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第2课时 数列的递推公式和前n 项和公式课后训练巩固提升1.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 5=( )A.15B.16C.31D.32解析:依题意,5≥2,故a 5=S 5-S 4=(25-1)-(24-1)=31-15=16.答案:B2.已知数列{a n }满足a n =4a n-1+3,且a 1=0,则此数列的第5项是( )A.15B.255C.20D.8解析:由题意知,a 1=0,a 2=4×0+3=3,a 3=4×3+3=15,a 4=4×15+3=63,a 5=4×63+3=255.答案:B3.(多选题)已知函数f(x)={x +12,x ≤12,2x -1,12<x <1,x -1,x ≥1,若数列{a n }满足a 1=73,a n+1=f(a n ),n ∈N *,则下列说法正确的是( ) A.该数列具有周期性且周期为3B.该数列不具有周期性C.a 4 022+a 4 023=1D.a 4 022+a 4 023=76解析:∵a 2=f (73)=73-1=43;a 3=f (43)=43-1=13;a 4=f (13)=13+12=56; a 5=f (56)=2×56-1=23;a 6=f (23)=2×23-1=13;…… ∴从a 3开始数列{a n }具有周期性且周期为3,但数列{a n }并不具有周期性,故A 错误,B 正确.而a 4022+a 4023=a 5+a 3=1,∴C 正确,D 错误.故选BC.答案:BC4.若数列{a n }满足a n+1=2a n -1,且a 8=16,则a 6= .解析:∵a n+1=2a n -1,∴a 8=2a 7-1=16,解得a 7=172. 又a 7=2a 6-1=172,解得a 6=194. 答案:194 5.已知数列{a n }满足a 1=3,a n+1-a n =2n-8(n ∈N *),则a 8= .解析:在数列{a n }中,a 1=3,a n+1-a n =2n-8(n ∈N *),则a 2=a 1+2-8=-3,a 3=a 2+4-8=-7,a 4=a 3+6-8=-9,a 5=a 4+8-8=-9,a 6=a 5+10-8=-7,a 7=a 6+12-8=-3,a 8=a 7+14-8=3.答案:36.根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n 个图中有 个点.解析:观察题图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n 个图中点的个数为(n-1)·n+1=n 2-n+1.答案:n 2-n+17.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+6n+1,求数列{a n }的通项公式.解:当n=1时,a 1=S 1=9.当n≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2+6n+1-[2(n-1)2+6(n-1)+1]=4n+4.当n=1时,a 1=9不适合上式,故a n ={9,n =1,4n +4,n ≥2.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n+4.(1)30是不是数列{a n }中的项?70呢?(2)数列中有多少项是负数?(3)当n为何值时,a n有最小值?并求出这个最小值. 解:(1)由n2-5n+4=30,得n2-5n-26=0,解得n=5±√1292.因为n∈N*,所以30不是数列{a n}中的项.由n2-5n+4=70,得n2-5n-66=0,解得n=11或n=-6(舍),故70是数列{a n}中的第11项,即a11=70.(2)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2或3.所以数列{a n}中有两项是负数.(3)因为a n=(n-52)2−94,又n∈N*,所以当n=2或n=3时,a n有最小值,最小值为a2=a3=-2.。
第四章 4.3 4.3.1 第2课时A 级——基础过关练1．(多选)设数列{a n }为等比数列,则下面四个数列中,是等比数列的是( ) A ．{a 2n }B ．{pa n }(p 为非零常数)C ．{a n ·a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1}【答案】ABCD 【解析】A 中,∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2,∴{a 2n }是等比数列；B 中, ∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n ＝q ,∴{pa n }是等比数列；C 中,∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2,∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；D 中,∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q (a n －1＋a n )a n －1＋a n＝q ,∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．2．已知等比数列{a n }中,公比q ＝12,a 3a 5a 7＝64,则a 4＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D 【解析】由a 3a 5a 7＝a 35＝64,得a 5＝4.又∵q ＝12,∴a 4＝a 5q＝8.3．(2022年广西模拟)在等比数列{a n }中,a n >0,a 1＋a 2＋…＋a 8＝4,a 1a 2…a 8＝16,则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】A 【解析】由分数的性质得1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.∵a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5,∴原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5.又∵a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4,a n >0,∴a 4a 5＝2,∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.4．(2021年驻马店期末)若数列{a n }满足1a n ＋1－3a n＝0(n ∈N *),则称{a n }为“梦想数列”,已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”,且b 1＋b 2＋b 3＝2,则b 3＋b 4＋b 5＝( )A ．