北京交通大学信号与系统第四章典型例题

2 Tnω1
j3nω1
e2
sin
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
−
2 Tnω1
− j3nω1
e2
sin
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
=
1 T
j3nω1
e2
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
−
1 T
− j3nω1
e2
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
4-5 设 x (t ) 是基本周期为 T0 的周期信号，其傅里叶系数为 ak 。求下列各信号的傅里叶级数
d dt
e jkω1t
∞
=
ak ⋅ jkω1 e jkω1t
k =−∞
故
bk = ak ⋅ jkω1
=
∞
bk e jkω1t
k =−∞
=
x(t )*
=
⎡ ⎢⎣
k
∞ =−∞
ak
e
jkω1t
⎤ ⎥⎦
∗
=
∞
a e∗ − jkω1t k k =−∞
∞
∞
∞
( ) ∑ ∑ ∑ 由于 k 从 −∞ 到 ∞ ，故 y t =
b e jkω1t k
=
a e∗ − jkω1t k
=
a e ∗ jkω1t −k
，所以
k =−∞
2
( ) ( ) = 1 ⋅
1
e− jnω1t − 1 ⋅
1
e− jnω1t
T − jnω1
−2 T − jnω1
1
( ) ( ) = 1
e − e j2nω1
jnω1

信号与系统_北京交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.某连续周期信号如题1图所示，该信号的频谱成分有( )【图片】参考答案:直流、奇次谐波的余弦分量2.已知描述某连续时间LTI系统的状态方程的矩阵分别为【图片】【图片】【图片】【图片】则该系统的系统函数【图片】为参考答案:3行3列矩阵3.关于连续非周期信号的频域表示，正确的说法是( )参考答案:将信号表示为不同频率正弦信号的线性组合4.连续非周期信号频谱的特点是( )参考答案:连续、非周期5.已知某线性连续时间系统，其在初始状态为【图片】、输入激励为【图片】作用下产生的完全响应为【图片】【图片】；该系统在初始状态为【图片】、输入激励为【图片】作用下产生的完全响应为【图片】【图片】试求初始状态为【图片】，激励为【图片】时系统的完全响应【图片】=( ）。

参考答案:,6.连续非周期信号频谱的特点是参考答案:连续、非周期7.已知信号【图片】，其频谱【图片】在【图片】的值【图片】参考答案:88.连续周期信号【图片】是功率信号，其傅里叶变换【图片】都不存在。

参考答案:错误9.已知信号【图片】的最高频率分量为【图片】 Hz，若抽样频率【图片】，则抽样后信号的频谱一定混叠。

参考答案:错误10.连续时间周期信号【图片】的平均功率为( )参考答案:1111.利用状态变量分析法分析连续时间LTI系统时，输出方程【图片】可能与哪些因素有关参考答案:与输入和状态变量有关12.关于连续周期信号频谱的特性，正确的说法是( )参考答案:同时具有离散特性和幅度衰减特性。

13.若描述离散时间系统的差分方程为【图片】，该系统为( )。

参考答案:因果、线性时不变系统14.连续周期信号在有效带宽内各谐波分量的平均功率之和占整个信号平均功率的很大一部分。

参考答案:正确15.连续时间信号在时域展宽后，其对应的频谱中高频分量将增加。

参考答案:错误16.信号时域时移，其对应的幅度频谱不变，相位频谱将发生相移。

周期信号g(t)
分析：
周期信号 可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。
解：
周期信号 可以表示为 。令例4-1-1中周期矩形信号的 ， ，0=2T0，可得 的Fourier系数为
令 的Fourier系数为Dn，利用Fourier级数的时移特性可得
(2)信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。
(3)信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为信号的有效带宽。非周期矩形信号的有效带宽为2/(rad/s)或1/Hz)，在时域的宽度为。即
【例4-2-2】试求单位冲激信号x(t)=(t)的频谱。
分析：
非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。
解：
周期信号的Fourier级数表示式为
，
利用虚指数信号的Fourier变换，对上式两边进行Fourier变换，可得
结论：
连续周期信号的频谱密度函数X(j)是冲激串函数，冲激串前的系数为2Cn。因此，连续周期信号的Fourier系数Cn与其频谱密度函数X(j)是一致的。
【例4-2-10】试求周期冲激串 的频谱X(j)。
解：
利用冲激信号的抽样特性，可由Fourier变换的定义直接求得其频谱
下图画出了冲激信号(t)及其频谱。
单位冲激信号及其频谱
结论：
(1)冲激信号的频谱为一常数。
(2)信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。
【例4-2-3】试求直流信号x(t)=1(t)的频谱。
分析：
直流信号不满足绝对可积，但其Fourier变换X(j)存在，可借助(t)的Fourier反变换计算。

