微积分第4周习题课 数列 实数

举例
例如，对于函数$y = x^2$，其微分为$dy = 2xDelta x$；对于函数$y = sin x$，其微分为$dy = cos xDelta x$。
复合函数、隐函数求导法则
复合函数求导法则
如果函数$u = g(x)$在点$x$可导，并且函数$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，那么复合函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或 $frac{d}{dx}f[g(x)] = f'(u)g'(x)$。
两种方法的比较与
选择
根据被积函数的特点选择合适的 积分方法。
有理函数和三角函数积分举例
有理函数的积分
通过部分分式分解将有理函数转化为简单分式的和， 再分别求不定积分。
三角函数的积分
掌握三角函数的基本积分公式，能够处理包含三角函 数的不定积分。
举例分析
通过具体例子展示有理函数和三角函数积分的求解过 程。
通过求解不等式或利用已知函数的收敛域来确定幂级数的 收敛域。
函数项级数一致收敛性判别法
一致收敛性的定义
给出函数项级数一致收敛的定义及性质。
判别法
魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿 贝尔判别法等，用于判断函数项级数的一致
收敛性。
无穷乘积与无穷级数关系探讨
无穷乘积的定义及性质
给出无穷乘积的定义及基本性质。
泰勒级数
如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有无穷阶导 数，且其泰勒公式的余项$R_n(x)$在$n to infty$时趋于零，则称$f(x)$在点$x_0$处可 展成泰勒级数，即 $f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0) }{n!}(x-x_0)^n$。

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

实数与数列的收敛性证明与应用1. 实数与数列的基本概念实数是由有理数和无理数组成的数集。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数是无法用有理数的比值表示的数，例如根号2和π。

数列是由无穷多个实数按一定顺序排列而成的序列。

数列可以通过一个函数或公式来定义，其中每个元素被称为数列的项。

数列常用符号表示为{an}，其中n为自然数，an表示第n项。

2. 数列的收敛性数列的收敛性指的是当数列的项无限接近某个实数时，该数列被称为收敛。

如果数列的项不断接近无穷大或无穷小，则称为发散。

2.1 收敛数列的定义给定一个实数L，如果对于任意给定的正数ε，存在某个正整数N，对于所有n>N，都有|an - L| < ε成立，其中|an - L|表示第n项与L的差的绝对值，那么数列{an}收敛于L。

2.2 无穷收敛与极限如果数列{an}的项随着n趋于无穷大时，数列逼近于一个实数L，那么L称为数列{an}的极限，表示为lim(n→∞)an = L。

如果数列不收敛，则称为发散。

3. 数列收敛性的证明方法证明一个数列的收敛性通常可以采用以下方法：3.1 用数列的通项公式进行证明通过数列的通项公式，根据定义中的ε-δ语言，利用代数运算和不等式关系来证明数列的收敛性。

例如，证明数列{1/n}收敛于0：对于任意给定的正数ε，当n > 1/ε时，有1/n < ε。

根据以上不等式关系，可以证明数列满足收敛的定义。

3.2 使用数列的性质和定理进行推导利用数列一致有界性、单调性、夹逼定理等性质和定理来推导数列的收敛性。

例如，证明数列{(-1)^n/n}收敛于0：数列的性质：对于任意的n，有|(-1)^n/n| < 1/n。

使用夹逼定理：当n > 1时，有0 ≤ |(-1)^n/n| ≤ 1/n。

根据夹逼定理可以得知数列的极限为0，因此数列收敛于0。

4. 数列收敛性的应用数列收敛性在数学和实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：4.1 极限计算通过数列的收敛性，可以计算复杂函数的极限。