18B ．16C ．32D ．36【答案】A 【解析】由1a n ＋1－3a n ＝0,得a n ＝3a n ＋1,即“梦想数列”为公比为13的等比数列．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”,则1b n ＋1＝13·1b n ,即b n ＋1＝3b n ,即数列{b n }为公比为3的等比数列．若b 1＋b 2＋b 3＝2,则b 3＋b 4＋b 5＝9(b 1＋b 2＋b 3)＝18.5．正项等比数列{a n }中,a n ＋1＜a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,则a 5a 7＝( ) A ．56 B ．65 C ．23D ．32【答案】D 【解析】因为正项等比数列{a n }中,a n ＋1＜a n ,a 2·a 8＝6,a 4＋a 6＝5,所以a 4·a 6＝6,a 4＋a 6＝5,解得a 4＝3,a 6＝2.所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.6．已知等比数列{a n }中,a 4＋a 8＝－2,则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9【答案】A 【解析】a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2.∵a 4＋a 8＝－2,∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.7．已知等比数列{a n }中,满足a 1＝1,公比q ＝－3,下列说法正确的有( )①数列{3a n ＋a n ＋1}是等比数列；②数列{a n ＋1－a n }是等差数列；③数列{a n a n ＋1}是等比数列；④数列{log 3|a n |}是等差数列．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D 【解析】等比数列{a n }中,满足a 1＝1,公比q ＝－3,3a n ＋a n ＋1＝3[(－3)n －1]＋(－3)n＝[(－1)n －1＋(－1)n]·3n＝0,∴数列{3a n ＋a n ＋1}是由0构成的常数列,不是等比数列,故①错误；a n ＋1－a n ＝(－3)n－(－3)n －1＝43·(－3)n,是等比数列,故②错误；a n a n ＋1＝(－3)n －1·(－3)n ＝(－3)2n －1,是等比数列,故③正确；log 3|a n |＝log 3|(－3)n －1|＝n －1,是等差数列,故④正确．故选D ．8．在等比数列{a n }中,a n ＞0且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 3a 7＝25,则a 3＋a 5＝________．【答案】5 【解析】在等比数列{a n }中,a n ＞0且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 3a 7＝25,即a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25,∴(a 3＋a 5)2＝25,解得a 3＋a 5＝5.9．设等比数列{a n }的各项均为正数且a 5a 6＋a 4a 7＝18,则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．【答案】10 【解析】由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18,解得a 5a 6＝9,∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.10．有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数．解：设这四个数为aq,a ,aq ,2aq －a ,则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝216①，a ＋aq ＋(2aq －a )＝36②，由①,得a 3＝216,a ＝6③,将②变形得3aq ＝36,将③代入此式得q ＝2, 所以这四个数为3,6,12,18.B 级——能力提升练11．已知等比数列{a n }的公比q ＞0且q ≠1,又a 6＜0,则( ) A ．a 5＋a 7＞a 4＋a 8 B ．a 5＋a 7＜a 4＋a 8 C ．a 5＋a 7＝a 4＋a 8 D ．|a 5＋a 7|＞|a 4＋a 8|【答案】A 【解析】∵a 6＜0,q ＞0,∴a 5,a 7,a 8,a 4都是负数,∴a 5＋a 7－a 4－a 8＝a 4(q －1)＋a 7(1－q )＝(q －1)·(a 4－a 7)．若0＜q ＜1,则q －1＜0,a 4－a 7＜0,则有a 5＋a 7－a 4－a 8＞0；若q ＞1,则q －1＞0,a 4－a 7＞0,则有a 5＋a 7－a 4－a 8＞0,∴a 5＋a 7＞a 4＋a 8.12．(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52,则下列结论正确的是( ) A ．a 2a 4＝1 B ．a 2＋a 4＝322C ．q ＝2或12D ．a 1＝2或12【答案】ABD 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝52，a 1a 5＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，a 5＝2，即2×q 4＝12或12×q 4＝2,所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q 2＝2，所以选项C 错误,选项D 正确；因为等比数列{a n }的各项均为正数,所以a 2a 4＝a 1a 5＝1,选项A 正确；a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝322,选项B 正确．故选ABD ．13．(2022年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 11＋2a 5a 9＋a 3a 13＝25,则a 1a 13的最大值是________．【答案】254【解析】由题意利用等比数列的性质知,a 1a 11＋2a 5a 9＋a 3a 13＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25,又因为a n ＞0,所以a 6＋a 8＝5,所以a 1a 13＝a 6a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 822＝254,当且仅当a6＝a 8＝52时,取等号．14．