得E(s) =
L
⎡⎣e(t )⎤⎦
=
1 s +1
rzs
(t)
=
r
(t)
=
1 2
e−t
−
e−2t
+
2e−3t
Rzs ( s) =
L
⎡⎣rzs
(t
)⎤⎦
=
1
2(s +1)
−
s
1 +
2
+
s
2 −
3
故
H
(s)
=
Rzs ( s) E(s)
=
⎡ ⎢ ⎣
2
(
1
s +1)
−
s
1 +
2
+
s
2 −
3
⎤ ⎥ ⎦
⋅
(
s
+
1)
= 1 − s +1 + 2(s +1)
2 s+2 s−3
=3+ 1 − 8 2 s+2 s−3
( ) 所以
h(s) =
L
−1
⎡⎣ H
(
s )⎤⎦
=
3 2
δ
(t
)
+
e−2t + 8e3t
u (t )
4-35 解题过程：
k
∏(s − zi )
( ) H (s) = K
i =1 l
∏ s− pj
j =1
− 3e−2t
（7）
L
−1
⎡ ⎢⎣
s
1 2+
1
+
1⎤⎥⎦
= sin t + δ (t)

（4.3） （4.4）
——正交性原理 要使估计的均方差最小，滤波器的参数估计应使输出误差
向量与观察向量正交
11
4.1 线性变换与正交原理
• 4.1.2 正交性原理
同时有
E{y(n)e(n)} E{k (n k)e(n)} k 0
k E{(n k)e(n)} 0 k 0
即 E{yopt (n)e(n)} 0
输出估计值
S t
t f
ti
ht,
X
d
et
S
t
S
t
均方意义下最小。由正交原理知，对所有的 ti ,t f 应有
S
t
S t
X
22
4.2 平稳随机过程的估计 ——维纳滤波
• 章节概述
即
E
S
t
t
ti
f
ht,X d X 0
过程平稳，在滤波器为时不变情况下，上式为：
RSX t
tf ti
17
4.1 线性变换与正交原理
• 4.1.2 正交性原理
据正交投影定理，可得 X 的线性最小均方方差估计为
n
X X ,Yi Yi
i 1
2) 一般任意数据
若 X1, X2,..., Xn 是任意的，但可知 E Xi , X j
则由Gram-Schmidt正交化
Y1 b11 X1
Y2 b12 X1 b22 X 2
sx xx
w w
——广义平稳条件的线性时不变因果维纳滤波器。
注：估值均方误差为：
I
第四章 波形估计
裘正定
北京交通大学 信息科学研究所1
第四章 波形估计
• 波形估计概述 • §4.1 线性变换与正交原理 • §4.2 平稳随机过程的估计

t→∞
t→∞
a −σ < 0
即收敛域为σ > a,σ 0 = a 。
[ ] ∫ ∫ ( ) ( ) （4） F s = L e − a t ε t = 0 e at e − st dt + ∞ e − at e − st dt
−∞
0
∫ ∫ = 0 e (a−s )t dt + ∞ e −(a +s )t dt = 1 + 1
T
T 2 T
= 2 tε (t) − 4 t − T ε t − T + 2 (t − T )ε (t − T )
T
T 2 2 T
因 ε (t ) ↔ 1 ， tε (t ) ↔ 1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有
s
s2
( ) X s
=
2 Ts 2
−
4 Ts 2
− sT
e2
+
2 Ts 2
t→∞
t→∞ 2
t→∞ 2
由此可得其收敛域为：σ > 3 同理，对于对于图 4.2（b）来说，其收敛域为：σ > 5
209
对于图 4.2（c）来说，其收敛域为：α > 1 （3）（4）情况下，收敛域均为： − ∞ < α < ∞
4.4 针对图 4.3 所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定： （1）拉氏变换式； （2）零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。
cos 2
ϕ
−
sin ϕ 2j
∞ eω0tj e−st dt
0
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
∞ e−ω0tje −st dt