第四章 定积分[A 组 基础巩固]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30等于( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|30＝12.又{a n }为等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20. ∴S 30＝3(S 20－S 10)＝3×(17－12)＝15. 答案：A2．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|10 ＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3. 答案：A3．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e 1xd x 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定解析：m ＝e x |10＝e －1，n ＝ln x |e 1＝1，∴m >n .答案：A4.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B.223 C.233D.253解析：⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233，故选C. 答案：C5．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．即无最大值也无最小值解析：F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B6.⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝10，则k ＝________.解析：⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )|20＝10，则k ＝1.答案：17．若a a-⎰x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________.解析：a a-⎰x 2d x ＝x 33|a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3. 答案：38．求下列定积分．(1)20π⎰sin 2x2d x ； (2)3ππ⎰cos(x －π6)d x .解析：(1)2π⎰sin 2x 2d x ＝20π⎰1－cos x 2d x ＝122π⎰d x －1220π⎰cos x d x ，因为x ′＝1，(sin x )′＝cos x ，所以原式＝12x |20π－12sin x 20π＝π－24. (2)法一：因为cos(x －π6)＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝32cos x ＋12sin x ，又因为(sin x )′＝cos x ，(－cos x )′＝sin x ，所以3ππ⎰cos(x －π6)d x＝3ππ⎰ (32cos x ＋12sin x )d x ＝(32sin x －12cos x )3ππ＝0. 法二：∵[sin(x －π6)]′＝cos(x －π6)，∴3ππ⎰cos(x －π6)d x ＝sin(x －π6)3ππ＝sin 56π－sin π6＝0.9．已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． 解析：f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )|x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[B 组 能力提升]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，2x ，x <0，则11-⎰f (x )d x 的值是( )A.11-⎰x 2d xB.11-⎰2x d xC.01-⎰x 2d x ＋⎠⎛012x d xD.01-⎰2x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：11-⎰f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛0－12x d x .答案：D2．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 等于( )A.56 B.12 C.23D.16解析：f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 答案：A3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________.解析：因为⎠⎛01f (x )d x 是常数，所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)， 所以x 2＋c ＝x 2＋2⎝⎛⎭⎫13x 3＋cx |10， 解得c ＝－23，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋c )d x ＝13x 3－23x | 10＝(13－23)－0＝－13. 答案：－134．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝________.(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．解析：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)， 所以f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)． 当φ＝π6时，f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 又该函数过点P ⎝⎛⎭⎫0，332，故332＝ωcos π6.所以ω＝3.(2)设A (x 0,0)，不妨取ωx 0＋φ＝π2，所以x 0＝π2ω－φω.又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω， 所以|AC |＝πω，C ⎝⎛⎭⎫π2ω－φω＋πω，0. 依题意曲线段与x 轴围成的面积为S ＝22cos()d x x πϕπωωωπϕωωωωϕ-+--⎰＋＝2.因为|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝π2.所以满足条件的概率为π4.答案：(1)3 (2)π45．物体在力F (x )＝2 016x ＋1(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝1处运动到x ＝2处(单位：m)，求力F 所做的功．解析：W ＝⎠⎛12(2 016x ＋1)d x ＝(1 008x 2＋x )|21＝3 025(J)．即力F 所做的功是3 025 J.6．计算⎠⎛04|x －a |d x ，a ∈R.解析：当a <0时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(x －a )d x ＝(12x 2－ax )|40＝8－4a ； 当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛0a|x －a |d x ＋⎠⎛a4|x －a |d x ＝⎠⎛0a (a －x )d x ＋⎠⎛a4(x －a )d x＝(ax －12x 2)|a 0＋(12x 2－ax )|4a＝a 2－12a 2＋8－4a －12a 2＋a 2＝a 2－4a ＋8；当a ≥4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝⎠⎛04(a －x )d x ＝(ax －12x 2)|4＝4a －8. 综上所得：当a <0时，⎠⎛04|x －a |d x ＝8－4a ；当0≤a <4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝a 2－4a ＋8；当a ≥4时，⎠⎛04|x －a |d x ＝4a －8.。