已知数列{a n },{b n }满足a 1＝1,且a n ,a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点,则a 5＝________,b 10＝________．【答案】4 64 【解析】因为a n ,a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点,所以a n ,a n＋1是方程f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个根,根据根与系数的关系,可得a n ·a n ＋1＝2n,a n ＋a n ＋1＝b n ,由a n ·a n ＋1＝2n,可得a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1,两式相除可得a n ＋2a n＝2,所以a 1,a 3,a 5,…成公比为2的等比数列,a 2,a 4,a 6,…成公比为2的等比数列．又因为由a 1＝1,得a 2＝2,所以a 5＝1×22＝4,a 10＝2×24＝32,a 11＝1×25＝32,所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.15．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升,然后添满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1,操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a.设操作n 次后溶液的浓度为a n ,则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ,∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项,q ＝1－1a为公比的等比数列,∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n,即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n. 当a ＝2时,由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<110(n ∈N *),解得n ≥4.故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.。
章末检测试卷一(第四章)［时间：120分钟分值：150分］一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列1，3，5，7，…，2n―1，则35是这个数列的第（ ）A.20项B.21项C.22项D.23项2.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4=8，S3=18，则S5等于（ ）A.34B.35C.36D.383.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（ ）A.1B.3C.6D.94.等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a1011+a1012+a1013+a1014=8，则S2024等于（ ）A.8096B.4048C.4046D.20245.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列｛a n｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为（ ）A.12 023B.22 023C.31 011D.15056.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a6+a7>0，a6+a8<0，则S n最大时n的值为（ ）A.4B.5C.6D.77.已知数列｛a n｝中的项都是整数，且满足a n+1={a n2,a n为偶数,3a n+1,a n为奇数,若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（ ）A.7B.6C.5D.48.若数列｛a n｝的前n项和为S n，b n=S nn，则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”.已知数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”且通项公式为b n=n，设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若T n<12m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A.（-1，3）B.［-1，3］C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =（n +2）·(67)n，则下列说法正确的是（ ）A.a 1是数列｛a n ｝的最小项B.a 4是数列｛a n ｝的最大项C.a 5是数列｛a n ｝的最大项D.当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列10.设d ，S n 分别为等差数列｛a n ｝的公差与前n 项和，若S 10=S 20，则下列说法中正确的是（ ）A.当n =15时，S n 取最大值B.当n =30时，S n =0C.当d >0时，a 10+a 22>0D.当d <0时，|a 10|>|a 22|11.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=3n +39n +3，则使得a n b n 为整数的正整数n的值为（ ）A.2 B.3C.4D.14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n +1=4×3n -1，则S 2 024= .13.在等差数列｛a n ｝中，前m （m 为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且a m -a 1=14，则a 100的值为 .14.已知函数f （x ）=（x +1）3+1，正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，则2 025Σk =1f （lg a k ）= . 四、解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=3a n .（1）求｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）数列｛b n ｝是等差数列，S n 为｛b n ｝的前n 项和，若b 1=a 1+a 2+a 3，b 3=a 3，求S n .（7分）16.