第四章部分习题解答4-7求下列各序列的DFT ，已知N=4。

(1))(0n n -δ 300≤≤n解：044300)()]([kn kn n WWn n n n X =-=-∑=δδ(2))(n G N解：∑∑=====344304)(4)()]([n kn knn N k W Wn G n G X δ （利用正交性）或用矩阵法解 j eW j-==-4214π⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004111111111111111111111111111)]([946434644424342414j j j j W W W W W W W W W n G X N (3))(n G a N n , 1≠a 解：1,111)(1)()(43044444≠--=--==∑=a aW a aW aW Wn G a k X kn k k kn n(4)}3,2,1,0{)(=n nG N解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=2222263210111111111111)]([4j j j j j j n nG X(5))(0n G e N n j ω解：kj j k j k j knn nj W e e W e W e Wn G ek X 444444300000111)(1)()(ωωωωω--=--==∑=4-8有限长序列x(n)如题图4-2所示，若题图 4-2)())3(()(441n G n x n x -= )())3(()(442n G n x n x -=给出)(1n x 和)(2n x 序列图形，并计算)(1n x 和)(2n x 的离散傅里叶变换。

解：由圆周移位特性知：}1,4,3,2{)(1=n x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j j j k X 22222101432111111111111][1 }1,2,3,4{)(2↑=n x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j j j k X 22222101234111111111111][2 4-9两有限长序列x(n)和h(n)如题图4-3所示，求)()(n h n x *。

1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2试写出题1-1图中信号的函数表达式。

1-3已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。

题图1-3⑴)2(1-t x ⑵)1(1t x -⑶)22(1+t x⑷)3(2+t x ⑸)22(2-t x ⑹)21(2t x - ⑺)(1t x )(2t x -⑻)1(1t x -)1(2-t x ⑼)22(1t x -)4(2+t x 1-4已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。

题图1-4⑴)12(1+n x ⑵)4(1n x -⑶)2(1n x ⑷)2(2n x -⑸)2(2+n x ⑹)1()2(22--++n x n x⑺)2(1+n x )21(2n x -⑻)1(1n x -)4(2+n x ⑼)1(1-n x )3(2-n x1-5已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。

题图1-51-6试画出下列信号的波形图：⑴)8sin()sin()(t t t x ΩΩ=⑵)8sin()]sin(211[)(t t t x ΩΩ+= ⑶)8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+=⑷)2sin(1)(t tt x = 1-7试画出下列信号的波形图：⑴)(1)(t u e t x t -+=⑵)]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π⑶)()2()(t u e t x t --=⑷)()()1(t u e t x t --=⑸)9()(2-=t u t x ⑹)4()(2-=t t x δ1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。

⑴)1(1)(2Ω-Ω=Ωj e j X ⑵)(1)(Ω-Ω-Ω=Ωj j e e j X ⑶Ω-Ω---=Ωj j e e j X 11)(4⑷21)(+Ω=Ωj j X 1-9已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。

3
E1(s)
∑
1 s
-2 -1
（a）
1 s
2
∑
Y 1( s )
E2(s)
−2 t
Vo ( s ) ； E ( s)
U (t ) ，求零状态响应 vo (t ) ；
（3）若 e(t ) = 10 cos(5t ) ，求正弦稳态响应 voss (t ) 。
0.25F + e(t) -
2:1
1F
2:1
2F +
C1
C2
C3
R
vo(t
-
题图 4-17-1
4-18 题图 4-18-1 所示电路 （1）若初始无储能，信号源为 is (t ) ，为求 i1 (t ) （零状态响应） ，列写转移函数 H ( s ) ，并给 出对应于 is (t ) = 10 cos(2t )U (t ) 的零状态响应 i1 (t ) ； （2）若初始状态以 i1 (0) ， v 2 (0) 表示（都不等于零） ，但
is(t
)
1Ω + 1F
-
1H
i1(t
is (t ) = 0 ，求 i1 (t ) （零输入响应） 。
v 2( t )
1Ω
题图 4-18-1
4-19 求题图 4-19 中电路的电压传输函数，如果要求响应中不出现 强迫响应分量，激励函数应有怎样的模式？
C
R1
+ +
-)
e(t R2
vo(t)
-
题图 4-19
4-11 用拉氏变换分析法，求下列系统的响应。
d 2 r (t ) dr (t ) （1） +3 + 2r (t ) = 0 ， r (0 − ) = 1 ， r ' (0 − ) = 2 2 dt dt

