+（
1 3
）2.
（x-
1 3
）2
=
4 9
.
由此可得
x－
1 3
=
±
2 3
,
x1= 1，x2=-
1 3
.
随堂练习 4.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
,
（ x－
3 4
）2= 1 16
,
课程讲授
1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
例 解方程3x2-6x+4=0. 解 移项，得
3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得
x2-2x=-
4 3
.
配方，得
x2-2x+12=-
4 3
+12 .
（x-1）2=-
4 3
+1.
（x-1）2=-
1 3
.
因为实数的平方不会是 负数，所以x取任何实数 时，上式都不成立，所以 原方程无实数根．
解：对原式配方，得
1 a b2 a c2b c2 0,
2
由代数式的性质可知
a b2 0, a c2 0, b c2 0,
a b c,
所以，△ABC为等边三角形.
课堂小结
解二次项系数不为 1的一元二次方程
1.移项 2.化二次项系数为1 3.配平方 4.开平方（降次） 5.解一次方程

九年级数学上册第2章 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程作业课件新版湘教版

九年级数学上册第2章 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程作业课件新版湘教版

9．(12分)解下列方程． (1)3x2－4x＋1＝0； 解：x1＝1，x2＝13 ； (2)2x2＋1＝3x；
解：x1＝1，x2＝21 ；
(3)－2x2－7x＋4＝0; 解：x1＝－4，x2＝12 ； (4)3x2－15x＝－20. 解：方程无实数解．
10．用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为
2．(5 分)下面是用配方法解方程 2x2－x－6＝0 的步骤，其中，开始
出现错误的一步是( C )
2x2－x＝6，①
x2－12 x＝3，②
x2－12 x＋41 ＝3＋14 ，③
(x－21 )2＝314 .④ A．① B．②
C．③
D．④
3．(2 分)用配方法解方程 3x2－6x＋1＝0，方程可变形为( D )
14．若方程 ax2－4x＋c＝0(a≠0)经过配方得到： 2(x－b)2＝5，则 a＝__2__，b＝__1__，c＝_－__3_．
15．当 x＝_3__或__12____时，整式 2x2－5x 与－2x＋3 的值互为相反数．
16．(16分)用配方法解下列方程． (1)6x2－x－12＝0；
解：x1＝23 ，x2＝－34 ；
解：设共有 x 只猴子，由题意列方程得(18 x)2＋12＝x，解得 x1＝16， x2＝48.故这群猴子的总数为 16 只或 48 只．
D．x＋32
2
＝74
，x＝－23
±
7 2
5．(3 分)用配方法解一元二次方程 2x2＋4x－3＝0，其根为( B )
A．x＝1±
10 2
B．x＝－1±
10 2
C．x＝12
±
10 2
D．x＝－12

湘教版九年级数学上册课件2.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

湘教版九年级数学上册课件2.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

3．(3 分)用配方法解方程 2x2－3＝－6x，正确的解法是( A )
A.x＋322＝145，x＝－32±
15 2
B.x－322＝145，x＝32±
15 2
C.x＋322＝－145，原方程无解
D.x＋322＝74，x＝－32±
7 2
4．(3 分)用配方法解一元二次方程 2x2＋4x－3＝0，其根为
0(a≠0)，此方程可变形为( A ) A.x＋2ba2＝b2－4a4ac B.x＋2ba2＝4ac4－a b2 C.x－2ba2＝b2－4a4ac D.x－2ba2＝4ac4－a b2
12．用配方法可以求得无论x取任何实数时，代数式－2x2－
4x＋1的值是( B ) A．总不小于3
B．总不大于3
解：设共有 x 只猴子，由题意列方程得(18x)2＋12＝x，解 得 x1＝16，x2＝48.故这群猴子的总数为 16 只或 48 只．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时35分2秒00:35:0222.4.13
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程，若二次项系数不为1，则方 程两边应同时除以__二__次___项__系__数_____，将方程二次项系数 化为1. 2．用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将二次项系 数化为__1__；(2)将常数项移到方程的__右__边____；(3)方程两 边都加上__一__次__项__系__数___一半的平方；(4)化成(mx＋n)2＝p 的形式，用____开___平__方_____法求解．

2.2.2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件(共17张PPT)

2.2.2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件(共17张PPT)

B.总不小于9
C.总不小于-9
D.为任意实数
变式：试用配方法说明：无论k取何实数，多项式k²-4k+5的
值必定大于零.
解:k²-4k+5=k²-4k+4+1=(k-2)²+1.
因为(k-2)²≥0,所以(k-2)²+1≥1.
所以无论k取何实数，多项式k²-4k+5的值必定大于零.
)
二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤：
③写成(x+m)²=n(n≥0)的形式；
④直接开平方法解方程）
小组讨论 （4min）
用配方法证明：无论x为何实数，代数式2x²-6x+9的值恒大于0.
1.思考若证明一个代数式的值恒大于0，需把代数式整理成什么形式？
一个完全平方式与一个正数的和的形式
2.小组讨论完成本题的解答过程.
证明：