一、填空题1．=--→x x x e e x 0lim 212．=--→14arctan lim1x x x π21 3．=-→221)1(ln lim x xx 14．21xxy +=的单调区间是 增区间)1,1(-；减区间),1(),1,(+∞--∞ 5．函数xx y 82+=（0>x ）的单调增加的区间是 ),2(∞+6．一质点作直线运动，其运动规律为t t t t S +-=246)(，则它速度开始增加的时刻为=t 1=t7．函数)0(542<-=x xx y 的最小值是 12 8．函数x x y 2⋅=的极小值点为 2ln 1-9．曲线16623-+=x x y 的拐点坐标是 )0,2(-10．函数xxx y ln +=的渐近线有 0=x 或x y =二、单项选择题1．如果函数b x ax y +-=sin 在),(+∞-∞上严格单调递增，则b a ,应满足 D A .1≥a 且0<b B .1>a 且0>b C .1<a 且0<b D .1>a 且b 为任意实数2．下列各命题中，正确的是 B A .若)(x f y =在0x x =处有0)("0=x f ，则),(00y x 一定是曲线)(x f y =的拐点 B .若可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则0)('0=x fC .若)(x f y =在0x x =处有0)('0=x f ，则)(x f 在0x x =处一定取得极值D .极大值就是最大值3．已知函数bx ax x x f ++=23)(在点1=x 处取得极值2-，则 B A .0,3=-=b a 且点1=x 为函数)(x f 的极小值点 B .3,0-==b a 且点1=x 为函数)(x f 的极小值点 C .0,3=-=b a 且点1=x 为函数)(x f 的极大值点 D .3,0-==b a 且点1=x 为函数)(x f 的极大值点4．函数)(x f y =的导数)(''x f y =的图像如图所示，则下列结论正确的是 D A .在)1,(--∞内，曲线)(x f y =是凸的 B .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是凸的 C .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是直线 D .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是凹的5．设函数)(x f 满足x x f x f =+2)]('[)("，且0)0('=f ，则 CA .)0(f 是)(x f 的极大值B .)0(f 是)(x f 的极小值C .))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点D .)0(f 不是)(x f 的极大值，))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点三、求下列极限1．1cos )1(lim 0--→x e x x x （=－2） 2．xxe e x x x cos 13lim 20----→（=3）3．1tan 1tan 1lim 0---+→x x e xx [解] 1tan 12sec tan 12sec lim 1tan 1tan 1lim 220000=---+---+→→=x x x x exx x x e x x 4．2)ln(lim nxm be a x x +++∞→（0,0>>n b ） （n 1=）5．2201)21(lim x x x x -+→ （=4） 6．x x x x x ln 1lim 1-→ （=1）7．)1ln(sin 2tan tan lim 2--→x x x （2sec 2=） 8．||ln 1lim 21x x x --→ （=2）9．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x 1cos 1lim 2（21=） 10．)233(lim 112-+-∞→x x x x （2)3(ln =）11．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→2201sin 1lim x x x （31=） 12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+→)21ln(3sin )21ln(3lim 220x x x x x （49=） 13．x x x +→0lim （=1） 14．xxx e x 1)(lim ++∞→ （=2e ） 15．)21ln(3lim x x x++∞→（3e ）四、应用题1．求x x y ln 22-=的单调区间。

微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

0
0
0
0
（ ） 对应的积分域 是一个圆心 4
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
D
2
在(1,0) ，半径为1的圆（如图），所以
D 1
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
2
∫ ∫ ． =
2
rdr
0
arccos r 2
cosθ
+
∂f
(x, ∂y
y)
sin θ
=
1[x r
∂f
(x, ∂x
y)
+
y
∂f
(x, ∂y
y)]
所以 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dδ
x
∂f
(x, ∂x
y) x2
+ +
y ∂f y2
(x, ∂y
y)
dxdy
=
2π dθ
0
1
r
∂f ∂r
⋅ rdr
=
δ r2
2π dθ
0
1 ∂f δ ∂r dr
∫ ∫ =
2π
π
2 −π
dθ
2
1 1+ cos θ
[1 −
r(1 +
cosθ
)]rdr
=
2
0
9
5．（函数平均值的概念，交换积分次序）求函数 f (x) = ∫xsint2dt 在区间[0,1]的平均值． 1
解：函数 f (x) = ∫ xsint2dt 在区间[0,1] 的平均值为 1