第5-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当 选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋近于 0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
0
β
σ
第5-7页
■
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4.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
第5-10页
■
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4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0

1 s s0
s0t

令s0 0
第5-12页
(t )
■
1
s
, 0
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4.1 拉普拉斯变换
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) f (t ) e st d t
0
Re[s]>0
F (j ) f (t ) e

1.某900MHz蜂窝系统中同时存在对数正态阴影衰落和瑞利衰落，阴影衰落的标准差为6dB，调制方式为DPSK，运营商可以容忍0。

01的中断率.非中断时，语音业务对平均误比特率的要求是10-3，假设噪声的功率谱密度为N0/2，N0=10—16mW/Hz，信号的带宽为30kHz.路径损耗采用自由空间传播模型,发送和接收均采用全向天线（增益为0），不考虑馈线损耗，移动终端的最大发射功率为100mW,求：（1) DPSK采用相干解调，考虑信号受瑞利衰落，求接收信号的平均信噪比,接收信号的平均功率?（2）考虑信号受对数正态阴影衰落，接收功率应该提高为多少？（3）计算小区的最大半径。

注：对于一个均值为μ，标准差为σ的正态分布随机变量X，则Xμσ-服从标准正态分布.标准正态分布的累计概率密度函数（CDF)()xΦ的值2.已知（7，4）循环汉明码的生成多项式为g(X）= X3+ X2+1。

(1）写出系统码形式的生成矩阵；（2) 写出该码的校验矩阵;（3) 假设接收码字为R=［1010011］,求其伴随式；3.某移动通信系统的工作频率为900MHz，符号速率为270。

833kbps,移动台的移动速率为80km/h,求均衡器一次训练后能够传输的最大符号数。

4.考虑N支路的分集合并系统，每个支路是SNR=10dB的AWGN信道。

假设采用M=4的MQAM调制,误码率近似为P b＝0。

2e—1。

5γ/(M-1），其中γ是接收信噪比。

（1）求N=1时的P b。

（2）MRC下,求使P b<10—6的N.1.（1）在瑞利信道下，DPSK经相干解调，误码率P b＝1/(4γb）=10—3，∴接收信号信噪比γb＝250噪声功率为N 0B=3＊10-12mW∴P 瑞=γb ＊N 0B =7.5*10-10mW=－91。

2dBm （2）中断概率P out =P （P r 〈P 瑞）=P(ψ<P 瑞- P r ）=Φ（(P 瑞- P r ）/σ）=0。

(A)(A) (A)(A) (A) (A)
……
T 2T 3T 4T 5T
t
F31 ( s) A F3 ( s) Ts Ts 1 e 1 e
第9页
信号与系统 · 习题解答 4-5 求下列函数的拉氏变换，已知 f (t ) F (s) 。
（2） e
at
t f( ) a
t 解： 由比例性： f ( ) aF (as) a
1 j0t t e e j0t e st dt 0 2 1 ( j0 s )t 1 ( j0 s )t te dt te dt 2 0 2 0 1 1 ( j 0 s ) t ] 0 td[e 2 j 0 s
第5页
0 0 收敛域为σ＞0
信号与系统 · 习题解答 4-2 求图示信号的拉氏变换。
解： 【解法一】
f (t ) t[ (t ) (t 1)]
f (t )
1
由定义式：
st 1 st
0
1
t
1 1 F ( s) f (t ) e dt te dt td(e st ) 0 0 s 0 st 1 s st 1 分部积分 te 1 1 st e e e dt t dt 0