（15分）已知等差数列｛a n ｝中，a 5-a 2=6，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）设b n =1a n a n +1，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，若S n =335，求n 的值.（9分）17.（15分）在数列｛a n ｝中，前n 项和S n =1+ka n （k ≠0，k ≠1）.（1）证明：数列｛a n ｝为等比数列；（5分）（2）求数列｛a n ｝的通项公式；（4分）（3）当k =-1时，求a 21+a 22+…+a 2n .（6分）18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分）（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分）19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n 行有n 个数，a ij 表示第i 行第j 个数，例如，a 43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m >0）.已知a 11=2，a 41=12a 32+2，a 22a 21=m .（1）求m 及a 53；（7分）（2）记T n =a 11+a 22+a 33+…+a nn ，求T n .（10分）答案精析1.D ［已知数列1，3，5，7，…，2n ―1，则该数列的通项公式为a n =2n ―1，若2n ―1=35=45，即2n -1=45，解得n =23，则35是这个数列的第23项.］2.B ［因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ，因为S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=18，则a 2=6，所以2d =a 4-a 2=2，则d =1，所以a 5=9，S 5=S 3+a 4+a 5=18+8+9=35.］3.D ［因为等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，即log 3(a 1·a 2·…·a 12)=12，所以a 1·a 2·…·a 12=312，所以(a 6a 7)6=312，所以a 6a 7=32=9.］4.B ［由等差数列的性质可得a 1 011+a 1 012+a 1 013+a 1 014=2(a 1 012+a 1 013)=8，所以a 1 012+a 1 013=4，所以S 2 024=2 024(a 1+a 2 024)2=2 024(a 1 012+a 1 013)2=4 048，故B 正确.］5.B ［由题意，知最长弦长为直径，即a 2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a 1=252―32=8，所以d =a 2 024―a 12 024―1=22 023.］6.C ［∵等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 6+a 7>0，a 6+a 8<0，∴a 6+a 8=2a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 最大时n 的值为6.］7.B ［a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数,若a 8=1，可得a 7=2，a 6=4，所以a 5=8或a 5=1.①若a 5=8，则a 4=16，a 3=32或a 3=5，当a 3=32时，a 2=64，a 1=128或a 1=21；当a 3=5时，a 2=10，a 1=20或a 1=3； ②若a 5=1，则a 4=2，a 3=4，a 2=8或a 2=1，当a 2=8时，a 1=16；当a 2=1时，a 1=2，故当a 8=1时，a 1的所有可能的取值集合M =｛2，3，16，20，21，128｝，即集合M 中含有6个元素.］8.D ［由题意，得数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，由“均值数列”的定义可得S nn =n ，所以S n =n 2，当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1，a 1=1也满足a n =2n -1，所以a n =2n -1，所以1a n a n +1=1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1―12n +1)，所以T n =12(1―13+13―15+…+12n ―1―12n +1)=12(1―12n +1)<12，又T n <12m 2-m -1对一切n ∈N *恒成立，所以12m 2-m -1≥12，整理得m 2-2m -3≥0，解得m ≤-1或m ≥3.即实数m 的取值范围为(-∞，-1］∪［3，+∞).］9.BCD ［假设第n 项为｛a n ｝的最大项，则{a n ≥a n―1,a n ≥a n +1,即{(n +2)·(67)n≥(n +1)·(67)n―1,(n +2)·(67)n≥(n +3)·(67)n +1,所以{n ≤5,n ≥4,又n ∈N *，所以n =4或n =5，故数列｛a n ｝中a 4与a 5均为最大项，且a 4=a 5=6574，故B ，C 正确；当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列，故A 错误，D 正确.］10.BC ［因为S 10=S 20，所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ，解得a 1=-292d.所以S n =-292dn +n (n ―1)2d =d 2n 2-15nd =d 2［(n -15)2-225］.对于选项A ，因为d 的正负不确定，S n 不一定有最大值，故A 错误；对于选项B ，S 30=30a 1+30×292d =30×(―292d )+15×29d =0，故B 正确；对于选项C ，a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(―292d +15d )=d >0，故C 正确；对于选项D ，a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ，a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d ，因为d <0，所以|a 10|=-112d ，|a 22|=-132d ，|a 10|<|a 22|，故D 错误.］11.ACD ［由题意可得S 2n―1T 2n―1=(2n ―1)(a 1+a 2n―1)2(2n ―1)(b 1+b 2n―1)2=(2n ―1)a n (2n ―1)b n =a n b n ，则a n b n =S 2n―1T 2n―1=3(2n ―1)+39(2n ―1)+3=3n +18n +1=3+15n +1，由于a nb n 为整数，则n +1为15的正约数，则n +1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.