自主探究 （10min）
（2）观察方程2x²+2x=5，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有
什么想法？ （这个方程不是一般形式且它的二次项系数不为
1，只要把方程中的二次项系数化为1 即可）
（3）如何解方程2x²+2x=5，你能写出它的解答过程吗？

解：方程两边同时除以2，得 + =

得 +
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②将常数项移到方程的右边，方程两边同时除以二次项的系数，使二次
项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

九年级数学上册2.2一元二次方程的解法2.2.1第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件湘教版

九年级数学上册2.2一元二次方程的解法2.2.1第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程课件湘教版
6．用配方法将－3x2－2x＋1 化成 a(x＋h)2＋k 的形式为 －3x＋132＋43 .
7．用配方法解下列方程： (1)[2018 春·南岗区校级月考]3x2－6x＋2＝0； (2)2x2－ 2x＋1＝0.
解：(1)方程两边同时除以 3，得 x2－2x＋23＝0，
配方，得 x2－2x＋1－1＋23＝0，
即(x－1)2＝13，
∴x－1＝± 33，
∴x1＝1＋
33，x2＝1－
3 3.
(2)方程两边同时除以 2，得 x2－ 22x＋12＝0， 配方，得 x2－ 22x＋ 422－ 422＋12＝0， 即x－ 422＝－12＋18＝－38<0， 故原方程无实数解．
A.x＋2ba2＝b2－4a42 ac C.x－2b－a2 b2 D．x－2ba2＝4a4c－a2 b2
4．二次三项式 9x2＋kx＋4 是完全平方式，则 k＝ ±12 .
5．[2018·金牛区校级模拟]一元二次方程12x2－x－3＝0 的解为 __x_1＝___1_＋___7_，__x_2_＝__1_－___7__.
利用平方根的意义，得 x－112＝1172或 x－112＝－1172， ∴x1＝32，x2＝－43；
(2)原方程两边同时除以 3，得 x2－53x－23＝0， 配方，得 x2－53x＋562－562－23＝0， 即x－562＝4396，∴x－56＝±76. ∴x1＝－13，x2＝2. 【点悟】 用配方法解一元二次方程时．若二次项系数不是 1，要在方程两边 同时除以二次项系数；在配方时，方程左边加上一次项系数一半的平方，还要减 去这个数．
类型之二 二次三项式的配方 请用配方法将二次三项式－3x2－6x＋1 化成 a(x＋h)2＋k(a≠0)的形
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解：将二次项系数化为1，得
x2 + 2 x-1=0. 3
配方，得

x1
.
解得x1 =
10 3
-
1 3
，x 2
=-
10 - 1 . 33
2. 2x2 + x-6 = 0；
解：将二次项系数化为1，得
x2 + 1 x-3=0. 2
配方，得

x+
1 2
2
=
49 16
.
解得x1
=
3 4
，x
2
=-
9 4
.
3. 2x2 +6=7x；
解：将二次项系数化为1，得
x2 - 7 x+3=0. 2
配方，得

x-
7 4
2
=
1 16
.
解得x1
=-
3 2
，x
2
=
2.
4. -3x2+22x-24=0.
解：将二次项系数化为1，得
x2 - 22 x+8=0. 3
配方，得

2
2
议一议
解方程：-2x2+4x-8=0.
将上述方程的二次项系数化为1，得x2-2x+4=0. 将其配方，得x2-2x+12-12+4=0，即（x-1）2=-3.
因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负 数.因此，（x-1）2=-3不成立，即原方程无实数根.
本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：
配方，得
x2+2x+12-12-11 =0，
25
因此
（x+1）2= 36 .
25
由此得
x+1= 6 或 x+1= 6，
5
5
解得
x1=0.2，x2=-2.2.
说一说
对于实际问题中的方程 25x2 +50x-11=0而言，x2=-2.2 是否符合题意？
答：x2=-2.2不合题意，因为年平均增长率不可能为 负数，应当舍去 . 而x1=0.2符合题意，因此年平均增长 率为20%.
2.2.1 配方法
• 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
动脑筋
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋”中的方程：25x2 +50x-11=0 呢 ？
由于方程的二次项系数不为1，为了便于配方，我们可
以根据等式的性质，在方程的两边同除以25，将二次项系
数化为1，得
x2+2x- 11 =0. 25
x-
22 6
2
=
196 36
.
解得x1
=
4 3
，x
2
=6.
例题讲解
例 用配方法解方程：4x2-12x-1=0.
解 将二次项系数化为1，得
x2-3x- 1 =0.
4
配方，得
x2-3x+（3）2 （3）2 1 =0， 2 24
因此
（x- 3 ）2= 10 .
24
由此得
x 3 10 或 x 3 10，
22
22
解得
x1= 3 10 ，x2= 3 10 .
1.化1：把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)； 2.移项：把常数项移到方程的右边； 3.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.开方：根据平方根意义,方程两边开平方； 5.求解：解一元一次方程； 6.定解：写出原方程的解.
心动 不如行动
用配方法解下列方程：
成功者是你吗
1. 3x2 + 2x-3 = 0；