1 1 1 e ( j0 s ) t 0 2 j 0 s j 0 s 1 1 1 e ( j0 s ) t 0 2 j 0 s j 0 s



信号与系统 · 习题解答
2( s 5) A B 设 Y ( s) 2 2 ( s 2) ( s 2) ( s 2)

１．【北京理工大学】 已知 ｆ（ｔ）的波形如下图所示，试作出 ｆ（－２ｔ－１）的波形。
Ｄ．０ Ｄ．２ｆ（１）
Ｄ．－３
２．【中国矿业大学】 已知 ｆ（－０．５ｔ）的波形如图所示，画出 ｙ（ｔ） ＝ｆ（ｔ＋１）ε（－ｔ）的波形。
— ２—
３．【中国矿业大学】
若 ｆ（ｔ）是已录制声音的磁带，则下列叙述错误的是（ ）
Ａ．线性时不变系统
Ｂ．非线性时不变系统
Ｃ．线性时变系统
Ｄ．非线性时变系统
（２）某连续系统满足 ｙ（ｔ） ＝Ｔ[ ｆ（ｔ）] ＝ｔｆ（ｔ），其中 ｆ（ｔ）为输入信号，则该系统为（ ）
Ａ．线性时不变系统
Ｂ．非线性时不变系统
Ｃ．线性时变系统
Ｄ．非线性时变系统
３【北京航空航天大学】
判断下列叙述的正误，正确的打“√”，错误的打“×”。
Ａ．对于有界激励信号产生有界响应的系统是稳定系统
Ｂ．系统稳定性是系统自身的性质之一。
Ｃ．系统是否稳定与激励信号有关
Ｄ．当 ｔ趋于无穷大时，ｈ（ｔ）趋于有限值或 ０，则系统可能稳定。
— ４—
第二章 连续时间系统的时域分析
【考情分析】
本章的考题主要涉及连续时间系统的时域分析。 重点考点： １．ＬＴＩ系统的零输入响应，零状态响应和全响应 ２．单位冲激响应的求解 ３．卷积积分的定义、性质及应用
ｔ）ｅ－ｊ６ｔ ３
的频谱
Ｙ（ｊω）。
４．【江苏大学】
若实信号
ｆ（ｔ）的傅里叶变换为
Ｆ（ｊω） ＝Ｒ（ｊω）＋ｊＸ（ｊω），则信号
ｙ（ｔ） ＝
１[ ２
ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）]
的
傅里叶变换为 （ ）
— ９—
Ａ．２Ｒ（ｊω）
Ｂ．Ｒ（ｊω）

（1）抽样后在什么频率上会出现干扰信号？试画出抽样后信号的频谱示意 图。
（2）为了抗干扰，信号在抽样前通过一个抗混淆系统，将干扰信号滤除。 试在题 4-5 图所示的两图中选出合适的抗混淆系统，并画出幅频特性曲线。
（3）为了使有用信号的衰减低于 1dB，混淆信号的衰减高于 15dB，试求所 需的时间参数 RC 的范围。
c
R( j)

H
( j)
E( j)



c 0,
e jt0 ,

c c 其他
设
e2
(t)

sin(ct) ct
，则
F E2 ( j)
e2
(t )



c 0,
,
c c 其他

R2 ( j)
H ( j)

Y j X j
1 e j

2
cos

2


e
j2
可见，虽然该系统具有线性的相频特性，但幅频特性不是常数，因此，该系统不 是无失真传输系统。
4-9 题 4-9 图所示系统中， H1( j) 为理想低通滤波器，其频率特性为
H1
(
j
)


H
i


对
信号
Sa
t 2

是无失真传输的，因此当
Sa

1 2
(t

T
)

Sa(
1 2
t
)
作用时，输出
v2
(t)