］12.32 024―12解析 根据题意，可得a 1+a 2=4×30=4，a 3+a 4=4×32，…，a 2 023+a 2 024=4×32 022，所以S 2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×(30+32+…+32 022)=4×1―(32)1 0121―32=32 024―12.13.101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63，∴奇数项之和为S 奇=135-63=72，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S 奇-S 偶=2a 1+(m ―1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m -1)，∴a 1+a m2=9，∵a m -a 1=14，∴a 1=2，a m =16.∵m (a 1+a m )2=135，∴m =15，∴d =a m ―a 1m ―1=1，∴a 100=a 1+99d =101.14.2 025解析 函数f (x )=(x +1)3+1的图象可看成由y =x 3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y =x 3的对称中心为(0，0)，所以f (x )=(x +1)3+1的对称中心为(-1，1)，所以f (x )+f (-2-x )=2，因为正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，所以a 1·a 2 025=a 2·a 2 024=…=a 21 013=1100，所以lg a 1+lg a 2 025=lg a 2+lg a 2 024=...=2lg a 1 013=-2，所以f (lg a 1)+f (lg a 2 025)=f (lg a 2)+f (lg a 2 024)= (2)2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 1）+f （lg a 2）+f （lg a 3）+…+f （lg a 2 025），①2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 2 025）+f （lg a 2 024）+f （lg a 2 023）+…+f （lg a 1），②则①②相加得22 025Σk =1f （lg a k ）=［f （lg a 1）+f （lg a 2 025）］+［f （lg a 2）+f （lg a 2 024）］+…+［f （lg a 2 025）+f （lg a 1）］=2 025×2，所以2 025Σk =1f （lg a k ）=2 025.15.解 (1)因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以数列｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1.(2)由(1)得，b 1=a 1+a 2+a 3=1+3+9=13，b 3=9，则b 3-b 1=2d =-4，解得d =-2，所以S n =13n +n (n ―1)2×(-2)=-n 2+14n.16.解 (1)设数列｛a n ｝的公差为d ，因为a 5-a 2=6，所以3d =6，解得d =2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1=5，所以a n =2n +3.(2)由(1)知b n =1a n a n +1=1(2n +3)(2n +5)，所以b n =12(12n +3―12n +5)，所以S n =12[(15―17)+(17―19)+…+(12n +3―12n +5)]=n5(2n +5)，由n5(2n +5)=335，得n =15.17.(1)证明 因为S n =1+ka n ，①S n -1=1+ka n -1(n ≥2)，②由①-②，得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2)，所以a n =kk ―1a n -1.当n =1时，S 1=a 1=1+ka 1，所以a 1=11―k .所以｛a n ｝是首项为11―k ，公比为kk ―1的等比数列.(2)解 因为a 1=11―k ，q =kk ―1，所以a n =11―k ·(k k ―1)n―1=-k n―1(k ―1)n .(3)解 因为在数列｛a n ｝中，a 1=11―k ，公比q =kk ―1，所以数列｛a 2n ｝是首项为(1k ―1)2，公比为(k k ―1)2的等比数列.当k =-1时，等比数列｛a 2n ｝的首项为14，公比为14，所以a 21+a 22+…+a 2n=14×[1―(14)n ]1―14=13×[1―(14)n ].18.解 (1)设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元，设除去设备引进费用，第n 年的成本为a n ，构成一等差数列，前n 年成本之和为[24n +n (n ―1)2×8]万元，所以f (n )=100n -［24n +4n (n -1)+196］=-4n 2+80n -196=-4(n ―10)2+204，n ∈N *，所以当n =10时，f (n )max =204(万元)，即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.(2)设n 年后平均盈利为g (n )万元，则g (n )=f (n )n=-4n -196n +80，n ∈N *，因为g (n )=-4(n +49n)+80，当n ∈N *时，n +49n ≥2n·49n=14，当且仅当n =49n ，即n =7时取等号，故当n =7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元.19.解 (1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2，a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m，a41=a11+(4-1)×m=3m+2，a32+2，∵a41=12(2m2+2m)+2，∴3m+2=12即m2-2m=0.又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10，∴a53=a51×22=40.(2)由(1)得a n1=a11+(n-1)×2=2n.当n≥3时，a nn=a n1·2n-1=n·2n.(*)又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8.a11=2，a22=8符合(*)式，∴a nn=n·2n.∵T n=a11+a22+a33+…+a nn，∴T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n，①2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，②由①-②得，-T n=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1-n·2n+1=2×(1―2n)1―2=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，∴T n=(n-1)·2n+1+2.。