1. 0ln lim ln sin x x x+→=______.1 2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的导函数有_____个零点.43. 曲线1x y e =的渐近线是______.0,1x y ==4.已知某商品的边际成本为4600x -,则使成本最小的产量x =_____.1505. 下列极限中,不能使用罗必塔法则的是( ). (A) 111lim x x x -→ (B)201sin lim sin x x x x→(C) lim x lim ln x x a x x a→+∞-+ 6. 设()y f x =满足方程sin 0x y y e '''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值(C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少7. 计算10(1)lim xx x e x →+-.2e - 8. 设函数()x f x xe =，则()()n f x 在点x =_____处取得极小值.(1)n -+9. 若()()f x f x -=-，在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>，则()f x 在(,0)-∞内( ).(A) ()0,()0f x f x '''<< (B) ()0,()0f x f x '''<>(C) ()0,()0f x f x '''>< (D) 不定10. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x a x a f x g x →→==，且()lim ()x a f x A g x →=，则( ). (A)必有()lim ()x a f x B g x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim ()x a f x B g x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim ()x af x Bg x →'='存在，则A B =(D) 如果()lim ()x a f x B g x →'='存在，不一定有A B = 11. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( ).(A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点(D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定12.曲线y =(A) 无渐近线 (B) 有水平渐近线(C) 仅有一条斜渐近线 (D) 有两条斜渐近线13. 若2()()lim 3()x a f x f a x a →-=--，则在点x a =处 ( ). (A) ()f x 的导数存在，且()0f a '≠(B) ()f x 的导数不存在(C) ()f x 取得极大值(D) ()f x 取得极小值14. 求110(1)lim xx x x e →⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.12e - 15. 设函数()x f 在()δδ+-1,1存在导数，()x f '严格单调减少，且()()111='=f f ，则（ ）.A. 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f <B. 在()1,1δ-和()δ+1,1内均有()x x f >C. 在()1,1δ-内()x x f <，在()δ+1,1内()x x f >D. 在()1,1δ-内()x x f >，在()δ+1,1内()x x f <16.设函数)(x f 二阶可导,且处处满足方程0)(2))((3)(2=+'+''x f e x f x f x.若0x 是该函数的一个驻点且)(0x f <0,则)(x f 在点0xA. 取极大值B. 取极小值C. 不取极值D. 不确定17.求使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在x =3π处取得极值,是极大值还是极小值,并求出此极值. a=2 极大值3 18.设⎩⎨⎧≤+>=020)(2x x x x x f x , 求)(x f 的极值. 极大值2)0(=f 极小值e e e f 21)(--=19.函数)(x y y =是方程1222223=-+-x xy y y 确定的隐函数, 求)(x y y =的驻点,并判定此驻点是否为极值点. 驻点1=x 极小值点20.设()f x 和()g x 在[],a b 上存在二阶导数且()0g x ''≠, ()()()()0f a f b g a g b ====,在(,)a b 内()0g x ≠.证明: (,)a b 内至少存在一点ξ 使()()()()f fg g ξξξξ''=''. 21.设函数()f x 在[]1,2上有二阶导数,且(2)0f =，又2()(1)()F x x f x =-,则在()12，内至少存在一点ξ,使得()0F ξ''=. 22.试用讨论极值的方法,判断方程ln x ax =有几个实根(其中0a >).23.设()(1)n f x nx x =- (n 为自然数)，试求:(1) ()f x 在01x ≤≤上的最大值()M n .(2) 求lim ()n M n →∞. 24. 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≠.试证存在两点,ξη(,)a b ∈,使得()()b af e e e f b a ηξη-'-=⋅'-。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
p10.三.1. lim tan 3 x 3 . x0 sin 2 x 2
2.
lim x2 (1 cos 1 ) lim x2
x
x
x
1 2x2
1. 2
ln(1 sin2 x)
sin2 x
3. lim x0
x(e x 1)
lim x0
x2
1.
tan x sin x
4. lim x0
x3
| xn | M , n 1, 2, .
0,
lim
n
yn
0, N ,当n
N时,
|
yn
|
M
,从而,
当n N时,
|
xn
yn
||
xn
||
yn
|
, lim n
xn
yn
0.
p4.
4.证明: >0,由
lim
n
x2k
A, N 1 ,
当 k N1 ,即当 2k 2N1时,| x2k A | ;
同理,由
微积分课外习题参照答案
第一章 极限与连续
预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} .
2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z .
1
3.
x 1
1 e x1
x x

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。