Sa
1 2
t

(a) 记f(t)中第一周期信号为 相应的象函数为F1(s)。由于
4.8 已知因果信号f(t)的象函数为F(s)，求下列F(s)的原函 数f(t)的初值f(0+)和终值f(∞)。
解 本题练习初值定理和终值定理的应用。
解 计算单边拉氏逆变换的常用方法有: ① 查表、公式法； ② 应用性质；③ 部分分式展开法；④ 反演积分法。
题图 4.4
解 画出S域零状态系统模型如题解图4.19所示。
题解图 4.19
故有单位冲激响应:
令式①中
再取拉氏逆变换，求得单位阶跃响应:
4.20 题图4.5所示RLC系统，us(t)=12 V, L=1 H，C=1 F， R1=3 Ω, R2=2 Ω，R3=1 Ω。t＜0时电路已达稳态，t=0时开 关S闭合。求t≥0时电压u(t)的零输入响应、零状态响应和全 响应。
4.28 已知线性连续系统的系统函数H(s)的零、极点分布如
题图 4.10 所示。图中，“×”号表示极点，“ 。”号表示零
点。
(1) 若H(∞)=1，求图(a)对应系统的H(s)；
(2) 若H(0)=
求图(b)对应系统的H(s)；
(3) 求系统频率响应H(jω)，粗略画出系统幅频特性和相频
特性曲线。
题图 4.12
其中
(3) 考虑到f(t)=ε(t－1), 即输入在t=1时刻激励系统,故有 且
代入式①、②整理得
所以,系统零输入响应和零状态响应为 全响应:
4.15 已知线性连续系统的系统函数和输入f(t)，求系统的 全响应。
解 本题分别用时域方法计算零输入响应，S域方法计算 零状态响应，然后叠加求得全响应。
解 用直接形式信号流图、方框图模拟连续系统。

x(t)F1
X()
c 2
sincct
/2ejct/2ej/2
2c sincct
/2ejct/2ej/2
c sinc
2
t/2 e e j(ct/2/2) j(ct/2/2)
c
c 2
2
ct
sinct
/2cos(ct
/2/2)
2t sin2ct /2
例1、某低频信号f(t)的最高频率分量为fm=1kHz，该信号经
1
1
2
(e
j t
e
jt ) e
jk t / 2 dt
40
4 2j 0
1
2
(e
j ( 2 t ) / 2
e j ( 2 t ) ) dt
8j 0
1 8j
2 j (2
e j ( 2 t ) / 2 k)
|
2 0
j
2 (2
k)
e j ( 2 t ) / 2
|
2 0
1 2 (( 1 ) k 1 )
T0 x2(t)ejk0tdt
1 1 2(t1)ejktdtejk (1)k 2 1
从而：
c k c 1 k c 2 k1 2 ( 1 )k,k 0 , 1 , 2
l ) 0/2,T04
c k
1 T0
x ( t ) e jk 0 t dt
T0
1
2
sin
te jk t / 2 dt
1
/
2
)
je j sin(( (
) T 1 / 2 ) sin((
)T1 / 2 ) )
2
( )T1 / 2
( )T1 / 2

1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设1/c rad s W =。

解：幅度平方函数是：2261()()1A H j W =W =+W 令：令： 22s W =- ,则有：61()()1a a H s H s s-=- 各极点满足121[]261,26k j k s ek p -+==所得出的6个 k s 为：为：105==j e s 2321321je s j +-==p 12-==p j e s 2321343je s j --==p 2321354j es j -==p 2321316j es j +==p15==j e s 2321321je s j +-==p 12-==p j e s 2321343je s j --==p 2321354j es j -==p 2321316j es j +==p 122))()(()(233210+++=---=s s s k s s s s s s k sH a 1221)(23+++==s s s sHa 代入s=0时, ,可得,故:1=)s (H a 10=k2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率6,p f kHz =，通带最大衰减3,pA dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最小衰减25sAdB =，求出滤波器的系统函数。

，求出滤波器的系统函数。

解：解： 2,2s s p pf f p p W =W =0.10.1101lg 101N 2lg()s pA A s pæö-ç÷-èø³W W =4.15 取N=5，查表得H(p)为：为： 221()(0.6181)( 1.6181)(1)H p p p p p p =+++++因为3,pAdB =所以c p W =W[]52222()()0.618 1.618cs p cc c c c c H s H p s s s s s =W =W =éùéù+W -W +W -W +W ëûëû3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率要求通带的截止频率要求通带的截止频率 f p =3kHz，通带衰减要不大于0.2dB ，阻带截止频率，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于 50dB 。