第四章数列4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念第1课时 等比数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.等比数列{a n }中,a 1a 2=2,a 2a 4=16,则公比q 等于 ()A.2B.3C.√84D.2√43{a n }中,a 1a 2=2,a 2a 4=16,∴a 2·a4a 1·a 2=q 3=8,则公比q=2,故选A .2.(多选)(2020某某某某一中高一月考)设{a n }为等比数列,给出四个数列:①{2a n };②{a n 2};③{2a n };④{log 2|a n |},其中一定为等比数列的是() A.①B.②C.③D.④{a n }的公比为q ,则2a n2a n -1=a na n -1=q ,故{2a n }是等比数列; a n 2a n -12=(a n a n -1)2=q 2, 故{a n 2}是等比数列;取等比数列a n =(-1)n ,则{2a n }的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log 2|a n |=0,{log 2|a n |}不成等比数列.故选AB .3.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项的和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=() A.16B.8C.4D.2a 1,公比为q ,由已知得,a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,因为a 1>0且q>0,则可得q=2,又因为a 1(1+q+q 2+q 3)=15,即可解得a 1=1,则a 3=a 1q 2=4.4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=() A.-4B.-6C.-8D.-10a 4=a 1+6,a 3=a 1+4,a 1,a 3,a 4成等比数列,∴a 32=a 1·a 4,即(a 1+4)2=a 1·(a 1+6),解得a 1=-8,∴a 2=a 1+2=-6.故选B .5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n =() A .2n-1B .(32)n -1C .(23)n -1D .12n -1S n =2a n+1,得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,S n+1Sn=32.又S 1=a 1=1,所以S n =(32)n -1,故选B .6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.6个数所成等比数列的公比为q ,则5=160q 5,∴q 5=132,∴q=12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7.在数列{a n }中,已知a 1=3,且对任意正整数n 都有2a n+1-a n =0,则a n =.2a n+1-a n =0,得a n+1a n=12,所以数列{a n }是等比数列,公比为12.因为a 1=3,所以a n =3·(12)n -1.3·(12)n -18.在等比数列{a n }中,若a 1=18,q=2,则a 4与a 8的等比中项是.,得a 6=a 1q 5=18×25=4,而a 4与a 8的等比中项是±a 6,故a 4与a 8的等比中项是±4.49.已知数列{a n }是等差数列,且a 2=3,a 4+3a 5=56.若log 2b n =a n . (1)求证:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.log 2b n =a n ,得b n =2a n .因为数列{a n }是等差数列,不妨设公差为d ,则bnb n -1=2a n 2a n -1=2a n -a n -1=2d (n ≥2),2d 是与n 无关的常数,所以数列{b n }是等比数列.,得{a 1+d =3,a 1+3d +3(a 1+4d )=56,解得{S 1=-1,d =4,于是b 1=2-1=12,公比q=2d =24=16,所以数列{b n }的通项公式b n =12·16n-1.10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).由a 1=1,知a 1+1≠0,从而a n +1≠0.∴a n+1+1a n +1=2(n ∈N *). ∴数列{a n +1}是等比数列.(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴a n +1=2·2n-1=2n .即a n =2n -1.能力提升练1.若a ,b ,c 成等差数列,而a+1,b ,c 和a ,b ,c+2都分别成等比数列,则b 的值为() A.16B.15C.14D.12,得{2b =a +c ,b 2=(a +1)c ,b 2=a (c +2),解得{a =8,b =12,c =16.2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于() A.9B.10C.11D.12a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q 3·q 4=q 10=1×q 10,∴m=11.3.(多选)(2019某某滕州第一中学新校高二月考)已知数列{a n },{b n }是等比数列,那么下列一定是等比数列的是 ()A.{k ·a n }B.{1a n}C.{a n +b n }D.{a n ·b n },可设等比数列{a n }的公比为q 1(q 1≠0),则a n =a 1·q 1n -1,等比数列{b n }的公比为q 2(q 2≠0),则b n =b 1·q 2n -1,对于A,当k=0时,{k ·a n }显然不是等比数列,故A 错误;对于B,1an=1a 1q 1n -1=1a 1·(1q 1)n -1,∴数列{1a n}是一个以1a 1为首项,1q 1为公比的等比数列,故B 正确;对于C,举出反例,当a n =1,b n =-1时,数列{a n +b n }不是等比数列,故C 错误; 对于D,a n ·b n =a 1·b 1(q 1·q 2)n-1,∴数列{a n ·b n }是一个以a 1b 1为首项,q 1q 2为公比的等比数列,故D 正确.故选BD .4.已知-7,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-4,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则a 2-a1b 2=.,得a 2-a 1=-1-(-7)3=2,b 22=(-4)×(-1)=4.又b 2是等比数列中的第3项,所以b 2与第1项同号,即b 2=-2,所以a 2-a 1b 2=2-2=-1.15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.,得a n =a n+1+a n+2,所以a n =a n q+a n q 2.因为a n >0,所以q 2+q-1=0, 解得q=-1+√52(q =-1-√52舍去).6.若数列a 1,a 2a 1,a 3a 2,…,an a n -1,…是首项为1,公比为-√2的等比数列,则a 5=.,得aS a n -1=(-√2)n-1(n ≥2),所以a2a 1=-√2,a3a 2=(-√2)2,a4a 3=(-√2)3,a5a 4=(-√2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a 1=(-√2)1+2+3+4=32.又a 1=1,所以a 5=32.7.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0.(1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.由题意可得a 2=12,a 3=14.(2)由a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0,得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n+1a n=12.故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1,n ∈N*.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1, (1)求证{a n }是等比数列,并求出其通项公式; (2)设b n =a n+1+2a n ,求证:数列{b n }是等比数列.∵S n =2a n +1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n =a n+1=(2a n+1+1)-(2a n +1)=2a n+1-2a n ,∴a n+1=2a n .由已知及上式可知a n ≠0. ∴由a n+1a n=2知{a n }是等比数列. 由a 1=S 1=2a 1+1,得a 1=-1,∴a n =-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.b S+1 b n =-4×2n-4×2n-1=2.∴数列{b n}是等比数列.素养培优练已知数列{},其中=2n+3n,数列{+1-p}为等比数列,求常数p.{+1-p}为等比数列,所以(+1-p)2=(-p-1)(+2-p+1),将=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得16(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.。
第四章 数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2ba +叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ② nn n n n a n 21)1()1(122=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1.正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.1110277417777=+⨯+⨯=∴b a 错因：误认为=n n T S nnb a 正解：79922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2)5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n∴3402=n （2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。
（02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1∵p a a a a n n n =+=++121 ∴npa a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）。
四、典型习题导练1．已知nn n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。
2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 。
3.求和: n+++++++++++3211321121114.求和： )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+- 5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。
A ．72B ．60C ．48D ．367. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。
8.已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 成等差数列，且713,61153-=-=a a ，求8a 的值。
§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-⋅-=--=⋅=)1(11)1()1(111q q qa a q q a q a n S n n n二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1可改写为nn q qa a ⋅=1.当q>0，且q ≠1时，y=q x 是一个指数函数，而xq qa y ⋅=1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数xq qa y ⋅=1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a nn n n n n)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n nq a a nn =∴+1（常数） ∴{}n a 为等比数列，即B 。
